2023年高考數(shù)列大題練習(xí)【含答案】

新高考數(shù)列大題優(yōu)質(zhì)練習(xí)

一.解答題（共50小題）

1.（2022秋?新泰市校級期中）已知數(shù)列｛如｝是等差數(shù)列，其前〃項和為S”,且滿足山+。5

=10,54=16；數(shù)列｛加｝滿足：加+3歷+32加+…+3〃，〃=二?，（〃WN*）.

3

（I）求數(shù)列｛“〃｝,｛加｝的通項公式；

（II）設(shè)。=劭加+—i—，求數(shù)列｛Cn｝的前〃項和Tn.

2.（2022秋?鄒城市期中）已知數(shù)列｛a〃｝,ai=2,且滿足“WN",有〃〃?a”+i=227rH.

（1）求數(shù)列他〃｝的通項公式〃”；

（2）若加="〃（所-1）,設(shè)數(shù)列憐〃｝的前〃項和為S”，試求和：二二+…g.

51S2s3Sn

3.（2022秋?浙江月考）在下而三個條件中任選一個，補(bǔ)充在工面的問題中并作答.

s

①〃a〃+i=(?+1)a〃+i；②a+1=2-^S-；③~g+L=(n.L)2,

已知S〃為數(shù)列｛。〃｝的前“項和，滿足ai=l,a〃>0,.

（I）求｛〃”｝的通項公式;

（2）若bn=Ug（fln+1）］,其中［x］表示不超過x的最大整數(shù)，求數(shù)列｛兒｝的前100項和

7100.

4.(2022秋?麗水月考)在數(shù)列｛〃〃｝中，?i=Xa”-”“+1=23+14〃(HGN*).

3

（1）求數(shù)列伍”｝的通項公式：

（2）求滿足不等式。1。2+?2。3+…+以必+1</"（k￡N*）成立的人的最大值.

5.（2022秋?寧波月考〉已知數(shù)列（〃〃｝的前〃項和S〃滿足S”=%“-2（w€N*）.

（I）求數(shù)列｛如｝的通項公式:

bn

（2）令bn=an-4/J,求數(shù)列｛」■｝的前〃項和Tn.

an

6.（2022秋?溫州月考）已知數(shù)列伍〃）是等差數(shù)列，ai=l,且卬，④，?5-1成等比數(shù)列.給

定AWN”,記集合（加Wa〃W2人，〃WN*）的元素個數(shù)為限

（1）求加,bi的值;

（2）求最小自然數(shù)〃的值，使得從+歷+…+氏>2022.

7.（2022秋?南山區(qū)校級期中）設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的前”項和為S〃，已知53=35,且g是m

與“13的等比中項，數(shù)列｛&〃｝的前.〃項和及=402+5廣

（1）求數(shù)列｛“”｝、｛加｝的通項公式:

(2)若川＜4,對任意〃€N*總行————4------i——+..H---------——入恒成立，求

4S「b]4s2424Sn-bn

實數(shù)人的最小值.

8.（2022秋?浙江月考）已知數(shù)列｛加｝的前〃項和為知,切=3,S〃=2+a”+i.（亦N*）.

（1）證明：數(shù)列｛%-2｝為等比數(shù)列；

（2）設(shè)兒=-；--------與------u，記數(shù)列仍〃｝的前〃項和為77“證明：TnVl.

（an+1+l）（2Sn-3）

9.（2022秋?上城區(qū)校級月考?）已知各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列｛船｝的前〃項和為S〃，F(xiàn)1滿足

nS=n（I+1）

“尸匕n+l（n+l）Sr/l（ngN*）-

（1）證明數(shù)列｛〃〃｝是等差數(shù)列，并求出｛外｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛包｝滿足八=^^-,證明：b1+b9+-+b<5?

n2/勺12Mn2

10.（2022?浙江開學(xué)）已知數(shù)列僅〃｝的首項為a,小，對于任意的正自然數(shù)

12

4an

n，

（i）求證：數(shù)列W-i｝為等比數(shù)列；

an

（H）若」…」<100,求滿足條件的最大整數(shù)

ala2an

fajl，n為奇數(shù)*

11.（2022?淄博一模）已知數(shù)列｛”“｝滿足：山=2,旦a口=4回皿（nEN）.設(shè)

n為偶數(shù)

bn=(I2n-1.

