2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：空間向量和立體幾何14（含解析）

空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專(zhuān)題十四

知識(shí)點(diǎn)一證明線(xiàn)面平行，面面角的向量求法

典例1、如圖，是圓。的直徑，點(diǎn)C是圓。上異于A(yíng),3的點(diǎn)，直線(xiàn)PC,平面ABC,E,F

分別是上4,PC的中點(diǎn).

(1)記平面3EF與平面A3C的交線(xiàn)為/,求證：直線(xiàn)///平面PAC;

(2)若尸C=Afi=2,點(diǎn)C是的中點(diǎn)，求二面角ET-C的正弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，三棱柱A3C-4gG中側(cè)棱與底面垂直，且AB=AC=2,M=4,AB1AC,

M,N,

P,。分別為CG,BC,4耳，8c的中點(diǎn).

(1)求證：PN〃面ACGA;

(2)求平面/W與平面ACC0所成銳二面角的余弦值.

典例2、如圖所示的幾何體中，AABE,ABCE,A/X芯都是等腰直角三角形，

AB=AE=DE=DC,且平面ABE工平面3CE,平面。CE1■平面3CE.

(1)求證：AD〃平面3CE；

(2)求平面BAD與平面EAD夾角的余弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐A-3CDE中，ACY^BCDE,AD±DE,ABCE為等邊三角

形，ZECD=60°.

(1)求證：平面ACD,且3E〃平面ACD.

(2)已知AC=3,BC=2,求平面ADE與平面ABE所成銳二面角的余弦值.

典例3、如圖，A4SC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，四邊形ACDE為菱形，平面ACDE，平面

ABC,ZACD=60°,DF//BC,DF=1.

(1)求證：E/〃平面ABC；

(2)求平面ABC與平面所成銳二面角的余弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，直四棱柱力四-484〃的底面是菱形，［4=4,AB=2,ZBAD=QO°,E,

M,N分別是BB、,4。的中點(diǎn).

(1)證明：的V〃平面6龍'；(2)求二面角力-MITV的正弦值.

知識(shí)點(diǎn)二證明線(xiàn)面垂直，線(xiàn)面垂直證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，線(xiàn)面角的向量求法

典例4、如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，叢，平面ABCD,PA=2AB=4,

點(diǎn)M是Bl的中點(diǎn).

(1)求證：BDVCM-(2)求直線(xiàn)PC與平面所成角的正弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，在直角APQ4中，POVOA,P/20A,將APQ4繞邊如旋轉(zhuǎn)到APOB的位

置，使ZAC?=90。，得到圓錐的一部分，點(diǎn)。為48的中點(diǎn).

(1)求證：PCLAB；(2)設(shè)直線(xiàn)刀。與平面以8所成的角為夕，求sin°.

A

典例5、在四棱錐尸-ABCD中，底面/皿為直角梯形，AB//CD,AB1BC,

PD=BC=CD=2AB=2AP=2,￡為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)夕在平面ABCD內(nèi)的投影廠(chǎng)恰好

在直線(xiàn)AE上.

(1)證明：CD1AP.(2)求直線(xiàn)尸8與平面PAD所成角的正弦值.

——?3―.

隨堂練習(xí)：如圖，在A(yíng)MC中，AB=3,AC=2BC=4,。為AC的中點(diǎn)，通=2萬(wàn)，BP^-PC.

現(xiàn)將VADE沿DE翻折至AADE,得四棱錐.A-BCDE

(1)證明：AP1DE;(2)若4￥=2四，求直線(xiàn)AP與平面BCD所成角的亞叨值

典例6、如圖，在七面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形,其中ZBAD=60。，ABCE,ACEF,

△CE4是等邊三角形，且

(1)證明：ABYEF-,(2)求直線(xiàn)AF與平面CD尸所成角的正弦值.

隨堂練習(xí)：如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAL平面ABCD,AD/IBC,ADLCD,且

AD=CD=2-j2,BC=4y[2,PA=2,點(diǎn)M在尸。上.

(1)求證：ABLPC-(2)若二面角AC-。的大小為45。，求8M與平面PAC所

成角的正弦值.

