2024年高考數(shù)學模擬試題九（含解析）

2024年高考數(shù)學模擬試題

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的)

1.已知復數(shù)2滿意(1—z)z=4，,則忖=()

A.72B.2C.242D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

利用復數(shù)的代數(shù)形式的除法運算先求出z,再依據(jù)復數(shù)的模長公式求出|z|.

【詳解】解：一，>z=4i,,=①4/(1+/)

=—2+2z，：.\z\=2yf2.

')1-za-oa+o

故選：D.

【點睛】本題主要考查復數(shù)的代數(shù)形式的除法運算，考查復數(shù)的模，屬于基礎題.

2.已知集合A={MX2—無<0},5={%|%>1或％<0},則()

A.BeAB.AcBC.AjB=RD.A\B=0

【答案】D

【解析】

【分析】

解不等式對集合進行化簡，即可求出兩集合的關系.

【詳解】解：解不等式為2—x<0得0Vx<1,則A={x[O<x<l}.

因為5={x|x>l或x<0},所以AB=0,

故選:D.

【點睛】本題考查了一元二次不等式的求解，考查了兩集合間的關系.

3.已知〃=logs。？,。=logozOB,。=10°"，貝!J()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】

依據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調性，將a、b、c與0、1比較，即可得出答案.

【詳解】因為y=log3X在(0,+s)上單調遞增，

所以a=log30.2<log3l=0,

因為y=iog02x在(0,+<x>)上單調遞減，

所以0=log02l<b=log020.3<log020.2=1,

因為y=10*在R上單調遞增，

所以c=10°」>10°=l,

所以a<分<c

故選：A

【點睛】本題考查指數(shù)與指數(shù)函數(shù)和對數(shù)與對數(shù)函數(shù).屬于基礎題.本類題型一般都是將所需比較的數(shù)與0、

1比較大小,嫻熟駕馭指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性是解本題的關鍵.

4.(1—x)(l+x)3的綻開式中，％?的系數(shù)為()

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】B

【解析】

【分析】

由題意轉化條件得(1-%)(1+%)3=(1+%)3-%(1+%)3,再由二項式定理寫出(1+%)3的通項公式，分別令

廠=3、r=2,求和即可得解.

詳解)由題意(1—x)(1+x)3=(1+%)3-%(1+%)3，

(1+X)3的通項公式為心=c；-l3-r-xr=C；-xr,

令r=3,則Cj=C；=l；

令廠=2,則Cj=C；=3；

所以(1—x)(l+x)3的綻開式中，V的系數(shù)為i—3=—2.

故選：B.

【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了運算求解實力，屬于基礎題.

【答案】D

【解析】

【分析】

由誘導公式對g(x)化簡，結合兩函數(shù)圖象的關系可求出〃x)=2c°sx+l,通過求/71

x

即可解除錯誤答案.

-2cosx-l，因為/(%)與g(x)圖象關于y軸對稱,

X

-2cos(-x)-l2cosx+l八

則〃x)=-----------=--------w0，

—XX

2cos—F1c

2

^=->0,解除c,f——<0，解除B,

加7171

~2

2cos?+1

/(%)=--<0,解除A,

7171

故選:D.

【點睛】本題考查了誘導公式，考查了函數(shù)圖象的變換，考查了函數(shù)圖象的選擇.本題的關鍵是求出/(x)的

解析式.

6.在3世紀中期，我國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中提出了割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之

又割，以至于不行割，則與圓合體，而無所失矣”.這可視為中國古代極限觀念的佳作.割圓術可以視為將

一個圓內接正九邊形等分成九個等腰三角形(如圖所示)，當“變得很大時，等腰三角形的面積之和近似等于

圓的面積.運用割圓術的思想，可得到雙〃3。的近似值為()(乃取近似值3.14)

C.0.125D.0.235

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)題意圓內接正120邊形其等分成120個等腰三角形,每個等腰三角形的頂角為3。，依據(jù)等腰三角形的面

積之和近似等于圓的面積.即可列出等式解出sin30的近似值.