（I）證明：數(shù)列｛加+2｝為等比數(shù)列，并求出｛加｝的通項公式：

（2）求數(shù)列｛。〃｝的前2〃項和.

12.（2021?3月份模擬）已知數(shù)列｛而｝滿足41=2,4〃+1=上/〃-——,b?=an-

22X3n3n-1

（1）求證：數(shù)列｛加｝是等比數(shù)列：

（2）設(shè)數(shù)列伍〃｝的前〃項口勺和為a，求證：S“V工.

2

13.（2022?浙江開學(xué)）已知數(shù)列｛的｝的前〃項和為名,且m=LSn=an+i-1,數(shù)列｛兒｝為

等差數(shù)列，且244=3/）3+1,S6=7加.

（I）求｛"〃｝與｛/）〃｝的通項公式：

b

（H）記c=—.求｛Cn）的前〃項和為

nan

14.（2021?廣州二模）已知等比數(shù)列｛如｝的前二項和為S〃,m=LSe+2S“j=3S〃（〃22）.

（1）求數(shù)列｛如｝的通項公式;

（2）令/二小-1一，求數(shù)列｛加｝的前〃項和

nSn$n+1

15.（2021?萍鄉(xiāng)二模）已知等比數(shù)列多“｝各項均為正數(shù),S”為其前〃項和.若對任意正整數(shù)

n,有Sn+2=45'〃+3恒成立，且加=log2a2”.

（1）求數(shù)列伍”｝的通項公式；

（2）令c=_--，求數(shù)列｛Cn｝的前〃項和

nb"

16.（2022?浙江開學(xué)）已知數(shù)列伍“｝的前〃項和為

Sn?a1=1,（n+3）Sn=nSn+1（nGN*）-

（1）求數(shù)列｛知｝的列項公式:

（2）設(shè)b-fT為數(shù)列｛加｝的前〃項和，如果對于任意的〃WN“恒有"<A,求A

nann

的最小值.

17.（2022春?雅安期末）已知數(shù)列｛“〃）中，“1=2,且對任意正整數(shù)機(jī)，〃都有。…=”,〃+〃〃.

（I）求數(shù)列｛〃”｝的列項公式;

bb上

（2）若數(shù)列｛加｝滿足：a=---1…+（-l）nT」一，

工2+122+12r,+l

（i）求數(shù)列｛'｝的通項公式；

（ii）設(shè)Cn=30+tb，若5H>Cn對任意〃WN*恒成立，求實數(shù)/的取值范圍.

18.（2022秋?拱里區(qū)校級月考）己知公差為d的等差數(shù)列｛如｝和公比gV0的等比數(shù)列｛加｝

中,a\=b\=1?。2+〃3=3,。3+歷=2.

（I）求數(shù)列伍〃｝和｛加｝的通項公式：

（II）令Cn=3%（ntN*>抽去數(shù)列｛Cn｝的第3項、第6項、第9項、…第3〃

項、…，余下的項的順序不變，構(gòu)成一個新數(shù)列｛/〃｝,求數(shù)列｛h｝的前2023項和S2O23.

19.（2022秋?浙江月考）已知數(shù)列僅〃｝的各項均為正數(shù)，記S”為｛.｝的前n項和,

（托N“且”22）.

（I）求證：數(shù)列｛何｝是等差數(shù)列，并求｛“〃｝的通項公式;

<±1

（2）當(dāng)%N",時，求證:4_

20.（2022?玉雞模擬）已知｛0〃｝是等差數(shù)列，OI+O2+?3=12,出=8.

（1）求｛〃〃｝的通項公式；

（2）若對于任意，店N+,點兒（?,?加）都在曲線），=2^上，過4作x軸的垂線，垂足

為Bn,記△04祖的面積為S〃，求數(shù)列｛S〃｝的前n項和Tn.

21.（2022秋?重慶月考）已知數(shù)列｛的｝滿足m=l,a〃+i=3“〃+l.

（1）證明：Ln,｝是竽比數(shù)列，并求（期）的通項公式；

（2）證明：JJ+…工<3.

a

la2a3an2

22.（2022秋?皇姑區(qū)期中）已知數(shù)列｛”“｝前.〃項積為%,且一+T=l（nCN*>

nn

（i）求證：數(shù)列卜L｝為等差數(shù)列：

1-an

（2）設(shè)s=T?+To+---+r2,求證：S>a—

un11121nnairH2

23.（2021秋?柳州月考）數(shù)列｛m｝的前〃項和為金，若山=2,點（S?,蘇+1）在直線y=

^-^x-n-1（n€N*）上，

n

S

（1）求證：數(shù)列｛」?｝是等差數(shù)列；

（2）若數(shù)列｛加｝滿足為=2%〃，求數(shù)列｛加｝的前〃項和%.

