2024-2025學年高二上學期期末數(shù)學考點《考前終極刷題二》含答案解析

高中PAGE1高中試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁考前終極刷題02（高頻解答專練）1．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，底面，.

(1)求證：平面平面；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值.2．如圖，在三棱錐中，分別是的中點.(1)求證:平面；(2)若四面體的體積為，求；(3)若，求直線AD與平面所成角的正弦值的最大值.3．如圖，四棱錐的底面是邊長為2菱形，，，分別是，的中點.(1)求證；平面；(2)若，，，求平面與平面所成角的余弦值.4．如圖，在圓錐中，為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點，點在線段上，，．

(1)證明：平面；(2)若圓錐的側(cè)面積為，求二面角的正弦值．5．如圖，在四棱錐中，，

，，平面平面．(1)求證：平面；(2)點Q在棱上，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.6．解答下列問題.(1)已知直線與直線相交，交點坐標為，求的值；(2)已知直線過點，且點到直線的距離為，求直線的方程.7．已知圓．(1)證明：圓C過定點；(2)當時，點P為直線上的動點，過P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，求四邊形面積最小值，并寫出此時直線AB的方程．8．已知圓，點，.(1)若圓上存在點滿足，求半徑的取值范圍；(2)對于線段上的任意一點，若在圓上都存在不同的兩點，，使得點是線段的中點，求的取值范圍.9．已知圓的方程：(1)若直線與圓C沒有公共點，求m的取值范圍；(2)當圓被直線截得的弦長為時，求m的值．10．已知雙曲線的虛軸長為，離心率為，分別為的左、右頂點，直線交的左、右兩支分別于，兩點．(1)求的方程；(2)記斜率分別為，若，求的值．11．設(shè)橢圓的離心率為，短軸長為4.(1)求橢圓的方程；(2)過點，且斜率為的直線與橢圓相交于兩點.①若直線與軸相交于點，且，求的值；②已知橢圓的上?下頂點分別為，是否存在實數(shù)，使直線平行于直線？12．已知直線與關(guān)于拋物線的準線對稱.(1)求的方程；(2)若過的焦點的直線與交于兩點，且，求的斜率.13．設(shè)為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點，點在橢圓上，點(1)求橢圓的方程；(2)過點作直線與交于兩點，的面積為，求的方程.

