2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義-分式

第03講分式

目錄

考點三分式的運算

一、考情分析

題型01分式的加減法

二、知識建構(gòu)

考點一分式的相關(guān)概念題型02分式的乘除法

題型03分式的混合運算

題型01分式的判斷

題型04分式的化簡求值

題型02利用分式有無意義的條件，求未

題型零指數(shù)幕

知數(shù)的值或取值范圍05

題型06分式運算的八種技巧

題型03利用分式值為正、負數(shù)或。的條

技巧一約分計算法

件，求未知數(shù)的值或取值范圍

技巧二整體通分法

題型04約分與最簡公式

技巧三換元通分法

題型05最簡公分母

技巧四順次相加法

考點二分式的基本性質(zhì)

技巧五裂項相消法

題型01利用分式的基本性質(zhì)進行變形

技巧六消元法

題型02利用分式的基本性質(zhì)判斷分式

值的變化技巧七倒數(shù)求值法

技巧八整體代入法

題型03利用分式的符號法則，將分式恒

等變形

考點要求新課標要求命題預(yù)測

在中考，主要考查分

分式的相關(guān)概念＞理解分式和最簡分式的概念.

式的意義和分式值為零

情況，常以選擇題、填空

分式的基本性質(zhì)＞能利用分式的基本性質(zhì)進行約分與通分.

題為主；分式的基本性質(zhì)

和分式的運算考查常以

分式的運算＞能對簡單的分式進行加、減、乘、除運算.選擇題、填空題、解答

題的形式命題.

考點一分式的相關(guān)概念

f夯基?必備基礎(chǔ)知識梳理

分式的概念：如果A,2表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式鎧叫做分式，A為分子，B為分母.

D

對于分式白來說：①當(dāng)B豐0時，分式有意義；當(dāng)2=0時，分式無意義.

②當(dāng)A=0且B用這兩個條件同時滿足時,分式值為0.

③當(dāng)A=B時，分式的值為1.當(dāng)A+B=Q時，分式的值為-1.

④若去0，貝!JA,B同號；若七＜0，貝UA,B異號.

約分的定義：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫分式的約分.

最簡公式的定義：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式.

通分的定義：把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式，這一過程叫做分式的通分.

通分步驟：①定最簡公分母；②化異分母為最簡公分母.

約分與通分的聯(lián)系與區(qū)別：

聯(lián)系都是根據(jù)分式的基本性質(zhì)對分式進行恒等變形，即每個分式變形之后都不改變原分式的值.

區(qū)別1）約分是針對一個分式而言，約分可使分式變簡單.

2）通分是針對兩個或兩個以上的分式來說的，通分可使異分母分式化為同分母分式.

最簡公分母的定義：通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次幕的積作為公分母，這樣的

分母叫做最簡公分母.

確定最簡公分母的方法：

類型方法步驟

1）取單項式中所有系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù)；

分母為單項式

2）取單項式中每個字母出現(xiàn)的最高次數(shù)作為最簡公分母中該字母的次數(shù).

1）對每個分母因式分解；

分母為多項式

2）找出每個出現(xiàn)的因式的最高次黑，它們的積為最簡公分母；

3）若有系數(shù)，求各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù).

1.判斷一個式子是不是分式，需看它是否符合分式的條件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化簡

后再判斷，例如：那就是分式.

2.分式的值為0,必須保證分母,否則分式無意義.

3.約分是對分子、分母同時進行的，即分子的整體和分度的整體都除以同一個因式，約分要徹底，使分子、

分母沒有公因式，而且約分前后分式的值相等.

ALB八、—S+J=l+l=iS/V—M-A,M4-r=F書日IIi/1工dE內(nèi)八/\H—P'乂目g—n

一提升-必考題型歸納

題型01分式的判斷

［例1］（2022?湖南懷化?中考真題）代數(shù)式|x,1,l，N-11震中，屬于分式的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【提示】看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，根據(jù)此依據(jù)逐個判斷即

可.

【詳解】分母中含有字母的是目，）置，

，分式有3個，

故選：B.

