專題05 平行線的判定與性質(zhì) 帶解析

2022-2023學(xué)年北師大七年級數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題05平行線的判定與性質(zhì)一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022?鳳翔縣一模）如圖，如果∠1＝∠3，∠2＝50°，那么∠4的度數(shù)為（）A．50° B．100° C．120° D．130°解：如圖，∵∠1＝∠3，∴a∥b，∴∠5＝∠2＝50°，∴∠4＝180°﹣50°＝130°．故選：D．2．（2分）（2022春?重慶期末）如圖，過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是（）A．同位角相等，兩直線平行 B．兩直線平行，同位角相等 C．經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行 D．如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行解：過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線的方法叫“推平行線”法，其依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行．故選：A．3．（2分）（2022?長春模擬）將一個含30°角的直角三角板ABC如圖所示放置，∠B＝90°，點(diǎn)E為AC延長線上的點(diǎn)，若射線CD與直角邊BC垂直，則∠DCE的度數(shù)是（）A．10° B．20° C．30° D．50°解：∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠BCD，∴CD∥AB，∴∠DCE＝∠A，∵∠A＝30°，∴∠DCE＝30°，故選：C．4．（2分）（2021春?鎮(zhèn)海區(qū)期中）如圖，已知AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°，下列結(jié)論正確的有（）①AB∥CD；②∠ABE+∠CDF＝180°；③AC∥BD；④若∠ACD＝2∠E，則∠CAB＝2∠F．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：∵AP平分∠BAC，∴∠1＝∠PAC＝∠BAC，∵CP平分∠ACD，∴∠2＝∠PCA＝∠DCA，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠BAC+∠DCA＝180°，∴AB∥CD，故①對；∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∴∠ABE+∠CDF＝180°，故②對；若∠ACD＝2∠E，∵∠ACD＝2∠PCA，∴∠PCA＝∠E，∴AC∥BD，∴∠F＝∠CAP，∵∠CAB＝2∠F，故④對；故選：C．5．（2分）（2021春?夏邑縣期末）如圖直線a，b分別被直線c，d所截，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝108°，則∠4的度數(shù)等于（）A．72° B．80° C．82° D．108°解：如圖，∵∠1+∠2＝180°，∠5+∠2＝180°，∴∠1＝∠5，∴a∥b，∴∠4＝∠6，∵∠3＝108°，∴∠6＝180°﹣108°＝72°，∴∠4＝72°．故選：A．6．（2分）（2021春?新?lián)釁^(qū)期末）下列條件：①∠AEC＝∠C，②∠C＝∠BFD，③∠BEC+∠C＝180°，④∠CEF＝∠BFE，其中能判斷AB∥CD的是（）A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③解：①由“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”知，根據(jù)∠AEC＝∠C能判斷AB∥CD；②由“同位角相等，兩直線平行”知，根據(jù)∠C＝∠BFD能判斷BF∥EC；③由“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”知，根據(jù)∠BEC+∠C＝180°能判斷AB∥CD；④由“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”知，根據(jù)∠CEF＝∠BFE能判斷BF∥EC．故選：D．7．（2分）（2020秋?奉化區(qū)校級期末）如圖，∠1＝∠2，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAB＝2：1，則∠D的度數(shù)是（）A．120° B．130° C．140° D．150°解：∵AC平分∠DAB，∴∠1＝∠CAB，∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠2，∴DC∥AB，∴∠D+∠DAB＝180°，又∵∠D：∠DAB＝2：1，∴∠D＝180°×＝120°，故選：A．8．（2分）（2021春?桂平市期末）如圖，AB∥CD，AC平分∠BAD，∠B＝∠CDA，點(diǎn)E在AD的延長線上，連接EC，∠B＝2∠CED，下列結(jié)論；①BC∥AD；②CA平分∠BCD；③AC⊥EC；④∠ECD＝∠CED．其中正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，∵AC平分∠BAD，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠B＝∠CDA，∴∠1＝∠4，∴∠3＝∠4，∴BC∥AD；∴①正確；∴CA平分∠BCD，∴②正確；∵∠B＝2∠CED，∴∠CDA＝2∠CED，∵∠CDA＝∠DCE+∠CED，∴∠ECD＝∠CED，∴④正確；∵BC∥AD，∴∠BCE+∠AEC＝180°，∴∠1+∠4+∠DCE+∠CED＝180°，∴∠1+∠DCE＝90°，∴∠ACE＝90°，∴AC⊥EC，∴③正確．故其中正確的有①②③④，4個．故選：D．9．