B

空間向量和立體幾何高考復(fù)習(xí)專(zhuān)題十四答案

典例1、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）顯

3

解：（1）因?yàn)橥呤謩e是尸APC的中點(diǎn)所以￡F〃AC,

又因?yàn)锳Cu平面ABC,EfV平面ABC所以跖〃平面ABC

又EFu平面3EF,平面跳下與平面A3c的交線(xiàn)為/,所以EF//1,

而/<Z平面PAC,￡Fu平面PAC,所以/〃平面PAC

（2）如圖，因?yàn)锳3是圓。的直徑，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，AB=2

所以G4_LCB,CA=CB=y/2

因?yàn)橹本€(xiàn)PC，平面ABC所以PCJ_C4,PC，C3

所以以C為原點(diǎn)，直線(xiàn)04,CB,CP分別為x軸，>軸，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系C-qz,則"0,0,1）,B（0,V2,0）,E（弓,0,1）

nun__Q

所以3萬(wàn)=（0,—0,1）,而=（三,一應(yīng),1）

\BF-n=0[_0>+z=O

設(shè)平面瓦5的法向量心a,y,z）,則行,即四廠(chǎng)

BEn=0—x-V2y+z=0

令y=i,貝I尤=o,z=0得5=（o,1,0）

因?yàn)橹本€(xiàn)PC，平面ABC所以。=（0,0,1）為平面ABC的法向量

所以M現(xiàn)日>=息9=噂=乎所以二面角—LC的正弦值為半

|CP||/z|,333

隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）”1

解：（1）解法一：以點(diǎn)力為坐標(biāo)原點(diǎn)，/員］。、A4所在直線(xiàn)分別為或入z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，

則4（。,。，4）,5（2,0,0）,M（0,2,2）,2V（l,l,0）,P（l,0,4）,

取向量題=（2,0,0）為平面ACGA的一個(gè)法向量，麗=（O,1T）,

/.?V-AB=0x2+lx0+（-4）x0=0,/.PNLAB.

又：PN<Z平面ACqA,/.PN〃平面ACqA.

解法二：'：P,。分別為AM,4G的中點(diǎn)，

/.PD//A.C.,且AG平面ACGA,90平面46：￡4,尸。//平面ACGA,

'：D,N分別為4G,勿的中點(diǎn)，/.DN//CCt,且CGu平面DNU平

面ACGA,

D/V〃平面ACGA,又PDcDN=D,平面PDN〃平面ACQA,

又：PNu平面PDN,二PN〃平面ACG4.

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)AA所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4（0,0,4）,5（2,0,0）,四（0,2,2）,N（l,l,0）,P（l,0,4）..?.麗=（0,1,Y）,

PM=（-1,2-2）,

取向量方=（2,0,0）為平面ACGA的一個(gè)法向量,

n?PM=0—x+2y—2z—0

設(shè)平面/W的法向量為》=（x,y,z）,貝卜——,即Qrl

nPN=Qy—4z=0

令z=l,則％=6,y=4,則〃=（6,4,1）,

―ABn2x6+0x4+0xl6453

cos<AB,n>=-----=---「=—=-----

AB-n2762+42+1253

由圖示可知平面/W與平面ACC0的夾角為銳角，

???平面/W與平面ACG4所成銳二面角的余弦值為5畫(huà).

53

典例2、答案：(1)證明見(jiàn)解析(2)|

解：(1)證明：分別取防,EC的中點(diǎn)連接

^AB=AE=DE^DC=1,則EB=EC=應(yīng),v=AE,BO=OE,AOLBE,

又平面平面BCE,平面ABEc平面3CE=3E,AOu平面ABE,，AO_L平

面BCE,

同理可證DHL平面BCE,:.AO//DH,

又因?yàn)锳O=￡?H=①,所以四邊形AOHD是平行四邊形，

2

又QADU平面3CE,0"u平面BCE,二AD〃平面BCE；

(2)如圖，取3c的中點(diǎn)為尸，則。尸，BE,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。氏。尸，。4所在的直線(xiàn)分別為x軸，＞軸，z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，

則仙,。,圖,8佟。,0同一字日多E「￥，o,oj,

則麗=f,o,用初="冬野則小產(chǎn),0,臼不八,一亭一

'一旦+巴=0

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為法=(x,%z),則｛?/廠(chǎng)\-x+z=0