【詳解】當〃=120時，每個等腰三角形的頂角為=3。，則其面積為sin3°,

1202

又因為等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，

所以120x1/sin3。土"/=sin3"二土0.052,

260

故選：B

【點睛】本題考查三角形與圓的面積公式，屬于基礎題.解本類題型需仔細審題，讀懂題意找到等式是關鍵.

7.已知函數(shù)/(%)="+坨(，￡+1+目,若等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S“，且

/(6—1)=TO"(的020T)=l°，則$2020=()

A.-4040B.0

C.2024D.4040

【答案】C

【解析】

【分析】

結合對數(shù)的運算性質，對/(-X)進行整理可得/(%)為奇函數(shù)，從而可知。1+g020=2,代入等差數(shù)列的

求和公式即可求出%)20的值.

【詳解】解：因為/⑺=d+坨(&2+]+q定義域為R,關于原點對稱，且

(一%『+2311

/(f)=1gx+1-X=-X+lg/2,一

7X+1+X

=-/—一(6+1+x)=-/⑴，所以/(%)為奇函數(shù)，

由/(._1)=_/(4020_1)=/(1_。2020)得，4一1=1一的。20,所以。1+g020=2,

因為｛4｝為等差數(shù)列，所以S2020=2020(7+*)=2020,

故選:C.

【點睛】本題考查了對數(shù)的運算，考查了函數(shù)的奇偶性的推斷，考查了等差數(shù)列的求和公式.本題的關鍵是

出的+。2020—2.

8.在四面體ABCD中，BC=CD=BD=AB=2,NABC=90,二面角A—5C—。的平面角為150°,

則四面體力及力外接球的表面積為()

31124

A.—71B.71

33

C.31乃D.124萬

【答案】B

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標系，寫出A,3,C,。坐標，利用球心到A,3,C,。距離等于半徑求出球心坐標，從而求出

球體半徑，即可求出球體的表面積.

【詳解】解：取3。中點E為坐標系原點，過點E作垂直于平面5CD的直線為z軸，座所在直線為x軸,

EC所在直線為y軸，如下圖所示.

由己知條件可得：5(1,0,0),C(-l,0,0),D(O,AO),A(l,-V3,l).

設四面體ABCD外接球的球心為O(x,y,Z),由儂=儂=\OC\=|OD|得:

犬+卜一班）+z2

x=0

V3，則球心。［。，包酢

解得：,y=TI3J

z=3

\2

三，所以四面體ABCD外接球的

???四面體ABCD外接球的半徑R=|0A|=I2A/3+（3-1）2=

7

表面積S==4萬x衛(wèi)=”相

33

故選：B.

【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積，關鍵是建立空間直角坐標系求出各頂點坐標，屬于中檔題.

二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）

9.在疫情防控阻擊戰(zhàn)之外，另一條戰(zhàn)線也日漸清楚一一復原經(jīng)濟正常運行.國人萬眾一心，眾志成城，防

控疫情、復工復產(chǎn)，某企業(yè)對本企業(yè)1644名職工關于復工的看法進行調查，調查結果如圖所示，則下列說

法正確的是（）

期間其企業(yè)復工鴕工調音

B.從該企業(yè)中任取一名職工，該職工是傾向于在家辦公的概率為0.178

C.不到80名職工傾向于接著申請休假

D.傾向于復工后在家辦公或在公司辦公的職工超過986名

【答案】BD

【解析】

【分析】

依據(jù)扇形圖中的比例關系依次驗證各個選項即可得到結果.

【詳解】對于4,x=100—5.1—17.8—42.3=34.8,4錯誤；

對于5,傾向于在家辦公的人員占比為17.8%,故對應概率為0.178,3正確;

對于C,傾向于接著申請休假人數(shù)為1644x5.1%^84人，C錯誤；

對于。，傾向于在家辦公或在公司辦公的職工人數(shù)為1644x(17.8%+42.3%)“988人，。正確.

故選：BD.

【點睛】本題考查依據(jù)扇形圖進行相關命題的辨析的問題，涉及到比例和頻數(shù)的計算等學問，屬于基礎題.

