2025年高考數學一輪復習：函數與方程

第08講函數與方程

目錄

第一部分：基礎知識..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................2

第三部分：高頻考點一遍過...........................................3

高頻考點一：函數零點所在區(qū)間的判斷..............................3

高頻考點二：函數零點個數的判斷..................................3

高頻考點三：根據零點個數求函數解析式中的參數....................4

高頻考點四：比較零點大小關系....................................5

高頻考點五：求零點和............................................5

高頻考點六：根據零點所在區(qū)間求參數..............................6

高頻考點七：二分法求零點........................................7

第四部分：新定義題(解答題).......................................8

第一部分：基礎知識

1、函數的零點

對于一般函數y=/(x),xe。，我們把使/(x)=0成立的實數x叫做函數y=/(%),%e。的零點.注

意函數的零點不是點，是一個數.

2、函數的零點與方程的根之間的聯系

函數y=/(x)的零點就是方程/(%)=0的實數根，也就是函數y=/(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標

即方程/(X)=0有實數根o函數y=f(x)的圖象與X軸有交點o函數y=f(x)有零點.

3、零點存在性定理

如果函數y=/(x)在區(qū)間包上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(a)"S)<0,那么，函數

y=/(x)在區(qū)間(。,加內有零點，即存在cw(a,b),使得/(c)=0,這個c也就是方程/(x)=0的根.

注：上述定理只能判斷出零點存在，不能確定零點個數.

4、二分法

對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且/(?)-f(b)<0的函數y=/(x),通過不斷地把函數/(幻的零點所在的區(qū)間

一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.求方程/(幻=0的

近似解就是求函數/'(幻零點的近似值.

5、高頻考點技巧

①若連續(xù)不斷的函數/(幻是定義域上的單調函數，則/(幻至多有一個零點；

②連續(xù)不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號；

③函數尸(X)=/(X)—g(x)有零點o方程尸(X)=0有實數根o函數X=/(X)與%=g(x)的圖象有交

點;

④函數尸(X)=/(?-a有零點o方程F(x)=0有實數根。函數%=/(X)與%=a的圖象有交點。

ae{y|y=/(x)},其中。為常數.

第二部分：高考真題回顧

1.(2023?天津?統(tǒng)考高考真題)設aeR,函數〃同=加-2%-卜2-6+1|,若"*)恰有兩個零點，則。的取

值范圍為.

2.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)設aeR,對任意實數x,iH/(x)=min{|x|-2,x2-^+3a-5}.若至

少有3個零點，則實數。的取值范圍為.

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：函數零點所在區(qū)間的判斷

典型例題

例題1.（2024上?安徽六安?高一六安一中校考期末）函數/（x）=x+log2》的零點所在區(qū)間為（）

例題2.（2024上?貴州黔東南?高一統(tǒng)考期末）函數〃x）=lgr+5x-ll的零點所在區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（3,4）D.（2,3）

練透核心考點

1.（2024上?安徽安慶?高一統(tǒng)考期末）函數〃x）=ln（x-2）+x-4的零點所在區(qū)間為（）

A.（2,3）B.（3,4）C.（4,5）D.（5,6）

2.（2024上?河北滄州?高一統(tǒng)考期末）函數/（x）=x；_27-l的零點所在的區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

高頻考點二：函數零點個數的判斷

典型例題

例題L（2024下?河南?高一校聯考開學考試）函數/（幻=才改-1的零點個數為（）

A.0B.1C.2D.3

e%+x,x<0

例題2.（2024下?河北保定?高一河北安國中學校聯考開學考試）函數/（無）=的零點個數

x2—3x+2,x>0

為（）

A.1B.2C.3D.4

例題3.（2024?全國?高一專題練習）己知函數y=/（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的xeR,都有

/（x）=/（6-x）,當xc[0,3]時，/（x）=|log2（x+l）-l|,則函數/（力=〃力+1則一1的零點個數是（）

A.6B.8C.10D.12

練透核心考點

1.（2024上?全國?高三統(tǒng)考競賽）方程log.（x+2024）=2的實數解的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2024下?重慶?高三重慶八中?？奸_學考試）函數/（%）=3+X2-2的零點有（）

A.4個B.2個C.1個D.0個

高頻考點三：根據零點個數求函數解析式中的參數

典型例題

例題L（2024上?山東日照?高一統(tǒng)考期末）已知函數若函數所有零點

的乘積為1,則實數。的取值范圍為（）

A.（2,3）B,（0,2]（3,”）C.（3,+?））D.[1,2]-（3,內）

（1）

例題2.（2024上?浙江嘉興?高一統(tǒng)考期末）若函數=~（4>0）有兩個零點，則

實數。的取值范圍是.

練透核心考點

1.（2024上?北京大興?高一統(tǒng)考期末）已知函數〃x）=x+log2X-4的零點為X1,

g（x）=x+log“（x-l）—5（a>l）的零點為巧，若馬-%>1,則實數。的取值范圍是（）

A.（1,V2）B.（V2,2）C.（1,2）D.（2,+8）

2.（2024上?上海?高二曹楊二中校考期末）已知6eR,若關于x的方程5三=%+人有兩個不相等的實

根，則b的取值范圍是.

