人教A版（2019）高中數(shù)學必修第二冊10.1.2事件的關系和運算【課件】

10.1.2事件的關系和運算主講人：李丁學 科：數(shù)學（人教版）學 校：北京市第八十中學年 級：高一下學期高中數(shù)學學習目標與任務了解隨機事件的并、交與互斥的含義；能結合具體實例進行隨機事件的并、交運算.高中數(shù)學重點難點重點：事件的包含、互斥、互相對立，并事件、交事件的含義.難點：能進行隨機事件的并、交運算，用簡單事件表示復雜事件.高中數(shù)學隨機試驗特點可預知性隨機性復習回顧1.隨機試驗把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為_隨機試驗

（簡稱試驗，常用字母E表示）．可重復性高中數(shù)學2.樣本點和樣本空間定義字母表示樣本點我們把隨機試驗E

的每個可能的基本結果稱為樣本點用

表示樣本點樣本空間全體樣本點的集合稱為試驗E

的樣本空間用

表示樣本空間有限樣本空間如果一個隨機試驗有n個可能結果

1

，

2

，L

n

則稱樣本空間

1

，

2

，L

n

為有限樣本

空間

1

，

2

，L

，

n

高中數(shù)學3.三種事件的定義在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機事件.在一定條件下必然要發(fā)生的事件叫必然事件.在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件.高中數(shù)學隨機事件我們將樣本空間

的子集稱為E的隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件，隨機事件一般用大寫字母

A,

B,C

等表示.在每次試驗中，當且僅當

A中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生.必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件.不可能事件空集

不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生.我們稱

為不可能事件.高中數(shù)學新課新知當幾個集合是有限集時，求集合AUB與AI B中的元素個數(shù)常用列舉法列出集合中的元素.AI

B中的元素個數(shù)即為集合A與B中

公共元素的個數(shù)；而當AI

B

時，AUB中的元素個數(shù)即為兩個集合中元素個數(shù)__之___和___；而當AI

B

時，AUB中的元素個數(shù)即為A,

B中元素個數(shù)之和

減去

AI

B中的元素個數(shù).高中數(shù)學從前面的學習中可以看到，我們在一個隨機試驗中可以定義很多隨機事件.這些事件有的簡單,有的復雜，我們希望從簡單事件的概率推算出復雜事件的概率，所以需要研究事件之間的關系和運算.引例：在擲骰子試驗中，觀察骰子朝上面的點數(shù)，可以定義許多隨機事件.例如：Ci

“點數(shù)為i

”，i

1,

2,3,

4,5,6；D1

“點數(shù)不大于3”；D2

“點數(shù)大于3”；E1

“點數(shù)為1或2

”；E2

“點數(shù)為2或3”；F

“點數(shù)為偶數(shù)”；G

“點數(shù)為奇數(shù)”；請用集合的形式表示這些事件，借助集合與集合的關系和運算,你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？高中數(shù)學C6

{6}D1

“點數(shù)不大于3”

{1,

2,3}D2

“點數(shù)大于3”

{4,5,

6}E1

“點數(shù)為1或2

”

{1,

2};我們把上述事件用集合的形式寫出來得到下列集合C1

{1}, C2

{2} C3

{3} C4

{4} C5

{5}E2

“點數(shù)為2或3”

{2,3}F

“點數(shù)為偶數(shù)”

{2,

4,

6}G

“點數(shù)為奇數(shù)”

{1,3,5}高中數(shù)學我們借助集合與集合的關系和運算以及事件的相關定義，我們發(fā)現(xiàn)這些事件之間有著奇妙的聯(lián)系，可以分為以下幾種情況.1.用集合的形式表示事件C1

“點數(shù)為1”和事件G

“點數(shù)為奇數(shù)”，它們分別是C1

1

和G

1,3,5

.顯然，如果事件C1發(fā)生，那么事件G一定發(fā)生，事件之間的這種關系用集合的形式表示，就是

1

1,3,5

，即C1

G.這時我們說事件G包含事件C1.高中數(shù)學一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱事件B包含事件A

