2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）5．4．3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象（十一大題型）

5．4．3正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：正切函數(shù)的定義域問題 2題型二：正切函數(shù)的對稱性問題 3題型三：正切函數(shù)的周期性問題 5題型四：正切函數(shù)的單調(diào)性問題 6題型五：正切函數(shù)的最值與值域問題 7題型六：正切函數(shù)的奇偶性問題 8題型七：正切函數(shù)的圖像問題 9題型八：解不等式問題 12題型九：比較大小問題 14題型十：正切函數(shù)的綜合問題 15題型十一：根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題 18【重難點集訓(xùn)】 19【高考真題】 30【題型歸納】題型一：正切函數(shù)的定義域問題1．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）定義域為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以.則定義域為故選：A.2．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的定義域為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由有意義可得，，，即，，故函數(shù)的定義域為.故選：D.3．（2024·高一·廣東佛山·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，解得，故選：A4．（2024·高一·內(nèi)蒙古赤峰·期末）函數(shù)的定義域為（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】由題意可得：，且，即，∴，．故選：C．題型二：正切函數(shù)的對稱性問題5．（2024·高一·上海·期中）若函數(shù)，，則和在的所有公共點的橫坐標(biāo)的和為.【答案】【解析】因為的對稱中心為，，的對稱中心為，，所以兩函數(shù)的交點也關(guān)于對稱，，又因為函數(shù)，的最小正周期為，作出兩函數(shù)的在的圖象，如下圖，由此可得兩函數(shù)圖象共6個交點，設(shè)這6個交點的橫坐標(biāo)依次為，且，其中關(guān)于對稱，，關(guān)于對稱，，所以.故答案為：.6．（2024·高一·四川·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則.【答案】/【解析】因為的圖象關(guān)于點對稱，所以，所以，因為，所以.故答案為：．7．（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝tan(x＋φ)的圖象的一個對稱中心為且|φ|<，則φ＝.【答案】或/或【解析】由題意得(k∈Z)，即(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝或φ＝－.故答案為：或題型三：正切函數(shù)的周期性問題8．（2024·高一·新疆巴音郭楞·期末）函數(shù)的圖象的相鄰兩支截直線所得線段長為，則的值是．【答案】8【解析】由題意知函數(shù)的最小正周期為，∴．故答案為：8.9．（2024·廣東·一模）已知函數(shù)的最小正周期為，則.【答案】1【解析】依題意，整理得，解得.故答案為：1.10．（2024·高三·全國·課后作業(yè)）函數(shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長為，則的值是.【答案】【解析】因為函數(shù)（）的圖像的相鄰兩支截直線所得線段長為，所以該函數(shù)的最小正周期為，因為，所以，即，因此，故答案為：題型四：正切函數(shù)的單調(diào)性問題11．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【解析】函數(shù)，由正切函數(shù)的性質(zhì)知，解得所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為故答案為：12．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.【答案】【解析】因為，由可得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無增區(qū)間.故答案為：.13．（2024·高一·四川達(dá)州·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】【解析】對于函數(shù)，由，可得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.題型五：正切函數(shù)的最值與值域問題14．（2024·高一·上?！ふn堂例題）求函數(shù)，的值域.【解析】.∵，∴.當(dāng)，即時，y取最小值-1；當(dāng)，即時，y取最大值.∴函數(shù)的值域為.15．（2024·高一·上海·課堂例題）求函數(shù)，的最大值與最小值．【解析】依題意，函數(shù)，，設(shè)，則，所以當(dāng)時，取得最小值為，當(dāng)時，取得最大值為.16．（2024·高一·上?！ふn堂例題）求函數(shù)的最大值和最小值.【解析】①當(dāng)時，；②時，，由可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴.③當(dāng)時，，由知，當(dāng)且僅當(dāng),故，即.綜上，的最大值為，最小值為.題型六：正切函數(shù)的奇偶性問題17．（2024·高一·山東煙臺·期末）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，定義域關(guān)于原點對稱，則,所以fx是偶函數(shù)，故A錯誤;由，定義域關(guān)于原點對稱，則,所以fx是偶函數(shù)，故B錯誤；由，定義域關(guān)于原點對稱，則，所以fx是奇函數(shù)，故C正確；由，定義域關(guān)于原點對稱，則，且，所以fx非奇非偶，故D錯誤.故選：C18．（2024·高三·陜西·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且，則（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【解析】設(shè)，定義域為，關(guān)于原點對稱，則，故是奇函數(shù)，從而，即，即.故選：A19．（2024·高一·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)與直線交于兩點，且線段長度的最小值為，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位后恰好關(guān)于原點對稱，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，函數(shù)的最小正周期,則,得,所以，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，因為該圖象關(guān)于原點對稱，則，所以當(dāng)時，，，不合題意，當(dāng)時，，又，所以當(dāng)時，取，當(dāng)時，，不合題意，故最大值為，故選：C題型七：正切函數(shù)的圖像問題20．（2024·高一·河南南陽·期中）已知函數(shù)，的部分圖象如圖，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖象可知，，所以.