2024秋高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.5.2定積分的概念學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE9-1.5.2定積分的概念自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入探討函數(shù)，從量的方面探討事物運動改變是微積分的基本方法．從微積分成為一門學(xué)科來說，是在十七世紀，但是積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了．公元前三世紀，古希臘的阿基米德在探討解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想．那么定積分是怎樣定義的呢？又有哪些性質(zhì)呢？新知導(dǎo)學(xué)1．定積分的概念假如函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b將區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點ξi(i＝1,2，…，n)，作和式Sn＝eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx＝__eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)__(其中Δx為小區(qū)間長度)，當(dāng)n→∞時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的__定積分__，記作eq\i\in(a,b,)f(x)dx，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝__eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,[)eq\f(b－a,n)f(ξi)]__.這里，a與b分別叫做__積分下限__與__積分上限__，區(qū)間[a，b]叫做__積分區(qū)間__，函數(shù)f(x)叫做__被積函數(shù)__，x叫做__積分變量__，f(x)dx叫做__被積式__.2．定積分的幾何意義假如在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有__f(x)≥0__，那么定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx表示由__直線x＝a，x＝b(a≠b)__，y＝0和__曲線y＝f(x)__所圍成的曲邊梯形的面積．3．定積分的性質(zhì)①eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝__keq\i\in(a,b,)f(x)dx__(k為常數(shù))；②eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝__eq\i\in(a,b,)f1(x)dx±eq\i\in(a,b,)f2(x)dx__；③eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋__eq\i\in(c,b,)f(x)dx__(其中a<c<b)．定積分的性質(zhì)③稱為定積分對積分區(qū)間的可加性，其幾何意義是曲邊梯形ABCD的面積等于曲邊梯形AEFD與曲邊梯形EBCF的面積的和．預(yù)習(xí)自測1．求由曲線y＝ex，直線x＝2，y＝1圍成的圖形的面積時，若選擇x為積分變量，則積分區(qū)間為(B)A．[0，e2] B．[0,2]C．[1,2] D．[0,1][解析]解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝ex,y＝1))，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝1))，所以積分區(qū)間為[0,2]，故應(yīng)選B．2．下列式子中不成立的是(C)A．eq\i\in(a,2π+a,)sinxdx＝eq\i\in(b,2π+b,)cosxdxB．eq\i\in(0,eq\f(π,2),)sinxdx＝eq\i\in(0,eq\f(π,2),)cosxdxC．eq\i\in(0,π,)sinxdxeq\i\in(0,π,)cosxdxD．eq\i\in(0,π,)|sinx|dxeq\i\in(0,π,)|cosx|dx[解析]由定積分的幾何意義知eq\i\in(0,π,)sinxdx>0，eq\i\in(0,π,)cosxdx＝0，所以C不成立，故應(yīng)選C．3．下列值等于1的是(C)A．eq\i\in(0,1,)xdx B．eq\i\in(0,1,)(x＋1)dxC．eq\i\in(0,1,)1dx D．eq\i\in(0,1,)eq\f(1,2)x2dx[解析]由積分的幾何意義可知選C．4．不用計算，依據(jù)圖形，用不等號連接下列各式：(1)eq\i\in(0,1,)xdx__>__eq\i\in(0,1,)x2dx(圖1)；(2)eq\i\in(0,1,)xdx__<__eq\i\in(1,2,)xdx(圖2)；(3)eq\i\in(0,2,)eq\r(4－x2)dx__<__eq\i\in(0,2,)2dx(圖3)．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?定積分的定義典例1求eq\i\in(0,1,)x3dx.[思路分析]這里的被積函數(shù)f(x)＝x3明顯是連續(xù)函數(shù)．現(xiàn)按定義中包含的幾個步驟來求eq\i\in(0,1,)x3dx.