14．已知拋物線：，在上有一點位于第一象限，設(shè)的縱坐標為．(1)若到拋物線準線的距離為，求的值；(2)當時，若軸上存在一點，使的中點在拋物線上，求到直線的距離；(3)直線：，拋物線上有一異于點的動點，在直線上的投影為點，直線與直線的交點為若在的位置變化過程中，恒成立，求的取值范圍．15．已知橢圓的離心率為，橢圓上一點到左焦點的距離的最小值為.(1)求橢圓的標準方程；(2)已知直線與橢圓交于、兩點，且，求△OMN面積的取值范圍.16．已知動點與定點的距離和P到定直線的距離的比是常數(shù)，記點P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的標準方程；(2)設(shè)點，若曲線C上兩點M，N均在x軸上方，且，，求直線FM的斜率.17．已知橢圓的左?右焦點分別為，，為橢圓上的動點，的面積的最大值為，且點到點的最短距離是2.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作斜率為的直線，交橢圓于，兩點，交拋物線：于，兩點，且，求直線的方程.18．對于橢圓：，我們稱雙曲線：為其伴隨雙曲線．已知橢圓（），它的離心率是其伴隨雙曲線離心率的倍．(1)求橢圓伴隨雙曲線的方程；(2)點為的上焦點，過的直線與上支交于，兩點，設(shè)的面積為，（其中為坐標原點）．若，求．19．已知和為橢圓：上兩點.(1)求橢圓的離心率；(2)過點的直線與橢圓交于，兩點（，不在軸上）.（i）若的面積為，求直線的方程；（ii）直線和分別與軸交于，兩點，求證：以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值.20．已知橢圓過點，其長軸長為4，下頂點為，若作與軸不重合且不平行的直線交橢圓于兩點，直線分別與軸交于兩點.(1)求橢圓的方程；(2)當點橫坐標的乘積為時，試探究直線是否過定點？若過定點，請求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由.21．已知為拋物線的焦點，為坐標原點，過焦點作一條直線交于A，B兩點，點在的準線上，且直線MF的斜率為的面積為1.(1)求拋物線的方程；(2)試問在上是否存在定點，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)過焦點且與軸垂直的直線與拋物線交于P，Q兩點，求證：直線AP與BQ的交點在一條定直線上.22．在平面直角坐標系中，為直線上一動點，橢圓：的左右頂點分別為，，上、下頂點分別為，．若直線交于另一點，直線交于另一點．(1)求證：直線過定點，并求出定點坐標；(2)求四邊形面積的最大值．23．已知數(shù)列的首項，且滿足，設(shè).(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最小正整數(shù)．24．已知等差數(shù)列的前項和為，若，.(1)求數(shù)列的通項公式及前項和；(2)若，求數(shù)列的前項和.25．已知數(shù)列滿足，點在直線上.(1)設(shè)，證明為等比數(shù)列：(2)求數(shù)列的前項和；(3)設(shè)的前項和為，證明：.26．等差數(shù)列的前項和為，已知，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.27．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，.(1)求m的值及的通項公式；(2)令，，求證：.28．已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線為，求實數(shù)的值；(2)已知函數(shù)，且對于任意，，求實數(shù)的取值范圍.29．已知函數(shù)，其中.(1)已知,若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求的最小值；(2)求證：存在常數(shù)使得,并求出的值；(3)在（2）的條件下,若方程存在三個根,,,且,求的取值范圍.30．函數(shù)的導函數(shù)為，函數(shù)的導函數(shù)是，已知函數(shù).(1)若，求的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，討論的零點個數(shù).31．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，不等式在區(qū)間上恒成立時，求的取值范圍.32．已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的最小值；(2)設(shè)方程的所有根之和為T，且，求整數(shù)n的值；(3)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．33．已知函數(shù)．(1)證明：為奇函數(shù)；(2)求的導函數(shù)的最小值；(3)若恰有三個零點，求的取值范圍．34．若存在有限個，使得，且不是偶函數(shù)，則稱為“缺陷偶函數(shù)”，稱為的偶點.(1)證明：為“缺陷偶函數(shù)”，且偶點唯一.(2)對任意x，，函數(shù)，都滿足.①若是“缺陷偶函數(shù)”，證明：函數(shù)有2個極值點.②若，證明：當時，.參考數(shù)據(jù)：，.35．設(shè)是定義域為的函數(shù)，當時，.(1)已知在區(qū)間上嚴格減，且對任意，有，證明：函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)；(2)已知，且對任意，當時，有，若當時，函數(shù)取得極值，求實數(shù)的值；(3)已知，且對任意，當時，有，證明：.36．若函數(shù)在區(qū)間上有定義，在區(qū)間上的值域為，且，則稱是的一個“值域封閉區(qū)間”.(1)已知函數(shù)，區(qū)間且是的一個“值域封閉區(qū)間”，求的取值范圍；(2)已知函數(shù)，設(shè)集合.（i）求集合中元素的個數(shù)；（ii）用表示區(qū)間的長度，設(shè)為集合中的最大元素.證明：存在唯一長度為的閉區(qū)間，使得是的一個“值域封閉區(qū)間”.37．對于，若數(shù)列滿足，則稱這個數(shù)列為“優(yōu)美數(shù)列”．(1)已知數(shù)列是“優(yōu)美數(shù)列”，求實數(shù)的取值范圍；(2)若首項為1的等差數(shù)列為“優(yōu)美數(shù)列”，且其前項和滿足恒成立，求的公差的取值范圍；(3)已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“優(yōu)美數(shù)列”，數(shù)列不是“優(yōu)美數(shù)列”，若，試判斷數(shù)列是否為“優(yōu)美數(shù)列”，并說明理由．38．已知正邊形的每個頂點上有一個數(shù).定義一個變換，其將正邊形每個頂點上的數(shù)變換成相鄰兩個頂點上的數(shù)的平均數(shù)，比如：記個頂點上的個數(shù)順時針排列依次為，則，為整數(shù)，，，.設(shè)（共個，表示次變換）(1)若，，，求，，，；(2)對于正邊形，若，，證明：；(3)設(shè)，，，證明：存在，使得不全為整數(shù).39．設(shè)數(shù)列的前n項和為，若對任意的，都有（k為非零常數(shù)），則稱數(shù)列為“和等比數(shù)列”，其中k為和公比.(1)若，判斷是否為“和等比數(shù)列”.(2)已知是首項為1，公差不為0的等差數(shù)列，且是“和等比數(shù)列”，，數(shù)列的前n項和為.①求的和公比；②求；③若不等式對任意的n∈N+恒成立，求m40．設(shè)任意一個無窮數(shù)列的前項之積為，若，，則稱是數(shù)列．(1)若是首項為，公差為的等差數(shù)列，請判斷是否為數(shù)列？并說明理由；(2)證明：若的通項公式為，則不是數(shù)列；(3)設(shè)是無窮等比數(shù)列，其首項，公比為，若是數(shù)列，求的值．考前終極刷題02（高頻解答專練）1．如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，底面，.

(1)求證：平面平面；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【知識點】證明線面垂直、證明面面垂直、線面垂直證明線線垂直、面面角的向量求法【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)、判定，面面垂直的判定推理得證.（2）過作直線，以點為原點建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解.【詳解】（1）在四棱錐中，由底面，底面，得，由，得，而平面，則平面，又平面，所以平面平面.（2）過作直線，由底面，得底面，直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，

令，又為平行四邊形，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，所以平面與平面的夾角的余弦值為.2．如圖，在三棱錐中，分別是的中點.(1)求證:平面；(2)若四面體的體積為，求；(3)若，求直線AD與平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【知識點】錐體體積的有關(guān)計算、證明線面垂直、線面角的向量求法【分析】（1）證明，可證線面垂直；（2）由已知四面體體積求得體積，再由體積公式可得；（3）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求線面角．【詳解】（1）.的中點為，則..，則，故，即.因為，，平面，平面，所以平面.（2）因為，所以.而，所以，解得：.（3）過作軸垂直平面，以方向分別為則，，設(shè)平面法向量為由得，所以為平面的一個法向量，設(shè)與平面所成角為，所以所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．3．如圖，四棱錐的底面是邊長為2菱形，，，分別是，的中點.(1)求證；平面；(2)若，，，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【知識點】證明線面平行、證明線面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)構(gòu)造線線平行，再利用線面平行的判定證明即可；（2）根據(jù)線面垂直的判定先證明平面，再建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量計算面面夾角即可.【詳解】（1）取的中點為，連接，.點，分別是，的中點，是的中位線，即，，在菱形中，，.，，即四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，平面.（2）連接，，，，，平面，平面，平面，又平面，，，又，則，所以.即直線，，兩兩垂直.如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則，，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由得取.由得取.設(shè)平面與平面所成角為，則，即平面與平面所成角的余弦值為.4．如圖，在圓錐中，為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點，點在線段上，，．