由可得，，所以.又，所以，所以，所以.因為，所以，.又，所以，所以，所以，所以.故選：C.21．（2024·山東·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖像如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，區(qū)域①和區(qū)域③面積相等，故陰影部分的面積即為矩形的面積，可得，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，由題意可得：，解得，故，可得，即，可知的圖象過點，即，∵，則，∴，解得.故選：A.22．（2024·河南·模擬預(yù)測）函數(shù)（）的部分圖像如下圖，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圖知，由解得所以當(dāng)時，.故選：A23．（2024·高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，所以，，由得，所以，則，又，所以，所以，故，從而.故選:A．題型八：解不等式問題24．（2024·高一·河北邢臺·期末）下列是“”的一個充分不必要條件的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由可得，因為，但，所以不是的子集，所以不是“”的充分條件，A錯誤，因為，但，所以不是的子集，所以不是“”的充分條件，B錯誤，因為，但，所以不是的子集，所以不是“”的充分條件，D錯誤，因為，所以為“”的一個充分不必要條件，C正確；故選：C.25．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若直線（）與函數(shù)的圖象無公共點，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為直線與函數(shù)的圖象無公共點，且，所以，所以，故可化為，所以解得所以不等式的解集為，故選：B．26．（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）使得不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由不等式，根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得，即實數(shù)x的取值范圍是.故選：C.題型九：比較大小問題27．（2024·高一·北京延慶·期中）設(shè)，，，則A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，即.故選：C.28．（2024·高一·江西九江·階段練習(xí)）已知，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為2是第二象限角，所以，，，所以，綜上可知，，，，，所以.故選：C29．（2024·高一·河南南陽·階段練習(xí)）若，，．則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，在上單調(diào)遞增，∴，又在上單調(diào)遞增，故，又，故，又在上單調(diào)遞減，故．所以.故選：A．題型十：正切函數(shù)的綜合問題30．（2024·高一·上?！ふn堂例題）設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間；(2)求不等式的解集；(3)作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的簡圖.【解析】（1）由，得（），∴的定義域是,∵，∴最小正周期，由（），得（）.∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）.所以函數(shù)定義域是，最小正周期，單調(diào)增區(qū)間是（）.（2）由，得（）.解得（）.∴不等式的解集是.（3）令，則；令，則；令，則.∴函數(shù)的圖像與x軸的一個交點坐標(biāo)是，在這個交點左、右兩側(cè)相鄰的兩條漸近線方程分別是，.從而得函數(shù)y=fx在一個周期內(nèi)的簡圖如下：31．（2024·高一·江蘇常州·期末）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時，求在區(qū)間上的最值及取最值時的值；(2)若的最小值為，求．【解析】（1）當(dāng)時，，令，，則，的圖象對稱軸為，開口向上，所以當(dāng)時，即時，取得最小值，最小值為，當(dāng)時，即時，取得最大值，最大值為，所以在上的最小值為，此時，最大值為，此時.（2）因為的最小值為，所以，且,所以，又，所以.32．（2024·高一·湖北荊州·期末）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求不等式的解集.【解析】（1）由題意知，的圖象關(guān)于點對稱，，即．，故．令，得，即．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由（1）知，．由，得，即．不等式的解集為.33．（2024·高一·上海虹口·期末）已知函數(shù)，其中.(1)若，求函數(shù)的最小正周期以及函數(shù)圖象的對稱中心；(2)若在閉區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）∵，∴函數(shù)的最小正周期為,令,Z,解得，Z,∴函數(shù)圖象的對稱中心為,Z.（2）∵在閉區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，∴，∴，且ω為正實數(shù)，解得題型十一：根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍問題34．（2024·高一·上海浦東新·期中）若函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】因為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，且函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，所以，解得，即.故答案為：.35．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，且在上的最大值為，則.【答案】/-0.25【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，則，又因為函數(shù)在上的最大值為，所以，即，所以.故答案為：36．（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則的取值范圍為；若函數(shù)的最小正周期為，則．【答案】【解析】由題意可知ω<0，又，.故－1≤ω<0.因為＝，所以|a|＝，所以a＝±.故答案為：；.【重難點集訓(xùn)】1．函數(shù)的定義域為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】由題意，得，所以，，得，，故所求函數(shù)的定義城為，，故選：C.2．函數(shù)的大致圖象是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得，均能滿足有意義，故函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，因為，所以為偶函數(shù)，故排除B；又，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以時，，所以當(dāng)時，，所以排除A，D；故選：C.3．