寧夏銀川市2024-2025學(xué)年高三上冊第二次月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

寧夏銀川市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．作答時，務(wù)必將答案寫在答題卡上．寫在本試卷及草稿紙上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1.設(shè)集合，，若，則集合（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)交集結(jié)果知，將x=1代入方程求出，再求集合即可.【詳解】由可知：，當(dāng)時，，解得：x=1或，即．故選：B2.已知函數(shù)恒過定點(diǎn)，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】，恒過定點(diǎn)，，，，其圖象如圖所示，因此不經(jīng)過第四象限，故選：D．3.已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由數(shù)軸知，不妨取檢驗(yàn)選項(xiàng)得解.【詳解】由數(shù)軸知，不妨取，對于A，，不成立.對于B，，不成立.對于C，，不成立.對于D，，因此成立.故選：D．利用不等式性質(zhì)比較大?。⒁獠坏仁叫再|(zhì)成立的前提條件．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法．4.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且為奇函數(shù)，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】取，，逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且為奇函數(shù)，所以不妨設(shè)，則，，故BD錯誤；取，則，故A錯誤，C正確，故選：C5.如圖為函數(shù)在上的圖像，則的解析式只可能是（）．A. B.C. D.【正確答案】A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)在給定區(qū)間上的符號，利用排除法求解即可．【詳解】對于B.的定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)；對于D.的定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)；由圖象，可知奇函數(shù)，故排除B、D；對于C.當(dāng)時，由，可知，則，而，此時，故排除D；故選：A.6.當(dāng)時，曲線與交點(diǎn)的個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【正確答案】D【分析】分別畫出與在上的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷即可.【詳解】與在上的函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知，兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)為6個.故選：D.7.已知，，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由已知先利用和差角的正切公式進(jìn)行化簡可求，然后結(jié)合二倍角公式及同角基本關(guān)系對所求式子進(jìn)行化簡，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，解得或（舍，則.故選：A.8.已知是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿足，若對任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)構(gòu)造方程組求出的解析式，再根據(jù)題意得到在單調(diào)遞增，分類討論即可求解．【詳解】由題意可得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，聯(lián)立，解得，又因?yàn)閷τ谌我獾?，都有成立，所以，即成立，?gòu)造，所以由上述過程可得在單調(diào)遞增，若，則對稱軸，解得；若，則在單調(diào)遞增，滿足題意；若a>0，則對稱軸恒成立；綜上，．故選：B二．多項(xiàng)選擇題（共3小題，滿分18分，每小題6分）9.下列說法正確的是（）A.函數(shù)與是同一個函數(shù)B.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)镃.已知命題p：，，則命題p的否定為，D.定義在R上的偶函數(shù)滿足，則函數(shù)的周期為2【正確答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，兩函數(shù)定義域不同；B選項(xiàng)，令，求出，得到函數(shù)定義域；C選項(xiàng)，全稱量詞命題的否定是特稱量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定；D選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)得到f?x=fx，故，得到函數(shù)周期.【詳解】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，令，解得，故的定義域?yàn)?，定義域不同，A錯誤；B選項(xiàng)，令，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，B正確；C選項(xiàng)，命題p的否定為，，C正確；D選項(xiàng)，偶函數(shù)，故f?x=fx，又，故，則函數(shù)的周期為2，D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是函數(shù)的周期B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象可由函數(shù)向左平移個單位長度得到D.