九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型通關(guān)講解練（滬科版）-重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破11解直角三角形之“疊合式”模型（原卷版）

重難點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破11解直角三角形之“疊合式”模型【知識(shí)梳理】【考點(diǎn)剖析】一、單選題1．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在處測(cè)得點(diǎn)在北偏東方向上，在處測(cè)得點(diǎn)在北偏東方向上，若米，則點(diǎn)到直線距離為（

）．

A．米 B．米 C．米 D．米2．（2021春·重慶綦江·九年級(jí)重慶市綦江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一天，小戰(zhàn)和同學(xué)們一起到操場(chǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿高度，他們首先在斜坡底部C地測(cè)得旗桿頂部A的仰角為45°，然后上到斜坡頂部D點(diǎn)處再測(cè)得旗桿頂部A點(diǎn)仰角為37°（身高忽略不計(jì)）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡長(zhǎng)為2.6米，旗桿AB所在旗臺(tái)高度EF為1.4米，旗臺(tái)底部、臺(tái)階底部、操場(chǎng)在同一水平面上．則請(qǐng)問(wèn)旗桿自身高度AB為（）米．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8二、填空題3．（2021春·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，某高速公路建設(shè)中需要測(cè)量某條江的寬度AB，飛機(jī)上的測(cè)量人員在C處測(cè)得A、B兩點(diǎn)的俯角分別為60°和45°．若飛機(jī)離地面的高度CO為900m，且點(diǎn)O，A，B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為_(kāi)______．（結(jié)果保留根號(hào)）4．（2020·山西太原·統(tǒng)考二模）圭表是度量日影長(zhǎng)度的一種天文儀器，由“圭”和“表兩個(gè)部件組成，垂直于地面的直桿叫表”，水平放置于地面且刻有刻度以測(cè)量影長(zhǎng)的標(biāo)尺叫“圭”如圖是小彬根據(jù)學(xué)校所在地理位置設(shè)計(jì)的圭表示意圖，其中冬至?xí)r正午陽(yáng)光入射角，夏至?xí)r正午陽(yáng)光入射角．已知“表”高，則“圭”上所刻冬至線與夏至線之間的距離約為_(kāi)______．（精確到；參考數(shù)據(jù)：）5．（2020秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，為了測(cè)量某條河的寬度，先在河的一岸邊任選一點(diǎn)A，又在河的另一岸邊取兩個(gè)點(diǎn)B、C，測(cè)得∠a=30°，∠β=45°，量得BC的長(zhǎng)為200米，則河的寬度為_(kāi)________．（結(jié)果保留根號(hào)）三、解答題6．（2021秋·湖南永州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，王剛想測(cè)量樓CD的高度，樓在圍墻內(nèi)，王剛只能在圍墻外測(cè)量，他無(wú)法測(cè)得觀測(cè)點(diǎn)到樓底的距離，于是王剛在A處仰望樓頂，測(cè)得仰角為37°，再往樓的方向前進(jìn)30米至B處，測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?3°（A，B，C三點(diǎn)在一條直線上），求樓CD的高度（，，結(jié)果精確到1米，王剛的身高忽略不計(jì)）．7．（2020·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）科技改變生活，時(shí)代將對(duì)我們的生活產(chǎn)生意想不到的改變．某數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量信號(hào)塔的高度，如圖，在起點(diǎn)處用高米(米)的測(cè)量?jī)x測(cè)得信號(hào)塔的頂端的仰角為，在同一剖面沿水平地面向前走米到達(dá)處，測(cè)得頂端的仰角為，求信號(hào)塔的高度約為多少米?(精確到米．參考數(shù)據(jù)：)8．（2020·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在一次空中表演中，水平飛行的殲——10飛機(jī)在點(diǎn)發(fā)現(xiàn)航展觀禮臺(tái)在俯角為21°方向上.飛機(jī)繼續(xù)向前飛行了800米到達(dá)點(diǎn).此時(shí)測(cè)得點(diǎn)在點(diǎn)俯角為45°的方向上.請(qǐng)你計(jì)算當(dāng)飛機(jī)飛到點(diǎn)的正上方點(diǎn)時(shí)（點(diǎn)、、在同一直線上），豎直高度約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值：，，）9．（2020秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，山頂上有一個(gè)信號(hào)塔AC，已知信號(hào)塔高AC＝16米，在山腳下點(diǎn)B處測(cè)得塔底C的仰角是30°，塔頂A的仰角是45°，求山高CD（點(diǎn)A，C，D在同一條豎直線上）．（結(jié)果保留根號(hào)）10．（2020秋·四川涼山·九年級(jí)階段練習(xí)）四川省委書(shū)記杜青林、國(guó)家旅游局副局長(zhǎng)張希欽2006年12月16日向獲得“中國(guó)優(yōu)秀旅游城市”稱(chēng)號(hào)的西昌市授牌，并修建了標(biāo)志性建筑——馬踏飛燕，如圖．某學(xué)習(xí)小組把測(cè)量“馬踏飛燕”雕塑的最高點(diǎn)離地面的高度作為一次課題活動(dòng)，制定了測(cè)量方案，并完成了實(shí)地測(cè)量，測(cè)得結(jié)果如下表：課題測(cè)量“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度測(cè)量示意圖如圖，雕塑的最高點(diǎn)B到地面的高度為，在測(cè)點(diǎn)C用儀器測(cè)得點(diǎn)B的仰角為α，前進(jìn)一段距離到達(dá)測(cè)點(diǎn)E，再用該儀器測(cè)得點(diǎn)B的仰角為β，且點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)均在同一豎直平面內(nèi)，點(diǎn)A，C，E在同一條直線上．測(cè)量數(shù)據(jù)的度數(shù)的度數(shù)的長(zhǎng)度儀器（）的高31°42°3米1.65米請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助該小組求出“馬踏飛燕”雕塑最高點(diǎn)離地面的高度（結(jié)果保留到十分位）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）11．（2020春·新疆·九年級(jí)校考期末）如圖，利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度，如果標(biāo)桿BE長(zhǎng)1.2m，測(cè)得AB=1.6m，BC=8.4m，樓高CD是多少？12．（2019·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組欲利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量白塔的高度，測(cè)量過(guò)程如下：如圖，先在點(diǎn)處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂仰角為，然后沿方向前行12米到達(dá)點(diǎn)處，在點(diǎn)處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂仰角為，已知測(cè)角儀高為1米，、、三點(diǎn)在一條直線上，求塔的高度.（結(jié)果保留根號(hào)）13．（2020·河南商丘·校考模擬預(yù)測(cè)）炎黃二帝巨型塑像位于河南省鄭州市西北部三十公里之處的黃河風(fēng)景名勝區(qū)向陽(yáng)山（始祖山）上，炎黃二帝巨塑背依邙山，面向黃河．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)為測(cè)量像體的整體高度，在地面上選取兩點(diǎn)和，且點(diǎn)，及其中像體在同一平面內(nèi)，像體底部與點(diǎn)，在同一條直線上，同學(xué)們利用高1m的測(cè)傾儀在處測(cè)得像頂?shù)难鼋菫椋谔帨y(cè)得像頂?shù)难鼋菫?，且．根?jù)測(cè)量小組提供的數(shù)據(jù)，求該塑像的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，．）14．（2021·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，一艘漁船以40海里/小時(shí)的速度由西向東追趕魚(yú)群，在處測(cè)得小島在漁船的北偏東方向；半小時(shí)后，漁船到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得小島在漁船的北偏東方向．已知以小島為中心，周?chē)?8海里以?xún)?nèi)為軍事演習(xí)著彈危險(xiǎn)區(qū)．如果這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚(yú)群，是否有著彈危險(xiǎn)？15．（2020春·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)河南師大附中?？茧A段練習(xí)）某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的活動(dòng)課題是“測(cè)量物體高度”．小組成員小明與小紅分別采用不同的方案測(cè)量同一個(gè)底面為圓形的古塔高度，以下是他們研究報(bào)告的部分記錄內(nèi)容：課題：測(cè)量古塔的高度小明的研究報(bào)告小紅的研究報(bào)告圖示測(cè)量方案與測(cè)量數(shù)據(jù)

