2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：三角形及全等（講義）（解析版）

考點(diǎn)15.三角形及全等（精講）

【命題趨勢(shì)】

三角形及其全等三角形是中考必考內(nèi)容，三角形的相關(guān)概念（如：內(nèi)角和、三邊關(guān)系、三線等）常結(jié)合

三角形全等在選填題中考查，全等三角形的性質(zhì)與判定常用四邊形在解答題中考查。三角形及其全等三角形

主要重在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10-15分?？忌趶?fù)習(xí)

本考點(diǎn)時(shí)，不僅要熟悉掌握其本身的性質(zhì)和運(yùn)用，還要注重轉(zhuǎn)化思想在題目中的應(yīng)用，同步聯(lián)想，其他幾何

圖形在什么情況下會(huì)轉(zhuǎn)化成該考點(diǎn)的知識(shí)考查。

【知識(shí)清單】

1：三角形的相關(guān)概念

1）三角形的概念:由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形。

2）三角形的三邊關(guān)系

（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊.推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。

（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形；②當(dāng)己知兩邊時(shí)，可確定

第三邊的范圍；③證明線段不等關(guān)系。

3）三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180。。

推論：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余；②三角形的一個(gè)外角等于和它丕相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；③三角形的?

一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

2：三角形中的重要線段

1）三角形中的重要線段

（1）三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。

（2）在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。

（3）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線。

3：全等三角形的判定與性質(zhì)（☆☆☆）

1）三角形全等的判定定理：

（1）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）；

（2）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）；

（3）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）；

（4）角角邊定理:有兩角和它們所對(duì)的任意一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“/US”）；

（5）對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊

對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）。

2）全等三角形的性質(zhì)：

（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等:

（2）全等三角形的周長(zhǎng)相等,面積相等;

（3）全等三角形對(duì)應(yīng)的空線、高線、角平分線都相等。

4：全等三角形的實(shí)際應(yīng)用（☆☆）

1）通過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與原圖形是全等圖形。

2）若題中沒有全等的三角形，則可根據(jù)題中條件合理地添加輔助線，如運(yùn)用作高法、倍長(zhǎng)中線法、截長(zhǎng)補(bǔ)

短法、分解圖形法等來解決運(yùn)動(dòng)、拼接、旋轉(zhuǎn)等探究性題目。

3）利用全等三角形解決實(shí)際問題的方法：把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫

出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵.

5:角平分線的性質(zhì)與判定（☆☆☆）

1）角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.

如圖，已知0C平分/AO8,CDLOA,CELOB,則CD=CE.

2）角平分線的判定定理：角的內(nèi)部，與角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.

【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】

1.從判定兩個(gè)三角形全等的方法可知，要判定兩個(gè)三角形全等，需要知道這兩個(gè)三角形分別有三個(gè)元素（其

中至少有一個(gè)元素是邊）對(duì)應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準(zhǔn)確地確定要補(bǔ)充的邊（角），

有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個(gè)三角形全等的思路。

2.角平分線的性質(zhì)定理中的“距離”是指“點(diǎn)到角兩邊所在直線的距離”，因此在應(yīng)用時(shí)必須含有“垂直”

這個(gè)條件，否則不能得到線段相等。

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)1.三角形的相關(guān)概念

例1:（2023?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）若一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且兩邊長(zhǎng)分別為3和5,則第三邊

的長(zhǎng)可以為（寫出一個(gè)即可）.

【答案】4

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系可進(jìn)行求解.

【詳解】解：設(shè)第三邊的長(zhǎng)為尤，貝第5-3<x<5+3,即2<x<8,

回該三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，囪第三邊的長(zhǎng)可以為3、4、5、6、7,故答案為4（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形三邊關(guān)系，熟練掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）在下列長(zhǎng)度的四條線段中，能與長(zhǎng)6cm,8cm的兩條線段圍成一個(gè)

三角形的是（）

A.1cmB.2cmC.13cmD.14cm

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出第三邊的取值范圍，再判斷即可.