(1)證明：平面；(2)若圓錐的側(cè)面積為，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】證明線面垂直、空間位置關(guān)系的向量證明、面面角的向量求法【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證明、，然后利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）根據(jù)圓錐的側(cè)面積求得及，求出平面、平面的一個法向量，利用向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）平面，，故以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，與同向的方向為軸正方向建立空間直角坐標系．設(shè)，故，，，，，，，．，．故，，，，平面，平面；（2）圓錐的側(cè)面積，，,由（1）可知，為平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，而，，故，令得，則，所以二面角的正弦值為．5．如圖，在四棱錐中，，

，，平面平面．(1)求證：平面；(2)點Q在棱上，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【知識點】證明線面垂直、面面垂直證線面垂直、已知線面角求其他量、面面角的向量求法【分析】（1）若分別為中點，連接，易得、、、，再應用面面垂直的性質(zhì)得面，由線面垂直的性質(zhì)證、，最后綜合線面垂直的性質(zhì)及判斷定理證結(jié)論；（2）構(gòu)建合適空間直角坐標系，首先根據(jù)線面角的向量求法列方程求Q位置，再應用向量法求面面角的余弦值.【詳解】（1）若分別為中點，連接，由，，則為直角梯形，且為中位線，所以，且，由，則，又，可得，面面，面，面面，則面，面，故，則，由面，則，又，均在面內(nèi)，所以面，面，可得，所以，故，即，由，則，而均在面內(nèi)，所以平面.（2）由（1）可構(gòu)建如上圖所示的空間直角坐標系，所以，令且，則，則，，，若是面的一個法向量，則，令，則，由題意，整理得，故，則，若是面的一個法向量，則，令，則，所以平面與平面夾角的余弦值.6．解答下列問題.(1)已知直線與直線相交，交點坐標為，求的值；(2)已知直線過點，且點到直線的距離為，求直線的方程.【答案】(1)；(2)和【知識點】求點到直線的距離、直線過定點問題、直線的點斜式方程及辨析【分析】（1）利用直線的交點坐標同時在兩直線上解方程組即可得到結(jié)果；（2）分直線的斜率存在與否，不存在時，直接驗證即可；存在時利用點斜式設(shè)出直線方程，再由點到直線的距離解出斜率，得到直線方程即可.【詳解】（1）由題意得，即解得；（2）顯然直線：滿足條件.此時，直線的斜率不存在.當直線的斜率存在時，設(shè)，即.點到直線的距離為，，即，得，得直線綜上所述，直線的方程為和7．已知圓．(1)證明：圓C過定點；(2)當時，點P為直線上的動點，過P作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，求四邊形面積最小值，并寫出此時直線AB的方程．【答案】(1)證明見解析(2)面積最小值為，【知識點】向量垂直的坐標表示、相交圓的公共弦方程、直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值【分析】（1）依題意改寫圓的方程，令參數(shù)的系數(shù)為0即可；（2）依題意表示出所求面積，再用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】（1）依題意，將圓的方程化為，令，即，則恒成立，解得，即圓過定點1,0；（2）當時，圓，直線，設(shè)，依題意四邊形的面積，當取得最小值時，四邊形的面積最小，又，即當PC最小時，四邊形的面積最小，圓心到直線的距離即為PC的最小值，即，即四邊形面積最小值為，此時直線與直線垂直，所以直線的方程為，與直線聯(lián)立，解得，設(shè)以為直徑的圓上任意一點：，故圓的方程為，即，又圓，兩式作差可得直線方程.