用距離地面高度為1.6m的測(cè)角器測(cè)出古塔頂端的仰角為35°，再用皮尺測(cè)得測(cè)角器所在位置與古塔底部邊緣的最短距離為30m．在點(diǎn)A用距離地面高度為1.6m的測(cè)角器測(cè)出古塔頂端的仰角為17°，然后沿AD方向走58.8m到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)出古塔頂端的仰角為45°．參考數(shù)據(jù)sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.30，≈1.41計(jì)算古塔高度（結(jié)果精確到0.1m）30×tan35°+1.6≈22.6（m）（1）寫(xiě)出小紅研究報(bào)告中“計(jì)算古塔高度”的解答過(guò)程；（2）數(shù)學(xué)老師說(shuō)小紅的結(jié)果較準(zhǔn)確，而小明的結(jié)果與古塔的實(shí)際高度偏差較大．針對(duì)小明的測(cè)量方案分析測(cè)量發(fā)生偏差的原因；（3）利用小明與小紅的測(cè)量數(shù)據(jù)，估算該古塔底面圓直徑的長(zhǎng)度為m．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、填空題1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在一筆直的海岸線上有相距的兩個(gè)觀測(cè)站，站在站的正東方向上，從站測(cè)得船在北偏東的方向上，從站測(cè)得船在北偏東的方向上，則船到海岸線的距離是________．

