《向量組線性相關(guān)的判定方法探究》3600字（論文）

向量組線性相關(guān)的判定方法研究摘要在大一的高代課程學(xué)習(xí)當中我就發(fā)現(xiàn)向量組的線性相關(guān)性是高等代數(shù)中的重要理論知識，其他許多理論知識都是在它的基礎(chǔ)上發(fā)展出來的.所以學(xué)好高等代數(shù)3.3的內(nèi)容非常重要.這節(jié)知識既是前面學(xué)過內(nèi)容的延伸又是后面要學(xué)知識的鋪墊.我通過查閱書一些籍和文獻搜集出一些知識點.通過這些知識點歸納整理出判定向量組線性相關(guān)性的好幾種方法.關(guān)鍵詞：向量組；線性相關(guān)；線性無關(guān)；判定方法目錄TOC\o"1-3"\h\u20116摘要 13572目錄 357241引言 4234352預(yù)備知識 5230293.向量組線性相關(guān)性的判定方法 8310453.1定義法 8323493.2利用向量組內(nèi)向量之間的線性關(guān)系判定 10281373.3利用齊次線性方程組的解進行判定 11273853.4利用矩陣的秩進行判定 12307523.5利用行列式的值進行判定 1419799結(jié)論 1631389參考文獻 17

1引言當我們遇到某個具體問題并想使用有關(guān)線性代數(shù)的知識解決時，將會涉及到向量組中的向量是否為線性相關(guān)，因此，只要掌握向量組線性相關(guān)的定義及其性質(zhì)，嫻熟地應(yīng)用本文給出的5種方法，就可以輕易的判斷出向量組的線性相關(guān)性.本文旨在利用矩陣這一數(shù)學(xué)工具來討論向量組的線性相關(guān)問題，并討論矩陣和線性方程組之間的聯(lián)系.一個向量組不是線性相關(guān)就是線性無關(guān)，所以只要學(xué)會線性相關(guān)的判定方法，向量組的線性無關(guān)的判斷問題也迎刃而解.本文第一章是預(yù)備知識部分，第二章是向量組線性相關(guān)的若干個判定方法的分類討論.2預(yù)備知識定義1（維向量）：數(shù)域F中個有次序的數(shù)所組成的數(shù)組，或分別稱為維行向量或列向量.這個數(shù)稱為向量的個分量,第個數(shù)稱為第個分量.向量通常用黑體小寫希臘字母等表示REF_Ref12383\r[1].定義2已知兩個向量，向量的加法：向量加法的運算性質(zhì)滿足：交換律：；結(jié)合律：向量的數(shù)乘：通過回顧以前的知識我們知道，如果向量跟一個實數(shù)相乘，那么它的積依然是一個向量,實數(shù)記為，向量記為，它們的乘積記為.它的長度與方向規(guī)定如下：（1）；（2）當時，與方向相同；當時，與方向相反；當時，.定義3向量組等價：如果兩個向量組群和一個向量群可以用相互線性方式來表示.關(guān)于向量組等價的性質(zhì)：（1）自反性任何一個向量組都與自身等價.（2）對稱性若向量組與等價，則向量組與也等價.（3）傳遞性若向量組與等價，向量組與等價，則向量與也等價.定義4線性組合：一個向量組和一組實數(shù)組合.表達式為這里的實數(shù),是這個組合的系數(shù).定義5對于向量組，如果有數(shù)域F中不全為零的數(shù)，使得，則稱向量組線性相關(guān)REF_Ref12383\r\h[1].定義6向量組如果不是線性相關(guān)的，就稱為是線性無關(guān)的.換句話說，如果等式，只有當時才成立，那么就稱是線性無關(guān)的REF_Ref12383\r\h[1].定義7向量組是向量組的一個部分組.如果向量組線性無關(guān)，那么中的任意一個個向量總是線性相關(guān)的.向量組線性相關(guān)性的性質(zhì)性質(zhì)1：向量群的線性相關(guān)性可由是否含零向量來判定；含零向量則線性相關(guān)，而線性無關(guān)的向量群不含零向量.性質(zhì)2：對應(yīng)分量的比例是兩個向量之間線性相關(guān)的重要條件。性質(zhì)3：超過N個向量的N維向量必須是線性相關(guān)的。