8．已知圓，點，.(1)若圓上存在點滿足，求半徑的取值范圍；(2)對于線段上的任意一點，若在圓上都存在不同的兩點，，使得點是線段的中點，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)或范圍【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系可得以為直徑的圓的方程為，即可根據(jù)兩圓位置關(guān)系求解.（2）根據(jù)中點坐標公式得到，，再將兩點的坐標代入圓方程，建立方程組，根據(jù)方程組有解轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系進行求解．【詳解】（1）的中點為，所以以為直徑的圓的方程為，由于圓上存在點滿足，則P在以為直徑的圓上，故該圓與有交點即可，所以,解得（2）由題可知，圓，所以圓心，直線，因為為線段上的任意一點，所以設(shè)，，，因為為的中點，所以，又因為，都在以點為圓心的圓上，所以，即，所以方程組有解，即為圓心為半徑的圓與為圓心為半徑的圓有公共點，兩圓圓心距離為，所以對恒成立，因為時，，所以，解得，又因為在圓外，所以恒成立，所以，，所以，所以，9．已知圓的方程：(1)若直線與圓C沒有公共點，求m的取值范圍；(2)當圓被直線截得的弦長為時，求m的值．【答案】(1)(2)【知識點】由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、已知圓的弦長求方程或參數(shù)【分析】（1）先將圓改成標準方程，可得到圓心和半徑，利用直線與圓C沒有公共點列出不等式即可求解；（2）根據(jù)圓中弦心距、半徑、半弦長的關(guān)系列出方程求解即可.【詳解】（1），，曲線表示圓，，即，又因為圓與直線沒有公共點，所以圓心到直線即的距離大于半徑，即，解得（2）由（1）可知，圓心坐標為，又直線，圓心到直線的距離，直線截得的弦長為，，解得：10．已知雙曲線的虛軸長為，離心率為，分別為的左、右頂點，直線交的左、右兩支分別于，兩點．(1)求的方程；(2)記斜率分別為，若，求的值．【答案】(1)；(2).【知識點】斜率公式的應用、根據(jù)離心率求雙曲線的標準方程、根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、根據(jù)韋達定理求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可求得C的方程.（2）設(shè)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達定理及斜率坐標公式及建立方程即可求出值.【詳解】（1）依題意，，由雙曲線的離心率為，得，即，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）知，，設(shè)點，，由消去得，由已知，，且，所以，所以，，而，由，得，即，整理得，即，則，即，于是，要恒成立，則，解得，滿足，所以.【點睛】思路點睛：直線與圓錐曲線結(jié)合問題，通常要設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再根據(jù)題目條件列出方程，或得到弦長或面積，本題中已經(jīng)給出等量關(guān)系，只需代入化簡整理即可.11．設(shè)橢圓的離心率為，短軸長為4.(1)求橢圓的方程；(2)過點，且斜率為的直線與橢圓相交于兩點.①若直線與軸相交于點，且，求的值；②已知橢圓的上?下頂點分別為，是否存在實數(shù)，使直線平行于直線？【答案】(1);(2)①，②不存在.【知識點】根據(jù)離心率求橢圓的標準方程、求直線與橢圓的交點坐標、根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、橢圓中向量共線比例問題【分析】（1）利用橢圓方程的知識，即可求解；（2）①利用直線與橢圓聯(lián)立方程組，把轉(zhuǎn)為坐標關(guān)系，再結(jié)合韋達定理，即可求解；②先假設(shè)存在平行關(guān)系，再利用斜率關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系，同樣結(jié)合韋達定理，求解判斷.【詳解】（1）由題意，有，，，解得，故橢圓的方程為.（2）根據(jù)題意可知直線，與聯(lián)立，得，其中，設(shè)，，.①由，則有，即，有，解得.②由橢圓方程可知上下頂點，假設(shè)存在直線平行于直線，有，有，又，有，得，有，代入，得，則有，代入，有，整理，得，有，顯然矛盾，故不存在實數(shù)，使直線平行于直線.12．已知直線與關(guān)于拋物線的準線對稱.(1)求的方程；(2)若過的焦點的直線與交于兩點，且，求的斜率.【答案】(1)(2)【知識點】由弦長求參數(shù)、直線與拋物線交點相關(guān)問題、根據(jù)韋達定理求參數(shù)【分析】（1）由對稱關(guān)系求出準線方程，可得拋物線方程；（2）設(shè)，直曲聯(lián)立，表示出韋達定理，再由拋物線的焦點弦公式求解即可；【詳解】（1）由題意得的準線方程為.由，得，所以的方程為.（2）易得的斜率存在，的焦點為.設(shè)，聯(lián)立得，得則得，即的斜率為.13．設(shè)為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點，點在橢圓上，點(1)求橢圓的方程；(2)過點作直線與交于兩點，的面積為，求的方程.【答案】(1)(2)或【知識點】根據(jù)橢圓過的點求標準方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積、根據(jù)韋達定理求參數(shù)【分析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，由四邊形的面積為與，可求，進而將代入橢圓方程可求值，從而得到橢圓的方程；（2）設(shè),與橢圓聯(lián)立方程組，可得，進而求的值，從而由的面積可得的值，即得到直線的方程.【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為，因為，所以四邊形為平行四邊形，其面積設(shè)為S，則，所以，所以，即又點在橢圓，則，整理得，解得，所以橢圓的方程為.（2）易知的斜率不為，設(shè)，聯(lián)立，得，又，所以.所以，由，解得，所以的方程為或.

14．已知拋物線：，在上有一點位于第一象限，設(shè)的縱坐標為．(1)若到拋物線準線的距離為，求的值；(2)當時，若軸上存在一點，使的中點在拋物線上，求到直線的距離；(3)直線：，拋物線上有一異于點的動點，在直線上的投影為點，直線與直線的交點為若在的位置變化過程中，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【知識點】直線的點斜式方程及辨析、求點到直線的距離、拋物線定義的理解、拋物線中的參數(shù)范圍問題【分析】（1）先求出點的橫坐標，代入拋物線方程即可求解；（2）先通過中點在拋物線上求出點的坐標，進一步求出直線方程，利用點到直線距離公式求解即可；（3）設(shè)，聯(lián)立方程求出點的坐標，根據(jù)恒成立，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】（1）拋物線：的準線為，由于到拋物線準線的距離為，則點的橫坐標為，則，解得；（2）當時，點的橫坐標為，則，設(shè)，則的中點為，由題意可得，解得，所以B?2,0，則，由點斜式可得，直線的方程為，即，所以原點到直線的距離為；（3）如圖，