下列函數(shù)中在上單調(diào)遞增，周期為且為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于選項A：因為，易知其為奇函數(shù)，其最小正周期，若，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；對于選項B：由選項A可知：在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于選項C：若，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故C錯誤；對于選項D：因為，若，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故D錯誤；故選：A.4．下列四個函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上為增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】對于A，為偶函數(shù)，對，且，因為在上為增函數(shù)，所以，所以，故在上為增函數(shù)，故A正確；對于B，為奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，為奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，為偶函數(shù)，但取，，，則，故D錯誤.故選：A.5．若，且，，，則，，的大小是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為若，且，，，若，則，，顯然不符合題意，若時，，所以，，，由題意可得，，可看成與，的交點的橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)的圖象可知，．故選：B6．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B．是奇函數(shù)C． D．直線是的一條對稱軸【答案】C【解析】對于A，由題意，，所以，又，加半個周期大于0，即，解得，即，所以只能是，所以，故A錯誤；對于B，，因為存在使得，所以不是奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，設(shè)，所以，故C正確；對于C，，故D錯誤.故選：C.7．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是函數(shù)的一個周期 B．函數(shù)在上是增函數(shù)C．函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱 D．函數(shù)是偶函數(shù)【答案】C【解析】由題可得：，根據(jù)正切函數(shù)得周期性可知，函數(shù)的最小正周期為，故A錯誤；根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知，在上是減函數(shù)，故B錯誤；根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知，的圖像關(guān)于點對稱，取，則函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，故C正確；的圖象關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，故D錯誤；故選：C8．已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，，，.故選：B.9．（多選題）已知，則下列說法正確的是（

）A．圖像對稱中心為B．的最小正周期為C．的單調(diào)遞增區(qū)間為D．若，則【答案】BD【解析】對于A，令，則，A錯誤；對于B，的最小正周期為，B正確；對于C，根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)可知，只有遞增區(qū)間，則只有遞減區(qū)間，C錯誤；對于D，由題意可知，所以解得，所以，D正確.故選：BD.10．（多選題）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為 B．的定義域為C．的圖象關(guān)于點對稱 D．在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】對于A，的最小正周期為，所以A正確，對于B，由，得，所以的定義域為，所以B正確，對于C，因為，所以的圖象不關(guān)于點對稱，所以C錯誤，對于D，由，得，因為在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以D正確.故選：ABD11．（多選題）已知當(dāng)時，函數(shù)不單調(diào)，其中，則實數(shù)可能的取值有（

）A． B． C．2 D．【答案】BD【解析】∵，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，∵當(dāng)時，函數(shù)不單調(diào)，∴，，故選：BD12．已知，，，則它們的大小關(guān)系為（用“”連接）【答案】【解析】因為，所以，，，由正切函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，所以，故，即.故答案為：13．（1）函數(shù)的定義域是．（2）函數(shù)的值域為．【答案】【解析】（1）要使有意義，則，解得，解得.故函數(shù)的定義域是；（2）設(shè)，則，當(dāng)時，.所以的值域是．故答案為：；.14．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為；若關(guān)于的方程恰有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】；.【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上，函數(shù)的值域為.作出函數(shù)的圖象如圖：因為關(guān)于的方程恰有三個不相等的實數(shù)根，所以直線與函數(shù)的圖象有三個交點，由圖可知，，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：；.15．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)試比較與的大小．【解析】（1），由，得．因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減．故原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2），，因為，且在上單調(diào)遞增，所以，所以．16．已知函數(shù)在，上的最小值、最大值分別為1和7，求m和n的值.【解析】正切函數(shù)在，單調(diào)遞增，且，，由題意函數(shù)最小值、最大值分別為1和7，可知，①當(dāng)時，函數(shù)在，單調(diào)遞增，，解得；②當(dāng)時，函數(shù)在，單調(diào)遞減，即.綜上所述，或.17．設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求不等式的解集.【解析】（1）的最小正周期.（2）不等式，即，所以，求得，故不等式的解集為，.18．已知函數(shù)，其中，（，），的部分圖像如下圖．(1)求，，的值；(2)求的單調(diào)增區(qū)間，【解析】（1）根據(jù)函數(shù)圖像可知，，所以，過點和點，所以，由于，所以，則，所以，所以.（2）由，解得