2024年初中數(shù)學要背誦記憶知識點（概念+公式）

初中數(shù)學要背誦記憶知識點（概念+公式）全

考點一、一元一次方程的概念（6分）

1、方程

含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解

能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。

3、等式的性質

（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得結果仍是等式。

（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結果仍是等

式。

4、一元一次方程

只含有一個未知數(shù)，聾且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其

中方程nx+6—°（x為工印數(shù)，。工°）叫做一元一次方程的標準形式，a是未知

數(shù)X的系數(shù)，b是常數(shù)項。

考點二、一元二次方程（6分）

1、一元二次方程

含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

ox2+bx+c=0（o*0）,它的特征是：等式左邊十一個關于未知數(shù)x的二次多

項式，等式右邊是零，其中ax」叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項,

b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。

考點三、一元二次方程的解法（10分）

1、直接開平方法

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接

開平方法適用于解形如（x+0）2=b的一元二次方程。根據(jù)平方強的定義可知，

x+Q是b的平方根，當6N0時，=土跖，"=一Q土拈，當b<o時，

方程沒有實數(shù)根。

2、配方法

配方法是一種重要的數(shù)學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應用，而且在數(shù)學

的其他領域也有著廣泛的應用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式

。2土2。力+82=(。+6)2,把公式中的a看做未知數(shù)x,并用x代替，則有

222

x±2bx+b=(x±h)o

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程++c0(Q±0)的求根公式：

-bb2-4ac,

x=----------------(曠一4℃20)

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，

是解一元二次方程最常用的方法。

考點四、一元二次方程根的判別式(3分)

根的判別式

一元二次方程o/"x+c=°(a*0)中，＞一4。。叫做一元二次方程

ox2+bx4-c=0(fl*0)的根的判別式，通常用"A"來表示，即A=b2-4ac

考點五、一元二次方程根與系數(shù)的關系(3分)

_b_

如果方程0x2+%X+C=0("0)的兩個實數(shù)根是X1，X2,那么*1**2-一￡,

_￡

一也就是說，對于任何一個有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方

程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次

項系數(shù)所得的商。

考點六、分式方程(8分)

1、分式方程

分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是將“分式方程"轉化為“整式方程"。它的一般解法是：

（1）去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母

（2）解所得的整式方程

（3）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應該舍去；若不

等于零，就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法

換元法：

換元法是中學數(shù)學中的一個重要的數(shù)學思想，其應用非常廣泛，當分式方程具有某

種特殊形式，一般的去分母不易解決時，可考慮用換元法。

考點七、二元一次方程組（8?10分）

1、二元一次方程

含有兩個未知數(shù)，并且未知項的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程，它的

一般形式是（

2、二元一次方程的解

使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個解。

3、二元一次方程組

兩個（或兩個以上）二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。

4二元一次方程組的解

使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一

次方程組的解。

5、二元一次方正組的解法

（1）代入法（2）加減法

6、三元一次方程

把含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程。

7、三元一次方程組

由三個（或三個以上）一次方程組成，并且含有三個未知數(shù)的方程組，叫做三元一

次方程組。

第四章不等式（組）

考點一、不等式的概念（3分）

1、不等式

用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集

對于一個含有未知數(shù)的不等式，任何一個適合這個不等式的未知數(shù)的值，都叫做這

個不等式的解。

對于一個含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個不等式的解的集合，簡

稱這個不等式的解集。

求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

3、用數(shù)軸表示不等式的方法

考點二、不等式基本性質（3?5分）

1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。

2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。

3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。

考試題型：

考點三、一元一次不等式（6?8分）

1、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整

式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步驟：

（1）去分母（2）去括號（3）移項（4）合并同類項（5）將乂項的系數(shù)化為

1

考點四、一元一次不等式組（8分）

1、一元一次不等式組的概念

幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。

幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解

集。

求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組。

當任何數(shù)X都不能使不等式同時成立，我們就說這個不等式組無解或其解為空集。

2、一元一次不等式組的解法

(1)分別求出不等式組中各個不等式的解集

(2)利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。

5、樣本平均數(shù)