【點撥】本題考查分式的定義，能夠準確判斷代數(shù)式是否為分式是解題的關(guān)鍵.

【變式11】（2022?上海?上外附中?？寄M預(yù)測）下列各式中:?，詈，乎，思麗，子，+9中，

是分式的共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【提示】根據(jù)分式的概念：如果48表示兩個整式，并且8中含有字母，那么式轉(zhuǎn)叫做分式，進而解答

D

即可.

【詳解】岸，小，片是分式，共有3個，

故選：C.

【點撥】本題考查分式的概念，解題的關(guān)鍵是掌握分式的分母必須含有字母.

【變式1-2]（2021?四川遂寧?中考真題）下列說法正確的是（）

A.角平分線上的點到角兩邊的距離相等

B.平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

C.在代數(shù)式，,2%,，985,+26,|+y中,~~,~+2b是分式

D.若一組數(shù)據(jù)2,3,.x,1.5的平均數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4

【答案】A

【提示】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的對稱性，分式的定義，平均數(shù)，中位數(shù)的性質(zhì)分別進行判斷

即可.

【詳解】解：A.角平分線上的點到角兩邊的距離相等，故選項正確；

B.平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選項錯誤；

C.在代數(shù)式］,2x，，985,5+26,1+y中，；/+26是分式,故選項錯誤；

D.若一組數(shù)據(jù)2,3,x,1.5的平均數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3,故選項錯誤；

故選：A.

【點撥】本題綜合考查了角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的對稱性，分式的定義，平均數(shù)，中位數(shù)等知識點，

熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

方法技巧

判斷式子是不是分式是從原始形式上看，看分母是否還有字母，而不是從化簡后的結(jié)果上看，如：

”就是分式，而不是整式.

a

題型02利用分式有無意義的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍

［例2］（2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）使分式占有意義的x的取值范圍是_____.

【答案】

【提示】如果要使分式有意義，則分母不能為零，即可求得答案.

【詳解】解：本題考查了分式有意義的條件，

即%—5^0,解得久豐5,

故答案為：久力5.

【點撥】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義分母不為零是關(guān)鍵.

【變式2-1］（2022?黑龍江哈爾濱?中考真題）在函數(shù)y=六中，自變量x的取值范圍是_________.

【答案】

【提示】根據(jù)分式中分母不能等于零，列出不等式5久+3^0,計算出自變量x的范圍即可.

【詳解】根據(jù)題意得：5x+3A0

.'.5x豐—3

故答案為：XK-*

【點撥】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，分式有意義的條件，分母不為零，解答本題的關(guān)鍵是列出不

等式并正確求解.

【變式2-2]（2023?河南南陽?校聯(lián)考三模）若代數(shù)式￡無意義，則實數(shù)X的值是—.

【答案】3

【提示】根據(jù)分式無意義的條件得出3-尤=0,再求出答案即可.

【詳解】解：要使代數(shù)式￡無意義，

..3—%=0,

解得：x-3,

故答案為：3.

【點撥】此題考查了分式無意義的條件，能熟記分式無意義的條件是解此題的關(guān)鍵，當(dāng)分母B=。時，式子

持無意義.

【變式2-3】（2023?山東臨沂?一模）要使分式言無意義，則x的取值范圍是_______.

X+1

【答案】%=-1

【提示】根據(jù)分式無意義的條件是分母為0進行求解即可.

【詳解】解：?..分式口無意義，

X+1

.t.X+1=0,

：.X=—1.

故答案為：X=-1.

【點撥】本題主要考查了分式無意義的條件，熟知分式無意義的條件是分母不為o是解題的關(guān)鍵.

【變式2-4]（2023?湖北恩施?一模）函數(shù)y="的自變量x的取值范圍是（）

X—3

A.%W3B.%>3

C.x>—1且％W3D.

【答案】C

【提示】根據(jù)分式有意義的條件與二次根式有意義的條件得出不等式組，解不等式組即可求解.

【詳解】解：?.?等有意義,

:.x+1>0,%—3^=0,

解得%2一1且%W3,

故選C.

