2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：二次函數(shù)（解答題三）

2024年中考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編之二次函數(shù)(解答題三)

一.解答題(共24小題)

1.如圖1,拋物線了=。G-h)2+左交x軸于o,A(4,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為3(2,2舊)，點(diǎn)C為。5的中

點(diǎn).

(1)求拋物線y=aQx-h)2+左的表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)C作垂足為〃，交拋物線于點(diǎn)￡.求線段CE的長.

(3)點(diǎn)。為線段。/上一動點(diǎn)(。點(diǎn)除外)，在。C右側(cè)作平行四邊形OCED.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸落在拋物線上時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

2.如圖，拋物線了=-x2+6x+c與直線y=x+2相交于/(-2,0),B(3,加)兩點(diǎn)，與x軸相交于另一點(diǎn)

C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是直線A8上方拋物線上的一個動點(diǎn)(不與/、2重合)，過點(diǎn)尸作直線尸軸于點(diǎn)D,交

直線N3于點(diǎn)￡,當(dāng)尸E=2E￡＞時，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M使的面積等于△ABC面積的一半？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3.如圖，拋物線y=-x2+6x+c與x軸交于點(diǎn)N(-3,0)和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)。在拋物

線上.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在第二象限內(nèi)，且的面積為3時，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)在直線上是否存在點(diǎn)P,使△OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出

4.請根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù).

5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線)7=療后得到的新拋物線經(jīng)過力(0,-|)和8(5,0).

(1)求平移后新拋物線的表達(dá)式；

(2)直線x=wCm>0)與新拋物線交于點(diǎn)尸，與原拋物線交于點(diǎn)。；

①如果P。小于3,求的取值范圍；

②記點(diǎn)P在原拋物線上的對應(yīng)點(diǎn)為P,如果四邊形P2尸0有一組對邊平行，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

y木

6.端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場上豬肉粽的進(jìn)價比豆沙粽的進(jìn)價每盒多20元,某商家用5000

元購進(jìn)的豬肉粽盒數(shù)與3000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價52元時，

可售出180盒；每盒售價提高1元時，少售出10盒.

（1）求豬肉粽每盒、豆沙粽每盒的進(jìn)價；

（2）設(shè)豬肉粽每盒售價x元（52WxW70）,y表示該商家銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關(guān)于x

的函數(shù)表達(dá)式并求出y的最大值.

7.已知拋物線y=x2+6x-1的對稱軸是直線x=|.設(shè)機(jī)是拋物線》=』+及-1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，記

（1）求6的值；

（2）比較“與拳的大小.

8.春節(jié)期間，全國各影院上映多部影片，某影院每天運(yùn)營成本為2000元，該影院每天售出的電影票數(shù)量

y（單位：張）與售價x（單位：元/張）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系（30WxW80,且x是整數(shù)），部分?jǐn)?shù)據(jù)

如下表所示：

電影票售價X（元/張）4050

售出電影票數(shù)量?（張）164124

（1）請求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)該影院每天的利潤（利潤=票房收入-運(yùn)營成本）為w（單位：元），求w與尤之間的函數(shù)關(guān)系

式；

（3）該影院將電影票售價x定為多少時，每天獲利最大？最大利潤是多少？

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)＞=-2x+6的圖象與x軸交于點(diǎn)/,與y軸交于點(diǎn)8,拋物線y

=-苫2+/+°經(jīng)過/、B兩點(diǎn),在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。C，x軸于點(diǎn)C,交AB于

點(diǎn)E.

(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)是否存在點(diǎn)。，使得△ADE和△/CE相似？若存在，請求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

(3)尸是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)。重合)，過點(diǎn)/作x軸的垂線交N3于點(diǎn)G,連接。R

當(dāng)四邊形EGFD為菱形時，求點(diǎn)。的橫坐標(biāo).

備用圖

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(2,-3)在二次函數(shù)3(a>0)的圖象上，記該二次函

數(shù)圖象的對稱軸為直線x=m.

(1)求"2的值；

(2)若點(diǎn)。(m,-4)在y=ax2+bx-3的圖象上，將該二次函數(shù)的圖象向上平移5個單位長度，得到

新的二次函數(shù)的圖象.當(dāng)0Wx<4時，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；

(3)設(shè)yuad+bx-3的圖象與x軸交點(diǎn)為(xi,0),(%2,0)(xi<%2).若4<X2-XI<6,求a的取值

范圍.