（2分）（2022春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級期末）如圖，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分別是BA，CD延長線上的點(diǎn)，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠1＝∠DEC，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC+∠2＝90°，∴∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，故①正確；∴∠ADN＝∠BAD，∵∠ADC+∠ADN＝180°，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②錯誤；∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，∴∠2＝∠4，∴ED平分∠ADC，故③正確；∵∠1+∠2＝90°，∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，∴∠EAF+∠EDF＝×270°＝135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4＝90°，∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正確．綜上所述正確的有：①③④，共3個．故選：C．10．（2分）（2022春?廣饒縣期末）小穎學(xué)習(xí)了平行線的相關(guān)知識后，利用如圖所示的方法，折出了“過已知直線AB外一點(diǎn)P和已知直線AB平行的直線MN”，下列關(guān)于MN∥AB的依據(jù)描述正確的是（）A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行 C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．以上選項(xiàng)均正確解：由題圖（2）的操作可知PE⊥AB，所以∠PEA＝90°，由題圖（3）的操作可知MN⊥PE，所以∠MPE＝∠NPE＝90°，所以∠MPE＝∠NPE＝∠AEP＝∠BEP＝90°，所以可依據(jù)同位角相等，兩直線平行或內(nèi)錯角相等，兩直線平行，或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行判定AB∥MN，故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022春?南城縣期中）如圖，直線MN分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EG平分∠BEF，交直線CD于點(diǎn)G，若∠MFD＝∠BEF＝56°，射線GP⊥EG于點(diǎn)G，則∠PGF＝62°或118°．解：如圖，①當(dāng)射線GP⊥EG于點(diǎn)G時，∠PGE＝90°，∵∠MFD＝∠BEF＝56°，∴CD∥AB，∴∠GEB＝∠FGE，∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝∠GEF＝∠BEF＝28°，∴∠FGE＝28°，∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣28°＝62°；②當(dāng)射線GP′⊥EG于點(diǎn)G時，∠P′GE＝90°，同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+28°＝118°．則∠PGF的度數(shù)為62°或118°．故答案為：62°或118°．12．（2分）（2022春?江都區(qū)期中）如圖，△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝70°，點(diǎn)D在邊OA上，將△COD繞點(diǎn)O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)CD∥AB時，旋轉(zhuǎn)時間t＝11或29秒．解：①兩三角形在點(diǎn)O的同側(cè)時，如圖1，設(shè)CD與OB相交于點(diǎn)E，∵AB∥CD，∴∠CEO＝∠B＝40°，∵∠C＝70°，∠COD＝90°，∴∠D＝90°﹣70°＝20°，∴∠DOE＝∠CEO﹣∠D＝40°﹣20°＝20°，∴旋轉(zhuǎn)角∠AOD＝∠AOB+∠DOE＝90°+20°＝110°，∵每秒旋轉(zhuǎn)10°，∴時間為110°÷10°＝11秒；②兩三角形在點(diǎn)O的異側(cè)時，如圖2，延長BO與CD相交于點(diǎn)E，∵AB∥CD，∴∠CEO＝∠B＝40°，∵∠C＝70°，∠COD＝90°，∴∠D＝90°﹣70°＝20°，∴∠DOE＝∠CEO﹣∠D＝40°﹣20°＝20°，∴旋轉(zhuǎn)角為270°+20°＝290°，∵每秒旋轉(zhuǎn)10°，∴時間為290°÷10°＝29秒；綜上所述，在第11或29秒時，邊CD恰好與邊AB平行．故答案為：11或29．13．（2分）（2021秋?船山區(qū)期末）如圖，已知，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD．有下列結(jié)論：①AD∥BC；②∠ECD＝∠DAC；③∠CEF＝∠CFE；④∠ACE＝∠ABC．其中正確的結(jié)論有①②④（填序號）．解：∵∠BAC＝∠ACD＝90°，且∠ABC＝∠ADC，∴AB∥CD且∠ACB＝∠CAD，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴結(jié)論①正確；∵∠ACE+∠ECD＝∠ADC+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠ADC，而∠ADC＝∠ABC，∴∠ACE＝∠ADC＝∠ABC，∴結(jié)論④正確；∵∠ECD+∠ADC＝∠DAC+∠ADC＝90°，∴∠ECD＝∠DAC，∴結(jié)論②正確；∵∠CEF+∠CBF＝90°，∠AFB+∠ABF＝90°，且∠ABF＝∠CBF，∠AFB＝∠CFE，∴∠CEF＝∠AFB＝∠CFE，由于無法證明∠ABF＝∠CBF結(jié)論③錯誤．