2．（2023·湖北黃石·校考一模）永定塔是北京園博園的標(biāo)志性建筑，其外觀為遼金風(fēng)格的八角九層木塔，游客可登至塔頂，俯瞰園博園全貌．如圖，在A處測(cè)得∠CAD＝30°，在B處測(cè)得∠CBD＝45°，并測(cè)得AB＝52米，那么永定塔的高CD約是_____米．（≈1.4，≈1.7，結(jié)果保留整數(shù)）二、解答題3．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，在一個(gè)坡度的山坡的頂端處豎直立著一個(gè)電視發(fā)射塔．為測(cè)得電視發(fā)射塔的高度，小明站在山腳的平地處測(cè)得電視發(fā)射塔的頂端的仰角為40°，若測(cè)得斜坡長(zhǎng)為米，點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離米，求電視發(fā)射塔的高度．（參考數(shù)值：，，，結(jié)果保留整數(shù)）4．（2022春·北京東城·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，試求CD的長(zhǎng)．5．（2022春·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）為了測(cè)量某山（如圖所示）的高度，甲在山頂測(cè)得處的俯角為，處的俯角為，乙在山下測(cè)得，之間的距離為100米．已知，，在同一水平面的同一直線上，求山高（結(jié)果保留根號(hào)）．6．（2021·貴州銅仁·統(tǒng)考三模）如圖，小明去觀賞一棵千年古銀杏樹(shù)，當(dāng)走到點(diǎn)A處時(shí)，測(cè)得銀杏樹(shù)CD的仰角為30°，當(dāng)向樹(shù)前進(jìn)40米到B處時(shí)，又測(cè)得樹(shù)頂端C的仰角為75°．請(qǐng)求出這棵千年古銀杏樹(shù)的高．（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：tan75°＝2+，＝1.732，＝1.414）7．（2021秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某輪船在海上向正東方向航行，在點(diǎn)處測(cè)得小島在北偏東方向，之后輪船繼續(xù)向正東方向行駛到達(dá)處，這時(shí)小島在船的北偏東方向海里處．（1）求輪船從處到處的航速．（2）如果輪船按原速繼續(xù)向正東方向航行，再經(jīng)過(guò)多少時(shí)間輪船才恰好位于小島的東南方向？8．（2023春·重慶渝北·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某大樓的頂部豎有一塊宣傳牌，小明在斜坡的坡腳處測(cè)得宣傳牌底部的仰角為，沿斜坡向上走到處測(cè)得宣傳牌頂部的仰角為，已知斜坡的坡度，米，米，求宣傳牌的高度．（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：，，9．（2023春·湖南永州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，學(xué)?？萍夹〗M計(jì)劃測(cè)量一處電信塔的高度，小明在A處用儀器測(cè)得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛離地面1.6m，你能計(jì)算出塔的高度DE嗎？寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程．10．（2022·河南周口·周口市第一初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（如圖所示，城關(guān)幼兒園為加強(qiáng)安全管理，決定將園內(nèi)的滑滑板的傾斜角由45°降為30°，已知原滑滑板AB的長(zhǎng)為4米，點(diǎn)D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板會(huì)加長(zhǎng)多少米？（2）若滑滑板的正前方能有3米長(zhǎng)的空地就能保證安全，原滑滑板的前方有6米長(zhǎng)的空地，像這樣改造是否可行？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，以上結(jié)果均保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位）11．（2023春·江蘇南京·九年級(jí)南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1是某商場(chǎng)從一樓到二樓的自動(dòng)扶梯，圖2是側(cè)面示意圖，MN是二樓樓頂，MN∥PQ，點(diǎn)C在MN上，且位于自動(dòng)扶梯頂端B點(diǎn)的正上方，BC⊥MN．測(cè)得AB＝10米，在自動(dòng)扶梯底端A處測(cè)得點(diǎn)C的仰角為50°，點(diǎn)B的仰角為30°，求二樓的層高BC（結(jié)果保留根號(hào)）（參考數(shù)據(jù)：sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.20）12．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）某校初三課外活動(dòng)小組，在測(cè)量樹(shù)高的一次活動(dòng)中，如圖所示，測(cè)得樹(shù)底部中心到斜坡底的水平距離為.在陽(yáng)光下某一時(shí)刻測(cè)得米的標(biāo)桿影長(zhǎng)為，樹(shù)影落在斜坡上的部分.已知斜坡的坡比i=1：，求樹(shù)高.(結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，，≈1.73)13．（2022秋·湖南邵陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）2019年10月1日，中華人民共和國(guó)成立70周年，成都市天府廣場(chǎng)舉行了盛大的升旗儀式.我市部分學(xué)生有幸見(jiàn)證了這一激動(dòng)人心的時(shí)刻，并在現(xiàn)場(chǎng)作了如下測(cè)量工作；身高1.8米的某同學(xué)（圖中AE部分）在護(hù)旗手開(kāi)始走正步的點(diǎn)A處測(cè)得旗桿頂部D的仰角為，在護(hù)旗手結(jié)束走正步的點(diǎn)B處測(cè)得旗桿