中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)練習(xí)考向21 等腰（等邊）三角形（含答案詳解）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages5454頁(yè)考向21等腰（等邊）三角形【考點(diǎn)梳理】等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（“等邊對(duì)等角”）；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合；等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，三線合一所在直線是其對(duì)稱軸；（只有1條對(duì)稱軸）等腰三角形的判定：=1\*GB3①如果一個(gè)三角形有兩條邊相等；=2\*GB3②如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等；（等角對(duì)等邊）等邊三角形：三條邊都相等的三角形；（等邊三角形是特殊的等腰三角形）等邊三角形的性質(zhì)：=1\*GB3①等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60?=2\*GB3②等邊三角形的每條邊都存在三線合一；等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是三線合一所在直線；（有3條對(duì)稱軸）等邊三角形的判定：=1\*GB3①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；=2\*GB3②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；=3\*GB3③有一個(gè)角是60?的等腰三角形是等邊三角形；【題型探究】題型一：等腰三角形的性質(zhì)1．（2022·浙江溫州·溫州市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，已知，，則的面積為（

）A．7 B．14 C．21 D．282．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？级＃┤鐖D，中，，，點(diǎn)在邊上，且，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．（2022秋·天津河北·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，以為直徑的分別與交于點(diǎn)F，D，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E．若．連接，則弦的長(zhǎng)為（

）A． B． C．4 D．5題型二：等腰三角形的判定4．（2022·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若平分，，，則（

）A．3 B． C． D．5．（2022·云南昆明·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的角平分線交AD于點(diǎn)E，∠BCD的角平分線交AD于點(diǎn)F，若AB=7，BC=10，則EF的長(zhǎng)為（

）A．4 B．3 C．6 D．56．（2022春·四川雅安·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB=6，AC=8，∠ABC與∠ACB的平分線BD、CD交于點(diǎn)D．過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則△AEF的周長(zhǎng)為（

）A．12 B．13 C．14 D．15題型三：等邊三角形的性質(zhì)7．（2023·陜西西安·高新一中校考一模）如圖，在等邊中，點(diǎn)D，E分別是上的點(diǎn)，，則（

）A．3 B． C． D．8．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，O為正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，為等邊三角形．若，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．9．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外側(cè)作正方形，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．題型四：等邊三角形的判定10．（2021·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，將沿折疊后，點(diǎn)恰好落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處．若，，則的周長(zhǎng)為（

）A．4 B．5 C．6 D．711．（2021·浙江杭州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，與相交于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①垂直平分；②；③當(dāng)時(shí)，為等邊角形；④當(dāng)時(shí)，其中正確的是（

）A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④12．（2022·山東東營(yíng)·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，且AE=AB，將矩形沿直線EF折疊，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，連接BP交EF于點(diǎn)Q，對(duì)于下列結(jié)論：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等邊三角形．其中正確的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①④題型五：等腰三角形的判定和性質(zhì)綜合13．（2022·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，若M是BC邊上任意一點(diǎn)，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACN，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，連接MN，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．14．（2022·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，將△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，以下結(jié)論：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④15．（2022·浙江舟山·中考真題）如圖，在和中，，點(diǎn)A在邊的中點(diǎn)上，若，，連結(jié)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．4 D．題型六：等邊三角形的判定和性質(zhì)綜合16．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形是菱形；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．117．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，，．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．，C． D．18．（2022·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，，連接.以下四個(gè)結(jié)論正確的是（

）①是等邊三角形；②的最小值是；③當(dāng)最小時(shí)；④當(dāng)時(shí)，.A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④題型七：等腰（邊）三角形的綜合問(wèn)題19．（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）在五邊形中，四邊形是矩形，是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．與交于點(diǎn)G，將直線繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)判斷線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若，且，求線段的長(zhǎng)．20．（2023·福建福州·統(tǒng)考一模）在中，，兩條高，交于點(diǎn)H，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)G．(1)如圖1，若是等邊三角形．①求證：；②求的長(zhǎng)．(2)如圖2，若，，求的面積．21．（2022·山東菏澤·菏澤一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖①，在中，，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且．則．現(xiàn)將繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．如圖②，連接，．(1)如圖②，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．(2)將旋轉(zhuǎn)至如圖③所示位置時(shí)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．(3)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，______．（直接寫出答案即可）【必刷基礎(chǔ)】一、單選題22．（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E．當(dāng)點(diǎn)、、在同一條直線上時(shí)，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．23．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，已知在中，，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．24．（2022·重慶渝中·重慶市求精中學(xué)校?？家荒＃┰诘冗呏?，D是邊上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到，連接ED，若，，有下列結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④的周長(zhǎng)是9.5，其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．425．（2022·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，直角的頂點(diǎn)是的中點(diǎn)，將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，兩邊，分別交，于點(diǎn)，．下列四個(gè)結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，上述四個(gè)結(jié)論始終正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④26．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，在線段左側(cè)作等腰三角形，底邊軸，過(guò)點(diǎn)C作軸交雙曲線于點(diǎn)D，連接，若，則k的值是（

