人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算【課件】

10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算主講人：李丁學(xué) 科：數(shù)學(xué)（人教版）學(xué) 校：北京市第八十中學(xué)年 級(jí)：高一下學(xué)期高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)與任務(wù)了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義；能結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：事件的包含、互斥、互相對(duì)立，并事件、交事件的含義.難點(diǎn)：能進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算，用簡(jiǎn)單事件表示復(fù)雜事件.高中數(shù)學(xué)隨機(jī)試驗(yàn)特點(diǎn)可預(yù)知性隨機(jī)性復(fù)習(xí)回顧1.隨機(jī)試驗(yàn)把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為_隨機(jī)試驗(yàn)

（簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母E表示）．可重復(fù)性高中數(shù)學(xué)2.樣本點(diǎn)和樣本空間定義字母表示樣本點(diǎn)我們把隨機(jī)試驗(yàn)E

的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)用

表示樣本點(diǎn)樣本空間全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E

的樣本空間用

表示樣本空間有限樣本空間如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果

1

，

2

，L

n

則稱樣本空間

1

，

2

，L

n

為有限樣本

空間

1

，

2

，L

，

n

高中數(shù)學(xué)3.三種事件的定義在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件.在一定條件下必然要發(fā)生的事件叫必然事件.在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件.高中數(shù)學(xué)隨機(jī)事件我們將樣本空間

的子集稱為E的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件，隨機(jī)事件一般用大寫字母

A,

B,C

等表示.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)

A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生.必然事件Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會(huì)發(fā)生，我們稱Ω為必然事件.不可能事件空集

不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生.我們稱

為不可能事件.高中數(shù)學(xué)新課新知當(dāng)幾個(gè)集合是有限集時(shí)，求集合AUB與AI B中的元素個(gè)數(shù)常用列舉法列出集合中的元素.AI

B中的元素個(gè)數(shù)即為集合A與B中

公共元素的個(gè)數(shù)；而當(dāng)AI

B

時(shí)，AUB中的元素個(gè)數(shù)即為兩個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)__之___和___；而當(dāng)AI

B

時(shí)，AUB中的元素個(gè)數(shù)即為A,

B中元素個(gè)數(shù)之和

減去

AI

B中的元素個(gè)數(shù).高中數(shù)學(xué)從前面的學(xué)習(xí)中可以看到，我們?cè)谝粋€(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中可以定義很多隨機(jī)事件.這些事件有的簡(jiǎn)單,有的復(fù)雜，我們希望從簡(jiǎn)單事件的概率推算出復(fù)雜事件的概率，所以需要研究事件之間的關(guān)系和運(yùn)算.引例：在擲骰子試驗(yàn)中，觀察骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，可以定義許多隨機(jī)事件.例如：Ci

“點(diǎn)數(shù)為i

”，i

1,

2,3,

4,5,6；D1

“點(diǎn)數(shù)不大于3”；D2

“點(diǎn)數(shù)大于3”；E1

“點(diǎn)數(shù)為1或2

”；E2

“點(diǎn)數(shù)為2或3”；F

“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”；G

“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；請(qǐng)用集合的形式表示這些事件，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算,你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？高中數(shù)學(xué)C6

{6}D1

“點(diǎn)數(shù)不大于3”

{1,

2,3}D2

“點(diǎn)數(shù)大于3”

{4,5,

6}E1

“點(diǎn)數(shù)為1或2

”

{1,

2};我們把上述事件用集合的形式寫出來(lái)得到下列集合C1

{1}, C2

{2} C3

{3} C4

{4} C5

{5}E2

“點(diǎn)數(shù)為2或3”

{2,3}F

“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”

{2,

4,

6}G

“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”

{1,3,5}高中數(shù)學(xué)我們借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算以及事件的相關(guān)定義，我們發(fā)現(xiàn)這些事件之間有著奇妙的聯(lián)系，可以分為以下幾種情況.1.用集合的形式表示事件C1

“點(diǎn)數(shù)為1”和事件G

“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，它們分別是C1

1

和G

1,3,5

.顯然，如果事件C1發(fā)生，那么事件G一定發(fā)生，事件之間的這種關(guān)系用集合的形式表示，就是

1

1,3,5

，即C1

G.這時(shí)我們說(shuō)事件G包含事件C1.高中數(shù)學(xué)一般地，若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱事件B包含事件A

