2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圓（解析版）

專題21圓

一、垂徑定理及其應(yīng)用

【高頻考點(diǎn)精講】

1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

2、垂徑定理的推論

(1)平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

(3)平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。

3、垂徑定理的應(yīng)用：垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題。

【熱點(diǎn)題型精練】

1.(2022?瀘州中考)如圖，48是。。的直徑，。。垂直于弦NC于點(diǎn)。，的延長線交O。于點(diǎn)E.若/C=

4匹DE=4,則2c的長是()

A.1B.V2C.2D.4

解：：/臺(tái)是。。的直徑，

：.ZC=90°,

'：OD±AC,

二點(diǎn)。是NC的中點(diǎn)，

是△NBC的中位線，

1

C.OD//BC,且。。=/7,

設(shè)OO=x,則8c=2x,

,:DE=4,

.\OE=4-x,

:.AB=2OE=8-2x,

在RtZUSC中，由勾股定理可得，AB2=AC2+BC2,

：.(8-2x)2=(4V2)2+(2x)2,

解得x=l.

：.BC=2x=2.

答案：C.

2.（2022?云南中考）如圖，已知48是。。的直徑，CD是。。的弦，ABLCD,垂足為￡若/5=26,CD=24,

則/OCE的余弦值為（）

解：??Z5是。。的直徑，ABLCD,

1

CE=DE=~CD=12,

*：AB=26,

：.OC=13.

CE12

：.COSZOCE=—^—

答案：B.

3.（2022?荊門中考）如圖，CD是圓。的弦,直徑/8_LCD,垂足為E,若48=12,BE=3,則四邊形的

面積為（）

A.36V3B.24V3C.I8V3D.72V3

解，二：如圖，連接OC,

U：AB=\2,BE=3,

：.OB=OC=6,OE=3,

ABVCD.

在RtMOE中，EC=4OC2-OE2=V36-<?=3V^,

：.CD=2CE=6>J3,

11

四邊形4cAD的面積-CD=-x12x6V3=36百.

答案：A.

4.（2022?鄂州中考）工人師傅為檢測(cè)該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖（1）所示的工件

槽，其兩個(gè)底角均為90°,將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有圖（1）所示的4、5、E三個(gè)接觸點(diǎn),

該球的大小就符合要求.圖（2）是過球心及4、B、E三點(diǎn)的截面示意圖，已知。。的直徑就是鐵球的直徑，AB

是。。的弦，CZ）切。。于點(diǎn)E,4cLicD、3Z）J_CZ）,若CD=16cm,4C=BQ=4cm,則這種鐵球的直徑為（）

(I)

A.10cmB.15cmC.20cmD.24cm

解：如圖，連接交4B于點(diǎn)F,連接CM,

u：ACLCD,BDLCD,

J.AC//BD,

?；AC=BD=4cm,

???四邊形ACDB是平行四邊形，

???四邊形/COS是矩形，

：.AB//CD,AB=CD=l6cm,

???CD切。。于點(diǎn)￡,

：.OE1CD,

：?OE1AB,

11

???四邊形EFBO是矩形，AF=~AB=~X16=8(cm),

；.EF=BD=4cm,

設(shè)。。的半徑為"vm則。4=%加，OF=OE-EF=(r-4)cm,

在/中，OA2=AF2+OF2,

：.r2=S2+(r-4)2,

解得：尸=10,

工這種鐵球的直徑為20cm,

答案：C.

5.（2022?自貢中考）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測(cè)得弦45長20厘米，弓形高為2

厘米，則鏡面半徑為26一厘米.

D

解：如圖，點(diǎn)。是圓形玻璃鏡面的圓心，連接OC,則點(diǎn)。，點(diǎn)。，點(diǎn)。三點(diǎn)共線,

D

0

1

由題意可得：OCLAB,AC=~AB=10（厘米），

設(shè)鏡面半徑為x厘米，

由題意可得：x2=102+（x-2）2,

??x=26,

鏡面半徑為26厘米，

答案：26.

6.（2022?牡丹江中考）。。的直徑8=10,是。。的弦，ABLCD,垂足為“，OM：0c=3：5,則/C的長

為4棟或2片.