）A． B． C． D．27．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖為某城市部分街道示意圖，四邊形為正方形，點(diǎn)G在對(duì)角線上，，，，小敏行走的路線為，小聰行走的路線為．若小敏行走的路程為，則小聰行走的路程為（）m．A．3600 B．4100 C．4600 D．610028．（2022·山東濟(jì)南·?？家荒＃┤鐖D，菱形的邊長(zhǎng)為，、分別是、上的點(diǎn)，連接、、，與相交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．29．（2022·山東濱州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)，，，在同一條直線上，點(diǎn)，分別在直線的兩側(cè)，且，，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)如果，，，那么當(dāng)四邊形為菱形時(shí)的長(zhǎng)是多少？30．（2022·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在和中，，，．(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，若平分，，點(diǎn)C在線段上，則度．【必刷培優(yōu)】一、單選題31．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知菱形，邊長(zhǎng)為，，、是菱形邊和上的動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論①；②為等邊三角形；③；④若，則正確的有個(gè)．（

）A． B． C． D．32．（2022·廣東東莞·?？级＃┤鐖D，E、F分別是正方形ABCD的AB、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，連接CE、DF，相交于點(diǎn)G，連接AG，則下列4個(gè)結(jié)論：①；②CE⊥FD；③；④若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④33．（2022·廣東深圳·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）校考三模）如圖，在正方形ABCD中，E是線段CD上一點(diǎn)，連接AE，將△ADE沿AE翻折至△AEF，連接BF并延長(zhǎng)BF交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥PB于M．已知PF=，BF=2．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）①∠APF=45°

