第1章 三角形的證明章末重難點題型總結（學生版）

第1章三角形的證明章末重難點題型總結【北師大版】【考點1等腰三角形的性質（分類討論思想）】【方法點撥】解決此類問題的關鍵要注意分類討論思想．【例1】（2019秋?謝家集區(qū)期末）等腰三角形的周長為14cm，其中一邊長為4cm，則該等腰三角形的腰長為（）A．4cm B．5cm C．4cm或5cm D．4cm或6cm【變式1-1】（2019春?鄭州期末）等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為50°，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（）A．40° B．70° C．40°或70° D．40°或140°【變式1-2】（2020春?東城區(qū)校級期末）等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm．則等腰三角形的腰長為（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．以上答案都不對【變式1-3】（2019秋?殷都區(qū)期中）等腰三角形一腰上的高等于該三角形另一邊長的一半．則其頂角等于（）A．30° B．30°或150° C．120°或150° D．120°、30°或150°【考點2等腰三角形的性質（求角度綜合）】【方法點撥】解決此類問題的關鍵要掌握等腰三角形兩底角相等（簡稱等邊對等角），常與三角形外角的性質及三角形內角和定理結合運用．【例2】（2019秋?高州市期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．36° C．45° D．50°【變式2-1】（2020春?歷下區(qū)期末）如圖，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，則∠BGH＝（）A．50° B．60° C．70° D．80°【變式2-2】（2020春?廣饒縣期末）如圖，△AA1B中，AB＝A1B，∠B＝20°，A2，A3，A4，A5，…An都在AA1的延長線上，B1，B2，B3，B4…分別在A1B，A2B1，A3B2，A4B3，…上，且滿足A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，A4B4＝A4A5，…，依此類推，∠B2019A2020A2019＝．【變式2-3】（2020春?敘州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E為BC邊上一點，以E為頂點作∠AEF，∠AEF的一邊交AC于點F，使∠AEF＝∠B．（1）如果∠ABC＝40°，則∠BAC＝；（2）判斷∠BAE與∠CEF的大小關系，并說明理由；（3）當△AEF為直角三角形時，求∠AEF與∠BAE的數(shù)量關系．【考點3等腰三角形的性質（三線合一）】【方法點撥】解決此類問題的關鍵要掌握等腰三角形兩底角相等（簡稱等邊對等角），常與三角形外角的性質及三角形內角和定理結合運用．【例3】（2019秋?江油市期末）如圖：D為△ABC內一點，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，則AC的長為（）A．5 B．4 C．3 D．2【變式3-1】（2019秋?豐城市期末）如圖：已知等邊△ABC中，D是AC的中點，E是BC延長線上的一點，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足為M．（1）求∠E的度數(shù)．（2）求證：M是BE的中點．【變式3-2】（2019秋?寧都縣期末）如圖所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點D，交AC于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度數(shù)；（2）若點F是AC的中點，求證：∠CFD=12∠【變式3-3】如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若D為BC的中點，過D作DM⊥DN分別交AB、AC于M、N，求證：DM＝DN；（2）若D為BC的中點，DM⊥DN分別和BA、AC延長線交于M、N，問DM和DN有何數(shù)量關系，并證明．【考點4等腰三角形的性質（作等腰三角形）】【例4】（2020秋?隨縣期末）已知：如圖，下列三角形中，AB＝AC，則經(jīng)過三角形的一個頂點的一條直線能夠將這個三角形分成兩個小等腰三角形的是（）A．①③④ B．①②③④ C．①②④ D．①③【變式4-1】（2020?海門市一模）線段AB在如圖所示的8×8網(wǎng)格中（點A、B均在格點上），在格點上找一點C，使△ABC是以∠B為頂角的等腰三角形，則所有符合條件的點C的個數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式4-2】（2019秋?安陸市期末）如圖，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面內一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中有一個邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（）A．5條 B．4條 C．3條 D．2條【變式4-3】（2019秋?鼓樓區(qū)月考）如圖，直線PQ上有一點O，點A為直線外一點，連接OA，在直線PQ上找一點B，使得△AOB是等腰三角形，這樣的點B最多有個．【考點5等邊三角形的性質（含30°直角三角形）】【方法點撥】掌握直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．【例5】（2019秋?大洼區(qū)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，BC＝2，D是AB的中點，過點D作DF⊥AC于點F，過點F作EF⊥BC于點E，則BE的長為（）A．1 B．32 C．54 【變式5-1】（2019秋?濟南期末）如圖，點P、M、N分別在等邊△ABC的各邊上，且MP⊥AB于點P，MN⊥BC于點M，PN⊥AC于點N，若AB＝12cm，求CM的長為．【變式5-2】（2019秋?五常市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC延長線上一點，DE⊥AB于點E，EF⊥BC于點F．若CD＝3AE，CF＝6，則AC的長為．【變式5-3】（2019秋?南崗區(qū)校級月考）如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥AB分別交BC、AC于點D、E，過點E做EF⊥DE，交線段BC的延長線于點F．