解：連接。4

設(shè)0c=5x,OM=3x,則￡>M=2x,

VCD=10,

：.OM=3,OA=OC=5,

\'AB±CD,

1

在RtZXCMW中，CM=5,

AM=JOA2-OM2=A/52-32=4,

當(dāng)如圖1時(shí)，CM=OC+(W=5+3=8,

在RtA^CM中，AC=-JAM2+CM2=V42+82=4V5;

當(dāng)如圖2時(shí)，CM=OC-OM=5-3=2,

在Rt/\ACM中，NC=JAM2+MC2=742+22=2V5.

綜上所述，NC的長為4強(qiáng)或2代.

答案：44或2代.

7.（2022?長沙中考）如圖，A、B、C是。。上的點(diǎn)，OCLAB,垂足為點(diǎn)D,且。為OC的中點(diǎn),若。/=7,則

3c的長為7.

：.OD=CD,

"JOCLAB,

：.ZODA=ZCDB=90°,AD=BD,

在△NOD和△BCD中，

OD=CD

^ADO=乙BDC

.AD=BD

:.△AOD"ABCD（SAS）,

'.BC—OA—1.

答案：7.

8.（2022?荊州中考）如圖，將一個(gè)球放置在圓柱形玻璃瓶上，測(cè)得瓶高/3=20cm,底面直徑3C12cm,球的最

高點(diǎn)到瓶底面的距離為32cm,則球的半徑為7.5cm（玻璃瓶厚度忽略不計(jì)）.

解：如圖，設(shè)球心為O,過。作。河_1_4。于連接04,

由題意得：AD=12cm,OM=32-20-r=(12-r)(cm),

1

由垂徑定理得：AM=DM=—AD=6(cm),

在RtZXCMM中，由勾股定理得：AM2+OAfi=OA2,

即62+(12-r)2=凡

解得：尸=7.5,

即球的半徑為7.5°加，

答案：7.5.

9.(2022?六盤水中考)群舸江“余月郎山，西陵晚渡”的風(fēng)景描繪中有半個(gè)月亮掛在山上，月亮之上有個(gè)“齊天

大圣”守護(hù)洞口的傳說.真實(shí)情況是老王山上有個(gè)月亮洞，洞頂上經(jīng)常有猴子爬來爬去，如圖是月亮洞的截面示

意圖.

(1)科考隊(duì)測(cè)量出月亮洞的洞寬CD約是28冽，洞高45約是12冽，通過計(jì)算截面所在圓的半徑可以解釋月亮

洞像半個(gè)月亮，求半徑OC的長(結(jié)果精確到0.1加)；

(2)若/。。。=162°,點(diǎn)河在麗上，求NCW的度數(shù)，并用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為什么“齊天大圣”點(diǎn)M在洞頂

的上巡視時(shí)總能看清洞口CD的情況.

解：(1)設(shè)。4=OC=7?加,

'：OA±CD,

1

：.CB=BD=《CD=14m,

在RtZXCOB中，OC2=OB2+CB2,

.?.R2=142+(R-12)2,

85

OC=~?14.2m.

o

（2）補(bǔ)全。0,在CO的下方取一點(diǎn)N,連接CN,DN,CM,DM,

VZ7V=-ZCOZ）=81°,

'：ZCMD+ZN=ISO°,

：.ZCMD=99°.

：NCM）=99°不變，是定值，

“齊天大圣”點(diǎn)M在洞頂?shù)纳涎惨晻r(shí)總能看清洞口CD的情況.

二、圓周角定理

【高頻考點(diǎn)精講】

1、圓周角定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。

注意：圓周角必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩條邊都與圓相交。

2、圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。

推論：半圓（或直徑）所對(duì)圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

3、解題技巧：解決圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角。

【熱點(diǎn)題型精練】

10.（2022?營口中考）如圖，點(diǎn)B,C,。在上，ACLBC,NC=4,/4DC=30°,則2C的長為（）

A.4V3c.4V2

解：連接如圖所示,

AZACB=90°.

VZADC=30°，

：.AABC=ZADC=30°.

???在RtZUBC中,

tanZABC=

JDC

,'BCtanZ-ABC,

??ZC=4,

4L

==4百.

答案：A.