②∠EFP=∠FBC

③PM=

④A．1 B．2 C．3 D．434．（2022·河北石家莊·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正方形中，與直線的夾角為，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，作正方形，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，作正方形，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，作正方形，依此規(guī)律，則（）A．2 B．3 C．2 D．2二、填空題35．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）如圖，繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得，如果點(diǎn)B、D、E在一直線上，且，那么A、D兩點(diǎn)間的距離是_________．36．（2022·重慶銅梁·銅梁中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，?中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接、，且，若，則______．37．（2022·廣東江門·校考一模）在學(xué)習(xí)完勾股定理后，小芳被“弦圖”深深地吸引了，她也設(shè)計(jì)了一個(gè)類似“弦圖”的圖案（如圖），主體是一個(gè)菱形，把菱形分割成四個(gè)兩兩全等的直角三角形和一個(gè)矩形，這四個(gè)直角三角形中有兩個(gè)是等腰直角三角形，另兩個(gè)三角形的兩直角邊分別是和，那么中間的矩形的面積是_____________．38．（2022·四川綿陽(yáng)·東辰國(guó)際學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)F作x軸的平行直線，交拋物線于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)C，將直線EF向下平移，分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)是等邊三角形時(shí)，線段的長(zhǎng)是______．39．（2022·山東濱州·陽(yáng)信縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)O為等邊內(nèi)一點(diǎn)，，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D．若，過(guò)點(diǎn)B作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，則_____．40．（2022·四川瀘州·瀘縣五中校考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，掃過(guò)的面積記為，交x軸于點(diǎn)；將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，掃過(guò)的面積記為，交y軸于點(diǎn)；將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，掃過(guò)的面積記為，交x軸于點(diǎn)；…；按此規(guī)律，則的值為_(kāi)____．三、解答題41．（2022·浙江杭州·杭州育才中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，和都是等邊三角形，連接、，與交于點(diǎn)F．(1)求證；(2)______．42．（2022·遼寧鐵嶺·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知和都為等腰三角形，，，．(1)如圖，當(dāng)時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，①請(qǐng)判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．43．（2022·寧夏固原·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，在軸正半軸截取線段，在軸負(fù)半軸截取線段，使，連接，、分別是、內(nèi)部一條射線，分別交、于、兩點(diǎn)．(1)如圖，若，且、分別平分、，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作，交于，交于，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．①求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②證明：是等腰，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，若，請(qǐng)寫出線段、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論44．（2022·河南周口·周口市第一初級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，在中，，，于點(diǎn)H，平分交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E.(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，在外有一點(diǎn)D，分別連接，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，，過(guò)點(diǎn)C作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接、，若，求的長(zhǎng).45．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考二模）在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．(1)是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊上的一點(diǎn)，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖①，求的長(zhǎng)；(2)是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以為邊作等邊三角形，如圖②，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)F所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；(3)是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，M是高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以為邊作等邊三角形，如圖③，在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．46．（2022·山東德州·統(tǒng)考一模）如圖，與為正三角形，點(diǎn)O為射線上的動(dòng)點(diǎn)，將射線繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到射線(1)如圖1，點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段，上，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在的延長(zhǎng)線上時(shí)，E，F(xiàn)分別在線段的延長(zhǎng)線和線段的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)寫出、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；參考答案：1．A【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，根據(jù)，，得到，結(jié)合，得到，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，得到，代入面積公式計(jì)算即可．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，得到，所以，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的三線合一，角的平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．2．B【分析】過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，又，，．