2022-2023學(xué)年上海市寶山區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

2022-2023學(xué)年上海市寶山區(qū)高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題及答案一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分），要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得分，否則一律得了分.1.直線、確定一個平面，則、位置關(guān)系為________.【答案】平行或相交##相交或平行【解析】【分析】利用平面的基本性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)橹本€、確定一個平面，所以、的位置關(guān)系為平行或相交，故答案為：平行或相交2.以為圓心，且經(jīng)過原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓心設(shè)圓的方程，由原點(diǎn)在圓上求半徑，即可得標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】令圓的方程為，又原點(diǎn)在圓上，所以，故所求方程為.故答案為：3.已知球的表面積為4，則該球的體積為________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)球的表面積公式求出半徑，再根據(jù)體積公式求解.【詳解】設(shè)球半徑為，則，解得，所以【點(diǎn)睛】本題考查球的面積、體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4.在等差數(shù)列中，前7項(xiàng)的和，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)的和公式，結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋杂?，故答案為?.余弦函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是___________.【答案】【解析】【分析】利用初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得到的導(dǎo)數(shù)，再代入即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：.6.一組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，且中位數(shù)是3，則其方差大小是___________.【答案】##2.5【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義，結(jié)合方差的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)橐唤M數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3，所以有，而，所以，故答案為：7.己知直線，則與的夾角大小是___________.【答案】【解析】【分析】先求出兩直線的斜率，再利用兩直線的夾角公式求解即可.【詳解】設(shè)直線與的夾角為（），因?yàn)?，所以兩直線的斜率分別為，所以，因?yàn)?，所以，故答案為?.若圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的母線與軸的夾角大小___________.【答案】##30°【解析】【分析】若圓錐母線、底面半徑分別為易得，即可求母線與軸的夾角.【詳解】若圓錐母線、底面半徑分別為，則，即，令圓錐的母線與軸的夾角為，則，故.故答案為：9.如圖拋物線型拱橋，當(dāng)拱橋的頂點(diǎn)距離水面3米時，水面寬12米，則水面上升1米后，水面寬度為___________米.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件得拋物線上一點(diǎn)得坐標(biāo)，代入后可得拋物線得方程，再令對應(yīng)得y值可得上升水面后得橫坐標(biāo)得值，即得解.【詳解】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將A（6，-3）代入，得，∴，代入B得，故水面寬為米，故答案為：．10.事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且P(A)＝2P(B)，則P()＝________．【答案】【解析】【詳解】分析：由已知中事件A、B互斥，由它們都不發(fā)生的概率為，且P(A)＝2P(B)，可求，進(jìn)而根據(jù)對立事件概率減法公式得到答案.詳解：事件A、B互斥，且P(A)＝2P(B)，它們都不發(fā)生的概率為解得，,.故答案為.點(diǎn)睛：本題考查的知識點(diǎn)是互斥事件概率加法公式，對立事件概率減法公式，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.11.已知，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過且垂直于軸的直線與雙曲線的右支交于A，兩點(diǎn)，若是正三角形，則這條雙曲線C的漸近線方程是___________.【答案】【解析】【分析】[解法1]先根據(jù)題意求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到、，再由是正三角形得到的關(guān)系式，進(jìn)而求得的比值，從而可求得雙曲線C的漸近線方程.[解法2]根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合正三角形的性質(zhì)，直接得到的關(guān)系，進(jìn)而取值，并利用的平方關(guān)系得到的關(guān)系，進(jìn)而得到漸近線的方程.【詳解】[解法1]根據(jù)題意，易知，雙曲線C的漸近線方程為，因?yàn)檫^且垂直于軸的直線與雙曲線的右支交于A，兩點(diǎn)，所以不妨設(shè)，將代入雙曲線方程得，解得，即，同理：，所以，，由雙曲線定義可知，即，因?yàn)槭钦切?，所以，即，得，即，所以雙曲線C的漸近線方程為.故答案為：.[解法2]由題意為直角三角形，且,故可設(shè)，則,如圖所示：由雙曲線的定義得,∴,∴,∴,∴雙曲線的漸近線方程為，故答案為：12.已知A?B是由直線所圍成的矩形中相鄰的兩個頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的任意點(diǎn)，且存在實(shí)數(shù)m，n滿足，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】分析】由題意可設(shè)，，，，由、，可求得，，代入橢圓方程可得，結(jié)合重要不等式得到結(jié)果.【詳解】依題意不妨設(shè)，，，設(shè)，，，，，，為橢圓上的一點(diǎn)，，．又，即∴，即，所以的取值范圍是.故答案為：二?選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.