-Sgz=Q1-2%+y+z=0

[2-2

令x=l,得平面ABD的一個(gè)法向量為加=(1,1,1)

>/2V2n

-------a-------c=0

22a+c=O

設(shè)平面ADE1的一個(gè)法向量為萬(wàn)=（a,4c）,則

V2,V2b+c=0

-------b-------c=0

22

令。=1,得平面ADE的一個(gè)法向量為為=（1,1,-1）,

設(shè)平面BAD與平面E4D夾角為6,則|cos6|=|利五|=，

所以平面BAD與平面EAD夾角的余弦值為g.

隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）叵

解：⑴ACBCDE,DEu平面3coM:.AC±DE,

JiAD±DE,ACC\AD=A,AC,ADu平面AC。，.?.DE_L平面ACQ；

QV3CE為等邊三角形，：./BEC=60。，又NECD=60。，：.BE//CD,

???CDu平面ACD,防0平面AC。，〃平面ACD.

?「DE，平面AC。，CDu平面AC。，:.DELCD；

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，反，讀為x，y軸正方向，作z軸//AC,可建立如圖所示空間

直角坐標(biāo)系，

則0(0,0,0),A(l,0,3),B(2,A/3,0),E僅，瘋0),

.-.04=(1,0,3),DE=(0,V3,0),AB=(1,73,-3),BE=(-2,0,0),

設(shè)平面ADE的法向量?=（尤］,必,zj,

DA?后=&+3Z]=0

,令4=1,則占=-3,%=0=(-3,0,1)；

DE-n=6y、=0

設(shè)平面ME的法向量機(jī)=（無(wú)2,%，），

普/二+限.34=。，令a,則y0,%地，.?蘇=（。，可卜

則

|_,臼_1

cos<m,n>

?2^/1320，

，平面3與平面神所成銳二面角的余弦值為萼

典例3、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）叵

13

解：（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛C/汨為菱形，則DE//AC,

?.?DEU平面ABC,ACu平面ABC,.1DE〃平面ABC,

-,-DF//BC,平面ABC,BCu平面ABC,二。尸〃平面ABC,

■,DE^DF=D,所以，平面。砂〃平面ABC,

因?yàn)镋Fu平面DEF,跖〃平面ABC.

（2）取AC的中點(diǎn)。，連接08、0D,

因?yàn)樗倪呅蜛CDE為菱形，貝l]AC=CD,因?yàn)閆ACD=60。，貝IJAACD為等邊三

角形,

因?yàn)?。為AC的中點(diǎn)，則0DLAC,同理可得O8LAC,

因?yàn)槠矫鍭CDEL平面ABC,平面ACDEC平面ABC=AC,ODu平面ACDE,

平面ABC,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、0C、0。所在直線(xiàn)分別為八八z

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A（0,—1,0）、網(wǎng)后0,0）、C（O,1,O）、,0,0,a￡（0,一2,碼、F

[22

設(shè)平面3EF的向量為加=（x,y,z）,EF=,BE=（-6,-2,6）,

,取x=3,可得〃?=（3,—白,1）,

m-BE=-y/3x-2y+A/3Z=0

—?-m

易知平面ABC的一個(gè)法向量為;?-（0,0,1）,則cos<m,〃>=同

因此，平面ABC與平面8EF所成銳二面角的余弦值為巫.

13

隨堂練習(xí)：答案：（1）見(jiàn)解析；（2）粵.

解：（1）連接ME,B,C

■：M,E分別為四，3C中點(diǎn)二腔為M8C的中位線(xiàn)且

ME=^BXC

又N為4。中點(diǎn)，且4。少。:.ND//B\C且ND=3B、C

：.ME/JND.?.四邊形雁VDE為平行四邊形

:.MN//DE,又MVU平面G〃E,DEu平面G^E,肱V//平面G。'