在直角中，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線求出與是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】連接，先根據(jù)圓周角定理可得，，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，，從而可得，然后利用勾股定理可得的長(zhǎng)，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，為的直徑，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，（等腰三角形三線合一），，，，又，，解得或（舍去），，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的三線合一等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵．4．C【分析】連接，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理得到，，從而得到，得出，然后利用勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)．【詳解】解：連接，如圖，∵平分，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴，又∴，又，∴，∴，∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、圓周角定理、勾股定理、角平分線定義等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知∠DFC=∠FCB，又因?yàn)镃F平分∠BCD，所以∠DCF=∠FCB，則∠DFC=∠DCF，則DF=DC，同理可證AE=AB，那么EF就可表示為AE+FD-BC=2AB-BC，繼而可得出答案．【詳解】解：∵平行四邊形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，又CF平分∠BCD，∴∠DCF=∠FCB，∴∠DFC=∠DCF，∴DF=DC，同理可證：AE=AB，∵AB=7，AD=BC=10，∴EF=AE+FD-AD=2AB-BC=4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線時(shí)，一般可利用等腰三角形的性質(zhì)解題，難度不大，關(guān)鍵是解題技巧的掌握．6．C【分析】由角平分線的定義可知，．由平行線的性質(zhì)得出，，即可推出，，從而得出，．最后即可推出的周長(zhǎng)，即可求出結(jié)果．【詳解】∵平分，平分，∴，．∵，∴，，∴，，∴，，∵，，∴的周長(zhǎng)，∴的周長(zhǎng)為：14，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】先利用三角形的外角性質(zhì)證明，再證明，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】解：，，，，又，，，等邊中，，設(shè)，，，，；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解答此題的關(guān)鍵．8．B【分析】利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再利用等邊三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】在正方形中：，∴，∵O為正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∵為等邊三角形,O為的中點(diǎn)，∴，，∴,∴,故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．9．D【分析】過(guò)點(diǎn)A分別作AG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥DF于點(diǎn)H，可得四邊形AGFH是矩形，從而得到FH=AG，再由△ABC為等邊三角形，可得∠BAG=30°，BG=1，從而得到，再證得∠DAH=∠BAG=30°，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A分別作AG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥DF于點(diǎn)H，∵DF⊥BC，∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，∴四邊形AGFH是矩形，∴FH=AG，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，BC=AB=2，∴∠BAG=30°，BG=1，∴，∴，在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°，∴∠DAH=∠BAG=30°，∴，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得∠B=∠D=60°，AB=CD=1，與折疊的性質(zhì)可得AE=AD，CD=CE=1，又由∠D=60°，可證△AED是等邊三角形，可得AD=AE=DE=2，即可求得的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D=60°，AB=CD=1，∵將△ADC沿AC折疊后，點(diǎn)D恰好落在DC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，∴AE=AD，CD=CE=1，又∵∠D=60°，∴△AED是等邊三角形，∴AD=AE=DE=2，∴的周長(zhǎng)=2（AB+AD）=2×(1+2)=6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．11．C【詳解】①由正方形ABCD知AB=AD，∠B=∠D，AE=AF，△ABE≌△ADF，AE=AF，又BC=DC，則EC=BC-BE=CD-DF=CF，∴AC垂直平分EF，故①正確，②如圖將三角形△ADF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o，得△ABH，BH=DF，只有當(dāng)∠FAE=45o時(shí)EF=HE=BE+DF，如果∠EAF<45o時(shí)EF<BE+DF,∠EAF>45o,FE>BE+DF，故②不正確，③由△ABE≌△ADF，∠BAE=∠DAF=15o，AE=AF，∠EAF=90o-∠BAE-∠DAF=90o-2×15o=60o，∴△AEF為等邊三角形，故③正確，④如下圖在AB上取點(diǎn)M，使AM=EM，∠MEA=∠MAE=15o，∠BME=2∠BAE=30o，設(shè)BE=x，ME=2x,BM=x，AB=2x+x，CE=BC-BE=AB-BE=x+x，由面積公式得，S△ABE=，S△ABE，故④正確．故選擇：C．【點(diǎn)睛】本題考查內(nèi)容較多，線段垂直平分線，線段的和差，等邊三角形，三角形面積，30o角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，難度挺大，要掌握這些知識(shí)，并會(huì)靈活運(yùn)用．12．D【詳解】解：∵AE=AB，∴BE=2AE，由翻折的性質(zhì)得，PE=BE，∴∠APE=30°，∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°，∴∠EFB=90°﹣60°=30°，∴EF=2BE，故①正確；∵BE=PE，∴EF=2PE，∵EF＞PF，∴PF＜2PE，故②錯(cuò)誤；由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°，∴BE=2EQ，EF=2BE，∴FQ=3EQ，故③錯(cuò)誤；由翻折的性質(zhì)，∠EFB=∠EFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°，∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°，∴△PBF是等邊三角形，故④正確；綜上所述，結(jié)論正確的是①④．故選：D．13．C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．【詳解】解：∵將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，∴AB=AC，AM=AN，∴AB不一定等于AN，故選項(xiàng)A不符合題意；∵△ABM≌△ACN，∴∠ACN=∠B，而∠CAB不一定等于∠B，∴∠ACN不一定等于∠CAB，∴AB與CN不一定平行，故選項(xiàng)B不符合題意；∵△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，∴∠BAC=∠MAN，∵AM=AN，AB=AC，∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且頂角相等，∴∠B=∠AMN，∴∠AMN=∠ACN，故選項(xiàng)C符合題意；∵AM=AN，而AC不一定平分∠MAN，∴AC與MN不一定垂直，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變換是全等變換，利用旋轉(zhuǎn)不變性是解題的關(guān)鍵．