設(shè)，則，故直線的方程為，令，可得，即，則，依題意，恒成立，又，則最小值為，即，即，則，解得，又當時，，當且僅當時等號成立，而，即當時，也符合題意．故實數(shù)的取值范圍為．15．已知橢圓的離心率為，橢圓上一點到左焦點的距離的最小值為.(1)求橢圓的標準方程；(2)已知直線與橢圓交于、兩點，且，求△OMN面積的取值范圍.【答案】(1)；(2).【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、根據(jù)離心率求橢圓的標準方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積、求橢圓中的最值問題【分析】（1）設(shè)出橢圓的標準方程，由離心率及最小距離求出即可.（2）按直線是否垂直于坐標軸分類，求出，進而表示出三角形面積，再借助二次函數(shù)求出范圍即可.【詳解】（1）依題意，設(shè)橢圓的標準方程為，半焦距為，由橢圓的離心率為，得，則，設(shè)，則，橢圓的左焦點，則，當且僅當時取等號，因此，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）當直線不垂直于坐標軸時，直線的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為，由消去得，則，直線，同理，則△OMN的面積，令，，當直線垂直于坐標軸時，由對稱性，不妨令，，所以△OMN面積的取值范圍是.16．已知動點與定點的距離和P到定直線的距離的比是常數(shù)，記點P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的標準方程；(2)設(shè)點，若曲線C上兩點M，N均在x軸上方，且，，求直線FM的斜率.【答案】(1)(2)【知識點】軌跡問題——橢圓、根據(jù)弦長求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)距離公式列出方程即可求解；（2）設(shè)，可得直線的方程，呢絨聯(lián)立方程組，結(jié)合對稱性與弦長公式列出方程即可求解.【詳解】（1）由題意，，整理化簡得，，所以曲線C的標準方程為.（2）由題意，直線的斜率都存在，設(shè)，則直線的方程為，分別延長，交曲線于點，設(shè)，聯(lián)立，即，則，根據(jù)對稱性，可得，則，即，解得，所以直線FM的斜率為.17．已知橢圓的左?右焦點分別為，，為橢圓上的動點，的面積的最大值為，且點到點的最短距離是2.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作斜率為的直線，交橢圓于，兩點，交拋物線：于，兩點，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積、求橢圓中的最值問題、根據(jù)弦長求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)面積及點到焦點的距離最小值得出方程組求出,即可得出橢圓方程；（2）先設(shè)直線再聯(lián)立方程組再應用弦長公式分別求出，再代入計算求參，即可得出直線的方程.【詳解】（1）由題意可得解得，則橢圓的標準方程為.（2）由（1）可知F21,0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得，則，從而，故.聯(lián)立整理得，則，故.因為，所以，整理得，即，解得.因為，所以，所以，則直線的方程為.18．對于橢圓：，我們稱雙曲線：為其伴隨雙曲線．已知橢圓（），它的離心率是其伴隨雙曲線離心率的倍．(1)求橢圓伴隨雙曲線的方程；(2)點為的上焦點，過的直線與上支交于，兩點，設(shè)的面積為，（其中為坐標原點）．若，求．【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)離心率求雙曲線的標準方程、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、雙曲線中的定值問題【分析】（1）設(shè)橢圓與其伴隨雙曲線的離心率分別為，，依題意可得，，根據(jù)離心率公式得到方程，求出，即可得解；（2）設(shè)直線的斜率為，Ax1,y1，Bx2,y2，直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達定理，求出，由，求出，再由可得【詳解】（1）設(shè)橢圓C與其伴隨雙曲線的離心率分別為，，依題意可得，，即，即，解得，所以橢圓C：，則橢圓C伴隨雙曲線的方程為．（2）

由（1）可知，，設(shè)直線l的斜率為k，，，則直線l的方程，與雙曲線聯(lián)立并消去y，得，則，所以，，則，又，又，解得或（舍去），又，所以，因為，所以．19．已知和為橢圓：上兩點.(1)求橢圓的離心率；(2)過點的直線與橢圓交于，兩點（，不在軸上）.（i）若的面積為，求直線的方程；（ii）直線和分別與軸交于，兩點，求證：以為直徑的圓被軸截得的弦長為定值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、橢圓中三角形（四邊形）的面積、橢圓中的定值問題【分析】（1）根據(jù)給定的點A和B在橢圓上，以及橢圓的離心率公式求出橢圓的離心率；（2）（i）借助韋達定理和面積公式計算即可；（ii）可借助韋達定理和圓的弦長公式計算即可.【詳解】（1）由可知，求出，代入，得，，則，，可知橢圓的離心率為.（2）（i）由（1）可知橢圓的方程為，設(shè)，，過點的直線為，與聯(lián)立得：.恒成立.所以，得，所以，直線的方程為：.（ii）由（i）可知，直線的方程為，令，得直線的方程為，令，得，記以為直徑的圓與軸交于，兩點，由圓的弦長公式可知，所以，為定值.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個定值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.解題時，要將問題合理的進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成易于計算的方向.20．已知橢圓過點，其長軸長為4，下頂點為，若作與軸不重合且不平行的直線交橢圓于兩點，直線分別與軸交于兩點.(1)求橢圓的方程；(2)當點橫坐標的乘積為時，試探究直線是否過定點？若過定點，請求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由.【答案】(1)(2)直線過定點，坐標為.【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、橢圓中的直線過定點問題【分析】（1）先求出，再代入點解出，進而得到橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，直曲聯(lián)立解出，再由，解出值即可.【詳解】（1）由橢圓長軸長為，可知，將代入橢圓方程：，所以橢圓的方程為：.（2）設(shè)直線的方程為，，由則直線的方程為，令，得，同理可得，所以，所以，把直線代入橢圓方程中，得出，所以，代入，化簡得，所以直線過定點0,2.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由題意得出再代入化簡是本題的關(guān)鍵點.21．已知為拋物線的焦點，為坐標原點，過焦點作一條直線交于A，B兩點，點在的準線上，且直線MF的斜率為的面積為1.(1)求拋物線的方程；(2)試問在上是否存在定點，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；(3)過焦點且與軸垂直的直線與拋物線交于P，Q兩點，求證：直線AP與BQ的交點在一條定直線上.【答案】(1)(2)或(3)證明見解析【知識點】根據(jù)焦點或準線寫出拋物線的標準方程、拋物線中的定直線、直線與拋物線交點相關(guān)問題【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合的坐標即可求解；（2）設(shè)的方程為，，聯(lián)立直線和拋物線方程，將題干斜率條件用坐標表達，結(jié)合韋達定理求解；（3）表示出直線AP與BQ的方程，得到交點坐標，結(jié)合（2）中的韋達定理求解.【詳解】（1）由題意得，直線方程為：，令，則，故，于是，解得（負值舍去），故拋物線方程為.（2）設(shè)的方程為，，，由題意得，，即，可得，通分可得，聯(lián)立和拋物線，得到，，由，代入可得，整理可得，解得或，故，滿足題意.

