專題02 巧用隱圓 帶解析

專題02巧用隱圓一．選擇題1．如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝42，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長是（）A．22π+4 B．2π C．42+2 解：如圖，取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E、BC的中點(diǎn)F，連接OC、OP、OM、OE、OF、EF，∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝42，∴AB=2BC∴OC=12AB＝4，OP=∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，∴OM⊥PC，∴∠CMO＝90°，∴點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在E點(diǎn)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，M點(diǎn)在F點(diǎn)，易得四邊形CEOF為正方形，EF＝OC＝4，∴M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長是12?π?4＝2π故選：B．2．如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為CA上的動(dòng)點(diǎn)，連BP，過點(diǎn)A作AM⊥BP于M．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長為（）A．22π B．2π C．3π D．2解：設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，連接NQ，如圖所示：∵N為BM的中點(diǎn)，Q為AB的中點(diǎn)，∴NQ為△BAM的中位線，∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，∴點(diǎn)N的路徑是以QB的中點(diǎn)O為圓心，14AB長為半徑的圓交CB于D的QD∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB=2CA＝42，∠QBD∴∠DOQ＝90°，∴QD為⊙O的14∴線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長為：90π×14故選：A．3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中線，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，以相同的速度分別沿DC、DB方向移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，直線AE分別與CF、BC相交于G、H，則在點(diǎn)E、F移動(dòng)過程中，點(diǎn)G移動(dòng)路線的長度為（）A．2 B．π C．2π D．22解：如圖，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，在△ADE和△CDF中，AD=CD∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠DAE＝∠DCF，∵∠AED＝∠CEG，∴∠ADE＝∠CGE＝90°，∴A、C、G、D四點(diǎn)共圓，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為弧CD，∵AB＝4，AB=2AC∴AC＝22，∴OA＝OC=2∵DA＝DC，OA＝OC，∴DO⊥AC，∴∠DOC＝90°，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡的長為90π×2180故選：D．二．填空題4．如圖，扇形AOB，且OB＝4，∠AOB＝90°，C為弧AB上任意一點(diǎn)，過C點(diǎn)作CD⊥OB于點(diǎn)D，設(shè)△ODC的內(nèi)心為E，連接OE、CE．當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，內(nèi)心E所經(jīng)過的路徑長為2π．解：如圖，連接BE，∵點(diǎn)E是△ODC的內(nèi)心，∴∠EOC=12∠COD，∠ECO=1∴∠EOC+∠ECO=12（∠COD+∠∵DC⊥OB，∴∠CDO＝90°，∴∠COD+∠DCO＝90°，∴∠EOC+∠ECO=12（∠COD+∠∴∠OEC＝180°﹣45°＝135°，∵OE平分∠COD，∴∠COE＝∠BOE，∵OB＝OC，OE＝OE，∴△COE≌△BOE（SAS），∴∠CEO＝∠OEB＝135°，∴當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，內(nèi)心E所經(jīng)過的路徑長為圖中OB的長度，設(shè)△BOE的外接圓為⊙M，在優(yōu)弧BNO上任取一點(diǎn)N，連接BN，ON，則∠N＝45°，∴∠M＝90°，∴BM＝OM=22OB∴OB的長=90?π?22故答案為：2π．5．如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC=2，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長是解：如圖，連接OP，OC，取OC的中點(diǎn)K，連接MK．∵AC＝BC=2，∠ACB∴AB=2+2∴OP=12∵CM＝MP，CK＝OK，∴MK=12OP∴當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑是以K為圓心，12∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長=12?2?π?故答案為π26．如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是AC，如圖所示：連接OA、OC，作OD⊥AC于D，則AD＝CD=12∵AEC所對(duì)的圓心角＝2∠APC＝240°，∴劣弧AC所對(duì)的圓心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°，∵OD⊥AC，∴OD=33AD=32，OA∴AC的長為120π×23故答案為：4397．