(2)設(shè)ACnBD=O,4cle42=0]由直四棱柱性質(zhì)可知：00J平面ABCD

???四邊形ABCD為菱形:.AC±BD

則以。為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

則：A(V3,0,0),M(0,l,2),A(AO,4),D(0,-1,0)N一；,2

[22J

取A3中點(diǎn)尸，連接Db,則

???四邊形?18。。為菱形且/胡。=60。.?.ABAD為等邊三角形:.DFLAB

又A4J平面ABCO,。戶(hù)u平面ABC。DF1

：.DF±平面ABB^,即DF2平面AMA,

——?(石3、

二而為平面AMA的一個(gè)法向量，且彳，5，°

設(shè)平面MAN的法向量二=(x,y,z),又麗=(#T2),而=冬-|，0

n-MA]=>/3x-y+2z=0

__百3,令x=耶),貝！Jy=i,z=—l/.為=1)

.MN=-x--y=0'7

In22

.DFn_3_J15―.J10

..cos<DF,n>—j-[——―7=------?i'正、_Y

\DF\.\n\V155?-csmn<L>?,n>-^-

，二面角A-MVN的正弦值為：粵

典例4、答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）B

6

解：（1）如圖，連接AC,?.?四邊形ABCD是正方形，??.AC」SD.

又PA_L平面A3CD,應(yīng)）u平面AfiCD,PA1BD,

：PA,ACu平面PAC,PA（｝AC=A,.,.8。1平面PAC,

又CMu平面PAC,/.BDLCM

（2）易知A3,AD,AP兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系A(chǔ)-孫z.

'：PA=2AB=4,.?.?（0,0,0）,尸（0,0,4）,加（0,0,2）,C（2,2,0）,￡>（0,2,0）,

/.MC=（2,2,-2）,MD=（0,2,-2）,PC=（2,2,-4）.

n-MC=2x+2y-2z=0

設(shè)平面MCD的法向量為3=（x,y,z）則

n?MD=2y-2z=0

1_,.rr

令y=i,得設(shè)直線(xiàn)PC與平面MCD所成角為e,由圖可知o<e<5,

則即時(shí)岫碼二譚二昌治二（一4『弋

即直線(xiàn)PC與平面2所成角的正弦值為今

⑵2"⑹

隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析

15

解：（1）證明：由題意知：尸。，。4,尸。，。3,OAnOC=0.?.收，平面/如,

又?.?ABu平面/眼所以RR那.又點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，所以。四,

POn(9C=0,所以加，平面切C,又TPCu平面如C,所以AdB.

（2）以。為原點(diǎn)，OA,0B,而的方向分別作為X,乃2軸的正方向

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)。4=2,則4（2,0,0）,5（0,2,0）,尸（0,0,4）,

所以荏=(-2,2,0),A?=(-2,0,4),PC=(72,72,-4)

n?AB=-2a+2Z?=0,n

設(shè)平面為方的法向量為為=（a,6,c）,則＜一取c=l,n貝r普=6=2

為?AP=—2a+4c=0,

可得平面⑸8的一個(gè)法向量為元=（2,2,1）,

典例5、答案：⑴證明見(jiàn)解析⑵中

解：（1）因?yàn)锳B//CD,AB1BC,￡為。的中點(diǎn)，所以AB=CE,A3//CE,

所以四邊形ABCE為長(zhǎng)方形，CDLAE,

因?yàn)槭矫鍭BC。，CDu平面ABCD,所以CDLPb,

又因?yàn)镻FcAE=尸，所以CD_L平面上4F,APu平面上4F,所以CD_LAP.

（2）連接PE,由（1）CD_L平面八IF,PEu平面E4F,所以GDLPE,

因?yàn)镻D=2,DE=1,^^XPE2=PD2-DE2=4-1=3,AE2=4

所以,gpAPYPE,APPE=AEPF,PF=APPE=8,

AE2

所以A尸2=4尸2-「尸2=：,gpAF=1,

過(guò)尸做F"_LBC交3C于"，分別以切、FE、FP所在的直線(xiàn)為%、V、z軸的正方

建立空間直角坐標(biāo)系，8-1，1°，用，4-弓。

Q=[o,；當(dāng)，AD=(-1,2,0),=-V

I22Jk22J

設(shè)平面PAD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

所以|片。即:二乎]…則＞=-*所以*g

設(shè)直線(xiàn)必與平面BI〃所成角的為火所以

sinO

所以直線(xiàn)期與平面⑸〃所成角的正弦值為手.

隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見(jiàn)解析；（2）7

解：（1）設(shè)廠(chǎng)為的中點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，BE=2EA,則AD=AE=2,

故AFLDE,則AELOE,又加=了正，則.=

4PCAC4

所以AP是/BAC的角平分線(xiàn)，且AF,尸三點(diǎn)共線(xiàn).

cDEJ_FP_

由，且嚴(yán)仆尸，得面，則；

[DE1.,AFi4/=DEIA'"DELA'P

（2）法一：連結(jié)A4，由。El平面A'PP得，平面ABC1平面A/P,交線(xiàn)為"，

所以A在面A3C上的射影點(diǎn)H在A(yíng)P上，ZA'PH為直線(xiàn)AP與平面BCD所成

角.

Q2_|_42_927

在A(yíng)ABC中，AB=4,BC=2,AC=3,由余弦定理得cos/BAC=-------------

2x3x48

222

4+2—311I7-f/vc

cosZACB=-------------,故。E=J22+22—2x2x2x—=1,AF=AF=—9

2x4x216V82

又AA，=2石，在/得，由余弦定理得cosNA，AF=竽，貝|sin/A,AP=亭,

所以AH=sinZA'AP=#5

由（1）得叱為角平分線(xiàn)，

在△ACP中，CP=|,由余弦定理得AP=M^,則「〃=紗1,

7735

所以tan/4PH=4乜=7,所以直線(xiàn)AP與平面BCD所成角的正切值為7.

PH

法二：如圖，以尸為原點(diǎn)，F(xiàn)E,"為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系.

/(0,0,0),E(^,o,o],D^,0,0A0,「3gQ

2，°)B一，，u

144J

%當(dāng)。）小，等

設(shè)A'(O,a,切，由AF=A尸=巫，44'=2百

2

平面BCD法向量為7=（0,0,1）,設(shè)直線(xiàn)AP與平面BCD所成角為。，所以

2>/15

\PA-n\、_7應(yīng)

sin。=cos6-,貝Utan夕=7,

\~PA'\-\n\2向「1010

-------?1

7

所以直線(xiàn)AP與平面BCD所成角的正切值為7.

典例6、答案：⑴證明見(jiàn)解析；⑵雪.

解：（1）取CD中點(diǎn)G,連接3G,EG,FG,所以CG=gcD=,

由余弦定理得：BG2=：CG2+CB2-2CG-CBcos60°^—CB,得BGLCD,

2

AB1BG,又ABLBE,且86口3￡=3,則平面3EG,

故ABLEG,又AB//CD,所以CD,平面3EG,

則CO1.EG,由等邊三角形CD產(chǎn)得COLFU,^,EG^FG=G,

則CD,平面EFG,故CD，￡F,又AB//CD,因此AB,防.

(2)連接3D,過(guò)點(diǎn)尸作切，平面ABCD于點(diǎn)a,連接AH,GH,

由AB1平面BEG得平面BEG，平面ABCD,則點(diǎn)E在平面ABCD內(nèi)的射影位于直

線(xiàn)3G上，

由等邊三角形BCE得點(diǎn)E在平面ABCD內(nèi)的射影位于BC的中垂線(xiàn)上，

因此，由幾何關(guān)系可確定點(diǎn)E在平面ABCD內(nèi)的射影位于△BCD的重心，

又由(1)知平面ERG,CD,平面BEG,則B,E,F,G,“五點(diǎn)共面，

如圖，以點(diǎn)G為原點(diǎn)，以射線(xiàn)G3,GC為x,＞軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)

系G-xyz,

不妨設(shè)AB=2,則4（3,-2,0）,C（0,l,0）,D（0-1,0）,

BGAEG2-BE?1

在A(yíng)BEG和AEFG中,由余弦定理得cosZBGE=

2BGEG~3

EG2+FG2-EF21

cosZEGF=

2EG-FG3

77百八4⑹

則cos/3G尸二——,解得尸------，u,

9------9

因此衣=［-竽2警］,而，-/,0,坪］,比=(。,2,0),

7734A/6