函數(shù)的對稱軸方程為【正確答案】ACD【分析】利用三角函數(shù)圖象與性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，所以是函?shù)的周期，故A正確；∵，∴，又在上不單調(diào)，故B錯誤；∵函數(shù)向左平移個單位長度得到，故C正確；令，得，故D正確，故選：ACD．11.已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.當(dāng)有且僅有3個零點(diǎn)時，的取值范圍是C.若直線與曲線有3個不同的交點(diǎn)，且，則D.當(dāng)時，過點(diǎn)可以作曲線的3條切線【正確答案】BCD【分析】選項(xiàng)A根據(jù)導(dǎo)函數(shù)及可判斷單調(diào)性；選項(xiàng)B根據(jù)極大值極小值可得；選項(xiàng)C由三次函數(shù)對稱中心可得；選項(xiàng)D，先求過點(diǎn)的切線方程，將切線個數(shù)轉(zhuǎn)化為與圖象交點(diǎn)個數(shù)，進(jìn)而可得.【詳解】選項(xiàng)A：由題意可得，令解得或，因?yàn)?，所以令f′x>0解得或，令f′x<0故在區(qū)間或上單調(diào)遞增，在0,2上單調(diào)遞減，故A錯誤，選項(xiàng)B：要使有且僅有3個零點(diǎn)時，只需即，解得，故B正確；選項(xiàng)C：若直線與曲線y=fx有3個不同的交點(diǎn)，且，則點(diǎn)是三次函數(shù)的對稱中心，設(shè)，則，令，得，故的對稱中心為1,f1，，故C正確；選項(xiàng)D：，設(shè)切點(diǎn)為，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，解得，令，過點(diǎn)可以作曲線y=fx的切線條數(shù)可轉(zhuǎn)化為y=gx與圖象交點(diǎn)個數(shù)，，因?yàn)椋缘没?，得，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，圖象如圖所示，所以當(dāng)時，y=gx與圖象有3個交點(diǎn)，即過點(diǎn)可以作曲線y=fx的3條切線，故D正確，故選：BCD三、填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12.已知函數(shù)在處有極小值，則實(shí)數(shù)______．【正確答案】【分析】通過對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在處有極小值，可知，解得的值，再驗(yàn)證即可求出的值．【詳解】因?yàn)椋?，所以，而函?shù)在處有極小值，所以，故，解得或，當(dāng)時，，令f′x<0，，令f′故此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時在處有極大值，不符合題意，排除，當(dāng)時，，令f′x<0，，令f′故此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時在處有極小值，符合題意，故答案為.13.已知函數(shù)y=fx為奇函數(shù)，且最大值為1，則函數(shù)的最大值和最小值的和為__________.【正確答案】2【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】奇函數(shù)如果存在最值，則最大值和最小值之和為0，所以函數(shù)最大值和最小值之和為0，則函數(shù)的最大值和最小值之和為2.故2.14.在三角函數(shù)部分，我們研究過二倍角公式，我們還可以用類似方式繼續(xù)得到三倍角公式．根據(jù)你的研究結(jié)果解決如下問題：在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的取值范圍是________．【正確答案】【分析】利用，再根據(jù)整體思想將轉(zhuǎn)化為兩角和的余弦值化簡，再利用誘導(dǎo)公式可得，根據(jù)銳角三角形性質(zhì)可得取值范圍，從而得的取值范圍，代入化簡即可得出結(jié)論.【詳解】三倍角公式：，因?yàn)?，所?故，△ABC為銳角三角形，故解得，故，．故四、解答題（共5小題，滿分77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15已知函數(shù).（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求解，（2）將問題轉(zhuǎn)化為存在，成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得函數(shù)的最值即可求解．【小問1詳解】，解得，因?yàn)閤∈0,π，所以當(dāng)，當(dāng)x∈3π所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；【小問2詳解】，當(dāng)時，由可得不成立，當(dāng)時，，令恒成立，故在單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍為.16.如圖，是半圓的直徑，為中點(diǎn)，，直線，點(diǎn)為上一動點(diǎn)（包括兩點(diǎn)），與關(guān)于直線對稱，記為垂足，為垂足．（1）記的長度為，線段長度為，試將表示為的函數(shù)，并判斷其單調(diào)性；（2）記扇形的面積為，四邊形面積為，求的值域．【正確答案】（1）在上單調(diào)遞減（2）的值域?yàn)椤痉治觥浚?）由題意得，根據(jù)扇形弧長公式求得，再得長度為，從而得，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性；（2）根據(jù)扇形面積公式得，再得四邊形面積為，從而得，求導(dǎo)確定單調(diào)性極值與最值即可的函數(shù).【小問1詳解】因，則由題意知，由題意可得，，圓半徑為1，所以，又，所以，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】由題意可得，因?yàn)?，所以四邊形為矩形，于是，所以，其中，求?dǎo)得，令得，即，則可得如下表格：