△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點(diǎn)O，則線段AO的最大值為．解：如圖：以AO為邊作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°∵四邊形BCDE是正方形∴BO＝CO，∠BOC＝90°∵△AOF是等腰直角三角形∴AO＝FO，AF=2∵∠BOC＝∠AOF＝90°∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO∴△AOB≌△FOC（SAS）∴AB＝CF＝4若點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)F三點(diǎn)不共線時(shí)，AF＜AC+CF；若點(diǎn)A，點(diǎn)C，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，AF＝AC+CF∴AF≤AC+CF＝2+4＝6∴AF的最大值為6∵AF=2∴AO的最大值為32．故答案為：328．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．解：由題意可知，點(diǎn)F是主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G是從動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)G也一定在直線軌跡上運(yùn)動(dòng)將△EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°，使EF與EG重合，得到△EFB≌△EHG從而可知△EBH為等邊三角形，點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上作CM⊥HN，則CM即為CG的最小值作EP⊥CM，可知四邊形HEPM為矩形，則CM＝MP+CP＝HE+12EC故答案為529．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)c作直線記的垂線，垂足為Q，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長為．解：∵AQ⊥CQ，∴∠AQC＝90°，∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)的軌跡是以AC為直徑的半圓上，路徑是120度的弧長，在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°，∴AC=12∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長為120?π?118010．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一條長為10的線段AB，其端點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在y軸、x軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C為以AB為直徑的⊙D上一點(diǎn)（C始終在第一象限），且tan∠BAC=12．則當(dāng)點(diǎn)A從A0（0，10）滑動(dòng)到O（0，0），B從O（0，0）滑動(dòng)到B0（10，0）的過程中，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長為解：如圖1中，作射線OC．∵tan∠BAC=1∴∠CAB是定值，∵∠COB＝∠CAB，∴∠COB是定值，∴點(diǎn)C在射線OC上運(yùn)動(dòng)．如圖2中，當(dāng)線段AB在y軸上時(shí)，設(shè)OC1＝k，A1C1＝2k，則有：k2+4k2＝102，∴k＝25∴OC1＝25，如圖2中，四邊形A2OB2C2是矩形時(shí)，OC2＝AB＝10，此時(shí)OC2的值最大，當(dāng)線段AB在x軸上時(shí)，同法可得OC3＝45，觀察圖形可知，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是C1→C2→C3，∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑為：（10﹣25）+（10﹣45）＝20﹣65，故答案為20﹣65．11．如圖，正方形ABCD，邊長為4，點(diǎn)P和點(diǎn)Q在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，且PQ＝4，若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→D→A的路線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D的路線向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D停止運(yùn)動(dòng)．它們同時(shí)出發(fā)，且運(yùn)動(dòng)速度相同，則在運(yùn)動(dòng)過程中PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑長為．解：畫出點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的軌跡，如圖虛線部分，則點(diǎn)P從B到A的運(yùn)動(dòng)過程中，PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路線長等于2π×2×34=故答案為：3π．12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，P是矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP的最小值是．解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜邊中線等于斜邊一半），∴點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝5，OB＝4，∴OC=B∴PC＝OC﹣OP=41∴PC最小值為41?故答案為：41?三．解答題13．