【點撥】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍，掌握分式有意義的條件與二次根式有意義的條件是解題的

關(guān)鍵.

方法技巧

I.分式有意義的條件：分式的分母不等于0.

2分式王肯W的條件：分式的分母笑干0

題型03利用分式值為正、負數(shù)或0的條件，求未知數(shù)的值或取值范圍

【例3】（2023?浙江湖州?中考真題）若分式的值為0,則x的值是（）

A.1B.0C.-1D.-3

【答案】A

【提示】分式的值等于零時，分子等于零，且分母不等于零.

【詳解】解：依題意得：x-1=。且3x+1#=0,

解得％=1.

故選：A.

【點撥】本題考查了分式的值為零的條件.分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零.

【變式3-1]（2023?四川涼山?中考真題）分式二的值為。，貝心的值是（）

X—1

A.0B.-1C.1口.0或1

【答案】A

【提示】根據(jù)分式值為0的條件進行求解即可.

【詳解】解：?.?分式二的值為。，

X-1

.（x2—%=0

.1%-1。0'

解得％=0,

故選A.

【點撥】本題主要考查了分式值為。的條件，熟知分式值為。的條件是分子為。，分母不為。是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2]（2023?河北廊坊??？既＃┤舴质?=。，貝U（）

771—10

A.m=4B.m=—4

C.m=±4D.不存在m，使得粵胃=0

7nz-16

【答案】D

【提示】根據(jù)題意可得「可—2=?,此方程組無解.

—16W0

【詳解】解：根據(jù)題意可得：

4-o

大O

L6

-+4

角得

軍

一

W_+4

故無解，

故選：D.

【點撥】本題考查了分式值為零的條件，熟練掌握分式的值為零的條件為：分子為。，分母不為0,是解題

的關(guān)鍵.

【變式3-3]（2021?江蘇揚州?中考真題）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為。的是（）

1

A.x+1B.%2-1C.—D.（x+I）2

【答案】C

【提示】分別找到各式為0時的x值，即可判斷.

【詳解】解：A.當(dāng)x=-l時，x+l=0,故不合題意；

B.當(dāng)x=+l時,x2-l=0,故不合題意；

C.分子是1,而1邦，則之加，故符合題意；

D.當(dāng)x=-l時，（X+1）2=0,故不合題意；

故選C.

【點撥】本題考查了分式的值為零的條件，代數(shù)式的值.若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分

子為0;（2）分母不為0.這兩個條件缺一不可.

【變式3-4]（2021南充市一模）若分式律的值是負數(shù)，則x的取值范圍是（）

A3c2-3一2

A.x>-B.x>-C.x<-D.x<-

2323

【答案】B

【提示】根據(jù)題意列出不等式即可求出x的取值范圍.

【詳解】解：由題意可知：2-3尤<0,且/+1>0恒成立，

2

故選：B.

【點撥】本題考查分式的值，當(dāng)分子和分母同號時，分式值為正數(shù)，當(dāng)分子和分母異號時，分式值為負數(shù).

【變式3-5】分式母殘的值為負數(shù)的條件是（）

A.%<3B.%>0且XH1

C.x<1且XD,0<%<3z且%W1

【答案】D

【提示】根據(jù)乘法公式，化簡分式，分式的值要為負數(shù)，則分子、分母為異號，即可求出答案.

x-3

x（x-l）2'

因為分式的值為負數(shù)，

%—3>0（x—3<0

%<0或者x>0

、%H11%H1

..0<%<3且％H1

故選：D.

【點撥】本題考查分式的化簡，分式的取值與分子、分母的關(guān)系，且分母不能為零，理解和掌握分式取值

與分子、分母的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式3-6]若分式”的值大于零,則x的取值范圍是—.

【答案】X>-2S.X豐1

【提示】由已知可得分子無+2>。,再由分式的分母不等于零，得到尤-1邦,進而求出x的取值.

