2024-2025學年高中數(shù)學第一章數(shù)列1.1.2數(shù)列的函數(shù)特性課時作業(yè)含解析北師大版必修5

PAGEPAGE5課時作業(yè)2數(shù)列的函數(shù)特性時間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．已知an＋1－an－3＝0，則數(shù)列{an}是(A)A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．不能確定解析：因為an＋1－an＝3>0，故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．2．下列四個數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是(C)A．1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B．sineq\f(π,7)，sineq\f(2π,7)，sineq\f(3π,7)，…C．－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…D．1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(21)解析：A是遞減數(shù)列，B是搖擺數(shù)列，D是有窮數(shù)列，故選C.3．數(shù)列eq\f(\r(5),3)，eq\f(\r(10),8)，eq\f(\r(17),a＋b)，eq\f(\r(a－b),24)，…中，有序數(shù)對(a，b)可以是(D)A．(21，－5) B．(16，－1)C．(－eq\f(41,2)，eq\f(11,2)) D．(eq\f(41,2)，－eq\f(11,2))解析：通項公式為eq\f(\r(n＋12＋1),nn＋2)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝15，,a－b＝26.))∴a＝eq\f(41,2)，b＝－eq\f(11,2).4．數(shù)列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，則此數(shù)列最大項的值是(B)A．107 B．108C．108eq\f(1,8) D．109解析：an＝－2n2＋29n＋3＝－2(n2－eq\f(29,2)n)＋3＝－2(n－eq\f(29,4))2＋3＋eq\f(292,8).當n＝7時，an最大且a7＝108.5．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝n2＋kn＋2，若對于n∈N＋，都有an＋1>an成立，則實數(shù)k的取值范圍是(D)A．k>0 B．k>－1C．k>－2 D．k>－3解析：∵an＋1>an，∴an＋1－an>0.又an＝n2＋kn＋2，∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)>0.∴k>－2n－1.又－2n－1(n∈N＋)的最大值為－3，∴k>－3.6．數(shù)列{an}中，a1＝1，以后各項由公式a1·a2·a3·…·an＝n2給出，則a3＋a5等于(C)A.eq\f(25,9) B.eq\f(25,16)C.eq\f(61,16) D.eq\f(31,15)解析：∵a1·a2·a3·…·an＝n2，∴a1·a2·a3＝9，a1·a2＝4，∴a3＝eq\f(9,4).同理a5＝eq\f(25,16)，∴a3＋a5＝eq\f(9,4)＋eq\f(25,16)＝eq\f(61,16).7．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(4,11－2n)，則滿意an＋1<an的n的取值為(C)A．3B．4C．5D．6解析：由an＋1<an，得an＋1－an＝eq\f(4,9－2n)－eq\f(4,11－2n)＝eq\f(8,9－2n11－2n)<0，解得eq\f(9,2)<n<eq\f(11,2)，又n∈N＋，所以n＝5.8．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1－1))，則關(guān)于an的最大項、最小項敘述正確的是(A)A．最大項為a1，最小項為a3B．最大項為a1，最小項不存在C．最大項不存在，最小項為a3D．最大項為a1，最小項為a4解析：令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))n－1，則它在N＋上遞減且0<t≤1，而an＝t2－t，在0<t≤eq\f(1,2)時遞減，在t>eq\f(1,2)時遞增，且n＝1時，t＝1，n＝2時，t＝eq\f(3,4)，n＝3時，t＝eq\f(9,16)，n＝4時，t＝eq\f(27,64)，且a4>a3，故選A.二、填空題9．已知數(shù)列{an}中，an＝bn＋m(b<0，n∈N＋)滿意a1＝2，a2＝4，則a3＝2.解析：a1＝2，a2＝4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝b＋m,4＝b2＋m))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2,m＝0))(舍去)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－1,m＝3))，∴a3＝(－1)3＋3＝2.10．數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－2n＋5，則它的通項公式為an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4n＝1，,2n－3n≥2)).解析：n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n＋5－(n－1)2＋2(n－1)－5＝2n－3，n＝1時，a1＝S1＝4，不適合上式，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4n＝1,2n－3n≥2)).11．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝－2n2＋13n，關(guān)于該數(shù)列，有以下四種說法：(1)該數(shù)列有無限多個正數(shù)項；(2)該數(shù)列有無限多個負數(shù)項；(3)該數(shù)列的最大項就是函數(shù)f(x)＝－2x2＋13x的最大值；(4)－70是該數(shù)列中的一項．其中正確的說法有(2)(4)．(把全部正確的序號都填上)解析：令－2n2＋13n>0，得0<n<eq\f(13,2)，故數(shù)列{an}有6項是正數(shù)項，有無限個負數(shù)項．當n＝3時，數(shù)列{an}取到最大值，而當x＝3.25時，函數(shù)f(x)取到最大值．令－2n2＋13n＝－70，得n＝10，或n＝－eq\f(7,2)(舍去)．即－70是該數(shù)列的第10項．三、解答題12．依據(jù)數(shù)列的通項公式，寫出數(shù)列的前5項，并用圖像表示出來．(1)an＝(－1)n＋2；(2)an＝eq\f(n＋1,n).解：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.圖像如圖1.(2)a1＝2，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(4,3)，a4＝eq\f(5,4)，a5＝eq\f(6,5).圖像如圖2.13．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－8n＋7.(1)數(shù)列中有多少項是負數(shù)？(2)n為何值時，an有最小值？并求出最小值．解：數(shù)列的通項an與n之間構(gòu)成二次函數(shù)關(guān)系，可結(jié)合二次函數(shù)學問去進行探求，同時要留意n的取值范圍．(1)由n2－8n＋7<0，得1<n<7，∵n∈N＋，∴n＝2,3,4,5,6，∴{an}有5項是負數(shù)．(2)∵an＝n2－8n＋7＝(n－4)2－9，∴n＝4時，an取最小值，其最小值為－9.——實力提升類——14．數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2＋tn(n≤2018)，若數(shù)列{an}遞減，則t的取值范圍是(－∞，－4_035)．解析：解法一：由數(shù)列遞減知，an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t<0對于n＝1,2，…，2017恒成立，即t<－(2n＋1)對于n＝1,2，…，2017恒成立，所以t<－4035.故t的取值范圍是(－∞，－4035)．解法二：數(shù)列{an}的圖像，即函數(shù)y＝x2＋tx的圖像上，當x＝1,2，…，2018時對應的離散的點，而函數(shù)y＝x2＋tx的圖像是開口向上的拋物線，其對稱軸為x＝－eq\f(t,2)，結(jié)合函數(shù)圖像即得若數(shù)列{an}遞減，則－eq\f(t,2)>eq\f(2017＋2018,2)，即t<－4035，故t的取值范圍是(－∞，－4035)．15．數(shù)列{an}中，an＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1).(1)求這個數(shù)列的第10項；(2)eq\f(99,100)是否為該數(shù)列的項，為什么？(3)求證：an∈(0,1)；(4)在區(qū)間(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))內(nèi)有多數(shù)列{an}的項，若有，有幾項？若無，說明理由．解：(1)∵an＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)＝eq\f(3n－2,3n＋1)，∴a10＝eq\f(28,31).(2)假設eq\f(99,100)是數(shù)列{an}中的項，則eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(99,100)?3n＝299，此方程無整數(shù)解，∴eq\f(99,100)不是該數(shù)列的項．(3)證明：∵an＝eq\f(3n－2,3n＋1)＝1－eq\f(3,3n＋1)，n∈N＋，∴0<eq\f(3,3n＋1)<1，∴an∈(0,1)．(4)由e