樣本中所有個體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。

6、總體平均數(shù)

總體中所有個體的平均數(shù)叫做總體平均數(shù)，在統(tǒng)計中，通常用樣本平均數(shù)估計總體

平均數(shù)。

考點三、眾數(shù)、中位數(shù)(3?5分)

1、眾數(shù)

在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

2、中位數(shù)

將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的

平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

考點四、方差(3分)

1、方差的概念

在一組數(shù)據(jù)…，Xn，中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)X的差的平方的平均數(shù)，

叫做這組數(shù)據(jù)的方差。通常用"S±”表示，即

/=力—+(X2-X)，…+(萬廠*)2]

2、方差的計算

(1)基本公式：

^2=7K*l-*)2+(*2-*)2+,+

(2)簡化計算公式(I)：

1?2

2

S=-[(*1+X1+-x]

1—2

也可寫成$=/申中…"汨T

此公式的記憶方法是：方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方。

(3)簡化計算公式(II)：

52T(x，kx，3+…+x以)-nx，]

當一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)較大時，可以依照簡化平均數(shù)的計算方法，將每個數(shù)據(jù)同時減

去一個與它們的平均數(shù)接近的常數(shù)a,得到一組新數(shù)據(jù)x'l—x[一。，

1,,9-2

?'2-?Y'n-S2=—[(X'ltX'2|-?IX，?)]-X，

nnVn

x^-x2-a；_x-xn-a；那么，n

此公式的記憶方法是：方差等于新數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去新數(shù)據(jù)平均數(shù)的平方。

(4)新數(shù)據(jù)法：

原數(shù)據(jù)*1，“2,…，小，的方差與新數(shù)據(jù)X'】二X1-a,X'2=X2一

x，n=x?-a的方差相等，也就是說，根據(jù)方差的基本公式，求得

X，1,x，2,-,x，n,的方差就等于原數(shù)據(jù)的方差。

3、標準差

方差的算數(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標準差，用“S"表示，即

2222

s=Vs=^[(x1-x)+(x2-x)4--4-(xn-x)]

考點五、頻率分布(6分)

1、頻率分布的意義

在許多問題中，只知道平均數(shù)和方差還不夠，還需要知道樣本中數(shù)據(jù)在各個小范圍

所占的比例的大小，這就需要研究如何對一組數(shù)據(jù)進行整理，以便得到它的頻率分

布。

2、研究頻率分布的一般步驟及有關概念

(1)研究樣本的頻率分布的一般步驟是：

①計算極差(最大值與最小值的差)

②決定組距與組數(shù)

③決定分點

④列頻率分布表

⑤畫頻率分布直方圖

（2）頻率分布的有關概念

①極差：最大值與最小值的差

②頻數(shù)：落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)

③頻率：每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)（樣本容量n）的比值叫做這一小組的頻率。

考點六、確定事件和隨機事件（3分）

1、確定事件

必然發(fā)生的事件：在一定的條件下重復進行試驗時，在每次試驗中必然會發(fā)生的事

件。

不可能發(fā)生的事件：有的事件在每次試驗中都不會發(fā)生，這樣的事件叫做不可能的

事件。

2、隨機事件：

在一定條件下，可能發(fā)生也可能不放聲的事件，稱為隨機事件。

考點七、隨機事件發(fā)生的可能性（3分）

一般地，隨機事件發(fā)生的可能性是有大小的，不同的隨機事件發(fā)生的可能性的大小

有可能不同。

對隨機事件發(fā)生的可能性的大小，我們利用反復試驗所獲取一定的經(jīng)驗數(shù)據(jù)可以預

測它們發(fā)生機會的大小。要評判一些游戲規(guī)則對參與游戲者是否公平，就是看它們

發(fā)生的可能性是否一樣。所謂判斷事件可能性是否相同，就是要看各事件發(fā)生的可

能性的大小是否一樣，用數(shù)據(jù)來說明問題。

考點八、概率的意義與表示方法（5?6分）

1、概率的意義

n

一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率方會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近,