11.（2022?包頭中考）如圖，AB,CD是。。的兩條直徑，E是劣弧瓦:的中點(diǎn)，連接5C,若N45C=22

則NCDE的度數(shù)為（）

32°C.34°D.44°

解：連接OE,

VOC=OB,ZABC=22°,

：.ZOCB=ZABC=22°,

AZ5OC=180°-22°X2=136°，

YE是劣弧瓦7的中點(diǎn),

CE=BE,

1

：.ZCOE=-x136°=68°,

11

由圓周角定理得：ZCDE=-ZCOE=2x68°=34°,

答案：C.

12.（2022?陜西中考）如圖，△45C內(nèi)接于。0,ZC=46°,連接CM,貝！JNO45=（）

A.44°B.45°C.54°D.67°

解：如圖，連接05,

VZC=46°，

：.ZAOB=2ZC=92°,

?：OA=OB,

1800-92°

ZOAB=----------=44°.

答案：A.

13.（2022?巴中中考）如圖，45為。。的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)、E,BC=BD,NCDB=30°,4C=2百，貝ljOE

C.1D.2

D

為oo的直徑，BC=Bb,

：.AB.LCD,

VZBAC=ZCDB=30°,AC=2后

：.AE=AC9cosNBAC=3,

??Z8為。。的直徑，

AZACB=90°,

AC

.\AB=-------T~-=4,

cos乙BAC

：.OA=2,

；?OE=AE-04=1.

答案：c.

14.（2022?襄陽中考）已知的直徑48長為2,弦/C長為我，那么弦NC所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于45°或

135°.

解：如圖，

：.OA2+OC2=AC2,

：.ZAOC^90a,

.\ZADC=45°,

AZAD'C=135°,

答案：45?；?35°.

15.（2022?日照中考）一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測(cè)

13

量，測(cè)得“5=12"BC=5cm,則圓形鏡面的半徑為—于j

BL-------

解：連接NC,

匚

：N4BC=90°,且//2C是圓周角，

二/C是圓形鏡面的直徑，

由勾股定理得：AC=y/AB2+BC2=V122+52=13（cm）,

-13

所以圓形鏡面的半徑為手7M,

13

答案：—cm.

16.（2022?永州中考）如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C、。在O。上，N4DC=30°,則N20C=州0度.

解：是疝?所對(duì)的圓周角，

/.ZAOC=2ZADC=2X30°=60°,

AZ5OC=180°-ZAOC=180°-60°=120°.

答案：120.

17.（2022?蘇州中考）如圖，48是。。的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)、E,連接ZC,AD.若/A4c=28°,則

'：AB是直徑,

ZACB^90°,

AZABC=90°-ZCAB=62°,

ZD=ZABC=62°,

答案：62.

18.（2022?南通中考）如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于（DO,8。為。。的直徑，AC平分NBAD,。。=2五，點(diǎn)E在

8c的延長線上，連接。E.

（1）求直徑8。的長；

（2）若BE=5近,計(jì)算圖中陰影部分的面積.

解：⑴為。。的直徑，

:./BCD=/DCE=90°,

平分NB/O,

ZBAC=ZDAC,

:.BC=DC=2后

??BD=2V2x=4；

（2）,:BE=5小

:.CE=3五,

,:BC=DC,

1

?''S陰影=SACZ）E=5x2V2x3V2=6.

三、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

【高頻考點(diǎn)精講】

1、圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。

2、圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

【熱點(diǎn)題型精練】

19.（2022?淮安中考）如圖，四邊形/BCD是。。的內(nèi)接四邊形，若//OC=160°,則N/2C的度數(shù)是（）

D

A.80°B.100°C.140°D.160°

解：VZAOC=160a,

1

ZADC=~ZAOC=80°,

:四邊形48co是O。的內(nèi)接四邊形，

AZABC=180°-ZADC=1SO°-80°=100°,

答案：B.

20.（2022?株洲中考）如圖所示，等邊△NBC的頂點(diǎn)/在上，邊AB、/C與。。分別交于點(diǎn)。、E,點(diǎn)尸是劣

弧朝上一點(diǎn)，且與。、￡不重合，連接DREF,則乙DEE的度數(shù)為（）

C.120D.125

解：四邊形EEC%是OO內(nèi)接四邊形,

,/等邊AABC的頂點(diǎn)/在OO上，

:.NEFD=120°,

答案：C.

21.（2022?錦州中考）如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于O。，N8為。。的直徑，ZADC=130°,連接NC,則/8/C

的度數(shù)為4的.