24.（2022秋?萊西市校級月考）記S為數(shù)列｛“〃｝的前〃項和，己知切=1,且數(shù)列

｛4〃S+（2/1+3）是等差數(shù)列.

（I）證明:是等比數(shù)列，并求｛“〃｝的通項公式:

3kl?an，n為奇數(shù)

⑵設(shè),求數(shù)列｛加｝的前2〃項和Tm.

旦，n為偶數(shù)

an

25.（2022秋?大連期中）己知數(shù)列伍〃｝是公比為2的等比數(shù)列，〃2,。3,q-4成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛加｝的通項公式;

]+loga

（2）若b=----------二三，設(shè)數(shù)列（〃”｝的前〃項和7〃，求證：1W7；,<3.

n父

26.（2022秋?湖北月考）已知數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和為5〃，滿足*小，Sq=S4......—?

an+1

l2n2an+l

（1）證明數(shù)列｛」-｝是等差數(shù)列，并求數(shù)列他〃｝的通項公式：

an

（2）若數(shù)歹U｛為｝滿足bn=（2n+l）2?an*an+1，求數(shù)列｛兒｝的前"項和

27.（2022秋?黃岡月考）已知數(shù)列｛如｝各項均為正數(shù)且滿足a/-（〃-1）如-2/+〃=0,

數(shù)列]方”）滿足/?!=3..11hn*-1=2〃”+?”+'.

（1）求｛"〃｝,｛加｝的通項公式；

（2）若Cn=bn+an,求-n）的前〃項和行.

28.（2022秋?張掖期中）已知數(shù)列也〃｝的前〃項和S”="〃-（1）nl+2,數(shù)列｛加｝滿足

2

bn=2nCln.

（1）證明：數(shù)列｛加｝是等差數(shù)列:

（2）設(shè)cn--------------C）--------,求數(shù)列9“的前〃項和T〃.

n

2（n-an）（n+1-an+|）

29.（2022秋?金鳳區(qū)校級期中）設(shè)數(shù)列｛如｝的前刀項和為S〃，ai=2且如+i=2a”,數(shù)列｛加｝

1b

滿足ST?且bn+i『nT

（1）證明：數(shù)列｛」->是等差數(shù)列，并求伍”），｛仇｝的通項公式；

bn

（2）設(shè)數(shù)列｛0■｝的前〃項和為力”求加.

bn

30.（2022?南通模擬）已知數(shù)列｛m｝滿足:。1=1,且，其中，正N”,從①a“+i?2a〃

=〃-1,②M+La”=2"-I,@三出=2+工1-三個條件中任選一個填入上面的橫線中,

n

a2n-n

并完成下列問題解答.

（1）求數(shù)列｛Z｝的通項公式;

（2）設(shè)加=-----------------,%為數(shù)列｛加｝的前〃項和，求S.

n

（2-an）（n+2）

3

31.（2022秋?長春月考）已知數(shù)列｛m｝滿足：ai=2,nan+\+（n+1）=（〃+2）an+（/i+1）.

（I）證明：數(shù)列一Ak｝是等差數(shù)列：

n（n+1）

（II）設(shè)d=n?：2）,求數(shù)列（〃〃｝的前〃項和Sn.

2叫「

32.（2022秋?長沙期中）已知正項數(shù)列優(yōu)〃｝滿足m=2且-2-n.

an+l6a+aanaan+lv

（1）求數(shù)列｛知｝的通項公式:

log,a：,n為奇數(shù)

（2）令b=《27,求數(shù)列｛為｝的前2〃+1項的和S2〃+i.

n"n為骸

33.（2022秋?沙坪壩區(qū)校級月考）設(shè)數(shù)列｛知｝滿足阿=2,02=6,且叱2=2〃〃+I-而+2.等

差數(shù)列｛加｝的公差d大于0.己知。2=歷+3,且加，bi,加成等比數(shù)列.

