2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點第三章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ函數(shù)的單調(diào)性與最值理

函數(shù)的單調(diào)性與最值1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f

(x)的定義域為I，假如對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的隨意兩個自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時，都有f

(x1)<f

(x2)，那么就說函數(shù)f

(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時，都有f

(x1)>f

(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義假如函數(shù)y＝f

(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f

(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f

(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f

(x)的定義域為I，假如存在實數(shù)M滿意條件(1)對于隨意的x∈I，都有f

(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f

(x0)＝M(1)對于隨意的x∈I，都有f

(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f

(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值概念方法微思索1．在推斷函數(shù)的單調(diào)性時，你還知道哪些等價結(jié)論？提示對?x1，x2∈D，x1≠x2，eq\f(f

x1－f

x2,x1－x2)>0?f

(x)在D上是增函數(shù)；對?x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－x2)·[f

(x1)－f

(x2)]>0?f

(x)在D上是增函數(shù)．減函數(shù)類似．2．寫出函數(shù)y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的增區(qū)間．提示(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)．1．（2024·新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)函數(shù)，則f(x)（）A.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】由得定義域為，關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可解除AC；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，解除B；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.2．（2024·北京卷）能說明“若f（x）>f（0）對隨意的x∈（0，2］都成立，則f（x）在［0，2］上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是__________．【答案】（答案不唯一）【解析】對于，其圖象的對稱軸為，則f（x）>f（0）對隨意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是單調(diào)函數(shù).1．（2024?平谷區(qū)一模）下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是A． B． C． D．【答案】B【解析】依據(jù)題意，依次分析選項：對于，，為反比例函數(shù)，在上為減函數(shù)，不符合題意；對于，，為指數(shù)函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，符合題意；對于，，為正弦函數(shù)，在上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意；對于，，是指數(shù)函數(shù)，在上為減函數(shù)，不符合題意；故選．2．（2024?西城區(qū)一模）下列函數(shù)中，值域為且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是A． B． C． D．【答案】C【解析】依據(jù)題意，依次分析選項：對于，，其值域為，，不符合題意；對于，，其值域為，不符合題意；對于，，值域為且在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意；對于，，在區(qū)間上為減函數(shù)，不符合題意；故選．3．（2024?安慶三模）若函數(shù)，在區(qū)間，和，上均為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】，，為實數(shù)集上的偶函數(shù)，由在區(qū)間，和，上均為增函數(shù)，知在，上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)，函數(shù)的對稱軸，得，．故選．4．（2024?天津二模）若，在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】在定義域上是單調(diào)函數(shù)時，①函數(shù)的單調(diào)性是增函數(shù)時，可得當(dāng)時，，即，解之得時，是增函數(shù)，又時，是增函數(shù)，，得或因此，實數(shù)的取值范圍是：②函數(shù)的單調(diào)性是減函數(shù)時，可得當(dāng)時，，即，解之得或．時，是減函數(shù)，又時，是減函數(shù)，，得或因此，實數(shù)的取值范圍是：綜上所述，得故選．5．（2024春?天津期末）下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是A． B． C． D．【答案】C【解析】依據(jù)題意，依次分析選項：對于，為一次函數(shù)，在上為減函數(shù)，不符合題意；對于，為二次函數(shù)，在上為減函數(shù)，不符合題意；對于，為反比例函數(shù)，在上為增函數(shù)，符合題意；對于，，當(dāng)時，，則函數(shù)在上為減函數(shù)，不符合題意；故選．6．（2024秋?武昌區(qū)期末）下列函數(shù)在上是增函數(shù)的是A． B． C． D．【答案】D【解析】對于，函數(shù)在遞減，不合題意；對于，函數(shù)在遞減，不合題意；對于，函數(shù)在遞減，不合題意；對于，函數(shù)在遞增，符合題意；故選．7．（2024春?鄭州期末）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令，解得．即有單調(diào)減區(qū)間為．故選．8．（2024?北京模擬）下列函數(shù)中，在內(nèi)單調(diào)遞增，并且是偶函數(shù)的是A． B． C． D．【答案】C【解析】．的對稱軸為，為非奇非偶函數(shù)，不滿意條件．．是偶函數(shù)，但在內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，不滿意條件．．為偶函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞增，滿意條件，．，內(nèi)單調(diào)遞增，為非奇非偶函數(shù)，不滿意條件．故選．9．（2024春?武邑縣校級期中）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【解析】依據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上恒成立，則有在上恒成立，必有，故選．10．（2024秋?東?？h期中）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是A． B． C．，， D．和【答案】D【解析】依據(jù)題意，函數(shù)，其定義域為其導(dǎo)數(shù)，分析可得：當(dāng)時，，即函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，即函數(shù)在上為減函數(shù)；綜合可得：函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是和；故選．11．（2024秋?鐘祥市校級期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，，此時函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時，，此時函數(shù)為減函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選．