安徽省合肥市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)情調(diào)研與診斷(三)數(shù)學(xué)試題

合肥四中高三學(xué)情調(diào)研與診斷（三）

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共8小題）

rrp=（x|10g1（^-1）<0|'卜；21

1.已知全集0二1^,集合I?J,則（）

A.屯4=[2,+8）B.8=*

C.4c（Q,B）=0D.=,2]

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合再由交集，補(bǔ)集，并集的定義判斷A,C,D；由集合間的關(guān)系判斷B.

【詳解】由log2（xT）<0=bg21，則0<1一1<1，解得：1<X<2,

所以/={x[l<x<2},

由可得2—120,即20,則—2），°,

xxx[x工0

解得：0cx《2,故8={x|0cx《2},故B錯(cuò)誤；

故名力={工卜41或x22},故A錯(cuò)誤；

電8={x|x<0或x>2},4n（電町=0,故C正確；

Nu8=（0,2],故D錯(cuò)誤.

故選:C.

2.^3xe[1,2],使2/一%丫+1<0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是（）

B.2反9

A.(-8,2伺C.(-3]D.5收

【答案】C

【解析】

【分析】先將條件轉(zhuǎn)化為Vxc[1,2],使2/一九丫+120成立，再參變分離構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,

求導(dǎo)確定最值即可求解.

【詳解】若使2/-%丫+1<0成立”是假命題，則"VX￡1,2],使2/-九丫+120成立“是真

命趣，即V.￥€[1,2],義工2xH--;

X

^/(X)=2X+-,XG[1,2],則0=2-4=空二>0,則/(x)在x?l,2]上單增，

XXX

〃加=〃1)=3,則人3.

故選:C.

3.已知函數(shù)/(x)=(l+cosx)卜一:卜勺部分圖像大致為()

【答案】D

【解析】

【分析】求出/(x)的定義域可排除A；證明/(x)是奇函數(shù)可排除B；當(dāng)x>0且X趨近于0時(shí)，/'(x)<o

可排C,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】/'(x)=(l+cosx)G—，的定義域?yàn)椋鹸|"0

｝,故排除選項(xiàng)A；

/(x)定義域?yàn)椋穦xw。｝,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

/(-X)=(1+cosx)f--X=-|14-COSX)fX--j=-J

r(x),所以/(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

故排除選項(xiàng)B；

當(dāng)x：>0且X趨近于。時(shí)，/(x)=(l+cosx)(x-；<0,故排除選項(xiàng)C,

故選:D

4.某教學(xué)軟件在剛發(fā)布時(shí)有1()0名教師用戶，發(fā)布5天后有100()名教師用戶，如果教師用戶人數(shù)火(/)與

天數(shù)/之間滿足關(guān)系式：/?(，)=%(?,其中％為常數(shù)，/=0是剛發(fā)布的時(shí)間，則教師用戶超過(guò)3000()名至

少經(jīng)過(guò)的天數(shù)為()

(參考數(shù)據(jù)：lg3,0.4771)

A.11B.12C.13D.14

【答案】C

【解析】

In10inin

【分析】根據(jù)題意，列出方程組求得Ra)=io()cK"'，由不等式100e丁,>30000'結(jié)合對(duì)數(shù)的預(yù)算性質(zhì)，

即可求解.

f/?(0)=/?e°=100inlO

【詳解】由題意得精5；=/n』。。。'可得「咱八丁'

InlO|n|.)

所以R(/)=100e丁'則100e于,>30000'

故人>^^=51g300=5x(lg3+2)al2.39>12,

所以教師用戶超過(guò)20000名至少經(jīng)過(guò)13天.

故選:C

02

5.67=e，b=log78,c=唉67，貝iJ（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

【答案】C

【解析】

【分析】先構(gòu)造函數(shù)/(乃二蛇上?,通過(guò)求導(dǎo)判斷單調(diào)性，比較出人和。的大??；再找中間值9和1，

Inx56

6Y1nY

通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g(x)=e、-x-l,證明e，Nx+l,判斷e”>一，構(gòu)造函數(shù)6(x)二:一一通過(guò)單調(diào)性判

56In6

斷l(xiāng)og,,7〈工，于是證明c<4,即可求得〃、加C的大小關(guān)系.