或事件A包含于事件B

，記作B

A

或A

B

.如圖10.1-4.注意：（1）不可能事件記為：

；（2）任何事件都包含不可能事件.特別地，如果事件B包含事件A，事件A包含事件B，即B

A且A

B則稱事件A與事件B相等，記作A

B.高中數(shù)學2. D1

“點數(shù)不大于3”

1,

2,3

；事件E1

“點數(shù)為1或2

”

1,

2

；E2

“點數(shù)為2或3”

2,3

.可以發(fā)現(xiàn)，事件E1和事件E2至少有一個發(fā)生，相當于事件D1發(fā)生.事件之間的這種關系用集合的形式表示，就是

1,

2

U

2,3

1,

2,3

即E1

UE2

D1，這時我們稱D1為事件E1和事件E2的并事件.高中數(shù)學一般地，事件A與事件B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個事件為事件A與事件B的并事件

或和事件

，記作A

UB

或A

B

.可以用圖10.1-5中的綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個并事件.高中數(shù)學3. C2

“點數(shù)為2

”

2

；E1

“點數(shù)為1或2

”

1,

2

E2

“點數(shù)為2或3”

2,3

.可以發(fā)現(xiàn)，事件E1和事件E2同時發(fā)生，相當于事件C2發(fā)生.事件之間的這種關系用集合的形式表示，就是

1,

2

I

2,3

2

即E1

I E2

C2，這時我們稱C2為事件E1和事件E2的交事件.高中數(shù)學一般地，事件A與事件B同時發(fā)生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件

或積事件

，記作A

I B

或AB

.可以用圖10.1-6中的藍色區(qū)域表示這個交事件.高中數(shù)學4.

用集合的形式表示事件C3

“點數(shù)為3”和事件C4

“點數(shù)為4

”.它們分別是C3

3

，C4

4

.顯然，事件C3與事件C4不可能同時發(fā)生，用集合的形式表示這種關系，就是

3

I

4

，即C3

I

C4

，這時我們稱事件C3與事件C4互斥.一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說A

I

B是一個不可能事件，即A

I

B

，則稱事件A與事件B互斥

或互不相容

可以用圖10.1-7表示這兩個事件互斥.其含義是事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生.高中數(shù)學5. 用集合的形式表示事件F

“點數(shù)為偶數(shù)”、事件G

“點數(shù)為奇數(shù)”.它們分別是F

2,

4,

6

，G

1,3,5

.在任何一次試驗中，事件F與事件G兩者只能發(fā)生其中之一，而且也必然發(fā)生其中之一.事件之間的這種關系，用集合的形式可以表示為

2,

4,

6

U

1,3,5

1,

2,3,

4,5,

6

即F

UG

，且

2,

4,

6

I

1,3,5

，即F

I G

.此時我們稱事件F與事件G互為對立事件.事件D1與D2也有這種關系.高中數(shù)學一般地，如果事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A

UB

，且A

I B

，則稱事件A與事件B互為對立事件.事件A的對立事件記為A，可以用圖10.1-8表示.其含義是事件A與事件A在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生.高中數(shù)學綜上所述,事件的關系或運算的含義,以及相應的符號表示如下高中數(shù)學類似地，我們可以定義多個事件的和事件以及積事件.例如，對于三個事件A，B，C，A

UB

UC

或A

B

C

發(fā)生當且僅當A，B，C中至少有一個發(fā)生，A

I B

I C

或ABC

發(fā)生當且僅當A，B，C同時發(fā)生，等等.高中數(shù)學例題講解例5

如圖10.1-9，由甲乙兩個元件組成一個并聯(lián)電路，每個元件可能正?；蚴?設事件A

“甲元件正?！?，B

“乙元件正常”.