【詳解】解：..?分式堂的值大于零，

.\x+2>0,

.,.x>-2,

,/x-1#0,

-X-/-1,

故答案為X>-2且#1.

【點撥】本題考查分式的值；熟練掌握分式求值的特點，特別注意分式的分母不等于零這個隱含條件是解

題的關(guān)鍵.

【變式3-7］下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（）

A.當(dāng)久=2時，晝的值為零B.當(dāng)x為任意實數(shù)時，高的值總為正數(shù)

C.無論x為何值，W不可能得整數(shù)值D.當(dāng)久43時，?有意義

【答案】B

【提示】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于0；分式的值為正數(shù)的條件是分式的分子、分母同號；分式值

是0的條件是分子等于0,分母不為0即可得到結(jié)論.

【詳解】解：A.當(dāng)X=2時，方無意義，故本選項不合題意；

B.當(dāng)尤為任意實數(shù)時，高的值總為正數(shù)，故本選項符合題意；

C.當(dāng)x=0或2時，言能得整數(shù)值，故本選項不合題意；

D.當(dāng)x豐0時，號有意義,故本選項不合題意；

故選：B.

【點撥】本題考查了分式有意義的條件和分式的值為零的條件.分式有意義的條件是分母不等于。.分式值

是0的條件是分子是0,分母不是0.

方法技巧

1）分式值為0的條件：分式的分子等于0且分母不等于0,這兩個條件必須同時考慮，進而求解問題.

2）分式值為正的條件：分式的分子、分母同號.

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題型04約分與最簡分式

【例4】（2023?甘肅蘭州?中考真題）計算：—=（）

a—5

A.a-5B.a+5C.5D.a

【答案】D

【提示】分子分解因式，再約分得到結(jié)果.

【詳解】解：Y

a-5

=a,

故選：D.

【點撥】本題考查了約分，掌握提公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2022?貴州銅仁?中考真題）下列計算錯誤的是（）

A.|-2|=2B.a2-a-3=（C.=a+1D.（a2）3=a3

【答案】D

【提示】根據(jù)絕對值，同底數(shù)幕的乘法，負整數(shù)指數(shù)幕，分式的性質(zhì)，幕的乘方計算法則求解即可.

【詳解】解：A.|-2|=2,計算正確，不符合題意；

B.a2?a-3=a-1=i,計算正確，不符合題意；

C.咎==a+1,計算正確，不符合題意；

D.（a2）3=a6,計算錯誤,符合題意；

故選D.

【點撥】本題主要考查了絕對值，同底數(shù)幕的乘法，負整數(shù)指數(shù)幕，分式的性質(zhì)，幕的乘方計算法則，熟

知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2]（2023?河北保定?模擬預(yù)測）如圖，若x為正整數(shù)，則表示分式罷有的值落在（）

xz+3x+2

①②③④

/,、、//、、、//、、//、、

卜NWWNA

-10123

A.段①處B.段②處C.段③處D.段④處

【答案】C

【提示】先化簡分式，再確定分式值的范圍即可.

2X2+4X2x(x+2)2x2(x+l)-2仁2,仁

【詳解】解：…-==/</

(x+2)(x+l)--x+1-----x+1---------x+1-----'

??.X為正整數(shù)，

二尤的最小值為1,

二當(dāng)"1時，京=京=1，

2

一封<2,

二分式蕓黑的值落在段③處，

故選：c.

【點撥】本題考查了分式的化簡，解題關(guān)鍵是能夠運用分式的基本性質(zhì)進行化簡并確定分式值的范圍.

【變式4-3]（2023?安徽?中考真題）先化簡,再求值：立瀘,其中久=V2-1.

x+1

【答案】x+1;

【提示】先根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后將字母的值代入求解.

【詳解】解：立

x+1

(X+I)2

X+1

=%+1,

當(dāng)％=V2-1時，

，原式=/-1+1=V2.

【點撥】本題考查了分式化簡求值，解題關(guān)鍵是熟練運用分式運算法則進行求解.

【變式4-4]（2021?河北?模擬預(yù)測）下列分式屬于最簡分式的是（）

x-yC%2+y2

A.答D.