14．B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50°，通過(guò)推理證明對(duì)①②③④四個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①∵△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正確；②∵△ABC繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°，∴∠BAB′＝50°．∵∠CAB＝20°，∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC．∴AC∥C′B′．故②正確；③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝（180°﹣50°）＝65°．∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．∴CB′與BB′不垂直．故③不正確；④在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，∴∠ACC′＝（180°﹣50°）＝65°．∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正確．∴①②④這三個(gè)結(jié)論正確．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，圖形的旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀與大小，還考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．D【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BE于點(diǎn)G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，∠BED=45°，進(jìn)而得到，，，再證得△BEF∽△ABG，可得，然后根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BE于點(diǎn)G，在中，∠BDE=90°，，∴，∠BED=45°，∵點(diǎn)A在邊的中點(diǎn)上，∴AD=AE=1，∴，∴，∵∠BED=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴，∴，∵∠ABC=∠F=90°，∴EF∥AB，∴∠BEF=∠ABG，∴△BEF∽△ABG，∴，即，解得：，∴，∴．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．A【分析】通過(guò)判定為等邊三角形求得，利用等腰三角形的性質(zhì)求得，從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含直角三角形的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)判斷④．【詳解】解：點(diǎn)為的中點(diǎn)，，又，，，是等邊三角形，，，，即，故①正確；在平行四邊形中，，，，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，又，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，平行四邊形是菱形，故③正確；，在中，，，故②正確；在平行四邊形中，，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，故④正確；綜上所述：正確的結(jié)論有4個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵．17．D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、平行線的判定方法可判斷B；根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)可判斷C；利用等腰三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)可判斷D．【詳解】A．∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，∴△BCE是等邊三角形，∴BE=BC，故A正確；B．∵點(diǎn)F是邊AC中點(diǎn)，∴CF=BF=AF=AC，∵∠BCA=30°，∴BA=AC，∴BF=AB=AF=CF，∴∠FCB=∠FBC=30°，延長(zhǎng)BF交CE于點(diǎn)H，則∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，∴∠BHE=∠DEC=90°，∴BF//ED，∵AB=DE，∴BF=DE，故B正確．C．∵BF∥ED，BF=DE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴BC=BE=DF，∵AB=CF，BC=DF，AC=CD，∴△ABC≌△CFD，∴，故C正確；D．∵∠ACB=30°，∠BCE=60°，∴∠FCG=30°，∴FG=CG，∴CG=2FG．∵∠DCE=∠CDG=30°，∴DG=CG，∴DG=2FG．故D錯(cuò)誤．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角邊等于斜邊的一半，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，正確理解旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．D【分析】①依據(jù)題意，利用菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，證出，然后證，AM=AN，即可證出．②當(dāng)MN最小值時(shí)，即AM為最小值，當(dāng)時(shí)，AM值最小，利用勾股定理求出，即可得到MN的值．③當(dāng)MN最小時(shí)，點(diǎn)M、N分別為BC、CD中點(diǎn)，利用三角形中位線定理得到，用勾股定理求出，，而菱形ABCD的面積為：，即可得到答案．④當(dāng)時(shí)，可證，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得，根據(jù)等量代換，最后得到答案．【詳解】解：如圖：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，，OA=OC，∵，∴，與為等邊三角形，又，，∴，在與中∴，∴AM=AN，即為等邊三角形，故①正確；∵，當(dāng)MN最小值時(shí)，即AM為最小值，當(dāng)時(shí)，AM值最小，∵，∴即，故②正確；當(dāng)MN最小時(shí)，點(diǎn)M、N分別為BC、CD中點(diǎn)，∴，∴，在中，，∴，而菱形ABCD的面積為：，∴，故③正確，當(dāng)時(shí)，∴∴∴∴故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)與面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定，勾股定理，三角形中位線定理等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．(1)見(jiàn)解析；(2)線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由見(jiàn)解析；(3)．【分析】（1）由題意知：，，，從而得知，由三角形的內(nèi)角和定理得知，由旋轉(zhuǎn)得知，從而，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，則已知和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得出：，，點(diǎn)在直線上，，證明，得到，等量代換可得結(jié)論；（3）連接，證明，得到，從而得到，由等腰三角形三線合一知：，由（2）可知，，，在中，由勾股定理求出，從而得出線段的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴，，，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴∵將直線繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)F，∴，從而，∴；（2）線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，如圖：則，，，，∴，，∴點(diǎn)在直線上，，在和中，∴，∴，而，∴；（3）若，且，則，連接，如圖：在和中，，∴，∴，而，∴，∵，∴，由（2）可知，，，在中，由勾股定理，得：，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合，考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)和構(gòu)造輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．