【詳解】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)度為xcm,則第三邊的取值范圍是2Vx<14,只有選項(xiàng)C符合，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊的關(guān)系，能熟練求出求出第三邊的取值范圍是本題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?河北保定?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）平面內(nèi)，將長(zhǎng)分別為2,4,3的三根木棒按如圖方式連接成折線

A—B—C—D,其中AB可以繞點(diǎn)3任意旋轉(zhuǎn)，保持NC=90。，將A,。兩點(diǎn)用繃直的皮筋連接，設(shè)皮筋

長(zhǎng)度為d,則d不可能是（）

【答案】D

【分析】連接3。，根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)，在分兩種情況討論即可；

【詳解】連接3D,則后彳=5.如圖1，當(dāng)點(diǎn)A在線段上時(shí)，d=5—2=3；

如圖2,當(dāng)點(diǎn)A在08的延長(zhǎng)線上時(shí)，d=5+2=7,國d的取值范圍為3W1W7,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股

定理求出80.

例2：（2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）若三角形三個(gè)內(nèi)角的比為1：2：3,則這個(gè)三角形按角分類是

三角形.

【答案】直角

【分析】設(shè)一份為人°，則三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為左°,2k。,3k。,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：設(shè)一份為左°,則三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為源，2k。,3k。.

貝|］左0+2左°+3左。=180°,解得左°=30°.所以2左°=60°,3爐=90°,即Z3=60°,ZC=90°.

故這個(gè)三角形是直角三角形.故答案是：直角.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和，熟練掌握三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.

?變式訓(xùn)練

變式1.（2023?吉林?統(tǒng)考中考真題）如圖，鋼架橋的設(shè)計(jì)中采用了三角形的結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)道理

是.

【答案】三角形具有穩(wěn)定性

【分析】根據(jù)三角形結(jié)構(gòu)具有穩(wěn)定性作答即可.

【詳解】解：其數(shù)學(xué)道理是三角形結(jié)構(gòu)具有穩(wěn)定性.故答案為：三角形具有穩(wěn)定性.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形具有穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形形狀對(duì)結(jié)構(gòu)的影響.

變式2.（2022?黑龍江大慶?中考真題）下列說法不正確的是（）

A.有兩個(gè)角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形B.有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形

C.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形D.底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形

【答案】A

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的判定，對(duì)各選項(xiàng)逐項(xiàng)分

析可得出正確答案.

【詳解】解：A、設(shè)團(tuán)1、回2為銳角，因?yàn)椋?1+02+03=180°,

所以：回3可以為銳角、直角、鈍角，所以該三角形可以是銳角三角形，也可以是直角或鈍角三角形，故A

選項(xiàng)不正確，符合題意；B、如圖，在母43。中，BESAC,CD^AB,且B￡=CD

EIBEEL4C,CDS\AB,EECZ)B=0BEC=9O",

[CD=BE

在Rt^BCD與RfACBE中,,^Rt^BCD^Rt^CBE(HL),

\BC-CB

^EABC=BACB,^AB=AC,即AABC是等腰三角形.，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、根據(jù)直角三角形的判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形，故D選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：A.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的判定，要求

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中掌握三角形的各種性質(zhì)及推論，不斷提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力.

例3：(2023?河北?模擬預(yù)測(cè))在ABC中，數(shù)據(jù)如圖所示，若N1比N3小2。，則N2比NC()

A.大2。B.小2。C.大4。D.小4°

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得？A?B?C?A?1?2,得到？3?C?1?2,

?B?1?2?C結(jié)合已知判斷即可.

【詳解】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得？A?B?C?A?1?2,

0?B?C?1?2,0?B?1?2?C,

EINl比，3小2。，E?2?C2?,故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?河北石家莊?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）一塊板材如圖所示，測(cè)得？390?,ZA=20°,ZC=35°,

根據(jù)需要N4）。為140。，師傅說板材不符合要求且只能改動(dòng)NA,則可將NA（選填"增加"或"減

【答案】減小5°

【分析】延長(zhǎng)8交AB于點(diǎn)E,根據(jù)三角形內(nèi)角和和三角形外角性質(zhì)即可求得.