II.如圖1,拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于點(diǎn)/(-3,0)和點(diǎn)2(1,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是拋

物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接/C,DC,直線NC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)若點(diǎn)尸是直線/C上方拋物線上一點(diǎn)，

且S&PMC=2S&DMC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)N是拋物線對稱軸上位于點(diǎn)。上方的一動點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)N,A,C為頂點(diǎn)的三角形是等

腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

2

12.如圖，拋物線尸一|?+歷:+0與x軸交于4,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)/坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)8

坐標(biāo)為(3,0).

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.

(2)點(diǎn)尸是直線3C上方拋物線上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作x軸的垂線交直線8C于點(diǎn)。，過點(diǎn)P作y軸

的垂線，垂足為點(diǎn)E,請?zhí)骄?尸。+尸￡是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時尸點(diǎn)的坐標(biāo)；若

沒有最大值，請說明理由.

(3)點(diǎn)M為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)NMC2=45°時，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=a/+6x-1(a、6為常數(shù)，a>0).(1)若拋物線與x軸交

于/(-1,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖，當(dāng)6=1時，過點(diǎn)C(-l,。)、D(l,a+2/)分別作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M、N,

連接MMMD.求證：MD平分/CMN；

(3)當(dāng)。=1,6W-2時，過直線y=x-1(1WXW3)上一點(diǎn)G作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)若

G8的最大值為4,求b的值.

14.2024年“五一”假期期間，闔中古城景區(qū)某特產(chǎn)店銷售42兩類特產(chǎn).4類特產(chǎn)進(jìn)價50元/件，B

類特產(chǎn)進(jìn)價60元/件.已知購買1件A類特產(chǎn)和1件B類特產(chǎn)需132元，購買3件N類特產(chǎn)和5件8

類特產(chǎn)需540元.

(1)求N類特產(chǎn)和8類特產(chǎn)每件的售價各是多少元？

(2)4類特產(chǎn)供貨充足，按原價銷售每天可售出60件.市場調(diào)查反映，若每降價1元，每天可多售出

10件(每件售價不低于進(jìn)價).設(shè)每件/類特產(chǎn)降價x元，每天的銷售量為y件，求y與x的函數(shù)關(guān)系

式，并寫出自變量x的取值范圍.

(3)在(2)的條件下，由于8類特產(chǎn)供貨緊張，每天只能購進(jìn)100件且能按原價售完.設(shè)該店每天

銷售這兩類特產(chǎn)的總利潤為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件/類特產(chǎn)降價多少元時總利潤

校最大，最大利潤是多少元？(利潤=售價-進(jìn)價)

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線_y=a?+6x+3經(jīng)過點(diǎn)/(3,0),與y軸交于點(diǎn)3,且關(guān)

于直線x=l對稱.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)-iWxWl時，y的取值范圍是0WyW2「1,求f的值；

(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)。作x軸的垂線交直線于點(diǎn)。，在y軸上是

否存在點(diǎn)E,使得以2,C,D,￡為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說

明理由.

16.如圖，拋物線y=x2-x+c與x軸交于點(diǎn)/(-1,0)和點(diǎn)8,與〉軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)0<xW2時，求-x+c的函數(shù)值的取值范圍；

(3)將拋物線的頂點(diǎn)向下平移;個單位長度得到點(diǎn)點(diǎn)尸為拋物線的對稱軸上一動點(diǎn)，求我+爭尸”

的最小值.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a/+6x+4(a=0)經(jīng)過點(diǎn)(-1,6),與y軸交于點(diǎn)C,與x

軸交于4,2兩點(diǎn)(/在2的左側(cè))，連接/C,BC,tanZCBA^4.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是射線C4上方拋物線上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸軸，垂足為E,交4c于點(diǎn)D.點(diǎn)M是

線段。￡上一動點(diǎn)，兒軸，垂足為N,點(diǎn)尸為線段BC的中點(diǎn)，連接NM,NF.當(dāng)線段PD長度取

得最大值時，求AM+MN+NF的最小值；

(3)將該拋物線沿射線◎方向平移，使得新拋物線經(jīng)過(2)中線段尸口長度取得最大值時的點(diǎn)D,

且與直線/C相交于另一點(diǎn)K.點(diǎn)0為新拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)時，直接寫出所有

符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線￡：y=ax2-2ax-3a(a>0)與x軸交于4,3兩點(diǎn)(點(diǎn)/

在點(diǎn)2的左側(cè))，其頂點(diǎn)為C,。是拋物線第四象限上一點(diǎn).