那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率。

2、事件和概率的表示方法

一般地，事件用英文大寫字母A,B,C,…，表示事件A的概率p,可記為P

(A)=P

考點九、確定事件和隨機事件的概率之間的關系(3分)

1、確定事件概率

(1)當A是必然發(fā)生的事件時，P(A)=1

(2)當A是不可能發(fā)生的事件時，P(A)=0

2、確定事件和隨機事件的概率之間的關系

事件發(fā)生的可能性越來越小

4-------------------------------01概率的值

I

____________________________?不可能發(fā)生必然發(fā)生

事件發(fā)生的可能性越來越大

考點十、古典概型(3分)

1、古典概型的定義

某個試驗若具有：①在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結構有有限多個；②在一次試驗

中，各種結果發(fā)生的可能性相等。我們把具有這兩個特點的試驗稱為古典概型。

2、古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，

m

事件A包含其中的m中結果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)=〃

考點H^一、列表法求概率(10分)

1、列表法

用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2、列表法的應用場合

當一次試驗要設計兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，為不重不漏地列

出所有可能的結果，通常采用列表法。

考點十二、樹狀圖法求概率(10分)

1、樹狀圖法

就是通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結果，求出其概率的方法叫做樹狀圖

法。

2、運用樹狀圖法求概率的條件

當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列

出所有可能的結果，通常采用樹狀圖法求概率。

考點十三、利用頻率估計概率（8分）

1、利用頻率估計概率

在同樣條件下，做大量的重復試驗，利用一個隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個

常數(shù)，可以估計這個事件發(fā)生的概率。

2、在統(tǒng)計學中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中復雜的試驗來完成概率

估計，這樣的試驗稱為模擬實驗。

3、隨機數(shù)

在隨機事件中，需要用大量重復試驗產(chǎn)生一串隨機的數(shù)據(jù)來開展統(tǒng)計工作。把這些

隨機產(chǎn)生的數(shù)據(jù)稱為隨機數(shù)。

第六章一次函數(shù)與反比例函數(shù)

考點一、平面直角坐標系（3分）

1、平面直角坐標系

在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標系。

其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸,

取向上為正方向；兩軸的交點0（即公共的原點）叫做直角坐標系的原點；建立

了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。

為了便于描述坐標平面內(nèi)點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分,

分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。

2、點的坐標的概念

點的坐標用（a,b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在后，中間有“，”分開,

橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標是有序實數(shù)對，當。工。時，（a,

b）和（b,a）是兩個不同點的坐標。

考點二、不同位置的點的坐標的特征（3分）

1、各象限內(nèi)點的坐標的特征

點P(x,y)在第一象限"x>0J>0

點P(x,y)在第二象限OX<0J>0

點P(x,y)在第三象限?x<0,y<0

點P(x,y)在第四象限?X>0,y<0

2、坐標軸上的點的特征

點P(x,y)在x軸上oy-0,x為任意實數(shù)

點P(x,y)在y軸上°X—0,y為任意實數(shù)

點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上=x,y同時為零，即點P坐標為(0,0)

3、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征

點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上ox與y相等

點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上ox與y互為相反數(shù)

4、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征

位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標相同。

位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同。

5、關于x軸、y軸或遠點對稱的點的坐標的特征

點P與點p'關于x軸對稱=橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)

點P與點p'關于y軸對稱=縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)

點P與點P'關于原點對稱=橫、縱坐標均互為相反數(shù)

6、點到坐標軸及原點的距離

點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：

(1)點P(x,y)到x軸的距離等于\yI

(2)點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于IX\

(3)點P(x,y)到原點的距離等于?X2+y2

考點三、函數(shù)及其相關概念(3?8分)