故答案為：①②④．14．（2分）（2021秋?雁峰區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC，內(nèi)角∠ABC，外角∠ACF，以下結(jié)論：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正確的結(jié)論有①②③④．解：①∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正確；②∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，故②正確；③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°，故③正確；④∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ADB＝∠DBC，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠DCF＝90∠ABC＝∠DBC+∠BDC，∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，∴∠DBC＝45°﹣∠BDC，故④正確；故答案是：①②③④．15．（2分）（2021春?朝陽區(qū)校級月考）在平面內(nèi)，當(dāng)兩條平行線l1，l2被第三條直線m所截時，共得到4組同位角；當(dāng)三條平行線l1，l2，l3被第四條直線m所截時，共得到12組同位角；當(dāng)四條平行線l1，l2，l3，l4被第五條直線m所截時，共得到24組同位角；當(dāng)n條平行線l1，l2，…，ln被第n+1條直線m所截時，共得到2n（n﹣1）組同位角．解：∵兩條平行線被第三條直線所截，同位角有2×2×（2﹣1）＝4，三條平行線被第四條直線所截，同位角有2×3×（3﹣1）＝12，∴當(dāng)四條平行線被第五條直線所截時，同位角有2×4×（4﹣1）＝24，?∴當(dāng)n條平行線被第n+1條平行線所截時，共得到2n（n﹣1）組同位角．故答案為：24，2n（n﹣1）．16．（2分）（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，AE∥CF，∠ACF的平分線交AE于點(diǎn)B，G是CF上的一點(diǎn)，∠GBE的平分線交CF于點(diǎn)D，且BD⊥BC，下列結(jié)論：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③與∠DBE互余的角有2個；④若∠A＝α，則∠BDF＝．其中正確的有①②④．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）解：∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠EBD+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∠DBG+∠CBG＝90°，∵BD平分∠EBG，∴∠EBD＝∠DBG，∴∠ABC＝∠GBC，即BC平分∠ABG，故①正確；∵AE∥CF，∴∠ABC＝∠BCG，∵CB平分∠ACG，∴∠ACB＝∠BCG，∵∠ABC＝∠GBC，∴∠ACB＝∠GBC，∴AC∥BG，故②正確；與∠DBE互余的角有∠ABC，∠CBG，∠ACB，∠BCG，共4個，故③錯誤；∵AC∥BG，∠A＝α，∴∠EBG＝∠A＝α，∵∠EBD＝∠DBG，∴∠EBD＝EBG＝，∵AB∥CF，∴∠EBD+∠BDF＝180°，∴∠BDF＝180°﹣∠EBD＝180°﹣，故④正確；故答案為：①②④．17．（2分）（2021春?寧安市期末）如圖所示，下列結(jié)論正確的有①③④（把所有正確結(jié)論的序號都選上）①若AB∥CD，則∠3＝∠4；②若∠1＝∠BEG，則EF∥GH；③若∠FGH+∠3＝180°，則EF∥GH；④若AB∥CD，∠4＝62°，EG平分∠BEF，則∠1＝59°．解：①若AB∥CD，則∠3＝∠4；正確；②若∠1＝∠BEG，則AB∥CD；錯誤；③若∠FGH+∠3＝180°，則EF∥GH；正確④∵AB∥CD，∴∠3＝∠4＝62°，∵∠BEF＝180°﹣∠4＝118°，∵EG平分∠BEF，∴∠2＝59°，∴∠1＝180°﹣∠2﹣∠3＝59°，正確；故答案為：①③④．18．（2分）（2020春?東陽市期末）已知直線AB∥CD，點(diǎn)P、Q分別在AB、CD上，如圖所示，射線PB按順時針方向以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)至PA便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線QC按順時針方向每秒1°旋轉(zhuǎn)至QD停止，此時射線PB也停止旋轉(zhuǎn)．（1）若射線PB、QC同時開始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間30秒時，PB'與QC'的位置關(guān)系為PB′⊥QC′；（2）若射線QC先轉(zhuǎn)45秒，射線PB才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時間為15秒或63秒或135秒時，PB′∥QC′．