性質(zhì)4：部分線性相關(guān)則整體線性相關(guān)，整體線性無關(guān)則部分一定也線性無關(guān).向量組線性相關(guān)性的判定方法3.1定義法運用預(yù)備知識里給出的定義5、定義6來判斷向量組的線性相關(guān)性.例1已知是一個向量組且線性無關(guān)，試著判斷向量組的線性相關(guān)性.解令一組實數(shù)表示為且就可以得到即由題中的已知條件可知由此可見這個方程組只有零解.所以可判斷，向量組線性無關(guān).例2設(shè)線性無關(guān)，證明線性無關(guān).證由線性無關(guān)有解得于是線性無關(guān).例3試著判斷的線性相關(guān)性.解令一組實數(shù)表示為讓可以得到令解得是它的一個基礎(chǔ)解系，所以可以判斷出向量組線性相關(guān).3.2利用向量組內(nèi)向量之間的線性關(guān)系判定定理1向量組與一個線性相關(guān)的充要條件是：當且僅當至少一個向量可以由一個向量組中的其他向量線性表示.證明：如果是線性相關(guān)，那么在定義了線性相關(guān)之后，并不是所有的數(shù)字都是零.令，其中，于是得.那么，其中系數(shù)不全為零，則是線性相關(guān)的REF_Ref12383\r\h[1].定理2線性無關(guān)的向量組，其中線性相關(guān),可以線性表示出，然而這種表達形式只有一種.定理3我們可以由一些向量組之間存在線性相關(guān)，可得出向量組線性相關(guān).同樣也可以由向量組線性無關(guān)，可得出向量組沒有一個部分向量組線性相關(guān)的.例4如果線性無關(guān)，而線性相關(guān)，試著回答下列問題：（1）可以由線性表示出嗎？（2）可以由線性表示出嗎？解（1）已知線性無關(guān)，可得也線性無關(guān)，又因為線性相關(guān)，可以得到能由線性表示出來，并且在定理5中提到了這種表達方式有且只有一種，所以有數(shù)使得，所以可以由線性表示出來.反證法.假設(shè)可以用表示出，那么有數(shù)，使得又通過問題一的解答可知，可以線性表示，由此可得線性相關(guān)，這與題目給出的已知條件矛盾，所以不可以線性表示出.3.3利用齊次線性方程組的解進行判定齊次線性方程組（1）（1）的矩陣形式為：（1）的向量形式為：通過解齊次線性方程組，再由方程組的解是否有非零解也是判定向量組是否相關(guān)的一種方法.這個方法可以與定義法一起使用.如果齊次線性方程組是有向量組的系數(shù)矩陣所構(gòu)成，且它的解只有零解向量，那么這個向量組是線性相關(guān)的.例5證明向量組線性相關(guān).證令＜4，所以線性相關(guān).例6向量組，是線性無關(guān)的證設(shè)存在使解得，所以線性無關(guān)3.4利用矩陣的秩進行判定向量群組所構(gòu)成的矩陣的秩和極大無關(guān)組的定義也是判定向量組線性相關(guān)的一種方法.（其中向量組是由個維列向量所組成的向量組）向量組的線性相關(guān)性可以根據(jù)向量個數(shù)和秩的關(guān)系來判別.如果向量組向量的個數(shù)和秩的個數(shù)相等，那么這個向量組是線性無關(guān)的；如果向量的組的總個數(shù)大于秩的個數(shù)，那么這個向量組是線性相關(guān)的.可表示為m=R(A)向量組線性無關(guān)m>R（A）向量組線性相關(guān)例7現(xiàn)有三個向量組，試著判斷它們的線性相關(guān)性.解：矩陣是由為行向量所構(gòu)成則向量的個數(shù)，故向量組線性相關(guān).例8判定向量組的線性相關(guān)性.解：將以行排成矩陣R(A)=3,故線性無關(guān).例9將向量轉(zhuǎn)化成矩陣向量，并回答一下問題.問向量中的未知數(shù)為多少時，向量組線性相關(guān).并用和的線性組合表示出.解：利用矩陣的秩有故當時，向量組線性相關(guān)，并且有所以3.5利用行列式的值進行判定行列式的值也可以判定.若一個向量的代數(shù)組矩陣是由個列為的一維列的兩個向量所組成構(gòu)成的一維向量矩陣.即為階方陣，則當時，則向量組是線性相關(guān)的.當時，則向量組是線性無關(guān)的.