1、變量與常量

在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。

一般地，在某一變化過程中有兩個變量X與y,如果對于x的每一個值，y都有唯

一確定的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。

2、函數(shù)解析式

用來表示函數(shù)關系的數(shù)學式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關系式。

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點

（1）解析法

兩個變量間的函數(shù)關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表

示，這種表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應值列成一個表來表示函數(shù)關系，這種表示法

叫做列表法。

（3）圖像法

用圖像表示函數(shù)關系的方法叫做圖像法。

4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟

（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應值

（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內(nèi)描出相應的點

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

考點四、正比例函數(shù)和一次函數(shù)（3?10分）

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，如果y=Ax+b（k,b是常數(shù)，k^O）,那么y叫做x的一次函數(shù)。

特別地，當一次函數(shù)y—Ax+8中的b為。時，y=kx（k為常數(shù)，k，0）。

這時，y叫做x的正比例函數(shù)。

2、一次函數(shù)的圖像

所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線

3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征:

一次函數(shù)V-Ax+°的圖像是經(jīng)過點o,b）的直線；正比例函數(shù)V-Ax的

圖像是經(jīng)過原點（0,0）的直線。

k的符號b的符號函數(shù)圖像圖像特

征

k>0b>0圖像經(jīng)

過一、

--、--.

象限，

y隨x

的增大

而增

大。

y

Ox

圖像經(jīng)過一、三、四象限，y

隨x的增大而增大。

y

Ox

K<0b>0圖像

經(jīng)過

二、四

象限，

y隨x

的增大

而減小

y

Ox

b<0圖像經(jīng)過二、三、四象限，y

隨x的增大而減小。

y

Ox

注：當

b=0時,

一次函

數(shù)變?yōu)?/p>

正比例

函數(shù)，

正比例

函數(shù)是

一次函

數(shù)的特

例。

4、正比例函數(shù)的性質

一般地，正比例函數(shù)有下列性質：

(1)當k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨X的增大而增大;

(2)當k<0時，圖像經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

5、一次函數(shù)的性質

一般地，一次函數(shù)y—kx+o有下列性質：

(1)當k>0時，y隨x的增大而增大

(2)當k<0時，y隨x的增大而減小

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定

確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式卜’kx（k『0）中的常數(shù)

ko確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式Ax+b（k=o）中的常

數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。

考點五、反比例函數(shù)（3?10分）

1、反比例函數(shù)的概念

k

y=~

一般地，函數(shù)'X（k是常數(shù)，k；0）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析

式也可以寫成ykx:的形式。自變量X的取值范圍是X=o的一切實數(shù)，函數(shù)

的取值范圍也是一切非零實數(shù)。

2、反比例函數(shù)的圖像

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，

或第二、四象限，它們關于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量x工0,函數(shù)y工

0,所以，它的圖像與X軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標

軸，但永遠達不到坐標軸。

3、反比例函數(shù)的性質

反比_kc、

例函y=-（fc*o）

數(shù)

Ox

?Ox

性質①X的取值范圍是x=0,①X的取值范圍是x:0,

v的取值范圍是y二o；y的取值范圍是y工0；

②當k>o時，函數(shù)圖像的兩個分支②當k<0時，函數(shù)圖像的兩個分支

分別分別

在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y

y

隨x的增大而增大。

隨X的增大而減小。

4、反比例函數(shù)解析式的確定

k

V=""

確定及諛是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)X中，只有一個待定

系數(shù)，因此只需要一對對應值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確

定其解析式。

5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義

如下圖，過反比例函數(shù)圖像上任一點P作X軸、y軸的垂線PM,

PN,則所得的矩形PMON的面積S=PM*PN=\y\9\x\=\xy\

,-y=—,"-xy=k,S=\k\

Xo

第七章二次函數(shù)