10.已知向量。=(2,1),匕=(1,-1),c=(〃-2,-n),其中如〃均為正數(shù)，且(a-6)〃c,下列

說法正確的是()

A.a與6的夾角為鈍角

B.向量a在6方向上的投影為好

5

C.2㈤■廳4

D.mn的最大值為2

【答案】CD

【解析】

【分析】

對于A,利用平面對量的數(shù)量積運算推斷；對于B,利用平面對量的投影定義推斷；對于C,利用(?！?)〃c

推斷；對于D,利用C的結論，2加爐4,結合基本不等式推斷.

【詳解】對于A,向量a=(2,1),b=(1--D，則a-b=2—l=l>0，則a力的夾角為銳角，錯誤；

a-b版

對于B,向量a=(2,1),6=(1,-1),則向量a在人方向上的投影為b錯誤;

\b\2

對于C,向量〃=(2,1),b=(b-1)，則a—6=(1，2),若(a—b)〃c,則(-〃)=2包-2),變形可

得2研〃=4,正確；

II2m+n

對于D,由C的結論，2加72=4,而如〃均為正數(shù)，則有的=—<—(------)2=2,即儂的最大值

222

為2,正確；

故選：CD.

【點睛】本題主要考查平面對量的數(shù)量積運算以及基本不等式的應用，屬于基礎題.

X2y2

11.已知橢圓C:J+l(tz>匕〉0)的右焦點為產(chǎn)，點P在橢圓。上，點Q在圓

ab2

E:(X+3)2+(J-4)2=4±,且圓E上的全部點均在橢圓C外，若|PQ|—|P周的最小值為2石—6,且

橢圓C的長軸長恰與圓E的直徑長相等，則下列說法正確的是()

A.橢圓。的焦距為2B.橢圓。的短軸長為石

D.過點尸的圓E的切線斜率為一4土近

C.|PQ|+|尸盟的最小值為2君

3

【答案】AD

【解析】

【分析】

由題意可求得。的值，再由圓的幾何性質結合橢圓的定義以及已知條件可求得c的值，進而可推斷出A、B

選項的正誤；利用圓的幾何性質可推斷C選項的正誤；設出切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑可

求得切線的斜率，可推斷D選項的正誤.綜合可得出結論.

【詳解】圓E的圓心為石（一3,4）,半徑長為2,

由于橢圓。的長軸長恰與圓E的直徑長相等，則2。=4,可得a=2,

設橢圓的左焦點為點及,由橢圓的定義可得|尸耳+歸耳|=2。=4,尸耳=4—歸婚，

所以，歸Q|—|PF|=|PQ|—（4—|尸胤）=|P胤+|尸。卜4之歸￡|+歸口一2—4之舊4|—6=26—6,

當且僅當P、Q、E、6四點共線，且當P、。分別為線段石耳與橢圓C、圓E的交點時，等號成立,

則但周=J（—3+C）2+（4—0）2=Q（c-3）2+16=2布，-0<c<a=2,解得c=l,

所以，橢圓C的焦距為2c=2,A選項正確；

橢圓C的短軸長為2b=2，片—=20，B選項錯誤；

\PQ\+|PF|>\PE\+|PF|-2>|EF|-2=^（-3-l）2+（4-0）2-2=40-2,

當且僅當P、Q、E、尸四點共線，且當尸、。分別為線段石戶與橢圓。、圓E交點時，等號成立，C

選項錯誤；

若所求切線的斜率不存在，則直線方程為x=l,圓心E到該直線的距離為3—1|=4>2,則直線X=1與

圓￡>相離，不合乎題意；

若所求切線的斜率存在，可設切線的方程為y=k(x—1),即區(qū)—y-左=。，

|-34-4一“4|^+1|-4+A/7

由題意可得~,——[=^=^=2,整理得3/+8左+3=0,解得《二7.

yjk2+1y]k2+13

D選項正確.

故選：AD.

【點睛】本題考查利用橢圓的定義解決焦半徑與橢圓上的點到圓上的點的距離和與差的最值問題，同時也

考查了過圓外一點引圓的切線問題，考查數(shù)形結合思想的應用，屬于中等題.