[解析](1)分割[0,1]：0＜eq\f(1,n)＜eq\f(2,n)＜…＜eq\f(n－1,n)＜eq\f(n,n)＝1.(2)近似代替：作和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))3·eq\f(1,n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))3·eq\f(1,n)＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n)))3·eq\f(1,n).＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))3·\f(1,n))).(因為x3連續(xù)，所以ξi可隨意取而不影響極限，故我們此處將ξi取為[xi，xi＋1]的右端點)(3)取極限：eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i,n)))3·\f(1,n)))＝eq\f(1,n4)eq\i\su(i＝1,n,i)3＝eq\f(1,n4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,n)＋\f(1,n2)))，∴eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,n)＋\f(1,n2)))))＝eq\f(1,4).(此處用到了求和公式13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2)因此eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(1,4).『規(guī)律總結(jié)』用定義法求積分的步驟(1)分割：將積分區(qū)間[a，b]n等分．(2)近似代替：取點ξi∈[xi－1，xi]，可取ξi＝xi－1或者ξi＝xi.(3)求和：eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)．(4)求極限：eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)．┃┃跟蹤練習(xí)1__■(1)定積分eq\i\in(b,a,)f(x)dx的大小(A)A．與f(x)和積分區(qū)間有關(guān)，與ξi的取法無關(guān)B．與f(x)有關(guān)，與區(qū)間及ξi的取法無關(guān)C．與f(x)及ξi的取法有關(guān)，與區(qū)間無關(guān)D．與f(x)、積分區(qū)間和ξi的取法都有關(guān)(2)利用定積分的定義計算：eq\i\in(0,1,)x2dx.[解析](2)①分割，將區(qū)間[0,1]分成n等份0<eq\f(1,n)<eq\f(2,n)<…<eq\f(n－1,n)<eq\f(n,n)＝1，分割后的小區(qū)間長為Δx＝eq\f(i,n)－eq\f(i－1,n)＝eq\f(1,n).②近似代替，第i個小曲邊梯形的面積可近似為ΔSi≈ΔS′i＝f(eq\f(i－1,n))·Δx＝(eq\f(i－1,n))2·eq\f(1,n)，(i＝1,2，…，n)．③求和，Sn≈eq\i\su(i＝1,n,Δ)S′i＝eq\i\su(i＝1,n,f)(eq\f(i－1,n))Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(i－1,n))2·eq\f(1,n)＝0·eq\f(1,n)＋(eq\f(1,n))2·eq\f(1,n)＋…＋(eq\f(n－1,n))2·eq\f(1,n)＝eq\f(1,n3)·[12＋22＋…＋(n－1)2]＝eq\f(1,6)(1－eq\f(1,n))(2－eq\f(1,n))．④取極限eq\i\in(0,1,)x2dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))Sn＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)1－\f(1,n)2－\f(1,n)))＝eq\f(1,3).命題方向?利用定積分的幾何意義計算定積分典例2說明下列定積分所表示的意義，并依據(jù)其意義求出定積分的值：(1)eq\i\in(0,1,)2dx；(2)eq\i\in(eq\f(π,2),eq\f(5,2)π,)(1＋sinx)dx；(3)eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx.[解析](1)eq\i\in(0,1,)2dx表示的是如圖中陰影所示長方形的面積，由于這個長方形的面積為2，所以eq\i\in(0,1,)2dx＝2.(2)函數(shù)y＝1＋sinx的圖象如圖所示，eq\i\in(eq\f(π,2),eq\f(5,2)π,)(1＋sinx)dx＝2S矩形ABCD＝2π.(3)eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx表示的是圖中陰影所示半徑為2的半圓的面積，其值為2π，所以eq\i\in(－2,2,)eq\r(4－x2)dx＝2π.『規(guī)律總結(jié)』利用定積分所表示的幾何意義求eq\i\in(a,b,)f(x)dx的值的關(guān)鍵是確定由曲線y＝f(x)，直線x＝a，直線x＝b及x軸所圍成的平面圖形的形態(tài)．常見形態(tài)是三角形、直角梯形、矩形、圓等可求面積的平面圖形．┃┃跟蹤練習(xí)2__■用定積分的幾何意義求：(1)eq\i\in(0,1,)(3x＋2)dx；(2)eq\i\in(eq\f(π,2),eq\f(3π,2),)sinxdx.[解析]如圖1，陰影部分面積為eq\f(2＋5×1,2)＝eq\f(7,2)，從而eq\i\in(0,1,)(3x＋2)dx＝eq\f(7,2).