6

【詳解】令/Xx)=弊土D(》>o)

Inx

xlnx-(x4-l)ln(x4-l)

則r（x）顯然/'(x)<0

x(x+l)ln2x

即/(x)單調(diào)遞減，所以色2>g，即Iog67>log78,c>b.

In6In7

令g(x)=e、-x-l(xNO)

則g\x)=ex-l>0,即g(x)在［0,+o。)上單調(diào)遞增

所以g(x)Ng(O)=O,即e'Nx+1，

所以e°2>0.2+1=g

人，/、xInx

令n(x)=-------

6ln6

則力'⑴二-七

6xIn6

當(dāng)Y(x)>0時(shí)，x>—,即〃(x)在(4-,y)上單調(diào)遞增

In6In6

又力(6)=0,所以當(dāng)x>6時(shí)，h(x)>h(6)=0

7

即In>o

所以6(7)>6(6)=0,6-6

In

7

即log67<7，

又一＜2,所以log67＜一＜一＜e°2,即c＜q.

6565

綜上：a＞c＞b.

故選:C.

sinx

6.已知函數(shù)/（x）=——，給出下面三個(gè)結(jié)論：

x

①函數(shù)/（X）沒(méi)有最大值，而有最小值；

②函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,4）上不存在零點(diǎn)，也不存在極值點(diǎn)；

③設(shè)0＜%＜々＜乃，則/（%）＜/'（工2），

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①@B.①②C.②@D,①②③

【答案】B

【解析】

【分析】把函數(shù)/（x）=?”看作點(diǎn)（0,0）與點(diǎn)（x,sinx）連線的斜率，結(jié)合函數(shù)歹=5仙》的圖象和導(dǎo)數(shù)

A

sinx、xcosA-sinx

的幾何意義判斷①；由函數(shù)/（x）=——，求導(dǎo)/（x）=-----5----，利用導(dǎo)數(shù)法判斷②?.

x/

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（幻二把二可看作點(diǎn)（0,0）與點(diǎn)（X,sinx）連線的斜率，

X

如圖所示：

函數(shù)y=sinx在（（），0）處的切線的斜率為％=cos0=1,則必*＜%=],

x

所以/（X）＜1,故/（X）無(wú)最大值，

當(dāng)x＞0時(shí)，過(guò)原點(diǎn)（0,0）,作^=$3%的切線，y軸右側(cè)的第一個(gè)切點(diǎn)為（％,sin%）,

sinxsinx

則——2——n所以/（x）有最小值，故①正確；

sinx、xcosx-sinx

因?yàn)楹瘮?shù)人工）二—,所以/（'）=------5----，

X*

令g（x）=xcosx-sinx,貝ijg'（x）=-xsinxt

當(dāng)上w（0,4）時(shí),gz（x）＜0,則g（x）在（0,乃）上遞減，

所以g（x）＜g（0）=0,即/'（x）＜0，

所以/（x）在（0,1）上遞減，又/（力＞八*=0故②正確③錯(cuò)誤，

故選:B

7.己知ZUB。滿足=，BC=4,則△48c面積的最大值為（）

8

B1-6D-

33

【分析】設(shè)NC=x,/i8=2x,利用面積公式和余弦定理表示出三角形的面積為

SeABC—（x2-—）2,根據(jù)x的范圍即可討論最大面積.

9169

【詳解】設(shè)/C=x,48=2x,

所以S3ABe=-BC-ACsinC=2xsinC=2xJl-cos2c,

163x

又由余弦定理得cosC='C="

IBCAC8x

所以=2x\/l-cos2C=2x

2x+x>44

由三角形的三邊關(guān)系可得《’.解得；<x<4,

所以當(dāng)犬二的公時(shí)，面積有最大值為華，

933

故選:B.

8.設(shè)函數(shù)/(x)=e'+a(x—1)+5在區(qū)間［0,1］上存在零點(diǎn)，則/十從的最小值為()

A.eB.yC.7D.3e

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)/為/(x)在［o,l］上的零點(diǎn)，可得d+a?—l)+人=0,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(。,力)在直線(f—l)x+y+e'=0

2/2t

上，根據(jù)/+〃的幾何意義，可得“+〃之：，令g(/)二:、利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)

Q—l)-+l(r-l)-+l

性和最值，即可得答案.