(1)求線段N8的長；

(2)當(dāng)°=1時，若△/CD的面積與△48。的面積相等，求tan//AD的值；

(3)延長CD交x軸于點(diǎn)￡,當(dāng)/￡>=￡>￡時，將沿DE方向平移得到AHEB'.將拋物線工

平移得到拋物線〃，使得點(diǎn)/',女都落在拋物線”上.試判斷拋物線〃與工是否交于某個定點(diǎn).若

備用圖

19.如圖，拋物線y=f+6x+c與x軸交于點(diǎn)/(-1,0)和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C(0,-4),其頂點(diǎn)為D

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)使得△3。M的周長最小.若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由；

(3)若點(diǎn)E在以點(diǎn)尸(3,0)為圓心，1為半徑的0P上，連結(jié)/E,以NE為邊在/￡的下方作等邊三

角形NE凡連結(jié)3尸.求3廠的取值范圍.

HAWJBX

V

20.已知拋物線y=-x2+6x+c與x軸交于點(diǎn)/(-1,0),B(3,0).

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖1,拋物線與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為線段。。上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，直線B4,分別交

拋物線于點(diǎn)￡,D,設(shè)面積為Si，APBE面積為出，求善的值.

$2

(3)如圖2,點(diǎn)K是拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)K的直線(不與對稱軸重合)與拋物線交于點(diǎn)

M,N,過拋物線頂點(diǎn)G作直線/〃x軸，點(diǎn)。是直線/上一動點(diǎn).求。M+QN的最小值.

圖1圖2

21.某酒店有/、2兩種客房，其中4種24間，3種20間.若全部入住，一天營業(yè)額為7200元；若/、

B兩種客房均有10間入住，一天營業(yè)額為3200元.

(1)求/、2兩種客房每間定價分別是多少元？

(2)酒店對N種客房調(diào)研發(fā)現(xiàn)：如果客房不調(diào)價，房間可全部住滿；如果每個房間定價每增加10元,

就會有一個房間空閑；當(dāng)/種客房每間定價為多少元時，/種客房一天的營業(yè)額少最大，最大營業(yè)額

為多少元？

22.二次函數(shù)7=如2+歷；+0(aWO)的圖象與x軸分別交于點(diǎn)/(-1,0),B(3,0),與夕軸交于點(diǎn)C(0,

-3),P、0為拋物線上的兩點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)尸、C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸對稱，△。尸。是以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)的直角三角形時，求點(diǎn)。的坐

標(biāo)；

(3)設(shè)尸的橫坐標(biāo)為優(yōu)，。的橫坐標(biāo)為m+1,試探究：△0P。的面積S是否存在最小值，若存在，請

求出最小值，若不存在，請說明理由.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>="2+8-3與x軸交于N(-1,0),8兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,

拋物線的對稱軸是直線》=f.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P是直線2C下方對稱軸右側(cè)拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸￡>〃x軸交拋物線于點(diǎn)D,作尸

BC于點(diǎn)E,求PD+錚E的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)將拋物線沿射線BC方向平移近個單位，在PD+學(xué)尸￡取得最大值的條件下，點(diǎn)尸為點(diǎn)P平移后

的對應(yīng)點(diǎn)，連接//交y軸于點(diǎn)點(diǎn)N為平移后的拋物線上一點(diǎn)，若NNMF-/ABC=A5°,請直接

備用圖

□

24.如圖，拋物線y=a/—2%+c與x軸交于/(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為P.(1)求拋物線

的解析式及尸點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)拋物線交了軸于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)/,B,C的圓與y軸的另一個交點(diǎn)為。，求線段CD的長；

（3）過點(diǎn)尸的直線分別與拋物線、直線x=-1交于x軸下方的點(diǎn)M,N,直線7VB交拋物線

對稱軸于點(diǎn)E,點(diǎn)P關(guān)于E的對稱點(diǎn)為0,軸于點(diǎn)請判斷點(diǎn)//與直線N0的位置關(guān)系，并

證明你的結(jié)論.

2024年中考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編之二次函數(shù)(解答題三)

參考答案與試題解析

解答題(共24小題)

1.如圖1,拋物線y=a(x-A)2+左交x軸于。A(4,0)兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為3(2,2百)，點(diǎn)C為的中

點(diǎn).