極小值由表可知當(dāng)時，，，所以的值域?yàn)?17.已知函數(shù)，再從條件①，條件②，條件③這三個條件中選擇兩個作為一組已知條件，使的解析式唯一確定．條件①：；條件②：若，且的最小值為；條件③：圖象的一條對稱軸為．（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，若，且，求的值．【正確答案】（1）所選條件見解析，；（2）【分析】（1）根據(jù)條件結(jié)合三角函數(shù)圖象性質(zhì)即可求解；（2）利用三角恒等變換和配湊角即可求解．【小問1詳解】選擇條件①②：由條件①，所以，解得，又，所以，由條件②得，得，所以，所以；選擇條件①③：由條件①，所以，解得，又，所以．由條件③，得，解得，所以的解析式不唯一，不合題意；選擇條件②③：由條件②得，得，所以，所以，又圖象的一條對稱軸為，所以，解得，又，所以，所以；【小問2詳解】解：由題意得，因?yàn)?，所以，即，又，所以，若，則，又，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，所?18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．【正確答案】（1）；（2）；（3）時，有1個零點(diǎn)，時，有3個零點(diǎn)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)法求切線即可；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增等價于在上恒成立，即在上恒成立，由均值不等式求最小值即可；（3）當(dāng)，由（2）中在區(qū)間上單調(diào)遞增可得有1個零點(diǎn)，當(dāng)，由導(dǎo)數(shù)法討論的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷即可.【小問1詳解】，，，當(dāng)時，，故函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為；【小問2詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增等價于在上恒成立，即在上恒成立，∵，當(dāng)且僅當(dāng)即時成立，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為；【小問3詳解】由（2）得，當(dāng)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，故有1個零點(diǎn)；當(dāng)，令，由得，，，，，由二次函數(shù)性質(zhì)，在上，，；在上，，；在，，，∴在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，∴，，又，，所以存在唯一的，使得，即有3個零點(diǎn)．（1）含參不等式恒成立問題，一般通過構(gòu)造函數(shù)解決.

一般將參數(shù)分離出來，用導(dǎo)數(shù)法討論不含參數(shù)部分的最值；或者包含參數(shù)一起，用導(dǎo)數(shù)法對參數(shù)分類討論.當(dāng)參數(shù)不能分離出來時，也可嘗試將不等式左右變形成一致形式，即可將該形式構(gòu)造成函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)法分析單調(diào)性，將問題等價成對應(yīng)自變量的不等式.（2）含參函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，i.一般對參數(shù)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象與零點(diǎn)存在定理判斷；ii.將參數(shù)分離出來，用導(dǎo)數(shù)法討論不含參數(shù)部分的單調(diào)性，由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化成兩個圖象交點(diǎn)的問題；19.定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)，存在極大值和極小值，且存在一個常數(shù)，使成立，則稱函數(shù)為極值可差比函數(shù)，常數(shù)稱為該函數(shù)的極值差比系數(shù)．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，判斷是否為極值可差比函數(shù)，并說明理由；（2）是否存在使的極值差比系數(shù)為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）若，求的極值差比系數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）是極值可差比函數(shù)，理由見解析；（2）不存在使的極值差比系數(shù)為，理由見解析；（3）．【分析】（1）利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，由此得出極大值與極小值，由“極值可差比函數(shù)”的定義，求出極值差比系數(shù)的值，這樣的值存在即可判斷.（2）反證法，假設(shè)存在這樣的，又“極值可差比函數(shù)”的定義列出等量關(guān)系，證明無解即可.（3）由（2）得到參數(shù)與極值點(diǎn)的關(guān)系式，對關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得出相應(yīng)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)性即可得出函數(shù)取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，f′x>0；當(dāng)時，f所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以極大值為，極小值為，所以，因此是極值可差比函數(shù)．【小問2詳解】的定義域?yàn)?，即，假設(shè)存在，使得的極值差比系數(shù)為，則是方程的兩個不等正實(shí)根，