(1)寫出表示兩個元件工作狀態(tài)的樣本空間；(2)用集合的形式表示事件A，B以及它們的對立事件；(3)用集合的形式表示事件A

UB和事件A

I B，并說明它們的含義及關系.分析：注意到試驗由甲、乙兩個元件的狀態(tài)組成，所以可以用數(shù)組

x1,

x2

表示樣本點.這樣，確定事件A，B所包含的樣本點時，不僅要考慮甲元件的狀態(tài)，還要考慮乙元件的狀態(tài).高中數(shù)學例5

如圖10.1-9，由甲乙兩個元件組成一個并聯(lián)電路，每個元件可能正?；蚴?設事件A

“甲元件正常”，B

“乙元件正常”.

(1)寫出表示兩個元件工作狀態(tài)的樣本空間；解：（1）用x1

，x2分別表示甲、乙兩個元件的狀態(tài)，則可以用

x1,

x2

表示這個并聯(lián)電路的狀態(tài).以1表示元件正常，0表示元件失效，則樣本空間為

0,

0

,

0,

1

,

1,

0

,

1,1

.高中數(shù)學例5

如圖10.1-9，由甲乙兩個元件組成一個并聯(lián)電路，每個元件可能正?；蚴?設事件A

“甲元件正常”，B

“乙元件正常”.

(2)用集合的形式表示事件A，B以及它們的對立事件；（2）根據(jù)題意，可得A

1,

0

,

1,1

,

B

0,

1

,

1,1

A

0,

0

,

0,

1

,

B

0,

0

,

1,

0

.高中數(shù)學例5

如圖10.1-9，由甲乙兩個元件組成一個并聯(lián)電路，每個元件可能正?；蚴?設事件A

“甲元件正?！保珺

“乙元件正?！?(3)用集合的形式表示事件A

UB和事件A

I B，并說明它們的含義及關系.（3）A

UB

0,

1

,

1,0

,

1,1

,

A

I B

0,0

;A

UB表示電路工作正常，A

I B表示電路工作不正常；A

UB和A

I B互為對立事件.高中數(shù)學例6 一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球

標號為1和2

，2個綠色球

標號為3和4

，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事件R1

“第一次摸到紅球”，R2

“第二次摸到紅球”，R

“兩次都摸到紅球”，G

“兩次都摸到綠球”，M

“兩個球顏色相同”，N

“兩個球顏色不同”.(1)用集合的形式分別寫出試驗的樣本空間以及上述各事件；(2)事件R與R1

，R與G，M與N之間各有什么關系？(3)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關系？事件R1與事件R2的交事件與事件R有什么關系？高中數(shù)學解：（1）所有的試驗結果如圖10.1-10所示.用數(shù)組

x1,

x2

表示可能的結果，x1是第一次摸到的球的標號，x2是第二次摸到的球的標號，則試驗的樣本空間

1,2

,

1,3

,

1,

4

,

2,1

，

2，3

，

2，4

，

3，1

，

3，2

，

3，4

，

4，1

，

4，2

，

4，3

.高中數(shù)學事件R1

“第一次摸到紅球”，即x1

1或2，于是R1

1,2

,

1,3

,

1,

4

,

2,1

，

2，3

，

2，4

；事件R2

“第二次摸到紅球”，即x2

1或2，于是R2

2,

1

,

3,

1

,

4,

1

,

1,

2

，

3,

2

，

4，2

.同理，有R

2,

1

,

1,

2

，G

3,4

,

4,3

，M

2,

1

,

1,

2

，

3,

4

，

4，3

，N

1,

3

,

1,

4

,

2,

3

,

2,

4

，

3,1

，

3,

2

，

4，1

,

4，2

.高中數(shù)學例6 一個袋子中有大小和質地相同的4個球，其中有2個紅色球

標號為1和2

，2個綠色球

標號為3和4

，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事件R1

“第一次摸到紅球”，R2

“第二次摸到紅球”，R

“兩次都摸到紅球”，G

“兩次都摸到綠球”，M

“兩個球顏色相同”，N

“兩個球顏色不同”.(2)事件R與R1

，R與G，M與N之間各有什么關系？（2）因為R

R1，所以事件R1包含事件R；因為R

I G

，所以事件R與事件