(1)求拋物線y=a(x-h)2+上的表達(dá)式；

(2)過點(diǎn)C作垂足為X,交拋物線于點(diǎn)￡求線段CE的長.

(3)點(diǎn)。為線段。/上一動點(diǎn)(。點(diǎn)除外)，在。C右側(cè)作平行四邊形OCED.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸落在拋物線上時，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

【專題】代數(shù)幾何綜合題；多邊形與平行四邊形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力.

【答案】(1)y=-^yx2+2V3x；

V3

(2)—；

(3)①點(diǎn)尸(2+V2,V3)；②2近.

【分析】(1)由待定系數(shù)法即可求解；

(2)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)C(1,V3),即可求解；

(3)①當(dāng)尸舊時，尸-5(x-2)2+2V3=V3,則x=2+&(不合題意的值已舍去)，即可求解;

②過點(diǎn)8作直線Ly軸,作點(diǎn)尸關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)P(%+1,3舊),連接。P,則3￡>+3尸=皮)+8尸'

NDF',當(dāng)D、B、F'共線時，BD+BF=DF'為最小，即可求解.

【解答】解：(1)由題意得：y=ci(x-2)2+2A/3,

將點(diǎn)4的坐標(biāo)代入上式得：0=4義(4-2)2+2A/3,

解得：Q=-第，

拋物線y=a(x-h)2+左的表達(dá)式為y=—梳3+2百x；

(2)由(1)知，y=_號(x-2)2+2V3,

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)C(1,V3),

當(dāng)x=1時，y——字(%-2)2+2>/3=

則CE=號—百=哆

(3)①由(2)知，C(1,V3),

當(dāng)y=遮時，y=—斗(x-2)2+2A/3=V3,

則》=2+四(不合題意的值已舍去)，

即點(diǎn)尸(2+V2,V3)；

②設(shè)點(diǎn)。(m,0),則點(diǎn)尸(加+1,V3),

過點(diǎn)2作直線軸，作點(diǎn)廠關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)/(m+1,3V3),連接,

貝U尸^DF',當(dāng)D、B、F'共線時，BD+BF=DF'為最小，

由定點(diǎn)尸'、。的坐標(biāo)得，直線。P的表達(dá)式為：y=3W(x-m),

將點(diǎn)8的坐標(biāo)代入上式得：2百=3百(2-m'),

解得：m-

74

則點(diǎn)尸3遍)，點(diǎn)。0),

則AD+AF最小值為：DF'=J1+C=2近.

【點(diǎn)評】本題為二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到點(diǎn)的對稱性、平行四邊形的性質(zhì)等，確定BD+BF=DF為

最小是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，拋物線y=-x2+fcc+c與直線y=x+2相交于N(-2,0),B(3,加)兩點(diǎn)，與x軸相交于另一點(diǎn)

C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)P是直線N5上方拋物線上的一個動點(diǎn)(不與/、8重合)，過點(diǎn)尸作直線尸。_Lx軸于點(diǎn)。，交

直線48于點(diǎn)E,當(dāng)PE=2助時，求尸點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M使的面積等于△A8C面積的一半？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

1【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.

【專題】待定系數(shù)法；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；函數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=-f+2x+8；

(2)尸的坐標(biāo)為(1,9)；

1]Q11/-J.

(3)拋物線上存在點(diǎn)使的面積等于△48C面積的一半，M的坐標(biāo)為(，：,~

1-V1311-V13一1+V37-1+V37-1-V37-1-V37

或(---，-------)或(---，-------)或(---，------)?

【分析】(1)把8(3,機(jī))代入y=x+2求出B(3,5),再用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y=-

X2+2X+8；

(2)設(shè)尸(t,-?+2/+8),則E(?,什2),D(7,0),由％=2?！?可得-於+2什8-(什2)=2(什2),

解出/的值可得P的坐標(biāo)為(1，9)；

(3)過M作〃丁軸父直線48于K,求出C(4,0),知/C=6,故S柩BC=]x6X5=15,設(shè)M(〃?，

-m2+2m+8),貝!JK(m,m+2),MK=\-m2+2m+8-(m+2)|=|-m2+m+61|,S^ABM=\XB~

r51

x/=引-w2+m+6|,根據(jù)的面積等于△48。面積的一半，有m-m1+m+6\—?X15,可得|-m1+m+6\

=3,即-%2+/+6=3或-7力2+加+6=-3,解出加的值可得答案.