考點一、二次函數(shù)的概念和圖像（3?8分）

1、二次函數(shù)的概念

一般地,如果片瓦澈,那么y叫做x的二次函

數(shù)。

y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),。*0)叫做二次函數(shù)的一般式。

2、二次函數(shù)的圖像

_b

二次函數(shù)的圖像是一條關于-而對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。

拋物線的主要特征：

①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。

3、二次函數(shù)圖像的畫法

五點法：

(1)先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M,并

用虛線畫出對稱軸

(2)求拋物線y+c與坐標軸的交點：

當拋物線與X軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C,再

找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延

伸，就得到二次函數(shù)的圖像。

當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點Do

由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像,

可再描出一對對稱點A、B,然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。

考點二、二次函數(shù)的解析式(10?16分)

二次函數(shù)的解析式有三種形式：

(1)般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),。*0)

(2)頂點式：y=a(x-h)2+*(明加k是常數(shù),。#0)

(3)當拋物線y=+c與x軸有交點時，即對應二次好方程

ax2+bx+c0有實根'I和'二存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式

2

ax+bx+c=a(x-xi)(x-x2),二次函數(shù)y=Q*2+bx+c可轉化為兩根

式y(tǒng)o(x-xL)(x-x2)o如果沒有交點，則不能這樣表示。

考點三、二次函數(shù)的最值(10分)

如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值)，

_b_4ac-b2

即當“2。時，，齡值4。0

b

如果自變量的取值范圍是X1&X&X2,那么，首先要看一元是否在自變量取值

b4ac-b2

范圍X1SXWX2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當x=一元時，'后值-4。；若

不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在X1&X&X2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi),

y隨x的增大而增大，貝IJ當X=*2時，'最大="'+"2+C,當X-X1時，

y最小=°￥+bXl+C；如果在此范圍內(nèi)，y隨X的增大而減小，則當XX1時,

“大二兩+以】"當X=X2時，&小=。厘以2"。

考點四、二次函數(shù)的性質(6?14分)

1、二次函數(shù)的性質

函數(shù)二次函數(shù)

y=o*2+bx+c(o,b,c是濟數(shù),

(1)拋物線開口向上，并向上(1)拋物線開

口向下，并向下

無限延伸;無限延伸;

b(2)對稱軸是

(2)對稱軸是*=2。,頂點b

bx=2。，頂點

坐標是(2。，坐標是

b

4OC-M

(~2a,

4。)；

4oc-b?

(3)在對稱軸的左側，即當x<4。)；

b

2。時，y隨x的增大而減??；(3)在對稱軸

b的左側，即當

在對稱軸的右側，即當X>2(?b

x<2a時，y

時，y隨x的增大而增大，簡記

左減右增；隨X的增大而增

大；在對稱軸的

(4)拋物線有最低點，當*=右側，即當x>

bb

2。時，y有最小值，2。時，y隨

4ac—b2x的增大而減

最小值：-4o-小，簡記左增右

減；

(4)拋物線有

最高點，當x=

b

2。時，y有

最大值，

4ac-?

V后大值二一47

2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c(。,瓦C是常數(shù),awO)中，。、b、c的含義:

a表示開口方向：。>0時，拋物線開口向上

。<0時，拋物線開口向下

b

b與對稱軸有關：對稱軸為乂=二。

。表示拋物線與y軸的交點坐標：(0,c)

3、二次函數(shù)與一元二次方程的關系

一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標。

因此一元二次方程中的A=b2-4ac,在二次函數(shù)中表示圖像與X軸是否有交點。

當△>()時，圖像與X軸有兩個交點；

當△=()時，圖像與X軸有一個交點；

當A<0時，圖像與X軸沒有交點。

補充：

1、兩點間距離公式(當遇到?jīng)]有思路的題時，可用此方法拓展思路，以尋求解題

方法)

y

如圖：點A坐標為(x1,y1)點B坐標為(x2,y2)

則AB間的距離，即線段AB的長度為｛(“IF)+(>\一了2)人

Ox

B

2、函數(shù)平移規(guī)律(中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度

有很大幫助，可以大大節(jié)省做題的時間)