解：（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間30秒時，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，過E作EF∥AB，則EF∥CD，∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，∴∠PEQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案為：PB′⊥QC′；（2）180°÷4°＝45s，270°÷4＝67.5s，①當(dāng)0s＜t≤45時，如圖2，則∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t＝45+t，解得，t＝15（s）；②當(dāng)45s＜t≤67.5s時，如圖3，則∠APB′＝（4t）°﹣180°，∠CQC'＝t°+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，即4t﹣180＝180﹣（45+t），解得，t＝63（s）；③當(dāng)67.5s＜t≤135s時，如圖4，則∠BPB′＝（4t）°﹣360°，∠CQC′＝t°+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，即4t﹣360＝t+45，解得，t＝135（s）；綜上，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時間為15秒或63秒或135秒時，PB′∥QC′．故答案為：15秒或63秒或135秒．19．（2分）（2021春?長葛市期末）將一副三角板按如圖放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，則：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，則有AC∥DE；④如果∠2＝45°，則有BC∥AD．上述結(jié)論中正確的是①②③④（填寫序號）．解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，故①正確；②∵∠1+∠2+∠2+∠3＝180°，∴∠CAD+∠2＝180°，故②正確；③∵∠2＝30°，∴∠1＝∠E＝60°，∴AC∥DE，故③正確；④∵∠2＝45°，∴∠3＝∠B＝45°，∴BC∥AD，故④正確．故答案為：①②③④．20．（2分）（2021秋?泉州期末）如圖，PQ∥MN，A，B分別為直線MN、PQ上兩點(diǎn)，且∠BAN＝45°，若射線AM繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點(diǎn)A、點(diǎn)B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動的速度是a°/秒，射線BQ轉(zhuǎn)動的速度是b°/秒，且a、b滿足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．若射線AM繞點(diǎn)A順時針先轉(zhuǎn)動18秒，射線BQ才開始繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達(dá)BA之前，問射線AM再轉(zhuǎn)動15或22.5秒時，射線AM與射線BQ互相平行．解：設(shè)射線AM再轉(zhuǎn)動t秒時，射線AM、射線BQ互相平行．如圖，射線AM繞點(diǎn)A順時針先轉(zhuǎn)動18秒后，AM轉(zhuǎn)動至AM'的位置，∠MAM'＝18×5＝90°，分兩種情況：①當(dāng)9＜t＜18時，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝5t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝5t﹣45°，當(dāng)∠ABQ'＝∠BAM″時，BQ'∥AM″，此時，45°﹣t°＝5t﹣45°，解得t＝15；②當(dāng)18＜t＜27時，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝5t°﹣90°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，當(dāng)∠ABQ'＝∠BAM″時，BQ'∥AM″，此時，45°﹣t°＝135°﹣5t，解得t＝22.5；綜上所述，射線AM再轉(zhuǎn)動15秒或22.5秒時，射線AM、射線BQ互相平行．故答案為15或22.5．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?丹東期末）如圖，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求證：AD∥CE；（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FE于點(diǎn)A，∠FAB＝55°，求∠ABD的度數(shù)．（1）證明：∵∠1＝∠BDC，∴AB∥CD，∴∠2＝∠ADC，∵∠2+∠3＝180°，∴∠ADC+∠3＝180°，∴AD∥CE；（2）解：∵CE⊥AE于E，∴∠CEF＝90°，由（1）知AD∥CE，∴∠DAF＝∠CEF＝90°，∴∠ADC＝∠2＝∠DAF﹣∠FAB，∵∠FAB＝55°，∴∠ADC＝35°，∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC，∴∠1＝∠BDC＝2∠ADC＝70°∴∠ABD＝180°﹣70°＝110°．22．（6分）（2022秋?二道區(qū)校級期末）【提出問題】若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【解決問題】分兩種情況進(jìn)行探究，請結(jié)合如圖探究這兩個角的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖1，AB∥EF，BC∥DE，試證：∠1＝∠2；（2）如圖2，AB∥EF，BC∥DE，試證：∠1+∠2＝180°；【得出結(jié)論】由（1）（2）我們可以得到結(jié)論：若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為相等或互補(bǔ)；【拓展應(yīng)用】（3）若兩個角的兩邊分別平行，其中一個角比另一個角的2倍少60°，求這兩個角的度數(shù)．（4）同一平面內(nèi)，若兩個角的兩邊分別垂直，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為相等或互補(bǔ)．