【詳解】延長(zhǎng)。交AB于點(diǎn)E,如圖

C

回？390?,ZC=35°EZBEC=180°-90°-35°=55°

0ZADC=14000ZADE=180°-140°=40°0ZA=NBEC-ZADE=55°-40°=15°

20°-15°=5°故答案為：減小，5°

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線.

變式2.（2023?河北秦皇島,統(tǒng)考三模）定理：三角形的內(nèi)角和是180。.

已知：NCED、ZC.是△CEO的三個(gè)內(nèi)角.求證：ZC+ZD+ZCE￡>=180°.

有如下四個(gè)說法：①*表示內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；②④表示/BEC；③上述證明得到的結(jié)論，只有

在銳角三角形中才適用；④上述證明得到的結(jié)論，適用于任何三角形.其中正確的是（）

AEB證明：如圖，過點(diǎn)E作直線為8,

‘使得

AZ2=ZZ)(j,

\.,.Zl+Z_?_=180°,

：

c).ZC+ZD+ZCED=180°.

A.①②B.②③C.②④D.①③

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出Z2=ZD，Z1+ZBEC=18O°,即可推出結(jié)論.

【詳解】解：證明：如圖，作點(diǎn)E作直線A3,使得A3〃CD,

0Z2=ZD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），0Z1+ZBEC=18O°,0Zl+ZD+ZCED=180°.

①*表示兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；故①不正確，不符合題意；

②④表示N3EC,故②正確，符合題意；

③④上述證明得到的結(jié)論，在任何三角形均適用；故③不正確，不符合題意；④正確，符合題意；

綜上：正確的有②④，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的證明，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)

錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

變式3.（2023?山西太原?統(tǒng)考二模）如圖，在凹四邊形A3CD中，ZA=55°,ZB=30°,ZD=20°,求

/BCD的度數(shù).

下面是學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流時(shí)得到的解決問題的三種方法：

方法一：作射線AC;方法二：延長(zhǎng)交于點(diǎn)￡；方法三：連接3D

請(qǐng)選擇上述一種方法，求/BCD的度數(shù).

【答案】ZBCD=105°,方法見解析

【分析】選擇方法一：作射線并在線段AC的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)E,根據(jù)外角的性質(zhì)求出

NBCE=ZB+NBAE即可解得;

選擇方法二：延長(zhǎng)BC交A。于點(diǎn)E,根據(jù)外角的性質(zhì)求出N3ED=N3+NA即可解得；

選擇方法三：連接BD,根據(jù)三角形內(nèi)角和求出NA+N/RD+NAD3=180。，在△BCD中,

/BCD=180°-ZCBD-ZCDB,再根據(jù)角之間的和差即可求出.

【詳解】解：選擇方法一：如答圖L作射線AC并在線段AC的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)E.

回/BCE是」ABC的外角，^\ZBCE=ZB+ZBAE.同理可得"CE=NO+NZME.

SZBCD=ZB+ZBAE+ZD+ZDAE.SZBCD=ZB+ZBAD+ZD.

0Zfi4T>=55°,ZB=30°,ZD=20°,0ZBCZ）=105°

選擇方法二：如答圖2,延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)E.

EINBEO是的外角，0ZB￡D=ZB+ZA.

同理可得/BCD=NBED+4>.ElZBCD=AB+ZA+AD.

0ZA=55°,ZB=30°,ND=20°,ElZBCD=105°

選擇方法三：如答圖3,連接2D在△ABO中，ZA+ZABD+ZADB=180°.

ZA+ZABC+ZCBD+ZADC+ZCDB^180°SZA+ZABC+ZADC=1800-ZCBD-ZCDB.

在△BCD中，NBCD=180。-NCBD-NCDB.EZBCD=ZA+ZABC+ZADC.

0ZA=55°,ZABC=30°,ZADC=20°,0ZBCD=105°

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，會(huì)用三角形的外角性

質(zhì)、三角形內(nèi)角和解題.

核心考點(diǎn)2.三角形中的重要線段

例4：（2023?河北石家莊?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）嘉淇剪一個(gè)銳角.ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕

與BC交于點(diǎn)、D,連接AD,則線段AD分別是..ABC的（）

A.高，中線，角平分線B.高，角平分線，中線

C.中線，高，角平分線D.高，角平分線，垂直平分線

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的高線、角平分線及中線的定義依次判斷即可.