左加右減、上加下減

第八章圖形的初步認識

考點一、直線、射線和線段（3分）

1、幾何圖形

從實物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。

立體圖形：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。

平面圖形：有些幾何圖形的各個部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形。

2、點、線、面、體

（1）幾何圖形的組成

點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形中最基本的圖形。

線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。

面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。

體：幾何體也簡稱體。

（2）點動成線，線動成面，面動成體。

3、直線的概念

一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無限延伸

的。

4、射線的概念

直線上一點和它一旁的部分叫做射線。這個點叫做射線的端點。

5、線段的概念

直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段。這兩個點叫做線段的端點。

6、點、直線、射線和線段的表示

在幾何里，我們常用字母表示圖形。

一個點可以用一個大寫字母表示。

一條直線可以用一個小寫字母表示。

一條射線可以用端點和射線上另一點來表示。

一條線段可用它的端點的兩個大寫字母來表示。

注意：

（1）表示點、直線、射線、線段時，都要在字母前面注明點、直線、射線、線段。

（2）直線和射線無長度，線段有長度。

（3）直線無端點，射線有一個端點，線段有兩個端點。

（4）點和直線的位置關系有線面兩種：

①點在直線上，或者說直線經(jīng)過這個點。

②點在直線外，或者說直線不經(jīng)過這個點。

7、直線的性質

（1）直線公理：經(jīng)過兩個點有一條直線，并且只有一條直線。它可以簡單地說成:

過兩點有且只有一條直線。

（2）過一點的直線有無數(shù)條。

（3）直線是是向兩方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比較大小。

（4）直線上有無窮多個點。

（5）兩條不同的直線至多有一個公共點。

8、線段的性質

（1）線段公理：所有連接兩點的線中，線段最短。也可簡單說成：兩點之間線段

最短。

（2）連接兩點的線段的長度，叫做這兩點的距離。

（3）線段的中點到兩端點的距離相等。

（4）線段的大小關系和它們的長度的大小關系是一致的。

9、線段垂直平分線的性質定理及逆定理

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。

線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相

等。

逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

考點二、角（3分）

1、角的相關概念

有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射

線叫做角的邊。

當角的兩邊在一條直線上時，組成的角叫做平角。

平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做銳角；大于直角且小于平角的角叫做鈍角。

如果兩個角的和是一個直角，那么這兩個角叫做互為余角，其中一個角叫做另一個

角的余角。

如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角叫做互為補角，其中一個角叫做另一個

角的補角。

2、角的表示

角可以用大寫英文字母、阿拉伯數(shù)字或小寫的希臘字母表示，具體的有一下四種表

示方法：

①用數(shù)字表示單獨的角，如Nl,N2,N3等。

②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如為，4,今，同等。

③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如NB,

NC等。

④用三個大寫英文字母表示任一個角，如NBAD,ZBAE,NCAE等。

注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫

在兩側。

3、角的度量

角的度量有如下規(guī)定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，

用"?！北硎?1度記作"1?！?n度記作"n?！?。

把1。的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1"'。

把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1"”。

1。=60'=60"

