2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語1.2.1命題與量詞課后提升訓(xùn)練含解析新人教B版必修第一冊(cè)

PAGE第一章集合與常用邏輯用語1.2常用邏輯用語1.2.1命題與量詞課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.(多選題)下列命題中為假命題的是()A.?x∈R,x2+1<0 B.?x∈Z,3x+1是整數(shù)C.?x∈R,|x|>3 D.?x∈Q,x2∈Z答案ACD2.下列四個(gè)命題既是存在量詞命題又是真命題的是()A.銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x2≤0C.兩個(gè)無理數(shù)的和必是無理數(shù)D.存在一個(gè)負(fù)數(shù)x,使1x>解析A中銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角是假命題;B中x=0時(shí),x2=0,所以B是存在量詞命題又是真命題;C中因?yàn)?+(-3)=0,所以C是假命題;D中對(duì)于任何一個(gè)負(fù)數(shù)x,都有1x<0,所以D是假命題答案B3.用符號(hào)“?”或“?”表示含有量詞的命題.(1)實(shí)數(shù)的平方大于等于0,符號(hào)表示為;

(2)存在一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使2x+3y+3>0成立,符號(hào)表示為.

答案(1)?x∈R,有x2≥0(2)?x,y∈R,使2x+3y+3>0成立4.(2024連云港高一檢測(cè))若“?x∈R,x2+2x-a<0”是真命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析若“?x∈R,x2+2x-a<0”是真命題,則Δ>0,即4+4a>0,解得a>-1.則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,+∞).答案(-1,+∞)5.推斷下列命題是否為全稱量詞命題或存在量詞命題,并推斷其真假.(1)存在一個(gè)三角形,其內(nèi)角和不等于180°.(2)對(duì)全部的實(shí)數(shù)a,b,方程ax+b=0都有唯一解.(3)存在實(shí)數(shù)x,使得1x2-解(1)是存在量詞命題,是假命題.(2)是全稱量詞命題,是假命題.(3)是存在量詞命題,是假命題.實(shí)力提升練1.下列存在量詞命題是假命題的是()A.存在x∈Q,使2x-x3=0B.存在x∈R,使x2+x+1=0C.有的整數(shù)是偶數(shù)D.有的有理數(shù)沒有倒數(shù)解析對(duì)于隨意的x∈R,x2+x+1=x+122+34>0恒成立,所以存在x∈R,使x2+x+1=0是假命題.答案B2.(多選題)下列命題中是真命題的是()A.?x∈R,2x2-3x+4>0B.?x∈{1,-1,0},2x+1>0C.?x∈N,使x≤xD.?x∈N*,使x為29的約數(shù)解析對(duì)于A,這是全稱量詞命題,由于Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故A為真命題;對(duì)于B,這是全稱量詞命題,由于當(dāng)x=-1時(shí),2x+1>0不成立,故B為假命題;對(duì)于C,這是存在量詞命題,當(dāng)x=0時(shí),有x≤x成立,故C為真命題;對(duì)于D,這是存在量詞命題,當(dāng)x=1時(shí),x為29的約數(shù)成立,所以D為真命題.答案ACD3.(2024濟(jì)南高一月考)下列命題中,既是真命題又是全稱量詞命題的是()A.至少有一個(gè)x∈Z,使得x2<3成立B.對(duì)隨意a,b∈R,都有a2+b2≥2(a+b-1)C.?x∈R,x2D.菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等解析對(duì)于A,因?yàn)?2<3,0∈Z,所以至少有一個(gè)x∈Z,使得x2<3成立,是真命題,不是全稱量詞命題;對(duì)于B,因?yàn)閍2+b2-2(a+b-1)=(a-1)2+(b-1)2≥0,所以B真,又因?yàn)殡S意a,b∈R都使命題成立,故本命題符合題意;對(duì)于C,當(dāng)x≥0,x2=x成立,是真命題,不是全稱量詞命題對(duì)于D,并不是全部的菱形對(duì)角線長(zhǎng)度都相等,是假命題.答案B4.已知p(x):x2+2x-m>0,若p(1)是假命題,p(2)是真命題,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

解析若p(1)是假命題,當(dāng)x=1時(shí),12+2×1-m≤0,解得m≥3;若p(2)是真命題,當(dāng)x=2時(shí),22+2×2-m>0,解得m<8;求交集后實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3,8).答案[3,8)5.(1)已知對(duì)隨意的x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(2)已知存在實(shí)數(shù)x∈{x|1≤x≤3},使m≥x,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)由于對(duì)隨意的x∈{x|1≤x≤3},都有m≥x,故只需m大于或等于x的最大值,即m≥3.實(shí)數(shù)m的取值范圍為[3,+∞).(2)由于存在實(shí)數(shù)x∈{x|1≤x≤3},使m≥x,故只需m大于或等于x的最小值,即m≥1.實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1,+∞).素養(yǎng)培優(yōu)練(2024北京高一月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)Ω為邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)部及其邊界的點(diǎn)構(gòu)成的集合.從Ω中的隨意點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線,垂足分別為MP,NP.全部點(diǎn)MP構(gòu)成的集合為M,M中全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值與最小值之差記為x(Ω);全部點(diǎn)NP構(gòu)成的集合為N,N中全部點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值與最小值之差記為y(Ω).給出以下命題:①x(Ω)的最大值為2;②x(Ω)+y(Ω)的取值范圍是[2,22];③x(Ω)-y(Ω)恒等于0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①② B.②③C.①③ D.①②③解析由題意,依據(jù)正方形的對(duì)稱性,設(shè)正方形的初始位置為正方形OABC,畫出圖形,如下圖所示:正方形的邊長(zhǎng)為1,所以正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2.當(dāng)正方形OABC繞O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),可以發(fā)覺當(dāng)對(duì)角線OB在橫軸時(shí),如圖所示,x(Ω)的最大值為2,故結(jié)論①正確;此時(shí)x(Ω)=2,y(Ω)=2,所以有x(Ω)+y(Ω)=22,當(dāng)正方形OABC繞O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí),當(dāng)正方形有一邊在橫軸時(shí),x(Ω),y(Ω)有最小值為1,即x(Ω)=1,y(Ω)=1,所以x(Ω)+y(Ω)有最小值為2,所以有x(Ω