或事件A包含于事件B

，記作B

A

或A

B

.如圖10.1-4.注意：（1）不可能事件記為：

；（2）任何事件都包含不可能事件.特別地，如果事件B包含事件A，事件A包含事件B，即B

A且A

B則稱事件A與事件B相等，記作A

B.高中數(shù)學(xué)2. D1

“點(diǎn)數(shù)不大于3”

1,

2,3

；事件E1

“點(diǎn)數(shù)為1或2

”

1,

2

；E2

“點(diǎn)數(shù)為2或3”

2,3

.可以發(fā)現(xiàn)，事件E1和事件E2至少有一個(gè)發(fā)生，相當(dāng)于事件D1發(fā)生.事件之間的這種關(guān)系用集合的形式表示，就是

1,

2

U

2,3

1,

2,3

即E1

UE2

D1，這時(shí)我們稱D1為事件E1和事件E2的并事件.高中數(shù)學(xué)一般地，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件

或和事件

，記作A

UB

或A

B

.可以用圖10.1-5中的綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個(gè)并事件.高中數(shù)學(xué)3. C2

“點(diǎn)數(shù)為2

”

2

；E1

“點(diǎn)數(shù)為1或2

”

1,

2

E2

“點(diǎn)數(shù)為2或3”

2,3

.可以發(fā)現(xiàn)，事件E1和事件E2同時(shí)發(fā)生，相當(dāng)于事件C2發(fā)生.事件之間的這種關(guān)系用集合的形式表示，就是

1,

2

I

2,3

2

即E1

I E2

C2，這時(shí)我們稱C2為事件E1和事件E2的交事件.高中數(shù)學(xué)一般地，事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件

或積事件

，記作A

I B

或AB

.可以用圖10.1-6中的藍(lán)色區(qū)域表示這個(gè)交事件.高中數(shù)學(xué)4.

用集合的形式表示事件C3

“點(diǎn)數(shù)為3”和事件C4

“點(diǎn)數(shù)為4

”.它們分別是C3

3

，C4

4

.顯然，事件C3與事件C4不可能同時(shí)發(fā)生，用集合的形式表示這種關(guān)系，就是

3

I

4

，即C3

I

C4

，這時(shí)我們稱事件C3與事件C4互斥.一般地，如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說(shuō)A

I

B是一個(gè)不可能事件，即A

I

B

，則稱事件A與事件B互斥

或互不相容

可以用圖10.1-7表示這兩個(gè)事件互斥.其含義是事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生.高中數(shù)學(xué)5. 用集合的形式表示事件F

“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”、事件G

“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”.它們分別是F

2,

4,

6

，G

1,3,5

.在任何一次試驗(yàn)中，事件F與事件G兩者只能發(fā)生其中之一，而且也必然發(fā)生其中之一.事件之間的這種關(guān)系，用集合的形式可以表示為

2,

4,

6

U

1,3,5

1,

2,3,

4,5,

6

即F

UG

，且

2,

4,

6

I

1,3,5

，即F

I G

.此時(shí)我們稱事件F與事件G互為對(duì)立事件.事件D1與D2也有這種關(guān)系.高中數(shù)學(xué)一般地，如果事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即A

UB

，且A

I B

，則稱事件A與事件B互為對(duì)立事件.事件A的對(duì)立事件記為A，可以用圖10.1-8表示.其含義是事件A與事件A在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生.高中數(shù)學(xué)綜上所述,事件的關(guān)系或運(yùn)算的含義,以及相應(yīng)的符號(hào)表示如下高中數(shù)學(xué)類似地，我們可以定義多個(gè)事件的和事件以及積事件.例如，對(duì)于三個(gè)事件A，B，C，A

UB

UC

或A

B

C

發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生，A

I B

I C

或ABC

發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C同時(shí)發(fā)生，等等.高中數(shù)學(xué)例題講解例5

如圖10.1-9，由甲乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正常或失效.設(shè)事件A

“甲元件正?！保珺

“乙元件正?！?

