2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點第五章三角函數(shù)解三角形簡單的三角恒等變換理

PAGEPAGE23簡潔的三角恒等變換1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式(1)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))；(2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))；(3)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))；(4)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))；(5)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))；(6)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))．2．二倍角公式(1)基本公式：①sin2α＝2sinαcosα；②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；③tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).(2)公式變形：由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；升冪公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.概念方法微思索1．誘導(dǎo)公式與兩角和差的三角函數(shù)公式有何關(guān)系？提示誘導(dǎo)公式可以看成和差公式中β＝k·eq\f(π,2)(k∈Z)時的特別情形．2．怎樣探討形如f(x)＝asinx＋bcosx的函數(shù)的性質(zhì)？提示先依據(jù)協(xié)助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)·sin(x＋φ)，將f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再結(jié)合圖象探討函數(shù)的性質(zhì)．3．思索求eq\f(α,2)的正弦、余弦、正切公式．提示(1)sin

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))；(2)cos

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))；(3)tan

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).1．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知，且，則A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，即，解得（舍去），或．，，，則．故選．2．（2024?全國）已知，則A． B． C．3 D．5【答案】B【解析】，則．故選．3．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知，，則A． B． C． D．【答案】B【解析】，可得：，，，，，，解得：．故選．4．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）若，則A． B． C． D．【答案】B【解析】，．故選．5．（2024?山東）已知，則A． B． C． D．【答案】D【解析】依據(jù)余弦函數(shù)的倍角公式，且，．故選．6．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知，則A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，故選．7．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）若為第四象限角，則A． B． C． D．【答案】D【解析】為第四象限角，則，，則，是第三或第四象限角或為軸負(fù)半軸上的角，，故選．8．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知，則A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由，得，即，得，即，即，則，故選．9．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知，則A． B． C． D．【答案】B【解析】，，即，得，即，得故選．10．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）若在，是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．【答案】C【解析】，由，，得，，取，得的一個減區(qū)間為，，由在，是減函數(shù)，得．則的最大值是．故選．11．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）若在，是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．【答案】A【解析】，由，，得，，取，得的一個減區(qū)間為，，由在，是減函數(shù)，得，．則的最大值是．故選．12．（2024?全國）A． B． C．0 D．【答案】A【解析】因為．故選．13．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）若，則__________．【答案】【解析】，．故答案為：．14．（2024?江蘇）已知，則的值是__________．【答案】【解析】因為，則，解得，故答案為：．15．（2024?浙江）已知，則，__________．【答案】；【解析】，則．．故答案為：；．16．（2024?上海）已知，，則__________．【答案】【解析】，，，，，故．故答案為：．17．（2024?四川）__________．【答案】【解析】．故答案為：．18．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知，，則__________．【答案】【解析】，兩邊平方可得：，①，，兩邊平方可得：，②，由①②得：，即，．．故答案為：．19．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知，則__________．【答案】【解析】，，則，故答案為：．20．（2024?江蘇）若．則__________．【答案】【解析】，解得，故答案為：．21．（2024?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱，若，則__________．【答案】【解析】方法一：角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱，，，方法二：，當(dāng)在第一象限時，，，角的終邊關(guān)于軸對稱，在其次象限時，，，，當(dāng)在其次象限時，，，角的終邊關(guān)于軸對稱，在第一象限時，，，綜上所述，故答案為：．