2024-2025學年高中數(shù)學第2章推理與證明2.2.2反證法練習新人教A版選修1-2

PAGE2-2反證法[綜合提升案·核心素養(yǎng)達成][限時45分鐘；滿分80分]一、選擇題(每小題5分，共30分)1．應用反證法推出沖突的推導過程中，要把下列哪些作為條件運用①結論的否定即假設；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原命題的結論A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析由反證法的定義知，可把①②③作為條件運用，而④原命題的結論是不行以作為條件運用的．答案C2．用反證法證明命題：“已知a，b為實數(shù)，則方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設是A．方程x2＋ax＋b＝0沒有實根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一個實根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有兩個實根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有兩個實根解析“方程x2＋ax＋b＝0至少有一個實根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0沒有實根”，故選A.答案A3．用反證法證明某命題時，對結論：“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設為A．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù)B．a(chǎn)，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)C．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù)D．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù)解析自然數(shù)a，b，c中為偶數(shù)的狀況為：a，b，c全為偶數(shù)；a，b，c中有兩個數(shù)為偶數(shù)；a，b，c全為奇數(shù)；a，b，c中恰有一個數(shù)為偶數(shù)，所以反設為：a，b，c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)．答案B4．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關系為A．肯定是異面直線B．肯定是相交直線C．不行能是平行直線D．不行能是相交直線解析假設c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面沖突，故c與b不行能是平行直線．答案C5．實數(shù)a，b，c滿意a＋2b＋c＝2，則A．a(chǎn)，b，c都是正數(shù)B．a(chǎn)，b，c都大于1C．a(chǎn)，b，c都小于2D．a(chǎn)，b，c中至少有一個不小于eq\f(1,2)解析假設a，b，c均小于eq\f(1,2)，則a＋2·b＋c＜eq\f(1,2)＋1＋eq\f(1,2)＝2，與已知沖突，故假設不成立，所以a，b，c中至少有一個不小于eq\f(1,2).答案D6．設a，b，c是正數(shù)，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR＞0”是“P，Q，R同時大于零”的A．充分條件B．必要條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析必要性明顯，充分性：若PQR＞0，則P，Q，R同時大于零或其中兩個為負，不妨設P＜0，Q＜0，R＞0，因為P＜0，Q＜0，即a＋b＜c，b＋c＜a，所以a＋b＋b＋c＜c＋a，即b＜0，這與b＞0沖突，所以P，Q，R同時大于零．答案C二、填空題(每小題5分，共15分)7．用反證法證明命題“若實數(shù)a，b，c，d滿意a＋b＝c＋d＝1，ac＋bc＞1，則a，b，c，d中至少有一個是非負數(shù)”時，第一步要假設結論的否定成立，那么結論的否定是：________．解析“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，故結論的否定是“a，b，c，d中沒有一個是非負數(shù)，即a，b，c，d全是負數(shù)”．答案a，b，c，d全是負數(shù)8．下列表中的對數(shù)值有且僅有一個是錯誤的：x358915lgx2a－ba＋c3－3a－3c4a－2b3a－b＋c＋1請將錯誤的一個改正為lg________＝________．解析∵lg9＝2lg3，4a－2b＝2(2a－b)，因為表中的對數(shù)值有且僅有一個是錯誤的，而3和9的對數(shù)值正確，lg5＝1－lg2，lg8＝3lg2，∴3lg5＋lg8＝3，故5和8的對數(shù)值也不能都錯，故只有15的對數(shù)值錯誤，應改正為lg15＝lg3＋lg5＝3a－b＋c.答案15；3a－b＋c9．設a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2.其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是________．(填序號)解析若a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b＝1，但a＜1，b＜1，故①不能推出．若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②不能推出．若a＝－2，b＝1，則a2＋b2＞2，故④不能推出．對于③，即a＋b＞2，則a，b中至少有一個大于1，反證法：假設a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b＞2沖突，因此假設不成立，故a，b中至少有一個大于1.答案③三、解答題(本大題共3小題，共35分)10．(10分)已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求證：a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)．證明假設a，b，c，d都是非負數(shù)，因為a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，這與已知ac＋bd＞1沖突，所以a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)．11．(12分)設{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，cn＝an＋bn，證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．解析假設數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，則(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1).①因為{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，設公比分別為p，q，所以aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1，beq\o\al(2,n)＝bn－1bn＋1，代入①并整理，得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,q)＋\f(q,p)))，即2＝eq\f(p,q)＋eq\f(q,p).②當p，q異號時，eq\f(p,q)＋eq\f(q,p)＜0，與②相沖突，當p，q同號時，由于p≠q，所以eq\f(p,q)＋eq\f(q,p)＞2，與②相沖突，故數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．12．(13分)設函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，a，b∈R.(1)若a＋b≥0，是否有f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)?(2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，是否有a＋b≥0?以上兩結論若正確，請給出證明，若不正確，請說明理由．解析(1)若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立．證明：因為a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a，又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，兩式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0成