5x2B?石'x+y

【答案】C

【提示】利用最簡分式的定義：分式分子分母沒有公因式，判斷即可.

【詳解】A.g=j,故此選項不符合題意；

B.77=v?=一1，故此選項不符合題意；

yxy兒

C.等是最簡分式，故此選項符合題意；

D?言=="-3y,故此選項不符合題意?

故選：C.

【點撥】此題考查了最簡分式，熟練掌握最簡分式的定義是解題的關(guān)鍵.

方法技巧

分式的約分子和分母必須都是乘積的形式才能進行約分，約分要徹底，使分子、分母沒有公因式.

確定分子、分母的公因式的方法：

分子、分母類型具體方法

單項式1)系數(shù)取各系數(shù)的最大公約數(shù);2)相同字母取字母的最低次幕.

您型。受薪1公分士r先把分子、分母進行因式分解,再確定公因式

[例5](2021?河北唐山?一模)要把分式篇與鬻通分，分式的最簡公分母是()

A.2a262cB.2a3b3C.2a3b3cD.6a3b3c

【答案】A

【提示】根據(jù)最簡公分母定義是各分母的最小公倍數(shù)即可求解.

【詳解】解：根據(jù)最簡公分母是各分母的最小公倍數(shù)，

???系數(shù)2與1的公倍數(shù)是2,a?與a的最高次幕是,人與^2的最高次幕是川，對于只在一個單項式中出現(xiàn)的

字母c直接作公分母中的因式，

，公分母為：2a2b2c.

故選擇：A.

【點撥】本題考查最簡公分母，熟練掌握最簡公分母是解題關(guān)鍵.

【變式5-1】(2021?內(nèi)蒙古?二模)分式浸三,念的最簡公分母是_______浸n+念=

【答案】a(l+a)(l-a)a(i+a)(i-a)

【提示】先把兩個分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后進行計算求值即可.

【詳解】解：?

,-a2+l-(l-a)(l+a)'a2+a-a(l+a)

1_1_a1_1-a

'-a2+l(l-a)(l+a)a(l-a)(l+a)'a2+aa(l+a)(l-a)

，念的最簡公分母為：a(l+a)(l—a)

1[11a+1-a1

'，-a2+la2+aa2+aa(l+a)(l-a)a(l+a)(l-a)

故答案為：

a(l+a)(l-a),a(l+a)(l-a)

【點撥】本題考查了因式分解和公分母，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解

考點二分式的基本性質(zhì)

?夯基?必備基礎(chǔ)龍識儂

分式的基本性質(zhì)分式的分子和分母同乘或除以）一個不等于0的整式分式的值不變.即《=煞CHO）

或冷篝（CM）,其中A,8,c是整式.

分式符號法則分式的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變，即9=胃=-?=

D-DD

A

-B,

運用分式的基本性質(zhì)時，要注意：①限制條件：同乘（或除以）一個不等于0的整式；

⑦哈含條件?分就的分田木警干0

一提升-必考題型歸納

題型01利用分式的基本性質(zhì)進行變形

【例1】（2023?廣東茂名?一模）下列等式中正確的是（）

2

Aaa+a口aa+1-aa-1aa

A——---B—=---C——---i_）_—___

?bb+b?bb+1'bb-1'bb2

【答案】A

【提示】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同乘或除以一個不為零的數(shù)，分式的值不變，逐個判斷

即可解答.

【詳解】解：黑=票屋，故A正確;

怨與"不一定相等，故B錯誤；

W與"不一定相等，故c錯誤；

當(dāng)汴。時，5>0,故D錯誤,

故選：A.

【點撥】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟知該性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-U（2023?福建福州?模擬預(yù)測）下列分式從左到右變形錯誤的是（）

A-B.—=—C.—D.a2~4=—

5c54a4aba-bb-aa2+4a+4a+2

【答案】B

【提示】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行計算即可解答.