【詳解】設(shè)f為/(x)在［o,i］上的零點(diǎn)，則1)+6=0,

所以(f-l)4+b+e'=0,即點(diǎn)(。,6)在直線”-l)x+y+e'=0，

又表示點(diǎn)(〃,6)到原點(diǎn)距離的平方,

-------Q5

則,HPa2+b2>

J"-"(1)2+1

2e21(z2+2-2/)-e2z(2/-2)_2e2f(Z2-3z+3)

令g")"消聲T可得

g'(f)=(尸+2-2。2一(,+2—212

因?yàn)?'>0,『-3/+3>0,

所以g'(/)>0,

可得g")在［0,1］上為單調(diào)遞增函數(shù),

所以當(dāng)/=0是，g?)min=g(°)=:，

J

所以/+〃222_,即。2+/的最小值為:

2

故選:B

【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是根據(jù)/+/的幾何意義，將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求距離問(wèn)題，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)

求解，分析、計(jì)算難度大，屬難題.

二多選題(共4小題)

9.函數(shù)/(x)=3sin(6zr+0)(G〉0,()<e<7t)的部分圖象如圖所示，則()

sin伉+2、

/(x)=3

A.I8)

SIT

B./(x)圖象的一條對(duì)稱軸方程是x=--

o

/(x)圖象的對(duì)稱中心是履-J,0,keZ

C.

Io7

7兀

D.函數(shù)V=/^+―是偶函數(shù)

I]BD

【解析】

【分析】首先根據(jù)題意得到/(x)=3sin2x+一，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)和平移變換依次判斷選項(xiàng)即可

得到答案.

【詳解】由函數(shù)/(戈)=3sin(0X+8)的圖象知:

=^-|,所以T=兀：即幺=兀，解得啰=2,所以/a)=3sin(2x+e),

2o\oJ2co

因?yàn)?(一方=3sin(°-：)=3,所以夕一：=]+2攵兀，ksZ,

ur3兀c,

即(。=—+2kit,kJZ,因?yàn)?<夕<兀，所以°/(x)=3sin

44

/a、

對(duì)選項(xiàng)A,因?yàn)?(x)=3sin2x+—,故A錯(cuò)誤.

53兀）1

=3sin=3sin71

對(duì)選項(xiàng)B，4n+4J2J=-3,故B正確.

3兀I37r

對(duì)選項(xiàng)C,令2x4=kn,kez,解得x=—E----,左wZ,

428

所以/(X)的對(duì)稱中心是-蓑,0),女￡Z,故C錯(cuò)誤.

J

對(duì)選項(xiàng)D,設(shè)g(%)=/=3sin|2x+—+—=3sin^2x+—j=3cos2x,

8JI44

則g(x)的定義域?yàn)镽,g(-x)=3cos(-2x)=3cos2x=g(xj,

所以g(x)為偶函數(shù)，故D正確.

故選：BD

10.已知/(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意％JwR都滿足

/S，)=W(x)+M'(y)，則下列說(shuō)法正確的是()

A./(0)=0B./(-1)=1

C./(')是奇函數(shù)D,若〃2)=!，則/［已［

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用賦值法，x=N=0可判斷A項(xiàng)；令x=y=l,x=y=T可判斷B項(xiàng)；令歹=T并結(jié)合奇

函數(shù)的定義可判斷C項(xiàng)；令x=2,y=-；可判斷D項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?(9)=M(x)+Mb)，所以令x=y=0,得/(0)=0,故A正確；

令工=y=l,得/⑴=/(1)+/(1),所以/(1)=(),

令X=),二一1,得=所以/(-1)=0,故B錯(cuò)誤；

令)=-1,得〃一力=一/(力+七(-1),又/(T)=0,所以/(-x)=-/(x),

所以函數(shù)/'(X)是奇函數(shù)，故C正確；

令x=2,y=-；,得〃1）=t/（2b2/1

又f（T）=O，/（2）=1,所以/6）=（，故D正確；

故選：ACD.

11.任取多組正數(shù)Wac,通過(guò)大量計(jì)算得出結(jié)論："+"心砥，當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c時(shí)，等號(hào)成立.若

3

0＜加＜3,根據(jù)上述結(jié)論判斷“5（3-〃7）的值可能是（）

A.VnB.VL5C.5D.3

【答案】BD

【解析】

【分析】利用已知結(jié)論求出m2（3_m）的最大值進(jìn)行判斷，為此需湊出三個(gè)正數(shù)的和為定值.