（1）求證：數(shù)列｛”"+1-。〃｝為等差數(shù)列，并求｛“〃）的通項公式：

（2）求數(shù)列｛~—｝的前〃項和Tn.

bnbnM

34.（2022秋?郴州月考）已知數(shù)列僅〃｝中，a\=l,其前〃項和為S“,S〃+i=3S〃+l.

（I）求數(shù)列｛。〃｝的通項公式；

（2）設(shè)b=1083。a+1,若數(shù)列｛——---｝的前〃項和為方”求證：T<3.

bQ/2n4

35.（2022秋?襄陽期中）已知數(shù)列｛如｝滿足加1+2202+…+2%”=〃X2/2-2n+,+2.

（1）求｛“〃｝的通項公式；

3a+4rI

（2）設(shè)加=---------------,證明：_2_Wbi+歷+…+加V，.

oan-i,a672120

Nanan+lan+2

36.（2022秋?秦皇島月考）已知數(shù)列5〃｝的前”項和為S“，m=2,當(dāng)心2時,2（n-1）

Sn=2nSn-i+/r-n.

（I）求數(shù)列（的｝的通項公式;

⑵求證:土?士W禧

37.（2022秋?湖北期中?已知數(shù)列｛如｝的首項為4,且滿足a.+]=4a_2nH，若[穹_]

2

（1）求數(shù)列｛兒｝的通項公式;

（2）數(shù)列｛Cn｝中，Cl=4,對任意"〃而N'，都有'一?！磺髷?shù)列｛加?Cn）的前〃項

n-m

和S”.

38.（2022秋?煙臺期中）記S1為數(shù)列｛的｝的前〃項和，已知m=l,

（1）求｛如｝的通項公式：

⑵設(shè)兒;等一丁Tn=fbg計|bi+2,求證f

%i=l4

39.（2022秋?湖北期中）已知等差數(shù)列｛a”）和等比數(shù)列｛加｝滿足m=2,歷=4,如=21og2加,

，怎N”.

（1）求數(shù)列｛加｝的通項公式;

（2）設(shè)數(shù)列（〃”）中不件數(shù)列｛〃“｝中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列｛Cn｝,記數(shù)列（Cn）的前

〃項和為S，求S50.

40.（2022秋?湖南月考）記各項均為正數(shù)的數(shù)列（如｝的前耀項和是外,已知如2+麗=2S”,

〃為正整數(shù).

（1）求｛如｝的通項公式：

（2）設(shè)加=tan（a-tan求數(shù)列｛加｝的前八項和1.

41.（2022秋?濰坊月考）在各項均不相等的等差數(shù)列｛的｝中，田=1,且m,。2,。5成等比

數(shù)列，數(shù)列｛加｝的前〃項和Sn=2,,+l-2.

（1）求數(shù)列｛〃”）,｛加｝的通項公式：

（2）設(shè)。廣？-I"2%，數(shù)列｛cn）的前〃項和6,若不等式27）i+〃2>31og?（1-a）

對任意的正整數(shù)〃恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

42.（2022秋?玄武區(qū)校級月考）設(shè)數(shù)列｛“”）滿足ai=2,“2=6,且a〃+2=2a〃+i-a”+2.

（1）求證：數(shù)列｛a“+La〃｝為等差數(shù)列，并求｛的｝的通項公式:

（2）設(shè)加=a“cos,m,求數(shù)列｛加｝的前n項和Tn.

43.（2022秋?鞍山期中）已知數(shù)列｛a〃｝的前，項和&=3h1,數(shù)列｛加｝滿足加=7,加+1

=bn+（2n-1）.

（1）求數(shù)列｛〃〃｝、｛加｝的通項公式.

a.b

（2）若c求數(shù)列｛cn｝的前〃項和

nn

44.（2022秋?濰坊月考）已知數(shù)列伍〃｝中，ai=2,當(dāng)時，（??-1）an=2tMn.\.

（1）求數(shù)列伍”｝的通項公式：

（2）設(shè)。產(chǎn)11%7）,數(shù)列｛cn｝中是否存在最大項與最小項？若存在，求出最大項與最

an

小項；若不存在，說明理由.

45.（2022秋?湖北月考）已知等差數(shù)列伍〃｝的首項m>0,記數(shù)列他〃｝的前〃項和為

Sn（n€N*）>且數(shù)列的｝為等差數(shù)列?

S

（1）證明：數(shù)列｛-￡n｝為常數(shù)列；

n

a1Sn

（2）設(shè)數(shù)列合｝的前〃項和為求｛「｝的通項公式.