如圖，正方形ABCD中，AB＝25，O是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，OE＝2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE，CF．（1）求證：AE＝CF；（2）若A，E，O三點(diǎn)共線，連接OF，求線段OF的長．（3）求線段OF長的最小值．（1）證明：如圖1，由旋轉(zhuǎn)得：∠EDF＝90°，ED＝DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝CD，∴∠ADC＝∠EDF，即∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，∵AD=CD∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF；（2）解：如圖2，過F作OC的垂線，交BC的延長線于P，∵O是BC的中點(diǎn)，且AB＝BC＝25，∵A，E，O三點(diǎn)共線，∴OB=5由勾股定理得：AO＝5，∵OE＝2，∴AE＝5﹣2＝3，由（1）知：△ADE≌△CDF，∴∠DAE＝∠DCF，CF＝AE＝3，∵∠BAD＝∠DCP，∴∠OAB＝∠PCF，∵∠ABO＝∠P＝90°，∴△ABO∽△CPF，∴ABOB∴CP＝2PF，設(shè)PF＝x，則CP＝2x，由勾股定理得：32＝x2+（2x）2，x=355∴FP=355，由勾股定理得：OF=(（3）解：如圖3，由于OE＝2，所以E點(diǎn)可以看作是以O(shè)為圓心，2為半徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，延長BA到P點(diǎn)，使得AP＝OC，連接PE，∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，∴△PAE≌△OCF（SAS），∴PE＝OF，當(dāng)PE最小時(shí)，為O、E、P三點(diǎn)共線，OP=OB2∴PE＝OF＝OP﹣OE＝52?∴OF的最小值是52?14．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4、點(diǎn)P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過點(diǎn)P作PC的垂線交AD于點(diǎn)E，以PE為邊作正方形PEFG、頂點(diǎn)G在線段PC上，對(duì)角線EG、PF相交于點(diǎn)O．（1）若AP＝1，則AE＝；（2）①點(diǎn)O與△APE的位置關(guān)系是，并說明理由；②當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)O也隨之運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長；（3）在點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過程中，線段AE的大小也在改變，當(dāng)AP＝，AE達(dá)到最大值，最大值是．解：（1）∵四邊形ABCD、四邊形PEFG是正方形，∴∠A＝∠B＝∠EPG＝90°，PF⊥EG，AB＝BC＝4，∠OEP＝45°，∴∠AEP+∠APE＝90°，∠BPC+∠APE＝90°，∴∠AEP＝∠BPC，∴△APE∽△BCP，∴AEBP=AP解得：AE=3故答案為：34（2）①點(diǎn)O在△APE的外接圓上，理由是：證明：如圖1，取PE的中點(diǎn)Q，連接AQ，OQ，∵∠POE＝90°，∴OQ=12∵△APE是直角三角形，∴點(diǎn)Q是Rt△APE外接圓的圓心，∴AQ=12∴OQ＝AQ＝EQ＝PQ，∴O在以Q為圓心，以O(shè)Q為半徑的圓上，即點(diǎn)O在△APE的外接圓上；（到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)必在此圓上），故答案為：點(diǎn)O在△APE的外接圓上；②連接OA、AC，如圖2所示，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，∴AC=42+4∵A、P、O、E四點(diǎn)共圓，∴∠OAP＝∠OEP＝45°，∴點(diǎn)O在AC上，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，O為AC的中點(diǎn)，OA=12AC＝2即點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長為22；（3）設(shè)AP＝x，則BP＝4﹣x，由（1）得：△APE∽△BCP，∴AEBP∴AE4?x∴AE=14（x﹣2）∴x＝2時(shí)，AE的最大值為1，即當(dāng)AP＝2時(shí)，AE的最大值為1．故答案為：2，1．15．閱讀下列材料，回答問題．材料：求圓外一定點(diǎn)到圓上距離最小值是安徽省中考數(shù)學(xué)較為常見的一種題型，此類題型試題有時(shí)出題者將圓隱藏，故又稱為“隱圓問題”．解決這類問題，關(guān)鍵是要找到動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，即該動(dòng)點(diǎn)是繞哪一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，且能保持旋轉(zhuǎn)半徑不變．從而找到動(dòng)點(diǎn)所在的隱藏圓，進(jìn)面轉(zhuǎn)換成圓外一點(diǎn)到圓心的距離減半徑，求得最小值．解決問題：（1）如圖①，圓O的半徑為1，圓外一點(diǎn)A到圓心的距離為3，圓上一動(dòng)點(diǎn)B，當(dāng)A、O、B滿足條件時(shí)，AB有最小值為．（2）如圖②，等腰△ABC兩腰長為5，底邊長為6，以A為圓心，2為半徑作圓，圓上動(dòng)點(diǎn)P到BC的距離最小值為．（3）如圖③，OA⊥OB，P、Q分別是射線OA、OB上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，C是線段PQ的中點(diǎn)，且PQ＝4，則在線段PQ滑動(dòng)的過程中，求點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的路徑長，并說明理由．（4）如圖④，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，把△BEF沿著EF翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，求DB'的最小值，并說明理由