22．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知，，則__________．【答案】【解析】，，，，解得，，，故答案為：．23．（2024?浙江）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若角滿意，求的值．【解析】（Ⅰ）角的頂點與原點重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊過點，．，，，；（Ⅱ）由，，，得，，又由，得，則，或．的值為或．24．（2024?北京）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在區(qū)間，上的最大值為，求的最小值．【解析】函數(shù)，的最小正周期為；（Ⅱ）若在區(qū)間，上的最大值為，可得，，即有，解得，則的最小值為．25．（2024?上海）設(shè)常數(shù)，函數(shù)．（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）若，求方程在區(qū)間，上的解．【解析】（1），，為偶函數(shù)，，，，；（2），，，，，，，，或，，，或，，，，或或或26．（2024?上海）已知（1）若，且，，求的值（2）求函數(shù)的最小值【解析】（1）若，且，，則，則，則．（2）函數(shù)，，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為．1．（2024?西安模擬）已知、是方程的兩個實根，且，則A． B． C． D．【答案】D【解析】、是方程的兩個實根，且，，，，，．故選．2．（2024?香坊區(qū)校級一模）若，則的值為A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，又，所以，因為，所以，又，所以，所以．故選．3．（2024?龍鳳區(qū)校級模擬）若，，則A．2 B． C． D．【答案】A【解析】由，，所以．故選．4．（2024?碑林區(qū)校級模擬）A． B． C． D．【答案】D【解析】．故選．5．（2024?青羊區(qū)校級模擬）已知為銳角，，則A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，所以①，兩邊平方可得，所以，所以，因為為銳角，所以②，由①②可得．故選．6．（2024?廣東四模）已知，則A． B． C． D．【答案】A【解析】，即由．故選．7．（2024?桃城區(qū)校級模擬）已知，，則A．2 B． C．1 D．【答案】A【解析】，，，．故選．8．（2024?九龍坡區(qū)模擬）函數(shù)的最小正周期為A． B． C． D．【答案】C【解析】，其中，的最小正周期為．故選．9．（2024?梅河口市校級模擬）已知，，則的值為A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】，，可得：，，，．故選．10．（2024?全國四模）已知為銳角，若，則A． B． C． D．【答案】D【解析】為銳角，，，，，．故選．11．（2024?丹東二模）在中，，則A．7 B． C． D．【答案】A【解析】中，，為鈍角，，，則，故選．12．（2024?衡陽三模）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故選．13．（2024?包河區(qū)校級模擬）設(shè)，滿意，，則A． B． C． D．1【答案】D【解析】，滿意，，則，故選．14．（2024?河南模擬）已知，則A． B． C． D．【答案】D【解析】，．故選．15．（2024?桃城區(qū)校級模擬）若，則A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以，則．故選．16．（2024?廬陽區(qū)校級模擬）已知為第三象限角，，則A． B． C． D．【答案】A【解析】為第三象限角，，，，．故選．17．（2024?淮北二模）若，則的值為A． B．0 C． D．1【答案】A【解析】，．故選．18．（2024?廣東四模）已知，則的值是A． B． C． D．【答案】A【解析】已知，．故，故選．19．（2024?碑林區(qū)校級模擬）已知，則A． B． C． D．【答案】C【解析】，；；故選．20．（2024?唐山二模）已知，則A． B． C． D．【答案】A【解析】，，．故選．21．（2024?梅河口市校級模擬）已知，且，則A． B． C． D．【答案】B【解析】，且，可得，可得，解得，或1（舍去），，．故選．22．（2024?讓胡路區(qū)校級三模）已知，則實數(shù)的值為A． B． C． D．1【答案】C【解析】由題意得，所以，移項得，所以，即．故選．23．（2024?黑龍江二模）若，，則A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，．故選．24．（2024?運城模擬）已知，則A． B． C． D．【答案】B【解析】，．故選．25．（2024?嵊州市二模）已知函數(shù)．（1）若求的值；（Ⅱ）設(shè)，若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的最大值．【解析】（1）函數(shù)，若，則，且，，，．（Ⅱ），若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，在區(qū)間上，，，，求得，故的最大值為．26．（2024?嘉定區(qū)二模）設(shè)常數(shù)，函數(shù)．（1）若為奇函數(shù)，求的值；（2）若，求方程在區(qū)間，上的解．【解析】（1）當(dāng)為奇函數(shù)時，必有，可得．當(dāng)時，，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可知其為奇函數(shù)，符合題意，可得的值為0．（2）因為，所以，由，或，可得：，或，所以在區(qū)間，上的解為．27．（2024?西湖區(qū)校級模擬）已知，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ）已知，，所以．由于，．整理得，．所以．（Ⅱ）由于，所以．所以．28．（2024?西湖區(qū)校級模擬）已知，且為其次象限角．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【解析】（Ⅰ）由已知，得，．（Ⅱ），得，．29．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）已知，均為銳角，且．（1）求的值；（2）若，求的值．【解析】（1）由，得．解得，或．因為為銳角，所以，．（2）因為，均為銳角，所以，所以，，．30．（2024?永康市模擬）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)方程在，上恰有5個實數(shù)解，求的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)．令，整理得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）設(shè)方程在