46.（2022秋?遼宇期中）已知數(shù)列｛?！ǎ那?"項和S“=〃2+〃.

（I）求數(shù)列｛如｝的通項公式;

（2）設(shè)Cn=16,數(shù)列｛5｝的前〃項和為及，是否存在正整數(shù)"，使得T〃vF-3人

anan4-2

對于旌N+恒成立？若存在，求出2的最小值；若不存在，請說明理由.

47.（2022秋?湖北月考）已知數(shù)列｛〃〃｝滿足工,號計.?+負(fù)〃=(n6N+).

31

（I）求數(shù)列｛如｝的通項公式:

（II）設(shè)d=Iog34”，求數(shù)列｛------------｝的前〃項和為Tn.

bnb^nb#2

48.（2022?開福區(qū)校級開學(xué)）已知數(shù)列伍〃｝的前八項和為S,且滿足（g-1）Sn=qan-1（q

>0),，店N*.

（1）求數(shù)列｛“〃｝的通項公式:

⑵當(dāng)行2時，數(shù)列滿足b“=_，求證：l<b+b+...+b<2：

1Jn

nn（,n+1；an2

（3）若對任意正整數(shù)"都有成立，求正實數(shù)q的取值范圍.

49.（2021秋?沙坪壩區(qū)校級月考）已知數(shù)列｛.｝的前〃項的為Sn,滿足

S「Si=----------（n>2,n€N*）>cn=\,G=2.

（I）記加=a〃a”+i,求｛加｝的通項公式;

(2)記Cn=10g2?！?10g26fn+2,求｛Cn｝的前63項和763.

50.(2022秋?沈北新區(qū)校級月考)已知數(shù)列｛m｝是等差數(shù)列，“2=3,05=6,數(shù)列｛'｝的前

〃項和為S,且2'7〃=2.

(I)求數(shù)列｛”“｝、｛加｝的通項公式：

(II)記c=——迎——，若數(shù)列｛cn)的前〃項和為。，證明：丁〈工.

nanPan+l*bnn2

新高考數(shù)列大題優(yōu)質(zhì)練習(xí)

參考答案與試題解析

一.解答題(共50小題)

1.(2022秋?新泰市校級期中)已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前〃項和為S〃,且滿足m+“5

=10,54=16：數(shù)列｛加｝滿足：6+3歷+32加+…+3〃””=匚，(?GN*).

3

(I)求數(shù)列｛4｝,｛加｝的通項公式；

(II)設(shè)Cn=""加+——，求數(shù)列(C”的前n項和Tn.

anan+-l

【答案】(/)an=2n-1,氏=工

3n

(II)1-更+_^_.

3n2n+l

【解答】解：(/)設(shè)等差I(lǐng)列｛加｝的公差為數(shù)???。1+。5=10.54=16,

:.2〃I+4d=10,4a\+64=16,

聯(lián)立解得“1=1,d=2,

Un=1+2(fl~1)=2fl~I.

數(shù)列(岳｝滿足：加+3歷+3?歷+…+3廠區(qū)=工,(，正N*),

???〃22時，6+3歷+32/,3+?”+3〃-2=21zl,

3

相減可得3〃%〃=a,解得〃〃=」一

33n

(II)由(/)可得：Cn=(btbn+——-——=2、-1+1

ananM3n(2n-l)(2n+l)

1—1=」(1-1)

a”什］(2n-l)(2n+l)22n-l2n+l

數(shù)歹ijf._1-］的前〃項和=2(|-1+1-1+-+—L--_J_)=1(］

anarr4-123352n-l2n+l2

_n

"2n+l'

設(shè)數(shù)歹ij｛空支｝的前〃項和為A〃，則A〃=2+%>3+…+軍工,

3n3312333n

lj—1.35…2rr32n_1

33233343n3*1

3332333n3的33的

3

化為4=1-止L

3n

???數(shù)列｛c”的前〃項和T?=\-空L」_.

3n2n+l

2.（2022秋?鄒城市期中）已知數(shù)列｛處｝,m=2,且滿足〃6N”,有的?a〃+i=22ffH.

（1）求數(shù)列S”｝的通項公式“〃：

（2）若為1）,設(shè)數(shù)列（歷｝的前.〃項和為品，試求和：2g_g_+?

n

【答案】(1)an=2.

(2)Mx(1-—1—).