20．(1)①見(jiàn)解析；②；(2)．【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而得到，，即可；②過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，可得，，從而得到，，進(jìn)而得到，即可；（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，可得，，從而得到，進(jìn)而得到，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）①證明：，是等邊三角形的高，，，，分別平分和，，，，；②解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，等邊三角形的邊長(zhǎng)為8，，；（2）解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，∵是的中點(diǎn)，∴，，，．，，．，，，．，，，，，即，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．(1)(2)，，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用證明，可得結(jié)論；（2）設(shè)與相交于點(diǎn)O，證明，即可得到，，進(jìn)一步得到，即可得到結(jié)論．（3）在中，邊的長(zhǎng)度為定值，當(dāng)邊上的高最大時(shí)，的面積最大，則當(dāng)點(diǎn)D在的垂直平分線上時(shí)，的面積最大，進(jìn)一步求解即可得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【詳解】（1），理由如下：，，即，在和中，，，；（2）且．理由如下：∵，∴，即，∵，，∴，∴，，設(shè)與相交于點(diǎn)O，由可得：，∴，∴，∴，∴且；（3）在中，邊的長(zhǎng)度為定值，當(dāng)邊上的高最大時(shí)，的面積最大，∴當(dāng)點(diǎn)D在的垂直平分線上時(shí)，的面積最大，如圖所示，∵,，于點(diǎn)G，∴，∴，即當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．22．B【分析】根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及全等圖形的基本性質(zhì)進(jìn)行逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，故A選項(xiàng)正確；則，且、、三點(diǎn)在同一直線上，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∴，則，∴，故D選項(xiàng)正確；∴中，，∴，故C選項(xiàng)正確；∵，∴，∴，故B選項(xiàng)不正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等，掌握基本圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23．A【分析】由圓周角定理可求出，結(jié)合題意可求出，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出．【詳解】∵，∴．∵，∴．∵，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．掌握同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半是解題關(guān)鍵．24．C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，則，于是根據(jù)平行線的判定可對(duì)①進(jìn)行判斷；由繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，得到，，則根據(jù)邊三角形的判定方法得到為等邊三角形，于是可對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，然后說(shuō)明，則，于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；最后利用，，和三角形周長(zhǎng)定義可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，，∵繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，，∴，∴，所以①正確；∵繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，，∴為等邊三角形，所以③正確，∴，，在中，∵，∴，即，∴，所以②錯(cuò)誤；∵，，∴的周長(zhǎng)，所以④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．25．D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：，平分．可證，，即證得與全等，根據(jù)全等三角形性質(zhì)判斷結(jié)論是否正確．【詳解】解：∵，直角的頂點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，故①正確；∴是等腰直角三角形，故②正確；∵是等腰直角三角形，P是的中點(diǎn)，∴，∵不一定是的中位線，∴不一定成立，故③錯(cuò)誤；∵，∴，又∵，∴，即，故④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．B【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知條件，求出的坐標(biāo)，以及的長(zhǎng)度，再利用，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)，∵直線過(guò)原點(diǎn)，∴，∵是等腰三角形，∴．∵軸，軸，∴．∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為．∴∵，即：．∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)面積求反比例函數(shù)的值．熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)和值的幾何意義，是解題的關(guān)鍵．27．C【分析】連接，由正方形的對(duì)稱性，易知，由正方形的對(duì)角線互相平分一組對(duì)角，，易得．在矩形中，．要計(jì)算小聰走的路程，只要得到小聰比小敏多走了多少就行．【詳解】解：連接，∵四邊形為正方形，所以，∵，∴是等腰直角三角形，∴．在和中，，∴∴，在矩形中，，∴．∵．∵小敏共走了3100m，∴小聰行走的路程為（m），故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是證明，．28．A【分析】過(guò)點(diǎn)作交于，于，證是等邊三角形，得，再證∽，得，則，然后證，得，，求出，可得是等邊三角形，則，最后由含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，即可得解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作交于，于，如圖所示：菱形的邊長(zhǎng)為，，，，，，是等邊三角形，，，，，，是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．29．(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）證明，即可得，問(wèn)題隨之得解；（2）當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，，根據(jù)，可得，再證明是等邊三角形，即可得解．【詳解】（1）證明：，，在和中，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，，，，，，是等邊三角形，，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，的長(zhǎng)是【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．30．