【解答】解：(1)把2(3,m)代入y=x+2得：根=3+2=5,

：.B(3,5),

把/(-2,0),B(3,5)代入y=-f+fcc+c得:

C—4—2/?+c=0

l-9+3b+c=5'

解得宜;,

???拋物線的解析式為y=-X2+2X+8；

（2）設(shè)尸（t,-於+2什8）,則E（3什2）,D（60）,

?：PE=2DE,

-於+2f+8-（/+2）=2（￡+2）,

解得，=1或f=-2（此時P不在直線48上方，舍去）；

???尸的坐標(biāo)為（1,9）；

（3）拋物線上存在點(diǎn)使△4期的面積等于△力呂。面積的一半，理由如下:

過"作〃丁軸交直線45于K,如圖：

在〉=--+2]+8中，令》=0得o=_X2+2X+8,

解得x=-2或x=4,

：.A(-2,0),C(4,0),

.\AC=6,

?:B(3,5),

1

**?S^ABC=2x6X5=15,

設(shè)〃(加，-m2+2m+8),則K(m,m+2),

?\MK=\-m2+2m+8-(m+2)|=|-m2+m+6|,

S^ABM=^MK*\XB-必|=}-m2+m+6|X5=|j-m2+m+6\,

???/\ABM的面積等于面積的一半，

.51

..~|-m92+m+6|=2X15,

/.|-m2+m+6|=3,

-m2+m+6=3或-m2+m+6=-3,

々刀乙曰1±J13T1±J37

角牛得m=-=2-或m=一'

1+V1311+V131-V1311-V13…1+V37-1+V37…1-V37-1-V37

?W的坐標(biāo)為)或(—T'或（丁‘或（丁‘^~工

2'2

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的

式子表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度.

3.如圖，拋物線y=-f+6x+c與x軸交于點(diǎn)/(-3,0)和點(diǎn)2,與〉軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)。在拋物

線上.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)當(dāng)點(diǎn)。在第二象限內(nèi)，且△4CO的面積為3時，求點(diǎn)。的坐標(biāo);

(3)在直線8c上是否存在點(diǎn)P,使△。即是以尸D為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出

【專題】分類討論；二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；函數(shù)的綜合應(yīng)用；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形;

運(yùn)算能力；應(yīng)用意識.

【答案】(1)拋物線的解析式為y=-f-2x+3；

(2)D的坐標(biāo)為(-1,4)或(-2,3)；

25-/193

(3)在直線8C上存在點(diǎn)P,使△OPD是以尸D為斜邊的等腰直角三角形,P的坐標(biāo)為(0,3)或(一--，

18

-7+V193…25+V193-7-V193112

--------)或(--------，---------)或(—，一弓).

618693

【分析】(1)把/(-3,0),C(0,3)代入y=-f+6x+c得：［：］3b+c=0,解得｛，:g?,故

拋物線的解析式為y=-x2-2x+3；

(2)過D作。K〃歹軸交/C于K,求得直線/C解析式為y=x+3,設(shè)-?-2f+3),則K0,什3),

故。K=-於-2汁3-C+3)=-F-3t,由的面積為3,得;L?K?g-xc|=3,即:(-祥-3力X

3=3,解出t的值可得。的坐標(biāo)為(-1,4)或(-2,3)；

(3)求出/(-3,0),5(1,0),直線5C解析式為y=-3x+3,設(shè)尸(加，-3w+3),D(?,-/

-2/7+3),過產(chǎn)作PNLy軸于N,過。作。軸于M,分始終情況分別畫出圖形根據(jù)等腰直角三角

形性質(zhì)和全等三角形判定與性質(zhì)解答即可.

【解答】解：(1)把/(-3,0),C(0,3)代入y=-f+bx+c得：

[―9—3Z)+c=0

tc=3

解得｛，二:，

...拋物線的解析式為＞=-X2-2x+3；

(2)過。作DK〃歹軸交NC于K,如圖:

DK=-於-2汁3-(f+3)=-F-3t,

?.?△NCD的面積為3,

：.^DK-\XA-xc\^3,即:(-於-3/)X3=3,

解得t=-1或/=-2,

：.D的坐標(biāo)為(-1,4)或(-2,3)；

(3)在直線2。上存在點(diǎn)P,使△OP。是以PD為斜邊的等腰直角三角形，理由如下:

在y--X2-2x+3中，令7—0得0=-x2-2x+3,

解得x=-3或x=l,

：.A(-3,0),B(1,0),

由2(1,0),C(0,3)得直線BC解析式為y=-3x+3,

設(shè)P(.m,-3m+3),D(n,-n2-2n+3),

過P作PNLy軸于N,過。作DMLy軸于M,

①：。N=0C=3,

...當(dāng)P與C重合，。與/重合時，△。尸。是等腰直角三角形，如圖:

②當(dāng)尸在第一象限，。在第四象限時,

VAOPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形,

：.OD=OP,ZPOD=90°,

/DOM=90°-/PON=ZOPN,

VZDMO=90°=ZPNO,

：.ADOM烏AOPN(44S),

：.DM=ON,OM=PN,

.(n=-3m+3

**In2+2n—3=

.?.-3=-3X^M3=ZZ^H

W+3lo+D

25-V193-7+V193

:.p的坐標(biāo)為(18

6

③當(dāng)尸在第四象限，。在第三象限時，如圖:

?：AOPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形,

：.OD=OP,/尸00=90°,

,ZDOM=90°-ZPON=ZOPN,

VZDMO=90°=/PNO,

:?叢DOM”叢OPN(44S),

：.PN=OM,0N=DM,

2

同理可得m=n+2n—3

3m—3=—n

解得（大于0,舍去）,

.225+7193,-7-7193

??_3加+3—-3x--T-5---+3-7,

lo6

,,,一，25+V193-7-V193

尸的坐標(biāo)為(———，6)；

18

④當(dāng)尸在第四象限，。在第一象限，如圖:

■:4OPD是以PD為斜邊的等腰直角三角形,

：.OD=OP,/POD=90°,

???ZDOM=90°-ZPON=ZOPN,

VZDMO=90°=ZPNO,

:?△DOMQAOPN（44S）,

：.PN=OM9ON=DM,

.（m=—n2—2n+3

137n—3=n

（_11

解得「二°3（舍去）或"7

n~ln=3

112

-3冽+3=-3x-g-+3=一可,

」,112

.?.尸的坐標(biāo)為（式》,一目）；

……s,一，-25-V193-7+V193j25+V193-7-V1933112

綜上所述，P的坐標(biāo)為（0,3）或（-------，---------）或（-------，---------）或（大，一下）.

18618693

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，等腰直角三角形，全等三角形

判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用.

4.請根據(jù)以下素材，完成探究任務(wù).

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；二次函數(shù)的應(yīng)用.

【答案】任務(wù)1：y=—9+冬

任務(wù)2：w=-2/+72x+3360(x>10)；

任務(wù)3：安排17名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風(fēng)”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可

獲得最大利潤.

【分析】任務(wù)1：根據(jù)題意安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，得出加工“正”

服裝的有(70-x-j)人,然后利用“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等，得出關(guān)系式即可得出結(jié)果；

任務(wù)2：根據(jù)題意得：“雅”服裝每天獲利為：x[100-2(%-10)],然后將2種服裝的獲利求和即可得

出結(jié)果；

任務(wù)3：根據(jù)任務(wù)2結(jié)果化為頂點(diǎn)式，然后結(jié)合題意，求解即可.

【解答】解：任務(wù)1：根據(jù)題意安排70名工人加工一批夏季服裝，

:安排x名工人加工“雅”服裝，y名工人加工“風(fēng)”服裝，

加工“正”服裝的有(70-x-y)人，

:“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等，

(70-x-j)Xl=2y,

整理得：y=—+與；

任務(wù)2：根據(jù)題意得：“雅”服裝每天獲利為：x[100-2(%-10)],

：.w=2yX24+(70-x-y)X48+x[100-2(x-10)],

整理得：w=(-16x+1120)+(-32x+2240)+(-2x2+120x),

；.w=-2/+72x+3360(x>10),

任務(wù)3：由任務(wù)2得墳=-2X2+72X+3360=-2(x-18)2+4008,

...當(dāng)x=18時，獲得最大利潤，

1“，7052

y=_/i8+『丁，

?開口向下，

，取x=17或x=19,

當(dāng)％=17時，y=亍，不符合題意；

當(dāng)x=19時，y=-g-=17,符合題意；

70-x-y=34,

綜上：安排17名工人加工“雅”服裝，17名工人加工“風(fēng)”服裝，34名工人加工“正”服裝，即可獲

得最大利潤.

【點(diǎn)評】題目主要考查一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線y=#后得到的新拋物線經(jīng)過4(0,-|)和8(5,0).