（1）求證：CE＝CF；（2）若BD=13CE，AB＝8，求線段【考點6等邊三角形的判定與性質綜合】【例6】（2019秋?雨花區(qū)校級月考）已知如圖等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP＝OC，下面的結論：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AB＝AO+AP．其中正確的是（）A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④【變式6-1】（2020春?龍泉驛區(qū)期末）如圖，C為線段AE上一動點，（不與點A、E重合），在AE同側分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．求證：（1）AD＝BE（2）△APC≌△BQC（3）△PCQ是等邊三角形．【變式6-2】（2020?煙臺）如圖，在等邊三角形ABC中，點E是邊AC上一定點，點D是直線BC上一動點，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．【問題解決】如圖1，若點D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；【類比探究】如圖2，若點D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．【變式6-3】（2019秋?東臺市期末）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關系．（1）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是；此時QL=（2）如圖2，點M、N在邊AB、AC上，且當DM≠DN時，猜想（I）問的兩個結論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結論；若不成立請說明理由．（3）如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關系如何？并給出證明．【考點7共點等腰（手拉手模型）】【例7】（2019秋?墾利區(qū)期中）已知：如圖，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點C，D，E三點在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個結論：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④∠ACE＝∠DBC．其中結論正確的個數(shù)有（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式7-1】（2019?濱州）如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點M，連接OM．下列結論：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正確的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式7-2】（2019秋?常德期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE，求∠AEB的度數(shù)．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請求∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關系，并說明理由．【變式7-3】（2020秋?上蔡縣校級期中）已知Rt△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，點D為直線BC上的一動點（點D不與點B、C重合），以AD為邊作Rt△ADE，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°，連接CF．（1）發(fā)現(xiàn)問題如圖①，當點D在邊BC上時．①請寫出BD和CE之間的數(shù)量關系為，位置關系為；②求證：CE+CD＝BC（2）嘗試探究如圖②，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，（1）中BC、CE、CD之間存在的數(shù)量關系是否成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出新的數(shù)量關系，不證明．（3）拓展延伸如圖③，當點D在CB的延長線上且其他條件不變時，若BC＝6，CE＝2，求線段CD的長．【考點8直角三角形斜邊中線】【方法點撥】掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．【例8】（2020春?蚌埠期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中點，連接BE，BD．則∠DBE的度數(shù)為（）A．10° B．12° C．15° D．18°【變式8-1】（2020春?包河區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O為AB的中點，點E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，則∠COE＝度．【變式8-2】（2019秋?余姚市期末）如圖，AD是△ABC的高線，且BD=12AC，E是AC的中點，連結BE，取BE的中點F，連結DF，求證：DF⊥【變式8-3】（2020春?重慶期末）如圖（1），已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點．（1）求證：MN⊥DE．（2）連結DM，ME，猜想∠A與∠DME之間的關系，并證明猜想．（3）當∠A變?yōu)殁g角時，如圖（2），上述（1）（2）中的結論是否都成立，若結論成立，直接回答，不需證明；若結論不成立，說明理由．【考點9逆命題和逆定理】【例9】（2019春?臨潁縣期中）下列命題中錯誤的是（）A．任何一個命題都有逆命題 B．一個真命題的逆命題可能是真命題 C．一個定理不一定有逆定理 D．任何一個定理都有逆定理【變式9-1】（2019秋?橋西區(qū)校級月考）下列說法：（1）“兩直線平行，同位角相等”與“同位角相等，兩直線平行”互為逆定理；（2）命題“如果兩個角相等，那么它們都是直角”的逆命題為假命題；（3）命題“如果﹣a＝5，那么a＝﹣5”的逆命題為“如果﹣a≠﹣5，那么a≠﹣5”，其中正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式9-2】（2020春?