高頻考點四：比較零點大小關系

典型例題

例題1.（2024下?河南?高一信陽高中校聯考開學考試）已知函數

/（x）=2*+3x+l,g（x）=log2x+3x+l,/z（x）=x3+3x+l的零點分別是a,6,c,則dc的大小關系為（）

A.a>c>bB.b>c>a

C.b>a>cD.a>b>c

例題2.（多選）（2024上?云南德宏?高三統(tǒng)考期末）已知曲線/（耳=1+-g（尤）=lnx+x與直線y=2交

點的橫坐標分別為巧、巧，則（）

A.石+入2=2B.x2-xx>1

%1e*Inx

C.玉ei=%InwD.—=----?

國x2

練透核心考點

1.（2024上?湖南株洲?高一統(tǒng)考期末）.已知函數/（x）=2"+x,g（x）=log2x+x,h（x）=x3+x的零點分別

為a,b,c,則6,c的大小關系為（）

A.c<a<bB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

2.（2024上?廣東?高三廣東實驗中學校聯考期末）若（1-c）e〃=（l-c）l防=1,則。,仇。的大小關系為（）

A.c<a<bB.c<a<b

C.c<b<aD.b<a<c

高頻考點五：求零點和

典型例題

例題1.（2024?廣東?珠海市第一中學校聯考模擬預測）已知定義在R上的函數/（元）滿足：

“尤且/（%+2）=/⑺，g。）=圣!,則方程/⑺=g（無）在區(qū)間［-5』上的所有實根

12—x,xG1,0）%+2

之和為（）

A.-8B.-7C.—6D.0

例題2.（2024下?湖南長沙?高二長沙一中?？奸_學考試）己知函數尤）=sin（2口）+」二，則直線＞=尤-2

%—2

與“X）的圖象的所有交點的橫坐標之和為.

練透核心考點

1.（2024上?湖南衡陽?高一統(tǒng)考期末）定義在R上的奇函數“X）滿足〃2-同=/（力，且在［0,1）上單調

遞減，若方程/（%）=-1在［0,1）上有實根，則方程/（%）=0.7在區(qū)間［-M1］上的所有實根之和為（）

A.30B.14C.12D.6

|x+l|,x<2

2.（2024上?寧夏石嘴山?高一石嘴山市第三中學?？计谥校┮阎瘮?（尤）=若存在

x2-4x+l,x>2

玉＜%2＜兀3，使得/（%）=/（%2）=/（X3），則西+9+退的取值可以是（）

A.石B.3C.V5D.病

高頻考點六：根據零點所在區(qū)間求參數

典型例題

例題1.（2024上?湖南株洲?高一株洲二中校考期末）若方程（x-l）lg（x+l）=l的實根在區(qū)間小水+1）（讓Z）

上，貝！］后=（）

A.-1B.2C.-1或2D.1

例題2.（2024?全國?高二假期作業(yè)）若二次函數〃耳=加+（1-23X-"1在區(qū)間［2,3］上存在零點，貝|

二+〃的最小值為.

練透核心考點

1.（2024?全國?高三專題練習）函數/（力=1。82彳+/+加在區(qū)間（2,4）上存在零點，則實數小的取值范圍是

（）

A.（-oo,-18）B.（5,+oo）

C.(5,18)D.（-18,-5）

2.（2024上?安徽亳州?高一統(tǒng)考期末）若函數，（x）=2「2+a在區(qū)間（1,2）上存在零點，則常數a的取值范圍

X

為.

高頻考點七：二分法求零點

典型例題

例題1.（2024上?吉林延邊?高一統(tǒng)考期末）下列函數中，不能用二分法求零點的是（）

A.f（%）=2xB./（X）=%2+2A/2X+2

C.f—x-\---3D.f（%）=Inx+3

例題2.（多選）（2024上?浙江溫州?高一統(tǒng)考期末）設〃（x）=2*+log2（x+l）-2,某同學用二分法求方程

力（力=0的近似解（精確度為0.5）,列出了對應值表如下：

X-0.50.1250.43750.752

h^x)-1.73-0.84-0.420.032.69

依據此表格中的數據，方程的近似解與不可能為（）

A.%=-0.125B.x0=0.375C.%=0.525D.%=1.5

例題3.（2024上,湖南株洲?高一株洲二中校考期末）用二分法求函數在區(qū)間［1,3］的零點，若要求精確度＜0.01,

則至少進行次二分.

練透核心考點

1.（2024上?湖南株洲?高一?？计谀┮阎瘮怠▁）=V-3%-1,現用二分法求函數在（1,3）內的零

點的近似值，則使用兩次二分法后，零點所在區(qū)間為（）

2.（2024?全國?高一專題練習）已知函數/（力=111*+2X-6在區(qū)間（2,3）內存在一個零點，用二分法求方程

近似解時，至少需要求（）次中點值可以求得近似解（精確度為0.01）.

A.5B.6C.7D.8

3.（2024上?上海?高一上海市育才中學校考期末）若