9n+l1

22na-1

【解答】解：（1）I。“?21=22n+1

.an+lan+2__a

>?------------T--：-------n-+-2

anan+l22nH

取〃=1時，6/I?2=23,a\=2,解得42=4.

，數(shù)列僅〃｝是等比數(shù)列，首項為2,公比為2.

(2)bn=an(an-1)=2〃(2〃-1)=4"-2",

.??數(shù)列｛〃”｝的前〃項和為nnn

-2(2-l).=4X4-6X2<

4-12-13

nn1

,23-23X(1_y

sn2(2n+1-l)(2n-l)22n-l2n+1-l

S1s2s3sn222-l22-l23-l2n-l2n+1-l

2x(1--1—).

22n+1-l

3.(2022秋?浙江月考)在下面三個條件中任選一個，補(bǔ)充在F面的問題中并作答.

s

①〃〃〃+i=(〃+l)an+1：②a+1=2｛S:③g*=("+1)4

已知Sn為數(shù)列｛a〃｝的前ii項和，滿足a\=\,a〃>0,①.

(1)求｛m｝的通項公式；

(2)若bn=[lg(“D],其中因表示不超過x的最大整數(shù),求數(shù)列仍〃｝的前100項和

Tioo.

【答案】(1)a.,-2n-1.

(2)147.

【解答】解：(1)選擇條件①.

由〃。〃+1?(7/4-1)an=1>得(〃+2)。”+1=1,

兩式作差得(?+1)(an+an-2)-2(M+1)a”+i=0,即a〃+an+2=2a〃+i,

故｛〃“｝為等差數(shù)列，

當(dāng)〃=1時，由條件①知02-2m=l,e=3,故公差d=G?m=2,

所以an=2n-1,

選擇條件②，

當(dāng)〃=1時，可知〃]=1,a2+2a=4S-V

當(dāng)心2時，4]+2%1那』-1，

兩式相減得a〉2an-a3-2anT=4(Sn-SxP=4a/

即(Un^Cln-1)((In~Cln-\-2)=0?又所以(In~(in-]=2t

所以伍〃｝是I為首項，2為公差的等差數(shù)列，

所以an=2n-I,

選擇條件③，

由a1_SS

=苫，得｛-￡｝為常數(shù)列，

(n+1)2

Sn.

所以%=S]=1，得Sn=/，

n

22

當(dāng)〃，2時，an=n-(n-1)=2n-l,

又m=l也符合上式，所以a〃=2"-1.

(2)由(1)可得加=[/g⑵)],

當(dāng)心⑵)=1時，〃=5；當(dāng)1g(2〃)=2時，〃=50：當(dāng)4(2〃)=3時，〃=500,

所以7100=Ug2]+[lg4]+-+UgS]+[lg10]+-+[fe98]+[(g100]++[fe200]=4XG+45X1+51X2=

147.

4.（2022秋?麗水月考）在數(shù)列優(yōu)〃）中，m=2，a〃-a”+i=2c（HGN*）.

3

（I）求數(shù)列｛“〃｝的通項公式:

（2）求滿足不等式a?a2+a2a3+???+akak+1<-i-（k￡N*）成立的k的最大值.

【答案】（I）““=」一；（2）8.

2n+l

【解答】解：（I）由如+i=2a〃+ia〃（吒N"）,可得二2=2

an+lan

可得｛｝是首項為公差為的等差數(shù)列，則

_L3,2I——=3+2(/?-I)=2〃+1,

anan

即有l(wèi)ln=---;

2n+l

(2)anan+1=--------i-----------=A(-------),

(2n+l)(2n+3)22n+l2n+3

所以a1672+^2^3+,?,+ak(lk+1——(--—+—-2+...+—------)

235572k+l2k+3

=1(2-，)<1,

232k+37

可得」一>二二，即2A+3V21,即有AV9,

2k+321

則整數(shù)A?的最大值為8.

5.（2022秋?寧波月考）己知數(shù)列他〃｝的前〃項和S〃滿足S”=2fl”-2?！闚"）.

（1）求數(shù)列S”｝的通項公式:

b

（2）令加=的-4〃，求數(shù)列1｝的前〃項和。.

an

【答案】（I）的=2"；（2）刀,=〃-8+空馬.