（3）由題意，，則直線，直線，兩直線方程相減得到：，由（2）知，，于是，即，即，即，于是，解得，即直線AP與BQ的交點在一條定直線上

【點睛】關(guān)鍵點睛：解析幾何大多數(shù)定值問題，會采取設(shè)而不求，聯(lián)立方程后，結(jié)合韋達定理整體代入求解，從而簡化運算.22．在平面直角坐標系中，為直線上一動點，橢圓：的左右頂點分別為，，上、下頂點分別為，．若直線交于另一點，直線交于另一點．(1)求證：直線過定點，并求出定點坐標；(2)求四邊形面積的最大值．【答案】(1)證明見解析，(2)【知識點】根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積、求橢圓中的最值問題、橢圓中的直線過定點問題【分析】（1）依題求出橢圓方程，設(shè)，由直線，方程分別與橢圓方程聯(lián)立，求出點的坐標，由對稱性知，定點在軸上，設(shè)為，由求出的值即得；（2）根據(jù)圖形，可得四邊形的面積，代入和，經(jīng)過換元，運用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性即可求得面積最大值.【詳解】（1）由題意知，，橢圓：如圖，設(shè)，當時，直線的方程為：，代入，得，則，從而，點又直線的方程為：，代入，得則，從而，點由對稱性知，定點在軸上，設(shè)為由，即，化簡得，因故得，解得.即直線過定點，而當時，直線也過定點．綜上，直線恒過定點．（2）由圖可知四邊形的面積為，令，當且僅當時等號成立，因在上單調(diào)遞增，而，故當時，四邊形面積有最大值．【點睛】方法點睛：本題主要考查直線過定點和四邊形面積的最值問題，數(shù)據(jù)計算較大.求解直線過定點問題，一般是通過消參后將直線方程化成含一個參數(shù)的方程，再求定點；對于四邊形面積問題，常運用合理的拆分或拼接，使其表達式易于得到，再利用基本不等式，或函數(shù)的單調(diào)性求其范圍即可.23．已知數(shù)列的首項，且滿足，設(shè).(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，求滿足條件的最小正整數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)2024【知識點】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、求等比數(shù)列前n項和、分組（并項）法求和、由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；（2）利用分組求和的方法得到，然后利用的增減性解不等式即可.【詳解】（1）證明：由，得，所以，又，所以數(shù)列為首項為，公比為等比數(shù)列.（2）由（1）知，數(shù)列為首項為，公比為等比數(shù)列，且，所以，即，所以，而因為在上均單調(diào)遞增，則隨著的增大而增大，要使，即，則，即的最小值為2024.24．已知等差數(shù)列的前項和為，若，.(1)求數(shù)列的通項公式及前項和；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，；(2)【知識點】利用定義求等差數(shù)列通項公式、等差數(shù)列通項公式的基本量計算、求等比數(shù)列前n項和、錯位相減法求和【分析】（1）設(shè)出公差，根據(jù)題目條件得到方程組，求出，得到通項公式和前項和；（2），利用錯位相減法求和得到答案.【詳解】（1）設(shè)公差為，則，，解得，故；；（2），故①，則②，式子①-②得，所以.25．已知數(shù)列滿足，點在直線上.(1)設(shè)，證明為等比數(shù)列：(2)求數(shù)列的前項和；(3)設(shè)的前項和為，證明：.【答案】(1)證明見解析；(2)，；(3)證明見解析.【知識點】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、求等比數(shù)列前n項和、分組（并項）法求和、由不等式的性質(zhì)證明不等式【分析】（1）由題可得，即可完成證明；（2）由（1）可得數(shù)列通項公式，后由分組求和法可得答案；（3）可證得，即可完成證明.【詳解】（1）證明：因點在直線，則.則，即，又，所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1），.則；（3）證明：由（2），.則當時，；當（）時，注意到，則則.綜上，當時，.26．等差數(shù)列的前項和為，已知，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【知識點】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、等差數(shù)列前n項和的基本量計算、含絕對值的等差數(shù)列前n項和【分析】（1）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為首項和公差的方程，即可求解；（2）根據(jù)數(shù)列正項和負項的分界，討論與的關(guān)系，求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，∵，∴，∵，∴