【詳解】解：由圖可得，圖①中，線段AD是—ABC的高線，

圖②中，線段AD是的角平分線，圖③中，線段AD是的中線，故選：B.

【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形的高線、角平分線及中線的定義，理解題意是解題關(guān)鍵.

變式1.（2023?河北石家莊?校聯(lián)考二模）小熊和小貓把一個(gè)三角形紙片折一次后，折痕把原三角形分成兩

個(gè)三角形.如圖，當(dāng)N1=N2時(shí)，折痕是三角形的（）

【答案】C

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平角定義得到Nl=N2=90。，再根據(jù)三角形的高線定義求解即可.

【詳解】解：0Z1+Z2=18O°,Z1=Z2,回Nl=N2=90°,

又回折痕經(jīng)過三角形的頂點(diǎn)，回折痕是三角形的高線，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)、平角定義、三角形的高線，理解三角形的高線定義是解答的關(guān)鍵.

變式2.（2022?河北?中考真題）如圖，將AABC折疊，使AC邊落在邊上，展開后得到折痕/,貝心是

△ABC的()

A.中線B.中位線C.高線D.角平分線

【答案】D

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得/C4D=N54D,作出選擇即可.

【詳解】解：如圖,

回由折疊的性質(zhì)可知/C4D=/BAD,HAD是々AC的角平分線，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)和角平分線的定義，理解角平分線的定義是解答本題的關(guān)鍵.

例5：（2023?河北滄州?統(tǒng)考三模）題目：如圖，一至C的三邊均不相等，在此三角形內(nèi)找一點(diǎn)。，使得

OAB,△O3C,..筋的面積均相等.甲、乙兩人的做法如下，判斷正確的是（）

乙正確D.甲正確，乙錯(cuò)誤

【答案】C

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可判斷甲的做法不正確，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和三角形的重心的性質(zhì)可判

斷乙的做法正確，可得答案.

【詳解】解：對(duì)于甲：由做法可知：點(diǎn)。是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)，

回點(diǎn)。到三邊的距離相等，記這個(gè)距離是〃，

由于ABC的三邊均不相等，則OAB,△0BC,一期的面積均不相等，回甲的做法錯(cuò)誤；

對(duì)于乙：由做法可得：點(diǎn)。是三角形三邊中線的交點(diǎn)，連接CO,如圖，

=ABC

國SAB。=3,ABCABO=5sAe0,E1sAe0=]S"c，問理可得：，瘀。=§SACO,

回OAB,△O3C,人曲的面積均相等，團(tuán)乙的做法正確；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角平分線的性質(zhì)、三角形的中線和三角形重心的性質(zhì)，正確理解題意、掌握

相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?江蘇蘇州??？级＃┑妊麬BC中，AB=AC=5,BC=6,則重心G到底邊的距離

是.

【答案】j4/l11

【分析】根據(jù)題意作出高線，首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求得AD的長(zhǎng)，再根據(jù)重心的性質(zhì)

即可求得結(jié)果.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作A。13c于點(diǎn)Z）,

0AB=AC=5,BC=6,SBD=CD=^BC=3,回AD=JAB:一瓦＞=,52_3?=4,

0AD為等腰三角形底邊上的中線，

團(tuán)重心G一定在AD上，且重心G到底邊的距離為GD的長(zhǎng)，

144

根據(jù)重心的性質(zhì)可知，GD=-AD=-.故答案為：

333

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，重心的性質(zhì)，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直

角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵.

變式3.（2023?寧夏銀川??？家荒＃┎牧弦唬喝鐖D①，點(diǎn)C把線段A3分成兩部分（AC>BC）,若

爺=票那么稱線段的被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段?勺黃金分割點(diǎn).類似地，對(duì)于實(shí)數(shù):

4<%V，如果滿足（%—%）=（%—出）（〃3—4），則稱“2為的黃金數(shù).

材料二：如果一條直線,把一個(gè)面積為s的圖形分成面積為航和邑兩部分0>S2）,且滿足今=稱，那么

稱直線/為該圖形的黃金分割線.如圖②，在.ABC中，若線段CO所在的直線是ABC的黃金分割線，過

點(diǎn)C作一條直線交邊于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。尸〃EC交，LBC的一邊于點(diǎn)R連接反，交CD于G.