2n-2

【解答】解：（1）在S尸加〃-2中，令〃=1,則如=>|-2,即m=2,

當(dāng)〃22時，有S”-i=2a”-i-2,

兩式相減得，a”=2a〃-2a”-1,即a〃=2“〃-i（%22）,

所以數(shù)列｛四｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

所以數(shù)列a“=2?2〃r=2〃.

(2)bn=an-4〃=2"-4n,

所以%>=2_4n=]_

an2n

設(shè)數(shù)列（3

｝的前n項和為Qn,則Tn=n-Qn,

2n一2

而Qn=」r+,2_4-3+.?Tn-l+.n

2一120212n72n-2’

所以=工+2+￡+???+nT+.n

22°21222n-1,

2[l-4)n]

乙

兩式相減得，-1Q?=J^+_L+J_+_L+...+^_-_D_

22~2°21222n-22n-

_n+2

2nH，

所以0=8-空當(dāng)，

2n一2

所以Tn=n-Q?=n-

6.（2022秋?溫州月考）已知數(shù)列｛板｝是等差數(shù)列,。1=1,且卬,a2,a5-I成等比數(shù)列.給

定依N*,記集合（礫Wa〃W2A,〃WN*）的元素個數(shù)為塊.

（I）求bi,歷的值;

（2）求最小自然數(shù)"的值，使得力+歷+…+加＞2022.

【答案】（1）bi=2,歷=3；

（2）當(dāng)最小自然數(shù)"的值為11時，使得加+歷+…+從＞2022.

【解答】解：⑴設(shè)等差數(shù)列伍”｝的公差為4

Vai=l,且41，02,45-1成等比數(shù)列，

2=“1?（G-］）,即（］+"）2=4",解得"=］,

a2

.?.a〃=l+〃-1=n,

???集合，怎N,的元素個數(shù)為bk,

???當(dāng)k=l時，集合｛〃|々危2,〃。”｝的元素個數(shù)為/，，即〃i=2；

當(dāng)&=2時，集合｛〃|2W〃W4,，｛N,｝的元素個數(shù)為例，即。：!=3,

故〃1=2,82=3；

（2）集合｛碌“WN"｝的元素個數(shù)為枚，即集合｛碌五〃五2勺〃€1＜｝的元素個數(shù)

為從，

：.bk=2k-k+],即加=2〃?“+l,

2n

，加+歷+…+b“=(2-1+1)+(2-2+1)+...+(2?〃+l)=(2+22+...+2").n(n+l)+n

2

n(2f,-

-2(l-2)-n_+Il=2I)工_+2>2022,

1-22222

2

令Cn=2"+I-2-工

22

則(2n+2-2-(n+1)W+I工)

Cn+1-Cn=-(2-1-Hl+=2*">0,

2222

，數(shù)列（5｝單調(diào)遞增，

當(dāng)〃=10時，2（2,J-1）-二一+工=2(210-1)-50+5=2001<2022,

22

2.

-工+匚=11-工

當(dāng)〃=11時，2（2〃-1）2(2-1)l+L=4039>2022,

2222

當(dāng)最小自然數(shù)〃的值為II時，使得+歷+…+加＞2022.

7.（2022秋?南山區(qū)校級期中）設(shè)等差數(shù)列｛“〃｝的前〃項和為品，已知53=35,且g是m

與m3的等比中項，數(shù)列｛氏｝的前"項和Tn=4n2+5r?

（1）求數(shù)列S”｝、｛加｝的通項公式;

（2）若ai＜4,對任意總有一11一+...H——I—＜入恒成立，求

4S?-b?4S2~b24Sn-bn

實數(shù)人的最小值.

【答案】（I）數(shù)列｛的｝的通項公式fl/i=7或an=2n+l,數(shù)列加｝的通項公式為bn=8n+l；

（2）實數(shù)人的最小值為』.

2

【解答】解：（1）設(shè)等龍數(shù)列｛〃〃｝的公差為4,

V55=35,且a是m與m3的等比中項,

5a|+10d=35

,即3d（3d-2ai）=0,m+2d=7,解得d=0或

a4^=（a1+3d）^=a1（a1+12d）

d=2,

當(dāng)d=0時,ai=7,此時數(shù)列｛s＞）的通項公式a〃=7,

當(dāng)d=2時,m=3,此時數(shù)列｛。〃｝的通項公式。〃=3+2Cn-I）=2n+\,

2

???數(shù)列（仇｝的前〃項和Tn=4n+5r^?