1]V

【詳解】根據(jù)題意可得加2（3—〃7）=4XL〃7X—〃7（3—〃?）W42——1---------=4,

223

/

當(dāng)且僅當(dāng)gm=3—〃？，即根=2時(shí)，等號(hào)成立.故mY3-〃。的最大值為4.

從而AC不可能，BD可以取.

故選：BD.

12.已知函數(shù)/（x）=產(chǎn)7+3-'+/一2%，若不等式/（2—?；茫?（/+3）對(duì)任意xwR恒成立，則實(shí)數(shù)。

的取值可能是（）

A.-4B.一；C.72D.372

【答案】BC

【解析】

【分析】令，=x-1,得到g?）=e'+S'十〃一1,推得g（。為偶函數(shù)，得到/。）的圖象關(guān)亍x=l對(duì)稱，

再利用導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)x＞l時(shí)，/（“單調(diào)遞增，當(dāng)x＜l時(shí)，/（x）單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為|1-。同＜一+2

恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/（外=/7+3-*+——，

令z=x-l,則x=f+1,可得g（r）=e'+"'+〃一1,

可得g(T)=?T+d+(7)2-1=d+?T+/2_]=g?),

所以g(。為偶函數(shù)，即函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于X=1對(duì)稱，

又由+21,令9?)=g'(z)="—小'+2人

可得“?)=，+-'+2>0,所以8")為單調(diào)遞增函數(shù)，且夕(0)=0,

當(dāng)Z>0時(shí)，g'?)〉0,g。)單調(diào)遞增，即x>l時(shí)，/(力單調(diào)遞增;

當(dāng)，<0時(shí)，gV)<0,g")單詭遞減，即x<l時(shí)，/(x)單調(diào)遞減，

由不等式/(2-or)</任+3),可得|2-〃工一1|<,+3-1：KP|1-OY|<x2+2

所以不等式|1一依|</+2恒成立，即一/一2<Qx一1</+2恒成立，

Y+QX+1>0-、1

所以12的解集為R,所以/一4<0且(一。)2-12<0,

x-ax+3>0

解得一2<a<2,結(jié)合選項(xiàng)，可得BC適合.

故選：BC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法設(shè)/=x-1,從而得到證明其為偶函

數(shù)，則得到/(x)的圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，再結(jié)合其單調(diào)性即可得到不等式組，解出即可.

三、填空題(共4小題)?

R

13.已知《為銳角，tancr=2,cos/?=-9---?則tan(2a

5

【答案】-?

2

【解析】

【分析】根據(jù)二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角差的正切公式求得正確答案.

sinp_1

【詳解】由于/為銳角，所以sin/?二

cos/72

2tana44

tanla-

1-tan2a1-223

4_]_

tan2a-tanp3~211

所以tan（2a-/7）=

1+tan2a-tanp

11

故答案為:

2

14.函數(shù)的定義域?yàn)镽,且—2)-1)-/(%),/(x)=/(2-x),/(365)=-1,則

2023

￡/(A)=-

々=1

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)/*)的周期，再結(jié)合〃x)=/(2-x)求出〃1)J(2)J(3)即可求解作

答.

【詳解】函數(shù)解(x)的定義域?yàn)镽,由/(x+2)=—/(x+l)-/卜)，

得“X+3)=-f(x+2)-f(x+l)=/(x+l)+f(x)-f(x+1)=f(x),

因此函數(shù)/(“)是以3為周期的周期函數(shù),且/a)+/a+i)+/a+2)=o,即〃i)+(⑵+/⑶=o,

由“365)=-1,得/(2)=-1,又f(x)=/(2r),/(3)=/(0)=/(2)=-1,從而

/(1)=-/(2)-/(3)=2,

)023

所以￡f*)=674x[/(1)+/(2)+/(3)]+/(1)=/(I)=2.

*=i

故答案為：2

15.已知函數(shù)/("=|噢2'|，若/(。)=〃6)且則一+丁的取值范圍為_(kāi)

ab

【答案】(3,+oo)

【解析】

2172

【分析】由〃。)=/他)且。<人可求得他=1,則一+：=—+。，然后構(gòu)造函數(shù)/(x)=-+x(0<x<l),

abax

21

利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞減，從而可求出/J)的范圍，進(jìn)而可得一+二的取值范圍

ab

log2x,x>\

【詳解】解:/(x)=|log2x|=?

