專題15-利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值(原卷版)

專題15利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值、最值一、核心體系 導數(shù)二、關鍵能力了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關系，會用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.了解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點取到極值的條件，會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，會用導數(shù)解決某些實際問題.三、教學建議1.結合實例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；對于多項式函數(shù)，能求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2.借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；3.能利用導數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)的最大值、最小值；體會導數(shù)與單調(diào)性、極值、最大(小)值的關系.四、高頻考點 1、函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，則：(1)若f′(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若f′(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).2、函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，則：(1)若f′(x)>0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若f′(x)<0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(3)若f′(x)＝0，則f(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù).3、函數(shù)的極值與導數(shù)條件f′(x0)＝0x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0圖象形如山峰形如山谷極值f(x0)為極大值f(x0)為極小值極值點x0為極大值點x0為極小值點4、函數(shù)的最值與導數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.五、重點題型考點一、利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性例1-1.【2019·天津卷】設函數(shù)為的導函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間。例1-2.【2019·全國Ⅲ卷】已知函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋b.討論f(x)的單調(diào)性．例1-3.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x－m)，x∈(m，＋∞)，證明：函數(shù)y＝f(x)在(m，m＋1)上單調(diào)遞減例1-4.已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)ax2＋2x(a≠0)．(1)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．訓練題組1.已知，那么單調(diào)遞增區(qū)間__________；單調(diào)遞減區(qū)間__________.2．（2023·新課標1卷）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.4.已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；5．若函數(shù)f(x)＝x3－12x在區(qū)間(k－1，k＋1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是________．考點二、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值例2-1（重慶高考真題）設函數(shù)f(x)在R上可導，其導函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是(D)A．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)C．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)D．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)例2-2.（2021·山西省）已知函數(shù)在處取得極大值10，則的值為（）A．－ B．－2 C．－2或－ D．2或－例2-3.已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R).討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點的個數(shù).訓練題組1.已知函數(shù)，則（）A．的單調(diào)遞減區(qū)間為 B．的極小值點為1C．的極大值為 D．的最小值為2．多選題（2023·新課標2卷）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．3.（2020·江蘇）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，下列結論中正確的是（）A．是函數(shù)的極小值點B．是函數(shù)的極小值點C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．函數(shù)在處切線的斜率小于零4.(2017·全國Ⅱ卷)若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的極值點，則f(x)的極小值為()A.－1 B.－2e－3 C.5e－3 D.15.(2018·北京卷)設函數(shù)f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.若f(x)在x＝2處取得極小值，求a的取值范圍.6.已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．(0,1) D．(0，＋∞)考點三、利用導數(shù)研究函數(shù)最值例3.已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx，其中a為常數(shù).(1)當a＝－1時，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在區(qū)間(0，e]上的最大值為－3，求a的值.題組訓練1.已知函數(shù)（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．Ⅰ當時，求的最小值；Ⅱ當時，求在上的最小值．2.設函數(shù)若，則的最小值為__________；若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是_______．考點四、利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像例4.已知函數(shù)f(x)＝ex－(x＋1)2(e為2.71828…)，則f(x)的大致圖象是（）A． B．C． D．對點訓練1.【多選題】（2021·全國高三）如圖是函數(shù)的部分圖像，則的解析式可能是（）A． B． C． D．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A． B．C． D．鞏固訓練一、單選題1．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的是()A．f(x)＝sin2x B．f(x)＝xexC．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋lnx2．“m<4”是“函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是()4．（2021·福建高三二模）已知函數(shù)的定義域為，其圖象大致如圖所示，則（）A． B． C． D．5．設函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x＋a)，若f(x)的極小值為eq\r(e)，則a＝()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,2) D．26．已知函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx的圖象如圖所示，則xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝()A．eq\f(2,3) B．eq\f(4,3)C．eq\f(8,3) D．eq\f(16,3)7．設函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x≠0)的導函數(shù)，f(－1)＝－1．當x>0時，f′(x)>1，則使得f(x)>x成立的x的取值范圍是()A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)8．設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,ex)，x≥a，,x，x＜a，))若函數(shù)存在最大值，則實數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)＜1C．a(chǎn)≤eq\f(1,e) D．a(chǎn)＜eq\f(1,e)二、多選題9．（2021·山東高三三模）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A．的周期為 B．的圖象關于對稱C．的最大值為 D．在區(qū)間在上單調(diào)遞減10．（2021·武岡市第二中學高三其他模擬）已知函數(shù)，是的導函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．當時，在單調(diào)遞增B．當時，在處的切線為x軸C．當時，在上無零點D．當時，在存在唯一極小值點11．已知函數(shù)f(x)＝x＋sinx－xcosx的定義域為[－2π，2π)，則()A．f(x)為奇函數(shù)B．f(x)在[0，π)上單調(diào)遞增C．f(x)恰有4個極大值點D．f(x)有且僅有4個極值點12．下面比較大小正確的有()A．eq\f(ln2,2)>eq\f(1,e) B．3ln4<4ln3C．eq\f(π,e)>lnπ D．3<eln3三、填空題13．（2021·廣東高三其他模擬）若函數(shù)有最小值，則的一個正整數(shù)取值可以為___________.14.若函數(shù)f(x)＝eq\f(x3,3)－eq\f(a,2)x2＋x＋1在區(qū)間(eq\f(1,2)，3)上有極值點，則實數(shù)a的取值范圍是________．四、解答題15．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)