(2)如圖2，由于A的面積等于B的面積，從而eq\i\in(eq\f(π,2),eq\f(3π,2),)sinxdx＝0.命題方向?利用定積分的性質(zhì)求定積分典例3已知eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(1,4)，eq\i\in(1,2,)x3dx＝eq\f(15,4)，eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(7,3)，eq\i\in(2,4,)x2dx＝eq\f(56,3)，求：(1)eq\i\in(0,2,)3x3dx；(2)eq\i\in(1,4,)6x2dx；(3)eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx.[解析](1)eq\i\in(0,2,)3x3dx＝3eq\i\in(0,2,)x3dx＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\in(0,1,)x3dx＋\i\in(1,2,)x3dx))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(15,4)))＝12.(2)eq\i\in(1,4,)6x2dx＝6eq\i\in(1,4,)x2dx＝6(eq\i\in(1,2,)x2dx＋eq\i\in(2,4,)x2dx)＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)＋\f(56,3)))＝126.(3)eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx＝3eq\i\in(1,2,)x2dx－2eq\i\in(1,2,)x3dx＝3×eq\f(7,3)－2×eq\f(15,4)＝－eq\f(1,2).『規(guī)律總結(jié)』定積分的性質(zhì)在做題時常常用到，不但可以把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，而且在運算方面更為簡便．另外，若函數(shù)f(x)的奇偶性已經(jīng)明確，我們還有下面的結(jié)論，若f(x)在[－a，a]上連續(xù)，則：(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝0；(2)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝2eq\i\in(0,a,)f(x)dx.┃┃跟蹤練習(xí)3__■已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x∈[0，2，,4－x，x∈[2，3，,\f(5,2)－\f(x,2)，x∈[3，5]，))求f(x)在區(qū)間[0,5]上的定積分．[解析]由定積分的幾何意義知eq\i\in(0,2,)xdx＝eq\f(1,2)×2×2＝2，eq\i\in(2,3,)(4－x)dx＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1＝eq\f(3,2)，eq\i\in(3,5,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－\f(x,2)))dx＝eq\f(1,2)×2×1＝1，所以eq\i\in(0,5,)f(x)dx＝eq\i\in(0,2,)xdx＋eq\i\in(2,3,)(4－x)dx＋eq\i\in(3,5,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－\f(x,2)))dx＝2＋eq\f(3,2)＋1＝eq\f(9,2).學(xué)科核心素養(yǎng)利用定積分求平面圖形的面積定積分的性質(zhì)主要涉及定積分的線性運算，這是解確定積分計算問題的重要工具，留意這些性質(zhì)的正用和逆用及變形應(yīng)用．主要考查定積分表示平面圖形的面積．典例4將下列曲線圍成的平面區(qū)域的面積用定積分表示．(1)y＝0，y＝eq\r(x)，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y(tǒng)2.[思路分析]可先作出函數(shù)圖象，再依據(jù)圖象及幾何意義把圍成的平面區(qū)域的面積進行表示．[解析](1)曲線所圍成的區(qū)域如圖(1)所示，設(shè)此面積為S，則S＝eq\i\in(0,2,)eq\r(x)dx(2)曲線所圍成的平面區(qū)域如圖(2)所示，S＝A1＋A2，A1由y＝eq\r(x)，y＝－eq\r(x)，x＝1圍成；A2由y＝eq\r(x)，y＝x－2，x＝1和x＝4圍成．∴A1＝eq\i\in(0,1,)[eq\r(x)－(－eq\r(x))]dx，A2＝eq\i\in(1,4,)[eq\r(x)－(x－2)]dx，∴S＝eq\i\in(0,1,)2eq\r(x)dx＋eq\i\in(1,4,)(eq\r(x)－x＋2)dx.『規(guī)律總結(jié)』用定積分表示曲線圍成的平面區(qū)域的面積的步驟是：(1)精確畫出各曲線圍成的平面區(qū)域；(2)把平面區(qū)域分割成簡單表示的幾部分，同時要留意x軸下方有沒有區(qū)域；(3)解由曲線方程組成的方程組，確定積分的上、下限；(4)依據(jù)定積分的性質(zhì)寫出結(jié)果．┃┃跟蹤練習(xí)4__■(1)由y＝cosx，x＝0，x＝eq\f(π,2)，y＝0所圍成的圖形的面積表示為定積分的形式是__eq\i\in(0,eq\f(π,2),)cosxdx__.(2)利用定積分的幾何意義求eq\i\in(－3,0,)eq\r(9－x2)dx.[解析](1)由定積分的定義和幾何意義求解．(2)如圖，定積