-log2x,0<x<1

因?yàn)?(a)=/(6)且。,所以。<a<l/>1,

所以一log2〃=log28，所以log/ab"。，所以R)=l,

所以一+1=一十。，

aba

20r2—?

令f(x)=-+x(O<x<l),則/(X)=l-4=^^<O>

XXX

所以/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以/(%)>/(I)=3,

212

所以一+—=—+〃>3,

aba

21

所以一+工的取值范圍為(3,+8),

ab

故答案為：(3,+8)

2

16.已知函數(shù)/(x)=ox+2(a>0),g(x)=——若叫￡[-1,2],Vx?42,3],使/(xj=g(x2)成

X—1

立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】[1,+8)

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分別求得函數(shù)/(x)和g(x)的值域構(gòu)成的集合4B,結(jié)合題意，得到B=

列出不等式組，即可求解.

2

【詳解】由題意,函數(shù)g(x)=—；在[2,3]為單調(diào)遞減函數(shù),可得l<g(x)<2,

即函數(shù)g(x)的值域構(gòu)成集合8=[1,2],

乂由函數(shù)/(x)=or+2(a>0)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增，可得一々+2，/(x)，2a+2,

即函數(shù)/(x)的值域構(gòu)成集合4=[一。+2,2。+2],

又由玉Vx2e[2,3],使/($)=8(工2)成立，即B土A,

一。+241

則滿足解得a>l,

2a+2>2

即實(shí)數(shù)〃的取值范圍是[1,+s).

故答案為：[1,+8).

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，已知函數(shù)y=/(x),xG[a,〃|,y=g(x),xw[c,d]

⑴若可，VX2—[c,d],總有/(』)<g(x2)成立，故/(x)ma、<g(x)min；

⑵若V%w[a,6],3x2e[c.d],有/(xJvgQq)成立.，故/(工心<8⑴鵬：

⑶若玉閆4,可，3x2e[c,d]f有/'(xj<g(x2)成立,故/(x)min<g(x)max；

(4)若VX]?c7,b],3X2e[c,d],有/(王卜8伍)，則/(x)的值域是g(x)值域的子集.

四、解答題(共6小題)

17.計(jì)算求值：

/sinll0°sin20°

(1)—；--------；-----：

cos2155°-sin2155°

1cF\

(2)已知。，〃均為銳角，sina=-，cos(a+0)=」一，求sin/7的值.

74

【答案】⑴j

⑵跡

98

【解析】

【分析】(1)發(fā)掘角關(guān)系再利用誘導(dǎo)公式，降希公式化簡(jiǎn)求值即可.

(2)先將夕用(。+￡)-。來(lái)表示，代入sin齊，利用兩角和差公式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

【小問(wèn)2詳解】

?；a、萬(wàn)都為銳角，，0<a+4〈冗，

5百1

又cos(a+/7)=sina=-

nr

/.sin/7=sin[(a+一a]=sin(a+fl)cosa-sin(zcos3i)

114x/3115G396

=X---------——X------------=------------.

14771498

18.為響應(yīng)國(guó)家“降碳減排”號(hào)召，新能源汽車得到蓬勃發(fā)展，而電池是新能源汽車最核心的部件之?.湖南某

企業(yè)為抓住新能源汽車發(fā)展帶來(lái)的歷史性機(jī)遇，決定開(kāi)發(fā)生產(chǎn)一款新能源電池設(shè)備.生產(chǎn)這款設(shè)備的年固定

成本為200萬(wàn)元，每生產(chǎn)%臺(tái)(xeN+)需要另投入成本。(力(萬(wàn)元)，當(dāng)年產(chǎn)量》不足45臺(tái)時(shí)，

a（x）=-x2+30X-3007JTC?當(dāng)年產(chǎn)量x不少于45臺(tái)時(shí)，=61x+生見(jiàn)一900萬(wàn)元.若每臺(tái)設(shè)備的

v727x-t-1

售價(jià)與銷售量的關(guān)系式為（60+邛

萬(wàn)元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)新能源電池設(shè)備能全部售完.