【詳解】解：A.^=］原式變形正確，不符合題意；

B.當(dāng)b=0時，,=怒不成立，原式變形錯誤，符合題意；

c—占=高，原式變形正確，不符合題意；

D-田=喘3=置，原式變形正確，不符合題意；

故選：B.

【點撥】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的基本性質(zhì)，分式的分子和分母同時乘

以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變.

方法技巧

分式的基本性質(zhì)是分式恒等變形和分式運算的理論依據(jù)，正確理解和熟練掌握這一性質(zhì)是學(xué)好分式

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題型02利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化

［例2］（2023南通市二模）如果把分式等中的x和y都擴大到原來的20倍，那么分式的值（）

A.擴大到原來的20倍B.縮小到原來的

C.擴大到原來的2倍D.不變

【答案】D

【提示】根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案.

【詳解】把x和y都擴大20倍后，原式變?yōu)閺姷?竺瞑=等，

即約分后仍為原式，分式的值不變.

故選D.

【點撥】本題考查了分式的基本性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1]如果將分式筌中尤,y都擴大到原來的2倍，則分式的值（）

A.擴大到原來的2倍B.不變

C.擴大到原來的4倍D.縮小到原來的）.

【答案】A

【提示】x,y都擴大成原來的2倍就是變成2x和2y.用2x和2y代替式子中的x和y,看得到的式子與原

來的式子的關(guān)系.

【詳解】解：用2戈和2y代替式子中的x和y得：嘿箸=空等，

則分式的值擴大為原來的2倍.

故選：A.

【點撥】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原

式比較，最終得出結(jié)論.

【變式2-2]（2022?河北?一模）如果要使分式居的值保持不變，那么分式應(yīng)（）

CL—5D

A.a擴大2倍，b擴大3倍B.a,b同時擴大3倍

C.a擴大2倍，6縮小3倍D.a縮小2倍，b縮小3倍

【答案】B

【提示】先根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行化簡，最后得出答案即可.

【詳解】A.。擴大2倍，b擴大3倍，=嬴手言,故該選項不正確，不符合題意；

B.a.b同時擴大3倍,=熹=居,故該選項正確，符合題意；

2x2a4a2a

C.。擴大2倍，6縮小3倍,兀三4=五有力二五，故該選項不正確，不符合題意；

3

D.a縮小2倍，b縮小3倍=白力言;，故該選項不正確，不符合題意；

2a-3x-bZa—Da—3D

3

故選B

【點撥】本題考查了分式的基本性質(zhì)，能正確根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行化簡是解此題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2022武安市中考二模）若加〃的值均擴大到原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（）.

.m+3cm+3

A.——B?翳C.-----D.—

n71+3m-n

【答案】B

【提示】根據(jù)機,n擴大到3倍為：3m,3n;把3巾,3n依次代入選項，進行判斷，即可.

【詳解】???m,n的值均擴大到原來的3倍為3nl,3n

.3771+3771+3，”一人

'A?丁豐—，不符合題意；

「3x3m

D.---------招,符合題意；

2x3n

c?需。黑，不符合題意;

D-高=含力高，不符合題意?

故選：B.

【點撥】本題考查分式的知識，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì).

題型03利用分式的符號法則，將分式恒等變形

［例3］（2022年湖北省黃岡咸寧孝感三市中考模擬）不改變分式的值，使分子、分母的第一項系數(shù)都是正

—2a+b

數(shù)，則

-a-3b

［分景】在a

卜白木/a+3b

【提示】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案.

【詳解】解：亍歿-(2a-Z?)_2a-b

—(a+3b)a+3匕

故答案為：需

【點撥】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型.

【變式3-1］（2023?河北石家莊?二模）若'=A（m4n）,則A可以是（）

1-5B.黑。?三D,

【答案】C

【提示】用舉反例結(jié)合分式的基本性質(zhì)進行逐一判斷即可.

【詳解】A.如：頭力1.??震力弓，故此項錯誤；

B?如：黑燈，，黑彳，故此項錯誤;

-n_-nx(-l)S,故此項正確；

-mmx(-l)

12-12

D如,」一。-年弋，故此項錯誤?