12.已知函數(shù)/(%)=卜05乂一卜足琲則下列結論中，正確的有()

A.乃是/(%)的最小正周期

B./(%)在上單調遞增

C./(%)的圖象的對稱軸為直線x=?+左〃(左eZ)

D./(x)的值域為[0』

【答案】BD

【解析】

【分析】

由/(—%)=/⑴，知函數(shù)為偶函數(shù)，又/Xx+')=/(x),知'是/(x)的周期，

7T

當xe[0,—]時，化簡/Xx)并畫出其圖象，在依據(jù)偶函數(shù)和周期性，畫出函數(shù)Ax)的圖象，依據(jù)圖象推斷

4

每一個選項是否正確.

【詳解】由/(一%)=/(X),知函數(shù)為偶函數(shù)，又/(x+/)=/(x),知5是/(%)的周期，

當xe[0,工]時，/(%)=cos%-sin%=-72sin(x-—),畫出/(x)的圖象如圖所示：

44

由圖知，/(九)的最小正周期是:A錯誤；

八工)在上單調遞增，B正確；

/(%)的圖象的對稱軸為x=?，(keZ),C錯誤；

/(X)的值域為［0』，D正確.

故選：BD.

【點睛】本題是肯定值與三角函數(shù)的綜合問題，推斷函數(shù)奇偶性，周期性畫出函數(shù)圖象是解決問題的關鍵,

屬于中檔題.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若曲線/(x)=xlnx+x在點(1,/⑴)處的切線與直線2x+ay—4=0平行，則。=.

【答案】-1

【解析】

【分析】

求出函數(shù)/(無)在x=l處的導數(shù)值，即可依據(jù)兩直線平行(斜率都存在)斜率相等截距不相等列出等式，得出

答案.

【詳解】因為/(x)=Alnx+x.

所以/'(%)=lnx+l+l=lnx+2,

所以/⑴=2.

因為曲線/(x)=xlnx+x在點(1,7。))處的切線與直線2x+ay—4=0平行，

即2=-2=。=—1.

a

故答案為：-1.

【點睛】本題考查函數(shù)的導函數(shù)的幾何意義,屬于基礎題.解本提出的關鍵在于理解函數(shù)在某點的導函數(shù)值

等于函數(shù)在這點的切線的斜率.

14.已知圓錐的頂點為S,頂點S在底面的射影為。，軸截面夕區(qū)是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的側

面積為，點，為母線距的中點，點C為弧46的中點，則異面直線切與。S所成角的正切值為

【答案】(1).2兀(2).邊5

3

【解析】

【分析】

由軸截面的圖形可知圓的半徑和母線長，從而可求出側面積；作于E,通過求出

EC

tanZCDE=——,從而可求異面直線所成角.

【詳解】解：因為軸截面外6是邊長為2的等邊三角形，所以底面圓的半徑為1，母線為2,

所以圓錐的側面積為S=?xlx2=2%；作DELAB于E,則￡史，底面圓，

因為〃為母線距的中點，所以ED=J_SO=!萬二？=走，

XEC=7OC2+(9E2=

因為EDHSO,所以異面直線CD與OS所成角的正切值為巫

3

故答案為：2兀；

【點睛】本題考查了圓錐側面積的求解，考查了異面直線二面角的求解.本題的關鍵是將異面直線通過平移,

求其夾角.

15.這是世界上最大的消費電子技術展，也是全球最大的消費技術產(chǎn)業(yè)盛會.2024CES消費電子展于2024

年1月7日—10日在美國拉斯維加斯舉辦.在這次35消費電子展上，我國某企業(yè)發(fā)布了全球首款彩色水墨

屏閱讀手機，驚艷了全場.若該公司從7名員工中選出3名員工負責接待工作(這3名員工的工作視為相同

電工作)，再選出2名員工分別在上午、下午講解該款手機性能，若其中甲和乙至多有1人負責接待工作，

則不同的支配方案共有種.

【答案】360

【解析】

【分析】

理解題意，分兩步支配，先支配接待工作，再支配講解工作.支配接待工作時，甲和乙至多支配1人，故

分沒支配甲乙和甲乙支配1人兩類求解，從而計算出不同的支配方案總數(shù).

【詳解】先支配接待工作，分兩類，一類是沒支配甲乙有或種，

一類是