12．（2024秋?金鳳區(qū)校級期中）下列函數(shù)在上單調(diào)遞增的是A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)題意，依次分析選項：對于，，在上單調(diào)遞增，符合題意；對于，，為反比例函數(shù)，在上單調(diào)遞減，不符合題意；對于，，為指數(shù)函數(shù)，在上單調(diào)遞減，不符合題意；對于，，為二次函數(shù)，在上單調(diào)遞減，不符合題意；故選．13．（2024秋?赫章縣期中）下列函數(shù)在，上單調(diào)遞減的是A． B． C． D．【答案】A【解析】依據(jù)題意，依次分析選項：對于，，為二次函數(shù)，其開口向下且對稱軸為，在，上單調(diào)遞減，符合題意；對于，，在上為增函數(shù)，不符合題意；對于，，在上為增函數(shù)，不符合題意；對于，，在上為增函數(shù)，不符合題意；故選．14．（2024秋?香坊區(qū)校級月考）已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是A． B． C．，， D．和．【答案】D【解析】依據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，易得在區(qū)間和上，，即函數(shù)在區(qū)間和．為增函數(shù)，故選．15．（2024春?溫州期中）函數(shù)在上是減函數(shù)．則A． B． C． D．【答案】B【解析】依據(jù)題意，函數(shù)在上是減函數(shù)，則有，解可得，故選．16．（2024?湖南模擬）定義在的函數(shù)與函數(shù)在，上具有相同的單調(diào)性，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，，【答案】B【解析】依據(jù)題意，函數(shù)，其定義域為，則上為減函數(shù)，在，上為減函數(shù)，必有，解可得，即的取值范圍為，；故選．17．（2024秋?金臺區(qū)期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】令，則，由的對稱軸為，可得函數(shù)在遞增，，遞減，而在上遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，故選．18．（2024秋?天津期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A． B． C．， D．【答案】C【解析】令，解得：或，而函數(shù)的對稱軸是：，由復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，故選．19．（2024秋?項城市校級月考）下列函數(shù)中，在區(qū)間上是遞增函數(shù)的是A． B． C． D．【答案】A【解析】．時，，該函數(shù)在上是遞增函數(shù)，；所以該選項正確．是一次函數(shù)，在上是遞減函數(shù)，所以該選項錯誤；．是反比例函數(shù)，在上是遞減函數(shù)，所以該選項錯誤；．是二次函數(shù)，在上是遞減函數(shù)，所以該選項錯誤．故選．20．（2024?西湖區(qū)校級模擬）函數(shù)的定義域為___________；單調(diào)遞減區(qū)間是___________．【答案】；，【解析】函數(shù)的定義域為；，令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，．故答案為：；單調(diào)遞減區(qū)間為，．21．（2024?西湖區(qū)校級模擬）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________，值域為___________．【答案】和，，，，【解析】，解得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，，單調(diào)遞減區(qū)間為，，，，即函數(shù)在處有極大值，在處有微小值，所以函數(shù)的值域為，，．故答案為：和，，，，．22．（2024?浙江模擬）已知函數(shù)已知函數(shù)，則（4）___________；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是___________．【答案】1，，【解析】（4）；（4）（1）；時，，對稱軸為；在，上單調(diào)遞減；的單調(diào)遞減區(qū)間為，．故答案為：1，，．23．（2024?河?xùn)|區(qū)一模）已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】由題意知，，則，在上是單調(diào)函數(shù)，在上恒成立，則△，解得，實數(shù)的取值范圍是，故答案為：．24．（2024?永康市模擬）設(shè)函數(shù)，若（1），則實數(shù)___________，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為___________．【答案】2，【解析】函數(shù)，可得（1），（1）（2），解得；的增區(qū)間為，．故答案為：2，25．（2024秋?徐匯區(qū)校級期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為___________．【答案】，【解析】依據(jù)題意，，是開口向下的二次函數(shù)，其對稱軸為，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，；故答案為：，．26．（2024秋?香坊區(qū)校級月考）函數(shù)的值域是___________，單調(diào)遞增區(qū)間是___________．【答案】，；，【解析】依據(jù)題意，函數(shù)，設(shè)，必有，解可得，必有，則，則有，即函數(shù)的值域為，；又由，必在區(qū)間，上為增函數(shù)，則，上為減函數(shù)，則函數(shù)的遞增區(qū)間為，；故答案為：，；，．27．（2024春?江陰市期中）已知在，上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為___________．【答案】或【解析】依據(jù)題意，為二次函數(shù)，其對稱軸為，若在，上是單調(diào)函數(shù)，則有或，解可得或，即的取值范圍為或；故答案為：或．28．（2024秋?駐馬店期末）已知是定義在，上的單調(diào)遞增函數(shù)，則不等式的解集是___________．【答案】，【解析】依據(jù)題意，是定義在，上的單調(diào)遞增函數(shù)，則，解可得：，即不等式的解集為，；故答案為：，．29．（2024秋?秦州區(qū)校級月考）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是___________．【答案】【解析】；在上單調(diào)遞增；即的單調(diào)遞增區(qū)間為．故答案為：．30．（2024秋?思明區(qū)校級期中）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為___________．【答案】，【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，這樣就得到一個分段函數(shù)．的對稱軸為：，開口向上，時是增函數(shù)；，開口向下，對稱軸為，則時函數(shù)是增函數(shù)，時函數(shù)是減函數(shù)．即有函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，．故答案為：，．31．（2024秋?定遠縣期末）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】函數(shù)函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間是．在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，，得，解之得故答案為：．32．（2024?西湖區(qū)校級模擬）已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的最小值．（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解析】（1），在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在，上是增函數(shù)，所以（2）當(dāng)時，在，上是增函數(shù)當(dāng)時，在上遞減，在遞增，所以①當(dāng)時，在，上是增函數(shù)；②當(dāng)時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；綜上所述，當(dāng)時，在，上是增函數(shù)當(dāng)時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．33．（2024秋?秦淮區(qū)校級期中）（1）求函數(shù)的值域；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解析】（1），則，所以，因為拋物線開口向上，對稱軸為直線，所