4、角的性質

（1）角的大小與邊的長短無關，只與構成角的兩條射線的幅度大小有關。

（2）角的大小可以度量，可以比較

（3）角可以參與運算。

5、角的平分線及其性質

一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

角的平分線有下面的性質定理：

（1）角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

（2）到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

考點三、相交線（3分）

1、相交線中的角

兩條直線相交，可以得到四個角，我們把兩條直線相交所構成的四個角中，有公共

頂點但沒有公共邊的兩個角叫做對頂角。我們把兩條直線相交所構成的四個角中，

有公共頂點且有一條公共邊的兩個角叫做臨補角。

AB

°F臨補角互補，對頂角相等。

直線AB,CD與EF相交（或者說兩條直線AB,CD被第三條直線EF所截），構

成八個角。其中N1與N5這兩個角分別在AB,CD的上方，并且在EF的同側，

像這樣位置相同的一對角叫做同位角；N3與N5這兩個角都在AB,CD之間，并

且在EF的異側，像這樣位置的兩個角叫做內(nèi)錯角；N3與N6在直線AB,CD之

間，并側在EF的同側，像這樣位置的兩個角叫做同旁內(nèi)角。

2、垂線

兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直。其

中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。

直線AB,CD互相垂直，記作"AB，CD"（或"CD，AB"）,讀作"AB垂直于

CD"（或"CD垂直于AB"）o

垂線的性質：

性質1:過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

性質2：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。簡稱：垂線段

最短。

考點四、平行線（3?8分）

1、平行線的概念

在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。平行用符號“〃表示，如“AB〃

CD",讀作"AB平行于CD

同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關系只有兩種：相交或平行。

注意：

(1)平行線是無限延伸的，無論怎樣延伸也不相交。

(2)當遇到線段、射線平行時，指的是線段、射線所在的直線平行。

2、平行線公理及其推論

平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

3、平行線的判定

平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平

行。簡稱：同位角相等，兩直線平行。

平行線的兩條判定定理：

(1)兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么兩直線平行。簡稱：內(nèi)

錯角相等，兩直線平行。

(2)兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么兩直線平行。簡稱：

同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。

補充平行線的判定方法：

(1)平行于同一條直線的兩直線平行。

(2)垂直于同一條直線的兩直線平行。

(3)平行線的定義。

4、平行線的性質

(1)兩直線平行，同位角相等。

(2)兩直線平行，內(nèi)錯角相等。

(3)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。

考點五、命題、定理、證明(3?8分)