解：：四邊形/BCD內(nèi)接于。。，N/DC=130°,

Z5=180°-ZADC=180°-130°=50°,

??7B為。。的直徑，

ZACB=90°,

：.ZCAB=90°-ZB=90°-50°=40°,

答案：40°.

22.（2022?甘肅中考）如圖，是四邊形/BCD的外接圓，若N/BC=110°,則N（DC=70'

B

解：??,四邊形4BCQ內(nèi)接于OO,ZABC=110°,

AZADC=1SO°-ZABC=180°-110°=70°,

答案：70.

23.(2022?威海中考)如圖，四邊形45CZ)是。。的內(nèi)接四邊形，連接4C,BD,延長CZ)至點(diǎn)E.

(1)^AB=AC,求證：ZADB=ZADE；

(2)若BC=3,。。的半徑為2,求sinNA4c.

(1)證明：???四邊形Z5CZ)是。。的內(nèi)接四邊形,

工NADE=NABC,

9：AB=AC,

：./ABC=NACB,

'：NACB=NADB,

：.NADB=ZADE；

(2)解：連接CO并延長交OO于點(diǎn)R連接5R

E

則NFSC=90°,

在RtZiBCF中，CF=4,BC=3,

BC3

.-.sin^=—=-,

NF=ABAC,

3

sinZBAC=~.

4

四、三角形的外接圓與外心

【高頻考點(diǎn)精講】

1、外接圓定義：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓。

2、外心定義：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)。

3、注意事項(xiàng)

（1）銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角

形的外部。

（2）找三角形的外心，就是找三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三

角形卻有無數(shù)個(gè)。

【熱點(diǎn)題型精練】

24.（2022?梧州中考）如圖，是△/BC的外接圓，且/BAC=36°,在加上取點(diǎn)。（不與點(diǎn)/,B

重合），連接8。，AD,則/氏4D+N/5D的度數(shù)是（）

解：'：AB=AC,NBAC=36°,

:.NABC=NC=72°,

,/四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形,

ZZ)+ZC=180°，

：.ZJD=180°-ZC=108°,

ZBAD+ZABD^1SO°-ZZ)=72O，

答案：C.

25.（2022?十堰中考）如圖，O。是等邊△/3C的外接圓，點(diǎn)。是弧/C上一動(dòng)點(diǎn)（不與4,C重合），下列結(jié)論:

①NADB=/BDC；（2）DA=DC；③當(dāng)。8最長時(shí)，￡>8=2DC；@DA+DC=DB,其中一定正確的結(jié)論有（）

C.3個(gè)D.4個(gè)

解：?.?△/8C是等邊三角形,

AZBAC=ZACB=60°,

■：AB=AB,BC=BC,

：.ZADB=ZACB=60°,ZBDC=ZBAC=60°,

：.ZADB=ZBDC,故①正確；

;點(diǎn)。是弧NC上一動(dòng)點(diǎn)，

.?.Ab與曲不一定相等，

.?.D4與。C不一定相等，故②錯(cuò)誤；

當(dāng)。3最長時(shí)，為。。直徑，

:./BCD=90°,

；/BDC=60°,

:.NDBC=30°,

:.DB=2DC,故③正確；

在。8上取一點(diǎn)E,使DE=4D,如圖：

VZADB^60°,

是等邊三角形,

；.AD=AE,NDAE=60

'：ZBAC=60°,

：.ZBAE=ZCAD,

\"AB=AC,

：./\ABE^/\ACD（SAS）,

：.BE=CD,

：.BD=BE+DE=CD+AD,故④正確；

，正確的有①③④，共3個(gè)，

答案：C.

26.（2022?杭州中考）如圖，已知△4BC內(nèi)接于半徑為1的。O,ZBAC=Q是銳角），則△N8C的面積的最大

值為（）

A.cos0(l+cos0)B.cos0(l+sin0)

C.sin0(l+sin0)D.sin0(l+cos0)

解：當(dāng)△45C的高4。經(jīng)過圓的圓心時(shí)，此時(shí)△45。的面積最大,

如圖所示

'：ArDA.BC,

：.BC=2BD,ZBOD=ZBArC=6,

在中,

BDBDODOD

BD=sinQ,OD=cos0,

：.BC=2BD=2sinS,

A'D=A'O+O￡>=l+cose,

11

=9

??S^ABC~^'DBC=-x2sin0(l+cos0)=sin。(l+cos0).