(1)證明見(jiàn)解析(2)30【分析】（1）根據(jù)定理可證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，然后根據(jù)（1）的結(jié)論即可得．【詳解】（1）證明：在和中，，，．（2）解：，，，平分，，，，是等邊三角形，，，由（1）可知，，，故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．31．B【分析】由證明，正確；由全等三角形的形狀得，，再由，得，得是等邊三角形，正確；由，，得，進(jìn)而得正確；過(guò)點(diǎn)作交下點(diǎn)點(diǎn)，易證是等邊三角形，則，由，則，從而得錯(cuò)誤，【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，和都是等邊三角形，，，，，故正確；∵，，，，，是等邊三角形，故正確；∵，∴，∵，∴，；，，故正確；過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，是等邊三角形，，，，，，，，，故錯(cuò)誤，正確個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明，由全等三角形的性質(zhì)可知，即可判斷結(jié)論①正確；由全等三角形的性質(zhì)可知，易證∠ECD＋∠CDF＝90°，即有∠CGD＝90°，故，即可判斷結(jié)論②正確；由，可知，即點(diǎn)G在以CD為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，AG隨G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生改變，而AD為定值，故AD不一定與AG相等，可判斷結(jié)論③錯(cuò)誤；由點(diǎn)E為AB中點(diǎn)可知，即有，加之，易得，故，易得，可判斷結(jié)論④正確．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴，，∵，∴，即，∴在和中，，∴，∴，，故結(jié)論①正確；∵，∴，∴，∴，故結(jié)論②正確；∵，∴，∴點(diǎn)G在以CD為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，如下圖，∴AG隨G點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生改變，又∵AD為定值，∴AD不一定與AG相等，故結(jié)論③錯(cuò)誤；∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，故結(jié)論④正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．33．D【分析】過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BP于N，證得∠P＝∠PAN＝45°，得①正確；由等角的余角相等可證②正確；由∠EFM=∠FAN及∠EMF=∠FNA=90°可證得△EMF∽△FNA，再由可得PM=EM=，③正確；由△EMF∽△FNA可得，④正確．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BP于N，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，由翻折的性質(zhì)可知，AD＝AF，∠DAE＝∠EAF，∴AB＝AF，∵AN⊥BF，∴BN＝FN，∠BAN＝∠FAN，∴∠PAN＝∠PAF＋∠FAN＝∠BAD＝45°，∵∠ANP＝90°，∴∠P＝∠PAN＝45°，∴AN＝NP，故①正確；由翻折的性質(zhì)可知，∠D＝∠AFE=90°，∴∠EFP+∠AFN=90°，∵AB＝AF，∴∠AFN=∠ABF，∴∠ABF+∠FBC=90°，∴∠EFP=∠FBC，②正確；∵EM⊥BP，∠P＝45°，∴EM=PM，∵BN＝FN，BF=2，PF=，∴AN＝NP=+1，∵∠EFM+∠AFN=90°，∠AFN+∠FAN=90°，∴∠EFM=∠FAN，∵∠EMF=∠FNA=90°，∴△EMF∽△FNA，∴，即解得PM=EM=，③正確；∵△FNA∽△EMF，∴，∵CD＝AD＝AF，DE＝EF，∴，④正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．34．A【分析】由四邊形是正方形，得到，于是得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，解直角三角形得到，同理：，找出規(guī)律，答案即可求出．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，同理：，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，求出后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的倍是解題的關(guān)鍵．35．【分析】過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出是等腰直角三角形，再求出，利用含角的直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)F，∴，∵繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得，∴，即是等腰直角三角形，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．36．##15度【分析】首先證明四邊形是菱形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題．【詳解】解：在?中，，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定與性質(zhì)．37．##【分析】由題意可知，，，從而由勾股定理可求出．再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求出，進(jìn)而可求出，，最后根據(jù)矩形的面積公式即可求出中間矩形的面積．【詳解】如圖，由題意可知，，,∴，∴．∵，即，∴，∴∴，，∴中間的矩形的面積是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．38．【分析】由題意可得函數(shù)的表達(dá)式為，易知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，設(shè)，則，則，，，由為等邊三角形可得，可得，求出即可得到的長(zhǎng)．【詳解】解：∵點(diǎn)在拋物線上，∴，得：，即：該二次函數(shù)的表達(dá)式為：，∴該函數(shù)的對(duì)稱軸為軸，∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，取與軸交點(diǎn)為，設(shè)，則，∴，，∵軸，∴，∴，∵為等邊三角形，且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴，，則，∴，解得：（舍去），∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，表示線段的長(zhǎng)度，列出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．39．【分析】在上截取，設(shè)交于點(diǎn)Q，可證得是等邊三角形，再證明，可得，，，進(jìn)而得到，設(shè)，可得，從而得到，作于H，則，可得，，從而得到，再由勾股定理可得，即可求解．【詳解】解：在上截取，設(shè)交于點(diǎn)Q，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，在與中，，∴，∴，，，∴，∵，∴，設(shè)，∵，∴，∴，∴，作于H，則，∴，，∴，∵，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．40．【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出扇形的半徑，寫出部分的值，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．【詳解】由題意、、、、都是等腰直角三角形，∴，，，，∴，，，，；∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及扇形的面積，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律．41．(1)見(jiàn)解析(2)60【分析】（1）由“”可證，可得；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】（1）∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，即，在和中，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，證明是本題的關(guān)鍵．42．(1)(2)①