(1)求平移后新拋物線的表達(dá)式；

(2)直線x=w(m＞0)與新拋物線交于點(diǎn)尸，與原拋物線交于點(diǎn)0；

①如果PQ小于3,求m的取值范圍；

②記點(diǎn)P在原拋物線上的對應(yīng)點(diǎn)為P,如果四邊形P有一組對邊平行，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

y木

【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換；解一元一次不等式；一元一次不等式的應(yīng)用；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的

坐標(biāo)特征.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力.

【答案】⑴y=1x2

(2)①0＜機(jī)＜1；②P(7,竽).

【分析】⑴設(shè)平移拋物線y=#后得到的新拋物線為y=#+bx+c,把4(0,-。)和2(5,0)

代入，可得答案；

1c1c4K45

(2)①如圖，設(shè)QO，亍乂2),則pQ,/一%—),PQ=%+結(jié)合產(chǎn)。小于3,可得二久+二＜3,

結(jié)合l=加(m＞0),從而可得答案；

②先確定平移方式為：向右平移2個單位，向下平移3個單位，由題意可得：尸在5的右邊，當(dāng)BP'

9R

〃尸。時，可得P（5,等），結(jié)合平移的性質(zhì)可得答案如圖，當(dāng)PQ〃BP時，則NPQT=ZBPT,

QSPTii

過尸作P'S_LQP于S,證明△尸SQS/XB/P,可得一^=一，設(shè)PG，?2),貝UPQ+2,i%2-3),

PSBT33

11

5(%+2,可%2),Q[x+2,可(％+2)2],再建立方程求解即可.

【解答】解：⑴設(shè)平移拋物線y=#后得到的新拋物線為y=#+bx+c,

把4(0,—|)和3(3,0)代入,

(=_54

，解得：，b=—

可得：,一可3'

5

惇+5b+c=0c=—

V33

「?新拋物線為y—^x2—ix—

45

X

3--3-

,333333

???尸。小于3,

45

%+-<3,

33

Ax<l,

*?x=m(加>0),

(2)y=可、2——=—(%—2)2—39

???平移方式為：向右平移2個單位，向下平移3個單位,

??XP'=%B=5,

25

???P（5,號），

由平移的性質(zhì)可得：P（5+2,孕-3）,即P（7,竽）;

如圖，當(dāng)P?！?尸時，則NPQT=/BPT,過P作PS_LQP于S,

AZP'SQ=ZBTP=90°,

叢P'SQS^BTP,

99P'S~BT'

1iii

設(shè)P\Xf可第2),則P(%+2,"J"?-3),S(x+2,可％2),Q[%+2,可(％+2)2],

,|(X+2)2-|X2|X2-3

,■2=%+2-5’

解得：x=l(不符合題意舍去)；

綜上：P(7,.

【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，拋物線的平移，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函

數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.

6.端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場上豬肉粽的進(jìn)價比豆沙粽的進(jìn)價每盒多20元,某商家用5000

元購進(jìn)的豬肉粽盒數(shù)與3000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價52元時，

可售出180盒；每盒售價提高1元時，少售出10盒.

(1)求豬肉粽每盒、豆沙粽每盒的進(jìn)價；

(2)設(shè)豬肉粽每盒售價x元(52WxW70),V表示該商家銷售豬肉粽的利潤(單位：元)，求了關(guān)于x

的函數(shù)表達(dá)式并求出y的最大值.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用.

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】(1)豬肉粽每盒進(jìn)價50元，豆沙粽每盒進(jìn)價30元；

(2)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為＞=-10^+1200%-35000(52WxW70),且最大利潤為1000元.

【分析】(1)設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價。元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(?-20)元，根據(jù)商家用5000元購進(jìn)的豬肉

粽和用3000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同列出方程，解方程即可；

(2)由題意得，當(dāng)x=52時，每天可售出180盒，當(dāng)豬肉粽每盒售價x元(52WxW70)時，每天可售

[180-10(x-52)]盒，列出每天銷售豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價x元的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次

函數(shù)的性質(zhì)及x的取值范圍求利潤的最大值.