答案：D.

27.（2022?玉林中考）如圖，在5X7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1,點(diǎn)。，A,B,C,D,￡均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O

是△/2C的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△/2C外把你認(rèn)為外心也是。的三角形都寫出來上

OA=Vl2+22=V5>

OB=Vl2+22=V5>

OC=712+22=V5，

OD=Vl2+22=V5，

OE=Vl2+32=V1O>

OA=OB=OC=OD^OE,

,△ABD,/\ACD,△BCD的外心都是點(diǎn)O,

答案：LABD,/\ACD,ABCZ）.

28.（2022?黑龍江中考）如圖，在。。中，是。。的弦，的半徑為3c〃?.。為上一點(diǎn)，ZACB=60°,

解：連接/O并延長交。。于點(diǎn)。,

'：AD是O。的直徑,

AZABD^90°,

VZACB^60°，

：.ZADB=ZACB=60°，

在RtAABD中，AD=6cm,

.??4B=4Z)?sin60°=6*享=3百(cm),

答案：3打.

29.（2022?涼山州中考）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，。。是△/8C的外接圓，點(diǎn)4,B,。在格點(diǎn)上，則

cosZACB的值是—仝0

解：連接BD,和8。相交于點(diǎn)

是。。的直徑，

AZABD^90°,

\'AB=6,BD=4,

'?AD=AB2+BD2=V62+42=2V13，

BD42V13

■^sZADB=—=^==^-,

'：NACB=/ADB,

：.cosZACB的值是#p,

答案：誓.

五、切線的性質(zhì)

【高頻考點(diǎn)精講】

1、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。

2、經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。

3、經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

4、切線性質(zhì)的運(yùn)用：由切線長定理可知，如果出現(xiàn)圓的切線，可以連接過切點(diǎn)的半徑，得出垂直關(guān)系。

【熱點(diǎn)題型精練】

30.（2022?深圳中考）已知三角形4BE為直角三角形，NABE=90：3c為圓。切線，C為切點(diǎn)，CA=CD,則

和面積之比為（）

A.1：3B.1：2C.V2：2D.(V2-1)：1

解：如圖，連接OC,

是。。的切線，OC為半徑，

：.OC±BC,

即/0c8=90°,

：.ZCOD+ZOBC=90°,

又；NABE=90°,即N/2C+NOBC=90°,

：.ZABC=ZCOD,

是。。的直徑，

:.NDCE=90°,即/OCE+/OC〃=90°,

又N/+/E=90°,而NE=NOCE,

：.ZA=ZOCD,

在△/8C和△COD中，

(Z.A=Z.OCD

\^ABC=ACOD,

UC=CD

:.△ABC出ACODCAAS),

又；EO=DO,

.1

:?S&COD=S&COE=5sADCE，

.1

S“BC=5s△OCE，

即△NBC和面積之比為1：2,

答案：B.

31.（2022?無錫中考）如圖，48是圓。的直徑，弦4D平分NA4C,過點(diǎn)。的切線交NC于點(diǎn)￡,NEAD=25

則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

C.DE=ODD./BOD=50°

解：：弦/。平分NB/C,NEAD=25°，

：.ZOAD=ZODA=25°.

AZBOD=2ZOAD=50°.

故選項(xiàng)。不符合題意;

,：ZOAD=ZCAD,

：.ZCAD=ZODA,

C.OD//AC,即故選項(xiàng)8不符合題意;

是O。的切線,

J.ODVDE.

C.DELAE.故選項(xiàng)/不符合題意;

如圖，過點(diǎn)。作OFLZC于尸，則四邊形。尸ED是矩形,

在直角中，OA>OF.

'：OD=OA,

：.DE<OD.

故選項(xiàng)。符合題意.

答案：C.

32.（2022?重慶中考）如圖，N8是。。的切線，8為切點(diǎn)，連接力。交。。于點(diǎn)C,延長/O交。。于點(diǎn)。，連接

BD.若=且NC=3,則的長度是（)

A.3B.4C.3V3D.4V2

是O。的切線，B為切點(diǎn),

：.OB±AB,

.?.482=0/2_OB2,

「OB和OD是半徑，

/.ZD=ZOBD,

'：ZA=ZD,

NA=/D=NOBD,

:?AOBDs/\BAD,AB=BD,

：.OD：BD=BD：AD,

：.BD2=OD^AD,

即OA2-OB2=OD?AD,

設(shè)OD=x,

'：AC=3,

'.AD=2x+3,OB=x,OA=x+3,

A(x+3)2-/=x(2x+3),解得x=3(負(fù)值舍去)，

：.OA=6,08=3,

：.AB2=OA2-OB2=21,

:.AB=3痘,

答案：C.