1、命題的概念

判斷一件事情的語句，叫做命題。

理解：命題的定義包括兩層含義：

（1）命題必須是個完整的句子；

（2）這個句子必須對某件事情做出判斷。

2、命題的分類（按正確、錯誤與否分）

真命題（正確的命題）

命題

假命題（錯誤的命題）

所謂正確的命題就是：如果題設成立，那么結論一定成立的命題。

所謂錯誤的命題就是：如果題設成立，不能證明結論總是成立的命題。

3、公理

人們在長期實踐中總結出來的得到人們公認的真命題，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理。

5、證明

判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。

6、證明的一般步驟

（1）根據(jù)題意，畫出圖形。

（2）根據(jù)題設、結論、結合圖形，寫出已知、求證。

（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程。

考點六、投影與視圖（3分）

1、投影

投影的定義：用光線照射物體，在地面上或墻壁上得到的影子，叫做物體的投影。

平行投影：由平行光線（如太陽光線）形成的投影稱為平行投影。

中心投影：由同一點發(fā)出的光線所形成的投影稱為中心投影。

2、視圖

當我們從某一角度觀察一個實物時，所看到的圖像叫做物體的一個視圖。物體的三

視圖特指主視圖、俯視圖、左視圖。

主視圖：在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖。

俯視圖：在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖。

左視圖：在側面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖，有時也叫做側視

圖。

第九章三角形

考點一、三角形（3?8分）

1、三角形的概念

由不在同意直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形

的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點；相鄰兩邊所組成

的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角。

2、三角形中的主要線段

（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線

段叫做三角形的角平分線。

（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。

（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的

高線（簡稱三角形的高）。

3、三角形的穩(wěn)定性

三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫做三角形的穩(wěn)定性。三角形的這個性

質在生產(chǎn)生活中應用很廣，需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。

4、三角形的特性與表示

三角形有下面三個特性：

1（1）三角形有三條線段

（2）三條線段不在同一直線上三角形是封閉圖形

（3）首尾順次相接

三角形用符號表示，頂點是A、B、C的三角形記作“AABC"，讀作“三角形

ABC”。

5、三角形的分類

三角形按邊的關系分類如下：

〔不等邊三角形

《三角形底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等邊三角形

三角形按角的關系分類如下：

7直角三角形（有一個角為直角的三角形）

Y三角形銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）

斜三角形

鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）

把邊和角聯(lián)系在一起，我們又有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直

角邊相等的直角三角形。

6、三角形的三邊關系定理及推論

（1）三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。

推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。

（2）三角形三邊關系定理及推論的作用：

①判斷三條已知線段能否組成三角形

②當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍。

③證明線段不等關系。

7、三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180。。

推論：

①直角三角形的兩個銳角互余。

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內(nèi)角的和。

③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。

注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。

8、三角形的面積

三角形的面積=2X底X高

考點二、全等三角形（3?8分）

1、全等三角形的概念

能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。兩個三角形全等時，互相重合的頂點

叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角。夾邊就是三

角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點的兩邊所成的角。

2、全等三角形的表示和性質

全等用符號“四'表示，讀作“全等于"。如^ABC空DEF,讀作“三角形ABC全等

于三角形DEF”。

注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。

3、三角形全等的判定

三角形全等的判定定理：

（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成

"邊角邊"或"SAS"）

（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成

"角邊角"或"ASA"）

（3）邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或

"SSS"）o

直角三角形全等的判定：

對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：

有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或

"HL"）

4、全等變換

只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換o

全等變換包括一下三種:

（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。

（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180。，這種變換叫做對稱變換。

（3）旋轉變換：將圖形繞某點旋轉一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉

變換。

考點三、等腰三角形（8?10分）

1、等腰三角形的性質

（1）等腰三角形的性質定理及推論：

定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）

推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平

分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。

推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60。。

（2）等腰三角形的其他性質：

①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45。

②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或

直角）。

③等腰三角形的三邊關系：設腰長為a,底邊長為b,則2<a

④等腰三角形的三角關系：設頂角為頂角為NA,底角為NB、NC,則NA=180。

180—

—2ZB,ZB=NC=2

2、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推論：

定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角

對等邊）。這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。

推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形

推論2：有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形。

推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊

的一半。

等腰三角

形的性質

與判定

等腰三角形性質等腰三角形判定

中線1、等腰三角形底邊上的中線1、兩邊上中線相等的三角形是等腰

垂直底邊，平分頂角；三角形；

2、等腰三角形兩腰上的中線2、如果一個三角形的一邊中線垂直

相等，并且它們的交點與底邊這條邊（平分這個邊的對角），那么

兩端點距離相等。這個三角形是等腰三角形

角平分線1、等腰三角形頂角平分線垂1、如果三角形的頂角平分線垂直于

直平分底邊；這個角的對邊（平分對邊），那么這

個三角形是等腰三角形；

2、等腰三角形兩底角平分線

相等，并且它們的交點到底2、三角形中兩個角的平分線相等，

邊兩端點的距離相等。那么這個三角形是等腰三角形。

高線1、等腰三角形底邊上的高平1、如果一個三角形一邊上的高平分

分頂角、平分底邊；這條邊（平分這條邊的對角），那么

這個三角形是等腰三角形；

2、等腰三角形兩腰上的高相

等，并且它們的交點和底邊兩2、有兩條高相等的三角形是等腰三

端點距離相等。角形。

角等邊對等角等角對等邊

邊底的一半〈腰長〈周長的一半兩邊相等的三角形是等腰三角形

4、三角形中的中位線

連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構成一個新的三角形。

（2）要會區(qū)別三角形中線與中位線。

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

三角形中位線定理的作用：

位置關系：可以證明兩條直線平行。

數(shù)量關系：可以證明線段的倍分關系。

常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：

結論1:三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。

結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。

第十章四邊形

考點一、四邊形的相關概念（3分）

1、四邊形

在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接的圖形叫做四邊形。

2、凸四邊形

把四邊形的任一邊向兩方延長，如果其他個邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的

四邊形叫做凸四邊形。

3、對角線

在四邊形中，連接不相鄰兩個頂