?刈?(-2)2干2'

故選：C.

【點撥】本題考查了分式的基本性質(zhì)，掌握基本性質(zhì)，會用舉反例的方法進行判斷是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2]（2022邢臺市新河縣二模）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式若可變形為（）

Aa

B-盤C.D.

AF-a-b

【答案】D

【提示】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案.

【詳解】念=aa

a-bb-a

故選：D.

【點撥】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型.

考點三分式的運算

夯基-必備基礎(chǔ)知識梳理

分式運算說明

1）同分母，分母不變.分亍相MiM.Wt,

分式的加M法

）異分再；先通分.化為何分用的分式，附加即；=?

2nand

用分/的枳什為枳的分人分母的粗作為枳的分母.;?

分式的乘除法

2）除法tiei*式的分廣、分倒位■.再。破除式相熟即：：■詈

DdbC

分式的乘方把分子、分也分別我方，HII；

運現(xiàn)舄1序：先比乘方，再嵬黍除，M后算加行括號的.先H括號果的.城活運用運算

分式的混合話探

at.證■坳理必先易??!分式威,汞.____________________________________________

1.異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分時應(yīng)確定幾個分式的最簡公分母.

2.整式和分式進行運算時，可以把整式看成分母為1的分式.

一提升?必考題型幽

題型01分式的加減法

[例1]（2023?天津?中考真題）計算三-冷的結(jié)果等于（）

X—1X—1

1

A.-1B.x-1c?WD.

【答案】C

【提示】根據(jù)異分母分式加減法法則進行計算即可.

【詳解】解：二一言%+12%+1—2x-1_1

(x-l)(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)(x+l)(%-1)(x4-1)-1+]

故選：C.

【點撥】本題考查了異分母分式加減法法則，解答關(guān)鍵是按照相關(guān)法則進行計算.

【變式1-1]（2021?黑龍江大慶?中考真題）已知b>a>0,則分式?與言的大小關(guān)系是（）

°b+\

aa+1-aa+1c巴>山

A.—<------B.—二---------D.不能確定

bb+\bb+1,bb+1

【答案】A

【提示】將兩個式子作差，利用分式的減法法則化簡，即可求解.

【詳解】解：Ia+1_a(匕+l)-b(a+l)_a-b

b+1匕（匕+1）b(b+l)1

'：b>a>0,

aa+1a-b

bb+1匕(b+l)<0,

aQ+1

?—<--------

bb+\

故選：A.

【點撥】本題考查分式的大小比較，掌握作差法是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2](2023?上海?中考真題)化簡：￡-三的結(jié)果為

【答案】2

【提示】根據(jù)同分母分式的減法計算法則解答即可.

2-2%（

【詳解】解：二-二21-汽）_2

1-X1-x

故答案為：2.

【點撥】本題考查了同分母分式減法計算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵.

【變式1-31(2023?吉林?中考真題)下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中M是單項式.請寫出單項

式M,并將該例題的解答過程補充完整.

例先化簡，再求值：念-六，其中。=100.

解：原式=散泊不一而切

【答案】M=a,1-)言，過程見解析

【提示】先根據(jù)通分的步驟得到M,再對原式進行化簡，最后代入a=100計算即可.

【詳解】解：由題意，第一步進行的是通分，

.M_Ma_a2

a+1a(a+l)a(a+l)'

/.M=a,

r-r_—a21_a2-1_(a+l)(a-1)_u_1_11

‘、a(a+l)a(a+l)a(a+l)a(a+l)aa'

199

當(dāng)a=100時，原式=1----=---.

二H」，立iioo100

【點撥】本題考查了分式的化簡求值，正確對分式進行化簡是解題的關(guān)鍵.

【變式1-4](2023?江蘇南京?校聯(lián)考三模)已知a>0,b>0,證明：5+檢念.

【答案】見解析

【提示】根據(jù)作差法比較大小，然后根據(jù)分式的加減進行計算得出《+巳-念2。即可得證.