【提出問題】（1）證明：如圖1，∵AB∥EF，∴∠1＝∠3，又∵BC∥DE，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2；（2）證明：如圖2，∵AB∥EF，∴∠1＝∠4，又∵BC∥DE，∴∠2+∠4＝180°，∴∠1+∠2＝180°；【得出結(jié)論】解：由（1）（2）我們可以得到的結(jié)論是：若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系是相等或互補(bǔ)，故答案為：相等或互補(bǔ)；【拓展應(yīng)用】（3）解：設(shè)其中一個角為x，則另一角為2x﹣60°，當(dāng)x＝2x﹣60°時，解得x＝60°，此時兩個角為60°，60°；當(dāng)x+2x﹣60°＝180°，解得x＝80°，則2x﹣60＝100°，此時兩個角為80°，100°；∴這兩個角分別是60°，60°或80°，100°．（4）解：如圖，這兩個角之間的數(shù)量關(guān)系是：相等或互補(bǔ)．故答案為：相等或互補(bǔ)．23．（8分）（2022春?西安月考）如圖，射線PE分別與直線AB，CD相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，∠PFD的平分線與直線AB相交于點(diǎn)M，射線PM交CD于點(diǎn)N，且∠PFM＝∠EMF．（1）求證：AB∥CD；（2）點(diǎn)G為射線MA（不與M重合）上一點(diǎn)，H為射線MF（不與M，F(xiàn)重合）上一點(diǎn)，且∠MGH＝∠PNF，試找出∠FMN與∠GHF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（1）證明：∵FM平分∠PFN，∴∠PFM＝∠MFN，∵∠PFM＝∠EMF，∴∠MFN＝∠EMF，∴AB∥CD；②當(dāng)H在線段MF上時，∠GHF+∠FMN＝180°；當(dāng)H在線段MF的延長線上時，∠GHF＝∠FMN，證明如下：∵AB∥CD，∴∠PNF＝∠PME．∵∠MGH＝∠PNF，∴∠MGH＝∠PME．∴GH∥PN．如圖，當(dāng)H在線段MF上時，∵GH∥PN，∴∠GHM＝∠FMN，∵∠GHF+∠GHM＝180°，∴∠GHF+∠FMN＝180°；如圖，當(dāng)H在線段MF的延長線上時，∵GH∥PN，∴∠GHM＝∠FMN，∴∠GHF＝∠FMN．24．（10分）（2022春?海淀區(qū)校級月考）如圖1，直線AB與直線l1，l2分別交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l2上，射線DE平分∠ADM交直線l1于點(diǎn)Q，∠ACQ＝2∠CDQ．（1）證明：l1∥l2；（2）如圖2，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，射線QP交直線l2于點(diǎn)F，∠ACQ＝70°．①若∠QFD＝20°，則直接寫出∠FQD的度數(shù)是15°；②點(diǎn)N在射線DE上，滿足∠QCN＝∠QFD，連接CN，請補(bǔ)全圖形，探究∠CND與∠FQD滿足的等量關(guān)系，并證明．（1）證明：如圖1，∵DE平分∠ADM，∴∠ADE＝∠EDM＝∠ADM，又∵∠ACQ＝∠ADE+∠CQD，∠ACQ＝2∠CDQ．∴∠EDM＝∠CQD，∴l(xiāng)1∥l2；（2）解：①∵l1∥l2，∴∠ADM＝∠ACQ＝70°，∵DE平分∠ADM，∴∠ADE＝∠EDM＝∠ADM＝35°，又∵∠EDM＝∠QFD+∠FQD，∴∠FQD＝35°﹣20°＝15°，故答案為：15°；②證明：∠CND＝∠FQD或∠CND﹣∠FQD＝35°，理由如下：如圖3，∵l1∥l2，∴∠NCQ＝∠CTD，又∵∠QCN＝∠QFD，∴∠CTD＝∠QFD，∴NT∥FQ，∴∠CND＝∠FQD；如圖4，由①可得∠CDQ＝∠CQD＝∠ACQ＝35°，∵∠CND＝∠CQN+∠QCN，∠QCN＝∠QFD，∴∠CND＝∠CQN+∠QFD，∴∠CND＝35°+∠QFD，即：∠CND﹣∠QFD＝35°，綜上所述，∠CND與∠FQD滿足的等量關(guān)系為∠CND＝∠FQD或∠CND﹣∠FQD＝35°．25．（10分）（2022春?長順縣月考）綜合與探究（1）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度數(shù)．小明想到一種方法，但是沒有解答完，如圖2．過點(diǎn)P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB＝180°，∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝180°﹣130°＝50°．∵AB∥CD．∴PE∥CD．…請你幫助小明完成剩余的解答．（2）問題探究：請你依據(jù)小明的思路，解答下面的問題：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間時，∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．解：（1）剩余過程：∴∠CPE+∠PCD＝180°，∴∠CPE＝180°﹣120°＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°；（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β．26．（10分）（2022春?武漢期末）已知，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，點(diǎn)P在直線AB上方．問題探究：（1）如圖1，∠CFP+∠EPF＝∠AEP，證明：AB∥CD；問題拓展：（2）如圖2，AB∥CD，∠AEP的角平分線EK所在的直線和∠DFP的角平分線FR所在的直線交于Q點(diǎn)，請寫出∠EPF和∠EQF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．問題遷移：（3）如圖3，AB∥CD，直線MN分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，若點(diǎn)H在線段MN上，且∠MEF＝α，請直接寫出∠HFE，∠MEH和∠EH