太平區(qū)期末）下列命題的逆命題是假命題的是（）A．兩直線平行，同旁內角互補 B．等邊三角形的三個內角都相等 C．兩個全等直角三角形的對應角相等 D．直角三角形的兩個銳角互余【變式9-3】（2019春?端州區(qū)期末）下列命題的逆命題能成立的有（）①兩條直線平行，內錯角相等；②如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；③全等三角形的對應角相等；④在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【考點10反證法證明】【例10】（2020秋?偃師市期末）牛頓曾說過：“反證法是數(shù)學家最精良的武器之一．”那么我們用反證法證明：“在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°”時，第一步先假設（）A．三角形中有一個內角小于60° B．三角形中有一個內角大于60° C．三角形中每個內角都大于60° D．三角形中沒有一個內角小于60°【變式10-1】（2020?河北模擬）求證：兩直線平行，內錯角相等．如圖1，若AB∥CD，且AB、CD被EF所截，求證：∠AOF＝∠EO′D．理論依據(jù)1：內錯角相等，兩直線平行；理論依據(jù)2：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．以下是打亂的用反證法證明的過程：①如圖2，過點O作直線A'B'，使∠A′OF＝∠EO′D，②依據(jù)理論依據(jù)1，可得A'B'∥CD，③假設∠AOF≠∠EO′D，④∴∠AOF＝EO′D．⑤與理論依據(jù)2矛盾，假設不成立．證明步驟的正確順序是（）A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．③①④②⑤ D．③①②⑤④【變式10-2】（2020春?渭南期中）用反證法求證：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．已知：如圖，∠1是△ABC的一個外角．求證：∠1＝∠A+∠B．【變式10-3】（2020秋?灤南縣期末）閱讀下列文字，回答問題．題目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．證明：假設AC＝BC，因為∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B．所以AC≠BC，這與假設矛盾，所以AC≠BC．上面的證明有沒有錯誤？若沒有錯誤，指出其證明的方法；若有錯誤，請予以糾正．【考點11直角三角形全等的判定】【方法點撥】直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．【例11】（2019春?桑植縣期末）下列命題中：①兩直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；②兩銳角對應相等的兩個直角三角形全等；③斜邊和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；④一銳角和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等；⑤一銳角和一邊對應相等的兩個直角三角形全等．其中正確的個數(shù)有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式11-1】（2020秋?大港區(qū)期末）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，下面四個結論：①∠ABE＝∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB＝CE；④AD﹣BE＝DE．正確的是（將你認為正確的答案序號都寫上）．【變式11-2】（2019秋?北流市期末）如圖（1），AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE，試說明BC⊥CE的理由；如圖（2），若△ABC向右平移，使得點C移到點D，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索BD⊥CE的結論是否成立，并說明理由．【變式11-3】（2020秋?滄州期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于點E；（1）若B、C在DE的同側（如圖所示）且AD＝CE．求證：AB⊥AC；（2）若B、C在DE的兩側（如圖所示），且AD＝CE，其他條件不變，AB與AC仍垂直嗎？若是請給出證明；若不是，請說明理由．【考點12線段垂直平分線的應用】【方法點撥】線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，熟記性質是解題的關鍵【例12】（2020春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂線交AB于點D，交BC的延長線于點E，交AC于點F，若AB+BC＝6，則△BCF的周長為（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【變式12-1】（2020春?郫都區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線，E、G分別為垂足．（1）直接寫出∠BAC的度數(shù)；（2）求∠DAF的度數(shù)，并注明推導依據(jù)；（3）若△DAF的周長為20，求BC的長．【變式12-2】（2019秋?百色期末）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）說明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的長．【變式12-3】（2020春?萍鄉(xiāng)期末）如圖，△ABC的外角∠DAC的平分線交BC邊的垂直平分線于P點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求證：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的長．【考點13角平分線的性質】【方法點撥】角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，解決此類問題的關鍵在于作垂線.【例13】（2019秋?大名縣期中）如圖，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，則DE＝cm．【變式13-1】（2019秋?永嘉縣校級期中）如圖，AC，BC分別平分∠BAE，∠ABF，若△ABC的高CD＝8，則點C到AE，BF的距離之和為．【變式13-2】（2019秋?長沙月考）