（1）求年利潤(rùn)V（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量X（臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）年產(chǎn)量x為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這一款新能源電池設(shè)備的生產(chǎn)中獲利最大？最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

—x~+30x+200,x<45

2

【答案】（1）（工…）

>二12500

-x800,x>45

x+1

（2）當(dāng)年產(chǎn)量為49臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這款新能源電池設(shè)備的生產(chǎn)中獲利潤(rùn)最大，最大為7（）1力

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題目給出的函數(shù)解析式，利用收益減去成本，可得答案：

（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式，可求得最值，可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)工<45,XEN+時(shí),

(1n\(1

60+—X-200-a(x)=60x+100-200——x2+30x-300=--x2+30x4-200

kx)122

當(dāng)了245,XEN+時(shí),

(inn\(7500、7500

y=60+——x-200-?(x)=60x+100-200-61x+———900=-x一一—+800；

\x)vx+l)x+1

--X2+30X+200,X<45

綜上所述：y=,(XEN+)

-X-咨+800'X245

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)工＜45,XEN+時(shí)，y=+30x+2（）（）,則當(dāng)x=30H寸，V的最大值為650；

當(dāng)了245,xwN+時(shí),

J；=-X-^22+8OO=-Cr+1)+^^-+801<-2J(x+l)-^-+801=701(當(dāng)且僅當(dāng)x+l=^^,

x+\Lx+lJVx+lx+1

即X_49時(shí)等號(hào)成立）;

???當(dāng)年產(chǎn)量為49臺(tái)時(shí)，該企業(yè)在這款新能源電池設(shè)備的生產(chǎn)中獲利潤(rùn)最大，最大為701萬(wàn).

19.在AABC中，角4B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,向量而=（。+仇5汕/-5出。），向量

斤二（c,sin力一sin8）,且比||萬(wàn).

（1）求角8的大?。?/p>

（2）設(shè)8c的中點(diǎn)為。，且力。二百，求。+2c的最大值.

【答案】（1）8=9;（2）4x/3.

【解析】

【詳解】試題分析：（1）由向量以］共線可得到坐標(biāo)間的關(guān)系，即三角形邊角的關(guān)系式

結(jié)合余弦定理可求得4的大??；（2）由正弦定理將Q，c邊轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角表示，借助于三角函數(shù)單調(diào)性

可求得最大值.

解：（1）因?yàn)榧觸|?,所以（Q+h）（sni4-sin4）-c（sinJ-sinC'）=0.由正弦定理可得

2212?

222

（a+Z?）（a-Z?）-c（?-c）=0,^a+c-b=ac-由余弦定理可知cosB="+，——

2aclac2

因?yàn)?￡（0,江），所以3=工.

3

⑵設(shè)4BAD=0,則在A8/O中，由3=%,可知?！辏?,二巴）.由正弦定理及力。二JL有

33

BD二AB二4D二?

sin。.（2TTA.乃i,所以3。=2sin6,/3=2sin--6=\/3cos^4-sin^,所以

sinlT-js,ni（3J

a=2BD=4sin0,c=AB=VJcosO+sinO,從而a+2c=2x/3cos9+6sing=4\ZJsin（e+?）,由

0w（0,紅），可知0+工€（工，江），所以當(dāng)。+工=生，即。=工時(shí)，。+2。取得最大值4方.

3666623

點(diǎn)睛：本題是向量與解三角形的結(jié)合，解答題中的向量運(yùn)算以坐標(biāo)運(yùn)算為主，在解三角形問(wèn)題中常利用正

弦定理實(shí)現(xiàn)邊化角，利用三角函數(shù)性質(zhì)求最值，利用余弦定理由邊可求得角的大小.

20.已知函數(shù)/（x）=cos4x+2>/3sinA-cos.v-sin4x.

（1）求/（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）己知“8C中，內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若/（4）=1,8C邊的中線力。長(zhǎng)為⑺，求

面積的最大值.

【答案】（1）/（X）的最小正周期7=兀，/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為二+A兀,：+4兀（kwZ）；

63

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)得/（x）,再由三角函數(shù)的周期公式、正弦函數(shù)的肯定答案；

（2）由函數(shù)/（/）=1解出A,利用而=夕而+就）、余弦定理，結(jié)合基本不等式解出從4彳，由此

利用三角形的面積公式可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

v/（x）=cos4x4-2\/3sinxco&x-sin4x,

=2sin^2x+—I,

故/'（x）的最小正周期7二兀，

由色+2kn<2x+—<—+2kn,得色+〃兀<x?—+kit,

26263

7T27r

\/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為不+伍f-+E（ZreZ）；

【小問(wèn)2詳解】

由（1）得，/（力）=2sin24+g=1,即sin2A+—

I62

八/_7C5兀71

\"0<A<it,:.24+—=—A=—,

663

又而二g（而十碼,二/二;（宿+兄+2而%

7=（（（?+力2+2Z?ccos4）=:（力2+（?+6c）,

?/b2+c2>2bc,h2+c2+be>3bc,

.,,%?絲,當(dāng)僅z）=c=222時(shí)取等號(hào)，

33

.市和c屋一內(nèi)人/后287x/3

??卸枳S=—PCSHL4=—be<——x——=--------

24433

:AABC面積的最大值為Z叵.