?，∴公差為，∴，∴；（2）由已知，時，；時，；綜上.27．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，.(1)求m的值及的通項公式；(2)令，，求證：.【答案】(1)，(2)證明見解析【知識點】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、等比中項的應用、裂項相消法求和【分析】（1）根據(jù)等差中項可得，進而根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即可根據(jù)通項特征求解，（2）利用放縮法，結(jié)合裂項求和即可求證.【詳解】（1）設(shè)的公差為，，，成等差數(shù)列，，即，考慮到，化簡得，即，成等比數(shù)列，，即，即，解得.，，解得.，，解得，..（2）由（1）可知，顯然滿足當時，所以28．已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線為，求實數(shù)的值；(2)已知函數(shù)，且對于任意，，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】已知切線（斜率）求參數(shù)、利用導數(shù)研究不等式恒成立問題【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義可得，可求，進而求得切點，利用切點在直線上，可求的值；（2）由題意可得，令，則，求導，可得，分類討論可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由，可得，，又曲線y=fx在點1,f1處的切線為，所以，解得，所以，所以，所以切點為，又切點在直線上，所以，解得；（2），由對于任意x∈0,+∞，gx>0令，則，求導可得，當時，，顯然不滿足題意，當時，，若，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，解得，當時，，若，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，解得，綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.29．已知函數(shù)，其中.(1)已知,若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求的最小值；(2)求證：存在常數(shù)使得,并求出的值；(3)在（2）的條件下,若方程存在三個根,,,且,求的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析，(3)【知識點】函數(shù)與方程的綜合應用、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、利用導數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】（1）依題意f′x≥0在上恒成立,只需（2）由代入并化簡可得,對照系數(shù)即可求解；（3）構(gòu)造函數(shù),則由,得,觀察得到，由此判斷,,∴必在上存在唯一零點,利用導數(shù)研究的單調(diào)性,進而可以研究函數(shù)的零點.【詳解】（1）的定義域為,依題意可知當時,恒成立，即,因為,當且僅當,即時等號成立,故,解得,即的最小值為．（2），∵，∴，解得．所以存在常數(shù)使得，此時．（3）構(gòu)造函數(shù)，則方程存在三個根,即函數(shù)函數(shù)存在三個零點．∵,∴．令,得,于是為的一個零點．若存在零點,且,由可知必存在相應的零點，且．∴必在上存在唯一零點．若恒成立,即成立,解得，此時在上單調(diào)遞增，無零點；若,則,令,則,∴在上單調(diào)遞增,故在上存在零點,當時,,單調(diào)遞減,當x∈x0,+∞時,,單調(diào)遞增．∵,即，解得，∴，即．綜上所述，的取值范圍是．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于由發(fā)現(xiàn)，進而判斷必在上存在唯一零點，然后利用導數(shù)研究的單調(diào)性，進而可研究其零點.30．函數(shù)的導函數(shù)為，函數(shù)的導函數(shù)是，已知函數(shù).(1)若，求的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，討論的零點個數(shù).【答案】(1)，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.(2)當時，有三個零點；當時，有兩個零點；當時，有一個零點.【知識點】利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）、利用導數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】（1）先得，，根據(jù)得，進而利用導函數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）先由得，進而得函數(shù)的極小值為，極大值為，進而根據(jù)極小值與零比較可判斷零點個數(shù).【詳解】（1）由題可知，，，，解得.所以，.令，得或；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（2）由（1）可知，，，，所以.令，解得或；令，解得.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和，所以的極小值為，的極大值為.當時，，當時，，故當，即時，有三個零點；當，即時，有兩個零點；當，即時，有一個零點.31．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，不等式在區(qū)間上恒成立時，求的取值范圍.【答案】(1)當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.(2)實數(shù)的取值范圍是.【知識點】利用導數(shù)研究不等式恒成立問題、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）由題得，分，，討論單調(diào)性求解即可；（2）參數(shù)分離得在上恒成立，令，討論的單調(diào)性，求得的最大值即可求得的取值范圍.【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域為.所以，當時，由，得，由，得.所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當時，由，得，由，得.所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；綜上所述：當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）將代入，得，因為不等式在上恒成立，所以，即在上恒成立，令，易知函數(shù)的定義域為.所以.當時，，故；當時，，故；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時，在上取得最大值.所以，所以實數(shù)的取值范圍是.32．已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的最小值；(2)設(shè)方程的所有根之和為T，且，求整數(shù)n的值；(3)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【知識點】由導數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、利用導數(shù)研究不等式恒成立問題、利用導數(shù)研究方程的根【分析】（1）由題可得，判斷導函數(shù)符號，可得函數(shù)的單調(diào)性，即可得函數(shù)的最小值；（2），由單調(diào)性結(jié)合零點存在性定理可得零點范圍，即可得T的范圍，即可得答案；（3）令，求導得，然后分，兩種情況討論可得答案；【詳解】（1），

，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，；（2）方程可化簡為方程的根就是函數(shù)的零點，注意到，則在，上單調(diào)遞增.