【解答】解：(1)設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價。元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(a-20)元，

解得：a=50,

經(jīng)檢驗(yàn)。=50是方程的解，

此時a-20=30,

.?.豬肉粽每盒進(jìn)價50元，豆沙粽每盒進(jìn)價30元；

(2)由題意得，當(dāng)x=52時，每天可售出180盒，

當(dāng)豬肉粽每盒售價x元(52WxW70)時，每天可售[180-10(x-52)]盒，

.\y=(x-50)[180-10(x-52)]=G-50)(-10x+700)=-10x2+1200x-35000=-10(x-60)

2+1000,

"?-10<0,52&W70,

...當(dāng)x=60時，〉取最大值，最大值為1000元，

答：〉關(guān)于x的函數(shù)解析式為>=-10/+1200X-35000(52WxW70),且最大利潤為1000元.

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及分式方程的解法，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出每天銷售豬肉粽的利潤

j與豬肉粽每盒售價x元的函數(shù)關(guān)系式.

7.已知拋物線y=/+6x-1的對稱軸是直線x=設(shè)m是拋物線y=x2+6x-1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，記

(1)求b的值；

V13

(2)比較M與；一的大小.

【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；實(shí)數(shù)大小比較；二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力.

【答案】(1)6=-3；

*3+同

(2)為m=————?

【分析】（1）根據(jù)拋物線y=/+6x-1的對稱軸是直線x=|,可知一?1='.然后即可求得6的值；

（2）方法一：將（1）中6的值代入拋物線，求出拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后分類討論“與手

的大小即可.方法二：根據(jù)加是拋物線1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可以得至1」0=蘇-3加-1,

然后即可得到加2=3加+1,然后先化簡加5,再計算“，最后計算”與手的大小.

【解答】解：（1）?拋物線夕=x2+6x-1的對稱軸是直線x=W

b_3

2=2,

解得6=-3；

(2)由(1)知：b=-3,

???拋物線歹=7-3x-1,

當(dāng)y=0時,0=7-3x-1,

解得x=咨衛(wèi)，

?加是拋物線-1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

,3±713

方法一：直接計算化簡,

3+713.”m5—33(呼產(chǎn)33_3+V13

當(dāng)m=n

——時，M=109109-—2-'

,3+vnV133

=->o,

"22

即心孚;

當(dāng)切=寫招時，M==（1^g-33<0,

等;

由上可得，當(dāng)/=五磬時，孚；當(dāng)加=圭=磬時，MV孚.

方法二：：%是拋物線y=，-3x-1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),

.*.0=m2-3m-1,

加2=3加+1,

，冽5=（冽2）2?加

(3加+1)2?加

(9m2+6m+l)?m

=[9(3m+l)+6m+l]*m

=(27m+9+6m+l)?m

=(33冽+10)?m

=33m2+10m

=33(3m+l)+10m

=99加+33+10冽

=109加+33,

由0=冽2-3m-L可得m=絲

生3+7T3n.7137133+7137133

當(dāng)加=—乙—盯，M乙5~~=m乙~=—乙n---------乙5>°乙，

此時M>孚；

山3-713^713V133-7137133-2713?

當(dāng)m=—乙5—日子，M--乙-廠=m--乙-廠=—乙------乙廠=---乙---<0,

此時MV孚.

【點(diǎn)評】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、實(shí)數(shù)的大小，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出6和加的值.

8.春節(jié)期間，全國各影院上映多部影片，某影院每天運(yùn)營成本為2000元，該影院每天售出的電影票數(shù)量

y（單位：張）與售價x（單位：元/張）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系（30WxW80,且x是整數(shù)），部分?jǐn)?shù)據(jù)

如下表所示：

電影票售價X（元/張）4050

售出電影票數(shù)量y（張）164124

（1）請求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)該影院每天的利潤（利潤=票房收入-運(yùn)營成本）為w（單位：元），求w與x之間的函數(shù)關(guān)系

式；

（3）該影院將電影票售價x定為多少時，每天獲利最大？最大利潤是多少？

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用.

【專題】一次函數(shù)及其應(yīng)用；二次函數(shù)的應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識.

【答案】（l）y=-4x+324（30〈xW80,且x是整數(shù)）；

(2)w=-4X2+324X-2000(30WxW80)；

(3)該影院將電影票售價x定為40元或41元時，每天獲利最大，最大利潤是4560元.

【分析】(1)根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以計算出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)利潤=票房收入-運(yùn)營成本和(1)中的結(jié)果，可以寫出?與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)將(2)中的函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和x的取值范圍，可以求得該影院將

電影票售價x定為多少時，每天獲利最大，最大利潤是多少.

【解答】解：(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=fcc+6,

由表格可得,｛露:工

解得憶感，

即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-4x+324(30WxW80,且