33.(2022?資陽中考)如圖，△/3C內(nèi)接于OO,48是直徑，過點(diǎn)”作。。的切線AD.若NB=35°,則ND4C

的度數(shù)是35度.

解：???48為直徑，

-90°,

VZB=35°,

ZBAC=55°,

??1。與。。相切，

：.AB.LAD,即/5/。=90°,

：.ZCAD=90°-ZBAC=35°.

答案：35.

34.（2022?泰州中考）如圖，尸4與。。相切于點(diǎn)4尸。與。。相交于點(diǎn)5,點(diǎn)。在/的上，且與點(diǎn)4、5不重

合.若/尸=26。，則NC的度數(shù)為32°.

???力與OO相切于點(diǎn)4

：.ZOAP=90°,

?IN尸=26°,

ZAOP=90°-N尸=90°-26°=64°,

11

AZD=-ZAOP=2X64°=32°，

???點(diǎn)。在汨前上，且與點(diǎn)4、3不重合，

：.ZC=ZD=32°,

答案：32.

35.（2022?青島中考）如圖，是。。的切線，B為切點(diǎn),CU與。。交于點(diǎn)C,以點(diǎn)4為圓心、以O(shè)C的長為半

徑作方分別交4C于點(diǎn)E,F.若OC=2,/5=4,則圖中陰影部分的面積為4-冗,

??ZB是。。的切線，5為切點(diǎn),

：.ZOBA=90°,

-4+N4=90°,

由題意得：

OB=OC=AE=AF=2,

???陰影部分的面積=2\4。8的面積-(扇形BOC的面積+扇形EAF的面積)

1907rx22

5AB?OB-

360

1

=-x4X2-n

=4-n,

答案：4-TT.

36.(2022?濟(jì)南中考)己知：如圖，為。。的直徑，CD與。。相切于點(diǎn)C,交N2延長線于點(diǎn)。，連接NC,

BC,ND=30°,CE平分/ACB交。0于點(diǎn)E,過點(diǎn)2作3萬，CE,垂足為足

(1)求證：CA=CD；

(2)若/8=12,求線段8尸的長.

(1)證明：連接。C,

c

Ar0/jBD

E

???CQ與。。相切于點(diǎn)C,

：.ZOCD=90°,

VZD=30°,

：.ZCOD=90°-ZD=60°,

1

AZA=~ZCOD=30°,

ZA=ZD=30°,

：.CA=CD；

(2)解：??ZB為。。的直徑，

AZACB=90°,

VZA=30°,AB=\2,

1

:.BC=~^AB=6,

?：CE平分N4CB,

1

：.ZBCE=-ZACB=45°,

■:BF2CE,

ZBFC=90°,

/=3C?sin45°=6x專=3五,

線段2尸的長為3丘.

六、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

【高頻考點(diǎn)精講】

1、內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三

角形叫做圓的外切三角形。

2、內(nèi)心定義：三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)。

3、任何三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形。

4、三角形內(nèi)心的性質(zhì)

(1)三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。

(2)三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分內(nèi)角。

【熱點(diǎn)題型精練】

37.（2022?婁底中考）如圖，等邊△NBC內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白

色部分關(guān)于等邊△48C的內(nèi)心成中心對(duì)稱，則圓中的黑色部分的面積與△/8C的面積之比是（）

AV37TV3V37TV3

A?ITB.C.D.

18~9~~9~

解：作于點(diǎn)O,作于點(diǎn)E,和BE交于點(diǎn)O,如圖所示,

A

設(shè)25=2”,則AD=a,

VZADB=90°，

.'■AD=yjAB2-BD2=后,

1V3

：.OD=~AD=-a,

7TX（—a）2x1

V37T

???圓中的黑色部分的面積與△NBC的面積之比是：一急五_-

-2-

答案：A.