某個年級有男生180人，女生160人，用分層抽樣的方法從該年級全體學(xué)生中抽取一個容量為68的樣本，則此樣本中女生人數(shù)為（）A.40 B.36 C.34 D.32【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意得：樣本中女生人數(shù)為.故選：D14.橢圓上的點(diǎn)到橢圓的焦點(diǎn)的距離的最大值與橢圓的短軸長相等，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得，進(jìn)而得，即，再解方程即可得答案.【詳解】解：因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到橢圓的焦點(diǎn)的距離的最大值為，橢圓的短軸長為所以根據(jù)題意得，所以兩邊平方得，即等式兩邊同除以得，解得或（舍）所以橢圓的離心率為故選：B15.在四面體ABCD中，各條校長都相等，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與EF所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、異面直線所成角的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，設(shè)正四面體的棱長為,則，且，是異面直線與所成的角(或其補(bǔ)角)，取中點(diǎn)，連結(jié)則，平面,平面,，，，異面直線與所成的角為,故選：B16.將正偶數(shù)從小到大按照如圖規(guī)律排列，定義排序：有序數(shù)組表示第s行第t個數(shù)（從左起），則2022的排序是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先觀察到第行的最后一個數(shù)為，從而確定2022位于第45行，再計(jì)算出所處的排序.【詳解】觀察可得：第行的最后一個數(shù)為，因?yàn)?，所?022位于第45行，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知：，所以2022的排序?yàn)?故選：C三?解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.如圖，是某校高三年級100名學(xué)生的體育綜合測試成績的頻率分布直方圖（百分制），其中，成績分組區(qū)間是：（1）求圖中a的值：（2）求這100名學(xué)生中，體育成績不小于80分的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)小長方形的面積之和為1得出方程，即可求出結(jié)果；（2）結(jié)合頻率分布直方圖即可求出結(jié)果.【小問1詳解】由題意得，.解得.【小問2詳解】體育成績不小于80分的概率.18.已知圓（1）從圓C外一點(diǎn)P向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，若有（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求動點(diǎn)P的軌跡方程：（2）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)即可得到關(guān)系式，整理即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)切線是否經(jīng)過原點(diǎn)進(jìn)行討論，再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因圓，則，又因?yàn)?，所以，即；【小?詳解】當(dāng)切線過原點(diǎn)時，設(shè)切線為，則，解得，因而..當(dāng)切線不過原點(diǎn)時，設(shè)切線為，則，解得或.從而或，所以切線方程為.19.如圖，已知三棱錐A-BCD的體積為2，棱AB，AC，AD兩兩垂直，AB=AC=2.點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).（1）求棱AD的長：（2）求直線AE與平面BCD所成角的大小，（用反三角函數(shù)值表示）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三棱錐體積公式即可得到結(jié)果；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量夾角公式即可得到結(jié)果.【小問1詳解】由題意，解得.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系.則有：.設(shè)平面的法向量是則，取.所以.設(shè)直線與平面所成的角為，則，.即直線與平面所成的角大小為.20.已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，動點(diǎn)P在拋物線上.（1）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)點(diǎn)，求的最小值：（3）設(shè)直線l與拋物線交于D，E兩點(diǎn)，若拋物線上存在點(diǎn)P，使得四邊形DPEF為平行四邊形，證明：直線l過定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析，定點(diǎn).【解析】【分析】（1）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程直接寫出焦點(diǎn)和準(zhǔn)線；（2）利用兩點(diǎn)式及二次函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合拋物線的有界性求的最小值；（3）設(shè)，直線為，聯(lián)立拋物線并應(yīng)用韋達(dá)定理有，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)有，由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示得到與數(shù)量關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上求參數(shù)b，即可確定定點(diǎn).【小問1詳解】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可得：焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.【小問2詳解】設(shè)，則當(dāng)時，，而，此時時；當(dāng)時，，而，此時，即P為原點(diǎn)時；所以.【小問3詳解】設(shè)，直線l為，，則，所以.因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，則所以，代入得：，解得，即直線過定點(diǎn).21.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列.公比為q，前n項(xiàng)的和為.（1）若.且成等差數(shù)列，求q的值：（2）求證：，對任意正整數(shù)n恒成立；（3）若，設(shè)數(shù)列滿足.對任意正整數(shù)n.不等式恒成立，求實(shí)數(shù)入的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)公比是否為1，結(jié)合等比數(shù)列