當(dāng)〃=1時，加=Ti=9,

當(dāng)“22時，Li-1=4(?-1)2+5(ri-i)②,

由①-②得“22時，>"=4『+5〃-[4(〃?1)2+5(〃.[)]=8H+1,

當(dāng)”=1時，加=9,

，數(shù)列｛〃”｝的通項公式為，尢=8〃+1：

(2)由(I)得a”=7或。i=2〃+l,/加=8〃+1,

*.*ai<4,.\an=2n+\.

〃

???等差數(shù)列伍〃｝的前〃項和為S,尸n(3+2n+l).=(n+2),

2

令Cn=------------=————=—(--,1

4Sn-bn4n2-122n-l2n+l

-+...+-------------=C|+c-2+...+Cn=—(1-—+—L+-+2^i

??之24

4S-b4s-bSn-bn233

」）=」（一」),

2n+l22n+l

*/A<1-_J_)隨〃的增大而增大,

22n+l

T(1)V1恒成立,

22n+l2

:對任意總有11+——<人恒成立,

「4S-b

4Sb]'4S2-b2nn

入衛(wèi),

2

故實數(shù)人的最小值為1.

2

8.（2022秋?浙江月考）已知數(shù)列（〃〃｝的前〃項和為S〃，m=3,S〃=2+“〃+i.(nGN*).

（I）證明：數(shù)列｛S〃-2｝為等比數(shù)列;

an+2

（2）設(shè)加=,記數(shù)列｛兒｝的前〃項和為心，證明:T“V1.

(an+1+l)(2Sn-3)

【答案】（I）證明過程請看解答；（2）證明過程請看解答.

【解答】證明：（I）在S〃=2+a“+i中，令〃=1,有ai=2+G,所以〃2=1

由S〃=2+a〃+i,知當(dāng)時，SH-i=2+a〃.

兩式相減得,an=an+\-an.即a“+i=2a〃(心2),

所以數(shù)列｛“”｝從第二項開始，是公比為2的等比數(shù)列,

3,n=l

所以an

2n.2,n>2,

所以品=3+]+2+22+…+2心=3+1(卜2111)=2,〃2,

1-2

所以&-2=2"7+2-2=2門,是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，得證.

n=l.

,ri

(2)由(I)知〃〃=,Sn=2+2,

n>2

rHkAbn=----------r—；------------=---------------------------------------------=

n-1n-1

(an+:+l)(2Sn-3)(2+l)[2-(2+2)-3]

on11

-----------------------------=2(—t—--

(2n-1+1)(2n+l)2n-1+12n+l

所以Lf=2[(A-A)+(A-i)+...+(—1---^)]=2(-l--^)=1-—^―

23352n-1+12n+l22n+l2n+l

vi,得證.

9.(2022秋?上城區(qū)校級月考)已知各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列S”｝的前〃項和為S”，且滿足

n(I+1)

g=晨nSn+1=(n+l)Sn?l(n€N*)-

(1)證明數(shù)列｛如｝是等差數(shù)列,并求出｛。〃｝的通項公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛加｝滿足1^=^^-，證明：b[+b/~+bn<!?

n21**g1/n2

【答案】(1)證明見解答,“〃=〃：(2)證明見解答.

【解答】解：⑴證明：?：nSn+i=(n+l)Sn小辿(n€N*)，

乙

?$n+l$n1S1

??WTa’又了二ag

?$nn+1

?---=-----，

n2

?

??Xc=n(n+1)'，

2

"產(chǎn)5…公-n(n+lA(nl)n=〃,(/I>2),又m=l,

2

Cln=〃,

/?“〃?i-a”=〃+1-〃=1,

,數(shù)列｛m｝是等差數(shù)列,且如=〃:

(2)證明：由(1)可得1：%=-----------嶗=」---------1——

nnH

2叫赳件]n<(n+1)?2

/.加+bl+?+bn=(―-----)-(——------------)+?+[------------------------------]

22X222X223X23n-2n(n+l)?2nH

=1一1<1,

2（n+l）-2n+12

故原命題成立.

10.（2022?浙江開學(xué)）己知數(shù)列｛“〃｝的首項為如工，對于任意的正自然數(shù)

［2

4an

n，

（I）求證：數(shù)列W-1｝為等比數(shù)列；

dn

（II）若」-J+…100,求滿足條件的最大整數(shù)〃.

ala2an

【答案】（I）證明見解析；

(II)98.

1.3an+1,1-an