如果，那么當時，則向量組是線性相關(guān)的.當時，可以改變維度個數(shù)判別，如果向量組整體線性相關(guān)，那么它的一部分也相關(guān).例10已知試討論的線性相關(guān)性.證明：令則==0所以線性相關(guān).例11有一個線性無關(guān)的向量組，且有，證明向量組線性無關(guān).證明：設(shè)有使得即由題可知是線性無關(guān)的，所以由這個程組可得到系數(shù)行列式所以向量組線性無關(guān).例12現(xiàn)有線性相關(guān)的向量組求向量中的未知數(shù).解：方法1當或時，線性相關(guān)，符合題意.方法2或時行列式為0.結(jié)論本文首先在預(yù)備知識部分充分的交代了向量組的定義、線性相關(guān)的定義及性質(zhì)等下文需要用到的知識點，為下文的順利進行做鋪墊.其次詳細地討論了相關(guān)性的5種方法并附上幾個典型例題加以說明，通過這個寫法更加直觀地突出了幾個方法的異同之處.通過寫這篇論文，我認識到雖然確定向量組的線性相關(guān)性很難，但是向量組的線性相關(guān)性的對立關(guān)系是顯而易見的，而且我們可以利用這個關(guān)系可以找出一些更簡便的解決方法:只要掌握其中一種關(guān)系，就可以得出另一種關(guān)系.因此在學(xué)好向量組線性相關(guān)的定理和定義的基礎(chǔ)上，嫻熟地應(yīng)用本文給出的5種方法，就可以輕易的判斷出向量組的線性相關(guān)性.

參考文獻王鄂芳,石生明.高等代數(shù)[M].高等教育出版社,2003.徐仲,陸全.高等代數(shù)[M].西北工業(yè)大學(xué)出版社,2009.孫曉霞.論等價關(guān)系在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中的重要性[D].東北財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,2016.肖艾平.向量組線性相關(guān)性的幾種判定方法[J].伊犁師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），3（2008）:58-59羅秀芹，董福安，鄭鐵軍，關(guān)于向量組的線性相關(guān)性的學(xué)習(xí)探討[J].高等代數(shù)研究，9（2005）：18-19楊燕新，王文斌.關(guān)于向量組線性相關(guān)的幾種判定[J].山西農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），3（2005）黃娟霞.關(guān)于向量組線性相關(guān)性的初步探討[J].廣東石油化工學(xué)院學(xué)報，2（2012）:68-69董秀明.判斷向量組的線性相關(guān)性與無關(guān)性[J].考試周刊，33（2013）:57-58牛少彰，劉吉佑，線性代數(shù)[M].北京：北京郵電大學(xué)出版社，2004.錢吉林，高等代數(shù)題解精粹[M].北京：中央民族大學(xué)出版社，2002.楊子胥，高等代數(shù)習(xí)題集（上）（修訂版）[M].濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001錢志強，線性代數(shù)教與學(xué)參考[M].北京：中國致公出版社，2002.李曉穎.淺談如何判斷一組向量線性相關(guān)[J].中國校外教育,2012,06):79+131.朱立柱.等價線性無關(guān)組的一個性質(zhì)[J].科技資訊,2009,23):224.劉芳.線性方程組與最簡通解公式[J].攀枝花大學(xué)學(xué)報,2000,04):68-79.趙堅.《計算機數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(A)》學(xué)習(xí)指導(dǎo)[J].內(nèi)蒙古電大學(xué)刊,2000,01):100-7羅秀芹.關(guān)于向量組的線性相關(guān)性的學(xué)習(xí)探討[J].高等數(shù)