因為，，所以函數(shù)在有唯一零點，且.因為，，所以函數(shù)在有唯一零點，且則，因此，．（3）設(shè)，則當時恒成立，①由（1）得，當時，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，.∴②當時，，這與矛盾，綜上，．【點睛】關(guān)鍵點睛：對于零點范圍問題，常利用零點存在性定理確定具體范圍；對于函數(shù)不等式恒成立問題，可利用分離參數(shù)解決，也可直接分類討論處理.33．已知函數(shù)．(1)證明：為奇函數(shù)；(2)求的導函數(shù)的最小值；(3)若恰有三個零點，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、簡單復合函數(shù)的導數(shù)、利用導數(shù)研究函數(shù)的零點、基本（均值）不等式的應用【分析】（1）利用奇偶性定義判斷奇偶性即可；（2）由題設(shè)可得，應用基本不等式求其最小值；（3）問題化為與在和上各有一個交點，利用導數(shù)研究的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合確定參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，令，所以，又定義域為R，所以為奇函數(shù)，得證.（2）由題設(shè)，當且僅當，即時取等號，所以的導函數(shù)的最小值為.（3）令，用代換，則，對于，有，易知為奇函數(shù)，又恰有三個零點，即恰有三個零點，顯然，只需保證在和上各有一個零點即可，令，則，即與在和上各有一個交點，由，且，即為奇函數(shù)，令，則，顯然上，上，綜上，在R上遞增，但遞增速率先變快后變慢，大致圖象如下圖示，又與都過原點，且原點處的切線斜率為，結(jié)合圖象知：當時，與在和上各有一個交點，所以.【點睛】難點點睛：導數(shù)類綜合應用問題，綜合性較強，計算量大，解答的難點在于第三問的零點問題，解答時將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的焦點問題，數(shù)形結(jié)合進行解決.34．若存在有限個，使得，且不是偶函數(shù)，則稱為“缺陷偶函數(shù)”，稱為的偶點.(1)證明：為“缺陷偶函數(shù)”，且偶點唯一.(2)對任意x，，函數(shù)，都滿足.①若是“缺陷偶函數(shù)”，證明：函數(shù)有2個極值點.②若，證明：當時，.參考數(shù)據(jù)：，.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【知識點】用導數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、求已知函數(shù)的極值、利用導數(shù)證明不等式、函數(shù)新定義【分析】（1）根據(jù)，即可解方程求解，（2）①根據(jù)，取，可得，即可對求導，根據(jù)導函數(shù)的正負確定函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值定義求證，②利用放縮法，先證明故，構(gòu)造，求導，確定函數(shù)的最值即可求解.【詳解】（1）由可得，由可得，解得，所以為“缺陷偶函數(shù)”，且偶點唯一，且為0，（2）由可得對任意x，，恒成立，所以存在常數(shù)，使得,令，則，且，解得，①，則，由于是“缺陷偶函數(shù)”，故，即，即，則，得，，由于，所以有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)，當或時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以有兩個極值點.②若，即，則，故，當時，要證，只需要證.，因為，故，只需證，令，當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增，故，所以，從而，故，時，得證.【點睛】法點睛：利用導數(shù)比較大小的基本步驟(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．35．設(shè)是定義域為的函數(shù)，當時，.(1)已知在區(qū)間上嚴格減，且對任意，有，證明：函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)；(2)已知，且對任意，當時，有，若當時，函數(shù)取得極值，求實數(shù)的值；(3)已知，且對任意，當時，有，證明：.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)證明不等式、根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）結(jié)合（1），利用極值的定義進行求解即可；（3）利用題目條件，代入，分和兩種情況進行討論即可證明.【詳解】（1）不妨設(shè)，在區(qū)間上嚴格減，對任意，有，又，函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)；（2）由（1）可知：在區(qū)間上嚴格增時，在區(qū)間上是嚴格增，當在區(qū)間上嚴格減時，在區(qū)間上是嚴格減，又當時，函數(shù)取得極值，當時，函數(shù)也取得極值，因為.是函數(shù)的極值點，所以是的根，所以，當時，.令h′x>0，解得或所以h(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，滿足條件，所以.（3）當時，由條件知，當時，對任意，有，即，又的值域是，，當時，對任意，有，，又的值域是，，綜上可知，任意，.【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．36．若函數(shù)在區(qū)間上有定義，在區(qū)間上的值域為，且，則稱是的一個“值域封閉區(qū)間”.(1)已知函數(shù)，區(qū)間且是的一個“值域封閉區(qū)間”，求的取值范圍；(2)已知函數(shù)，設(shè)集合.（i）求集合中元素的個數(shù)；（ii）用表示區(qū)間的長度，設(shè)為集合中的最大元素.證明：存在唯一長度為的閉區(qū)間，使得是的一個“值域封閉區(qū)間”.【答案】(1)(2)（i）2；（ii）證明見解析【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、利用導數(shù)研究函數(shù)的零點【分析】（1）求導，確定在上單調(diào)遞增，求得值域，再由集合間的關(guān)系構(gòu)造不等式求解即可.（2）（i）構(gòu)造，求導，確定其單調(diào)性，再結(jié)合零點存在性定理即可求解；（ii）由（i）得，再通過討論，和即可求證.【詳解】（1）由題意，，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，的值域為，所以，即可得，解得，則的取值范圍為.（2）（i）記函數(shù)，則，由h′x>0得或；由h′x所以函數(shù)hx在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.其中，因此當時，hx<0，不存在零點；由hx在單調(diào)遞減，易知，而，由零點存在定理可知存在唯一的使得；當x∈1,+∞時，綜上所述，函數(shù)hx有0和兩個零點，即集合中元素的個數(shù)為2.（ii）由（i）得，假設(shè)長度為的閉區(qū)間是的一個“值域封閉區(qū)間”，則對，當時，由（i）得hx在單調(diào)遞增，，即，不滿足要求；當時，由（i）得hx在）單調(diào)遞增，，即，也不滿足要求；當時，閉區(qū)間，而顯然在單調(diào)遞增，由（i）可得，，滿足要求.綜上，存在唯一的長度為的閉區(qū)間，使得是的一個“值域封閉區(qū)間”.【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點；(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．37．對于，若數(shù)列滿足，則稱這個數(shù)列為“優(yōu)美數(shù)列”．(1)已知數(shù)列是“優(yōu)美數(shù)列”，求實數(shù)的取值范圍；(2)若首項為1的等差數(shù)列為“優(yōu)美數(shù)列”，且其前項和滿足恒成立，求的公差的取值范圍；(3)已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“優(yōu)美數(shù)列”，數(shù)列不是“優(yōu)美數(shù)列”，若，試判斷數(shù)列是否為“優(yōu)美數(shù)列”，并說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)時數(shù)列是“優(yōu)美數(shù)列”，理由見解析.【知識點】判斷數(shù)列的增減性、等比數(shù)列通項公式的基本量計算、數(shù)列新定義、數(shù)列不等式恒成立問題【分析】（1）根據(jù)數(shù)列新定義列不等式組，求參數(shù)范圍；（2）根據(jù)定義有，結(jié)合不等式恒成立求公差的上界，即可得范圍；（3）根據(jù)題意有最小項為，最小項為，進而有，根據(jù)討論，并由數(shù)列新定義判斷是否存在數(shù)列為“優(yōu)美數(shù)列”即可.【詳解】（1）由題意，則，可得；（2）由題意，令的公差為，且，則，可得，顯然時不等式恒成立，當時，恒成立，而，故，綜上，.（3）存在，數(shù)列是