38.（2022?德陽中考）如圖，點(diǎn)E是△/BC的內(nèi)心，/E的延長線和△48C的外接圓相交于點(diǎn)。，與2C相交于點(diǎn)

G,則下列結(jié)論：①/BAD=NCAD；②若/A4c=60°,則/5￡。=120°；③若點(diǎn)G為2c的中點(diǎn)，則/

BGD=90°；④BD=DE.其中一定正確的個(gè)數(shù)是（

C.3D.4

解：是△NBC的內(nèi)心,

：.AD平分NA4C,

AZBAD=ZCAD,故①正確;

如圖，連接BE,CE,

11

NEBC=-ZABC,ZECB=~/.ACB,

VZBAC=60°,

：.ZABC+ZACB=120°,

1

Z5￡C=180°-ZEBC-Z￡C5=180°--(ZABC+ZACB)=120°,故②正確;

ZBAD=ZCAD,

'.BD=DC,

：.OD±BC,

;點(diǎn)G為8C的中點(diǎn)，

，G一定在上，

:.NBGD=90°,故③正確；

如圖，連接BE,

:.BE平分/ABC,

：.ZABE=ZCBE,

,：ZDBC=ZDAC=ZBAD,

：.ZDBC+ZEBC=ZEBA+ZEAB,

：./DBE=NDEB,

：.DB=DE,故④正確.

...一定正確的①②③④，共4個(gè).

答案：D.

39.（2022?黔東南州中考）如圖，在△48C中，N/=80°,半徑為3cm的。。是△48C的內(nèi)切圓，連接。5、

OC,則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果用含n的式子表示）

解：VZ^=80°,（DO是△N3C的內(nèi)切圓，

111

-C-^ABC+~^ACB）=180°--（180°-//）=130°,

.1307TX3213

IL

,,S扇形OOE=360=4（的），

13

答案：彳「

40.（2022?泰州中考）如圖，△4BC中，ZC=90°,4c=8,BC=6,。為內(nèi)心，過點(diǎn)。的直線分別與NC、AB

1

邊相交于點(diǎn)。、E.若DE=CD+BE,則線段CD的長為2或萬.

解：如圖，過點(diǎn)。的直線分別與4C、邊相交于點(diǎn)。、E,連接50,CO,

為△4BC的內(nèi)心，

；.CO平分N/C8,BO平分/4BC,

：.ZBCO=ZACO,ZCBO=ZABO,

當(dāng)CD=OD時(shí)，則/OCD=/CO。，

ZBCO^ZCOD,

：.BC//DE,

：.ZCBO=ZBOE,

：.BE=OE,

則DE=CD+BE,

設(shè)CD=O0=x,BE=OE=y,

在RtA^5C中，N8=VXC2+BC2=10,

AD_DEfQ—x_x+y

ifIff,即直工

.AB~BCI10-8

(x=2

：.CD=2,

過點(diǎn)O作。'E'LAB,DE//BC,

;點(diǎn)。為△NBC的內(nèi)心，

：.OD=OE',

在Rt^ODZ/和RtZ\OE'E中,

(乙OE'E=乙ODD'

{OE'=OD,

V/.EOE'=ND'。。

:.△ODD'*△OE'E(ASA),

：.OE=OD',

59

：.D'E'=DE=CD+BE=CD'+BE'=2+~=~,

在E'和△NBC中,

(Z.A=Z.A

[AD'E'A=ABCA'

：./\AD'E'^/\ABC,

.AD'D'E'

""~AB=BC'

--A-D='2-.

"106f

,15

解得：AD'=—,

1

：.CD'=AC-ADr=-,

1

答案：2或5.

41.（2022?宜賓中考）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正

方形（如圖所示）.若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3,小正方形的面積為49,則大正方形的面積為289.

解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O,連接OE、0D,

則四邊形EODC為正方形,

AC+BC-BA

：?OE=OD=3=-----------------,

：.AC+BC-AB=6,

：.AC+BC=AB+6,

：.(NC+BC)2=(48+6)2,

...BC2+AC2+2BCXAC=AB2+1248+36,

而BC2+AC2=AB2,

.?.28CX/C=12N8+36①，

???小正方形的面積為49,

，(BC-AC)2=49,

：.BC2+AC2-23cxzc=49②，

把①代入②中得

AB2-1248-85=0,

，(AB-17)(.AB+5)=0,

.?.48=17(負(fù)值舍去)，

二大正方形的面積為289.