4

八￥M、>TT口口...1?1.匕(a+b)+a(a+b)-4a匕_(a-b)2

【詳斛】證明?q+m—而——礪麗—一麗麗，

又a>0,b>0,

/.(a—b)2>0,ab>0,a+b>0.

.[(7)2>0

ab(a+b)'

+i>.

ab-a+b'

【點撥】本題考查了分式的加減運算，熟練掌握分式的加減運算是解題的關(guān)鍵.

【變式1-5](2021?四川樂山?統(tǒng)考中考真題)已知￡-￡=(鼠工)，求人B的值.

【答案】A的值為4,B的值為-2

【提示】根據(jù)分式、整式加減運算，以及二元一次方程組的性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】----幺=4—2)+B(x-l)

…十用十/%一12-x(x-l)(x-2)(x-l)(x-2)'

.-2)+8(%-1)_2X-6

?,(x-l)(x-2)-(x-l)(x-2)'

—2)+B(x—1)=2.x—6,

即(Z+B)x-(2Z+8)=2%—6.

(A+B=2

…匕/+8=6'

解得:{B：-2

的值為4,B的值為-2.

【點撥】本題考查了分式、整式、二元一次方程組的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式加減運算、整式加

減運算、二元一次方程組的性質(zhì)，從而完成求解.

題型02分式的乘除法

[例2](2023?河北?中考真題)化簡《口)的結(jié)果是()

A.xy6B.xy5C.x2y5D.久2y6

【答案】A

【提示】根據(jù)分式的乘方和除法的運算法則進行計算即可.

【詳解】解：/華)2*3.箕=盯6,

故選：A.

【點撥】本題考查分式的乘方，掌握公式準確計算是本題的解題關(guān)鍵.

【變式2-1]（2022?內(nèi)蒙古?中考真題）下列計算正確的是（）

A.a3+a3=a6+=aC.2；-=2D.f—V=?

ba-la-l\a2Ja5

【答案】C

【提示】根據(jù)合并同類項，分式的乘除混合運算，分式的加減，分式的乘方運算逐項提示.

【詳解】A.a3+a3=2a3,故不符合題意；

B.a+=*,故不符合題意；

C.言-￡=2,故符合題意；

D.g）3=g,故不符合題意；

故選C.

【點撥】本題考查了合并同類項，分式的乘除混合運算，分式的加減，分式的乘方運算，熟練掌握分式的

運算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2]（2022?河北石家莊?一模）若自+*,運算的結(jié)果為整式，則“口”中的式子可能是（）

1

A.y-尤B.y+xC.2尤D.-

【答案】C

【提示】先根據(jù)分式除法法則計算，再根據(jù)結(jié)果為整式，得出口中的式子可能是，即可得出答案.

【詳解】解：六一w

___.O+y）（yr）

x+yx

_n（yT）

%-，

...運算結(jié)果為整式，

□中的式子是含量有X因式的式子，

□中的式子可能是2X,

故選：C.

【點撥】本題考查分式乘除運算，熟練掌握分式乘除運算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］關(guān)于式子若三+士，下列說法正確（）

x2+6x+9x+3

A.當(dāng)x=3時，其值為0B.當(dāng)?shù)?-3時，其值為2

C.當(dāng)。<x<3時，其值為正數(shù)D.當(dāng)x<0時，其值為負數(shù)

【答案】A

【提示】根據(jù)分式的乘除法法則.平方差公式.完全平方公式對分式進行化簡，再根據(jù)化簡后的分式對選項一

一進行提示，即可得出答案.

X2-9x_(x+3)(x-3)X%+3_X-3

【詳解】解：/+6X+9

x+3(x+3)2xx

A.當(dāng)乂=3時，原式=三=°，故該說法正確，符合題意；

B.當(dāng)x=-3時，分母x+3=-3+3=0,原式?jīng)]有意義，不能計算求值，故該說法不正確，不符合題意；

C.當(dāng)0<x<3時,則%—3<0,

<0,故該說法不正確，不符合題意；

D.當(dāng)x<0時，則x—3<—3,

二?>0,故該說法不正確，不