(1)寫出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間；(2)用集合的形式表示事件A，B以及它們的對(duì)立事件；(3)用集合的形式表示事件A

UB和事件A

I B，并說(shuō)明它們的含義及關(guān)系.分析：注意到試驗(yàn)由甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)組成，所以可以用數(shù)組

x1,

x2

表示樣本點(diǎn).這樣，確定事件A，B所包含的樣本點(diǎn)時(shí)，不僅要考慮甲元件的狀態(tài)，還要考慮乙元件的狀態(tài).高中數(shù)學(xué)例5

如圖10.1-9，由甲乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正常或失效.設(shè)事件A

“甲元件正?！保珺

“乙元件正?！?

(1)寫出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間；解：（1）用x1

，x2分別表示甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)，則可以用

x1,

x2

表示這個(gè)并聯(lián)電路的狀態(tài).以1表示元件正常，0表示元件失效，則樣本空間為

0,

0

,

0,

1

,

1,

0

,

1,1

.高中數(shù)學(xué)例5

如圖10.1-9，由甲乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正常或失效.設(shè)事件A

“甲元件正?！保珺

“乙元件正?！?

(2)用集合的形式表示事件A，B以及它們的對(duì)立事件；（2）根據(jù)題意，可得A

1,

0

,

1,1

,

B

0,

1

,

1,1

A

0,

0

,

0,

1

,

B

0,

0

,

1,

0

.高中數(shù)學(xué)例5

如圖10.1-9，由甲乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正?；蚴?設(shè)事件A

“甲元件正常”，B

“乙元件正常”.(3)用集合的形式表示事件A

UB和事件A

I B，并說(shuō)明它們的含義及關(guān)系.（3）A

UB

0,

1

,

1,0

,

1,1

,

A

I B

0,0

;A

UB表示電路工作正常，A

I B表示電路工作不正常；A

UB和A

I B互為對(duì)立事件.高中數(shù)學(xué)例6 一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球

標(biāo)號(hào)為1和2

，2個(gè)綠色球

標(biāo)號(hào)為3和4

，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.設(shè)事件R1

“第一次摸到紅球”，R2

“第二次摸到紅球”，R

“兩次都摸到紅球”，G

“兩次都摸到綠球”，M

“兩個(gè)球顏色相同”，N

“兩個(gè)球顏色不同”.(1)用集合的形式分別寫出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件；(2)事件R與R1

，R與G，M與N之間各有什么關(guān)系？(3)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件R1與事件R2的交事件與事件R有什么關(guān)系？高中數(shù)學(xué)解：（1）所有的試驗(yàn)結(jié)果如圖10.1-10所示.用數(shù)組

x1,

x2

表示可能的結(jié)果，x1是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào)，x2是第二次摸到的球的標(biāo)號(hào)，則試驗(yàn)的樣本空間

1,2

,

1,3

,

1,

4

,

2,1

，

2，3

，

2，4

，

3，1

，

3，2

，

3，4

，

4，1

，

4，2

，

4，3

.高中數(shù)學(xué)事件R1

“第一次摸到紅球”，即x1

1或2，于是R1

1,2

,

1,3

,

1,

4

,

2,1

，

2，3

，

2，4

；事件R2

“第二次摸到紅球”，即x2

1或2，于是R2

2,

1

,

3,

1

,

4,

1

,

1,

2

，

3,

2

，

4，2

.同理，有R

2,

1

,

1,

2

，G

3,4

,

4,3

，M

2,

1

,

1,

2

，

3,

4

，

4，3

，N

1,

3

,

1,

4

,

2,

3

,

2,

4

，

3,1

，

3,

2

，

4，1

,

4，2

.高中數(shù)學(xué)例6 一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球

標(biāo)號(hào)為1和2

，2個(gè)綠色球

標(biāo)號(hào)為3和4

，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.設(shè)事件R1

“第一次摸到紅球”，R2

“第二次摸到紅球”，R

“兩次都摸到紅球”，G

“兩次都摸到綠球”，M

“兩個(gè)球顏色相同”，N

“兩個(gè)球顏色不同”.(2)事件R與R1

，R與G，M與N之間各有什么關(guān)系？（2）因?yàn)镽

R1，所以事件R1包含事件R；因?yàn)镽

I G

，所以事件R與事件