②

問題：⑴若實(shí)數(shù)，。為0,1的黃金數(shù)，求<?的值.（2）S.CFGS&EDG（填>，<，=）

⑶所是一ABC的黃金分割線嗎？為什么？

【答案】（1）上后（2）=⑶是，理由見解析

2

【分析】（1）根據(jù)黃金數(shù)的定義，即可求解；（2）根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S.CEF=SCE0,即

SS

可求解；（3）根據(jù)S.CFG=S.EDG,可得S.DFC=SDFE，S.E“=S.a>E,BDC=Wit?BEFC；從而得到

□.BDC_

5ADC=5AEF,再由線段CO所在的直線是“ABC的黃金分割線，可得SABCSBDC,即可求解.

【詳解】（[）解:初為0,1的黃金數(shù)，且實(shí)數(shù)

團(tuán)（a—0）2=（1—a）（1—0）,即02+°_]=0,解得：為=—12^<。（舍確）,。2=—1；』；

（2）解：設(shè)點(diǎn)尸到CE的距離為/I,

DF//EC>0SCEF=—CE-h=SCED,即SCFG+SCEG=S。磯；+S.CEG，

團(tuán)Sc尸G=SMG；故答案為：=

（3）解：是理由如下：回S,C尸G=S^DG,回SDFC=S=SC￡>E,SBDC一0四邊形BEFC,

團(tuán)S4ADC~^Z\ADF+S4DFC~^ADF+4DFE~/\AEF，

又回線段CD所在的直線是dBC的黃金分割線，

回#=*,回與g回反是_ABC的黃金分割線.

?ABC?BDC〉A(chǔ)BC）四邊形BE尸C

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的面積，平行線的性質(zhì)，黃金分割點(diǎn)，黃金分割線等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

例6：（2023?河北衡水?二模）如圖，在..ASC中，點(diǎn)。在BC邊上，沿AD將..ABC折疊，使點(diǎn)C與BC邊

上的點(diǎn)C，重合，展開后得到折痕

（1）折痕。是ABC的；（填"角平分線""中線"或"高"）

（2）若—3AC'=15。，則/C比/3的度數(shù)大

【答案】高15

【分析】（］）由折疊的性質(zhì)結(jié)合三角形角平分線，中線，高的定義即可判斷；

（2）由折疊的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)可知AD13C,ACAD=ACAD,CD=ZC'D,

國折痕。是的高.故答案為：高；

（2）自由折疊的性質(zhì)可知NC=NACZ）,ZAC'D=ZB+ZBAC,

IBZC-ZB=ZAC'D-ZB=ZBAC=15°.故答案為：15.

【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形角平分線，中線，高的定義，三角形外角的性質(zhì).熟練掌握上述知

識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

變式1.（2023上?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8（-2,3）,點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸，

OB=BC,點(diǎn)M為△O3C的重心，若將△O8C繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，則旋轉(zhuǎn)后三角形的重心的坐標(biāo)

為.

【答案】(-L-2)

【分析】由重心的性質(zhì)可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證全等即可求得旋轉(zhuǎn)后三角形的重心的坐標(biāo).

【詳解】解：^OB=BC,點(diǎn)M為△O3C的重心EI3M_LCO,MH=：瓦/

團(tuán)點(diǎn)3(—2,3)回點(diǎn)M(—2,1),MW=1,=2

團(tuán)將△O3C繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。過點(diǎn)M"作M"E_Lx軸，連接OM,OM"

0ZMOM"=ZHOE=90°0ZMOH=ZM"OE

回ZMHO=ZM"EO=90°,MO=M"O0VMHC玲M"EO

回OE=OH=2,"E=MA=10點(diǎn)AT(—1,—2)故答案為：(T,一2)

【點(diǎn)睛】本題考查重心的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等.熟記相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論是解題關(guān)

鍵.