3

21.已知函數(shù)/（%）=，■,g（x）=lnx.

X

（1）若尸（x）=7^（x）+2g（x）（M￡R）存在極值,求加的取值范圍.

（2）若關(guān)于x的不等式b（x）+g（x"。在區(qū)間（0川上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1）（0,+8）

（2）；，+8

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，先求導(dǎo)，再對(duì)W進(jìn)行分類討論單調(diào)性，最后極值的概念求m的范圍.

（2））先討論當(dāng)x=1時(shí)a的取值范圍，再分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)求單調(diào)性求最值，即可得出。的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

F(x)=w/*(x)+2g(x)=-^-+2Inx,定義域?yàn)?0,十8),

2m22x2-2m

尸（工）=

Yxx3

當(dāng)加WO時(shí)，尸'（工）〉0恒成立，所以尸（X）在（0,+8）單調(diào)遞增，/（X）不存在極值.

當(dāng)〃?>0,令尸（x）=0,解得x=而，

當(dāng)時(shí)，尸（x）>0,當(dāng)0<x〈詬時(shí)，F(xiàn)（x）<0,

所以尸⑴在（0/）上單調(diào)遞減，在（m,+可上單調(diào)遞增，

所以少（外在存在一個(gè)極小值點(diǎn)x=而，無(wú)極大值點(diǎn).

綜上所述，〃，的取值范圍為（0,+R）.

【小問(wèn)2詳解】

由題知原不等式“'（x）+g（x）N〃，可化為。1+Inx20,

當(dāng)工=1時(shí)，awR恒成立,

、

77Inx_____

當(dāng)工G(O,1)時(shí)，1L，

x2

由(1)知當(dāng)〃7=1時(shí)，函數(shù)y=l+ln(x2)在工=1處有最小值i,

即1一」WIn]/),

XJC

因?yàn)閤e(O,l),所以1--^<ln(x7)<0,

ln(x2)Inx1

所以~廠<i,即^―「<5，

1__2

XX

>Mx

因?yàn)橐弧?，所以。之二?/p>

r2

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為5,+8.

【點(diǎn)睛】該題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于恒成立問(wèn)題的方法如下:

(1)若VxeQ,/(尤)2。恒成立，則只需/(x)*

⑵若玉w。，/(x)N。恒成立，則只需/(力網(wǎng)之。.

(3)若VxcO,/(x)V。恒成立，則只需/(X[改

(4)若*W。，/(力4°恒成立,則只需/(力臉工〃.

⑸若TX|",VX2￡8,4g(.)恒成立,則只需/'(X)1MWg(x)min，

(6)若由￡4*2€B,/(K)Wg(xJ恒成立，則只需/(x)max<g(x)max?

⑺若肛W/NWWB,/(再)WgG)恒成立,則只需/(立加4g(x)mm,

(8)若叫w4WwB，/㈤4g㈤恒成立,則只需/(x)min?g(x)max,

22.已知函數(shù)/、(x)=(x-2)(e,eR).

(1)若a=2,討論/(x)的單調(diào)性.

(2)已知關(guān)于x的方程/(x)=(x-3)ev+2ax恰有2個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根外,吃.

(i)求。的取值范圍；

(ii)求證:X)+x2>4.

【答案】(1)在(―8/)，(2In2,r)上單調(diào)遞增，在(l,21n2)上單調(diào)遞減

(2)(i)f—(ii)證明見(jiàn)解析

(4J

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)后，根據(jù)/'(X)的正負(fù)可確定/(工)的單調(diào)性；

(2)(i)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為N與g(x)=4(x>())有兩個(gè)不同交點(diǎn)的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)可求得g(x)的單調(diào)

性和最值，從而得到g(x)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可確定。的范圍；

芭一七二2

(ii)設(shè)占>%>