答案：289.

七、弧長及扇形面積計(jì)算

【高頻考點(diǎn)精講】

1、弧長計(jì)算

(1)圓周長公式：C=2TTR

(2)弧長公式：/=［工國(弧長為/,圓心角度數(shù)為“，圓的半徑為R)

180

2、扇形面積計(jì)算

（1）圓面積公式：S=nr2

（2）扇形：組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫做扇形。

（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是/,圓的半徑為R的扇形面積為S,則

」-成2

①s扇形

360

②s扇形LR（其中/為扇形的弧長）

2

（4）求陰影面積解題技巧：將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積。常用方法：①直接用公式法；②和差法;

③割補(bǔ)法。

【熱點(diǎn)題型精練】

42.（2022?湖北中考）如圖，在RtZ\4BC中，/C=90°,/8=30°,4B=8,以點(diǎn)C為圓心，C4的長為半徑畫

弧，交48于點(diǎn)。，貝必。的長為（)

45

A.nB.針C.鏟D.2冗

解：連接C。，如圖所示:

VZACB^90°,NB=30°,AB=8,

1

AZA=90°-30°=60°,AC=~AB=4,

由題意得：AC=CD,

???△4CO為等邊三角形，

AZACD=60°,

-607rx44

???ZO的長為：-

loUD

答案：B.

43.（2022?廣西中考）如圖，在△4BC中，CA=CB=4,ZBAC=a,將△45C繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a,得到

C,連接"C并延長交N8于點(diǎn)。，當(dāng)中時(shí)，曲'的長是（）

Bf

10V3

D.-7~n

1

：.AD=DB=~AB'.

ZAB'0=30°，

.,.a=30°,

V^C=4,

：.AD=AC'cos3,Q°=4x字=2百,

：.AB=2AD=^,

-mir60XTTX4V3^_4~V^

??.BB'的長度，=痂

1803

44.（2022?麗水中考）某仿古墻上原有一個(gè)矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩

形，如圖.已知矩形的寬為2〃?，高為2百〃?，則改建后門洞的圓弧長是（）

57r87r10TT57r

A.-mB.-mC.一§一加D.(-+2)m

解：連接/C,BD,NC和8。相交于點(diǎn)O,則。為圓心，如圖所示,

B

由題意可得，CD=2m,AD=2bm,ZADC=90°,

AD2V3「1-----------------------

tanZDG4=—==y/3,AC=y/CD2+AD2=4(m),

AZACD=60°,OA=OC=2m,

：.ZACB=30°,

AZAOB^60U,

優(yōu)弧/OCB所對(duì)的圓心角為300°,

3007TX210n

/.改建后門洞的圓弧長是:180=-3~")

答案：C.

45.（2022?資陽中考）如圖.將扇形/。8翻折，使點(diǎn)4與圓心O重合，展開后折痕所在直線/與檢交于點(diǎn)C,連

接/C.若。/=2,則圖中陰影部分的面積是（）

7T

D.§

解：連接CO,直線/與49交于點(diǎn)。，如圖所示,

：.OC=OA=2,

???點(diǎn)4與圓心O重合，

：.AD=OD=l,CDLAO,

：.OC=AC,

.,.0/=0C=/C=2,

???△CMC是等邊三角形，

：.ZCOD=60°,

'：CDLOA,

CD=y/0C2-0D2=722-12=V3，

陰影部分的面積為：能器-省色=絲-百，

DOU23

答案：B.

46.（2022?蘭州中考）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的扇面宣傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所

示，它是以。為圓心，OA,長分別為半徑，圓心角/。=120°形成的扇面，若O/=3m,OB=1.5m,則陰

影部分的面積為（）

0

圖1圖2

A.4.25TO〃2B.3.25Ttm-C.3Tm2D.2.25TOM2

解：S陰=S扇形。0力-S扇形BOC

1207TX91207TX-

=-------_____4

360360

=2.25mn2.

答案：D.

47.（2022?泰安中考）如圖，四邊形/BCD中，ZA=60°,AB//CD,DELAD交AB于點(diǎn)、E,以點(diǎn)￡為圓心，DE

為半徑，且DE=6的圓交CD于點(diǎn)尸，則陰影部分的面積為（）