變式2.(2023?四川宜賓?模擬預(yù)測(cè))如圖，ABC中，AC=8,ZA=30°,ZABC=50°,點(diǎn)P為A3邊上

任意一點(diǎn)，(P不與點(diǎn)8、C重合)，/為的內(nèi)心則：

c

(1)CP的最小值=;(2)NCZB的取值范圍是.

【答案】4105°<ZC/B<155°

【分析】⑴根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)CPLAB時(shí)，PC的值最小.(2)首先證明N8/C=90o+；NBPC,由

三角形外角的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理可得30°<NBPC<130°,據(jù)此可得結(jié)論.

【詳解】解：⑴根據(jù)垂線段最短可知：當(dāng)CPL四時(shí)，PC的值最小，

?此時(shí)NAPC=90。，ZA=30°APC=1AC=4,故答案為：4；

(2)/為的內(nèi)心，AZIBC=^ZPBC,NICB=g/PCB

111

ABIC=180°-(ZIBC+ZICB)=180°--(ZABC+ZACB)=180°--(180°-ZBPC)=90°+-ZBPC,

ZA=3O°,ZABC=50°,..30°<ZBPC<130°,105°<ZB/C<155°,故答案為：

105°<ZB(<155°.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)心，垂線段最短，直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定

理，解題的關(guān)鍵是求得30。</3尸。<130。.

核心考點(diǎn)3.全等三角形的判定與性質(zhì)A

例7：(2023?浙江?統(tǒng)考中考真題)如圖，在與中，ZA=ZC,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件,

使得△425Z△砌.

--

【答案】OA=OC^OB=OD^AB=CD

【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等可得/AOB=NCOD,再添加邊相等，可利用ASA或AAS判定△力必會(huì)△狽.

【詳解】解：國在與△COD中，ZA=ZC,ZAOB=ZCOD,

回添加Q4=OC,則.AC?烏COD(ASA)；或添加OB=8,則VAQB絲VCOD(AAS)；

或添加AB=CD,則VAO3絲VCOD(AAS)；故答案為：OA^OC(答案不唯一).

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、

AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若

有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.

變式1.（2023?浙江衢州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在一ABC中，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交

AB,AC于點(diǎn)。，E.分別以點(diǎn)。，E為圓心，大于［DE長(zhǎng)為半徑畫弧，交于內(nèi)一點(diǎn)E連結(jié)AF并

延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)G.連結(jié)DG,EG.添加下列條件，不能使BG=CG成立的是（）

A.AB=ACB.AG±BCC.NDGB=NEGCD.AG=AC

【答案】D

【分析】據(jù)題意可知AG是三角形的角平分線，再結(jié)合選項(xiàng)所給的條件逐次判斷能否得出BG=CG即可.

【詳解】根據(jù)題中所給的作圖步驟可知，AG是—ABC的角平分線，即N54G=/C4G.

當(dāng)AB=AC時(shí)，又/BAG=NCAG,且AG=AG,

所以一A8G名一ACG（SAS）,所以BG=CG,故A選項(xiàng)不符合題意.

當(dāng)AG_L3C時(shí)，ZAGB=ZAGC=90°,又/3AG=NCAG,且AG=AG,

所以ABG^.ACG（ASA）,所以BG=CG,故B選項(xiàng)不符合題意.

當(dāng)NOG3=NEGC時(shí)，因?yàn)镹3AG=NC4G,AD=AE,AG=AG,

所以ADG^.AEG（AAS）,所以NAGO=NAGE,

又ZDGB=NEGC,所以ZAGD+NDGB=ZAGE+NEGC,即ZAG3=ZAGC.

又NAGS+NAGC=90。，所以NAG3=NAGC=90。，

則方法同（2）可得出BG=CG,故C選項(xiàng)不符合題意.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?浙江衢州?統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，在ABC和跖中，B,E,C,尸在同一條直線

上.下面四個(gè)條件：?AB=DE；②AC=DF；③BE=CF；@ZABC=ZDEF.

AD

⑴請(qǐng)選擇其中的三個(gè)條件，使得△ABC/ZkOEF（寫出一種情況即可）；

⑵在（1）的條件下，求證：△ABC好△￡>￡下.

【答案】（1）①②③或①③④（寫出一種情況即可）（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)兩三角形全等的判定條件，選擇合適的條件即可；

（2）根據(jù)（1）中所選的條件，進(jìn)行證明即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可以選擇的條件為：①②③；或者選擇的條件為：①③④；

（2）證明：當(dāng)選擇的條件為①②③時(shí)，

BE=CF,:.BE+EC=CF+EC,BPBC=EF,

AB=DE

在，ABC和勿EF中，<BC=EF,\ABC四，DE尸（SSS）；

AC=DF

當(dāng)選擇的條件為①③④時(shí)，BE=CF,:.BE+EC=CF+EC,即BC=￡F,

AB=DE

在「ABC和DEF中,i^ABC-ZDEF,：.ABC^DEF（SAS）.

BC=EF

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵.

例8：（2023?臺(tái)灣?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，ABC與血尸全等，A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為。、E、F,且E點(diǎn)

在AE上，B、F、C、。四點(diǎn)共線，如圖所示?若/A=40。，ZCED=35°,則下列敘述何者正確？（）

A.EF=EC,AE=FCB.EF=EC,AE^FCC.EF^EC,AE=FCD.EF^EC,AEwFC

【答案】B

【分析】由ABC與JfEF全等,A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為。、E、F,可得NA=/O=40。，AC=DF,

ZACB=ZDFE,可得EF=EC；ZCED=35°,/。=40?？傻?gt;NCED,由大角對(duì)大邊可得CE>CD；

利用AC=O尸，可得AC-CE<DF-CD,即AE<FC,由上可得正確選項(xiàng).

【詳解】解：ABC0DEF,ZA=Z￡>=40°,AC=DF,ZACB=NDFE,

ZACB=ZDFE,EF=EC.ZCED=35°,/￡）=40°,:.ZD>ZCED.:.CE>CD.

AC=DF,:.AC-CE<DF-CD,即AE<FC.:.AE手FC.EF=EC,AE手FC.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì).利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?浙江臺(tái)州?統(tǒng)考一模）如圖，AADEgaABC,點(diǎn)。在邊AC上，延長(zhǎng)ED交邊BC于點(diǎn)

F,若NE4c=35。，則4FD=.

CFB

【答案】145。/145度

【分析】根據(jù)四△ABC可得NAED=NACB,再由三角形內(nèi)角和得到NDFC=NE4c=35。，利用鄰

補(bǔ)角定義求出/BED即可.

【詳解】解：S^ADE^^ABC,^\ZAED=ZACB,

^\ZADE=ZFDC,ElZDFC=ZE4C=35°,0ZBFD=180°-Z.DFC=145°.故答案為：145°

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和以及鄰補(bǔ)角定義，解答關(guān)鍵是在全等三角形性質(zhì)基

礎(chǔ)上靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

例9：（2023?浙江臺(tái)州?統(tǒng)考中考真題）如圖，銳角三角形ABC中，AB=AC,點(diǎn)。，E分別在邊AB,

AC上，連接BE,CD.下列命題中，假命題是（）.

A.若CD=BE,則Nr>CB=NE3CB.若NDCB=NEBC,則=

C.若BD=CE,則NOCB=NE3cD.若NDCB=/EBC,則BD=CE

【答案】A

【分析】由AB=AC,可得/ABC=/ACB,再由?！?gt;=3￡,BC=CB,由SSA無法證明,.BCD與CBE全

等，從而無法得到/DCB=/EBC；證明VABE@/ACD可得CD=BE；證明V4B￡@MCD,可得

ZACD=ZABE,即可證明；證明A￡>3C—ECB（ASA）,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：SAB=AC,I3NABC=/ACB,

回若CD=3E,又BC=CB,ffl3CD與二CBE滿足"S5A”的關(guān)系，無法證明全等，

因此無法得出NDC3=/EBC,故A是假命題，團(tuán)若NDCB=NEBC,^iZACD=ZABE,

ZACD=ZABE

在11ABE■和，ACD中，<AB=AC,^■ABE^ACD（ASA）,SiCD=BE,故B是真命題；

ZA=ZA

AB=AC

若BD=CE,則AD=AE,在一ABE和AACD中，<ZA=ZA,SABEACD（SAS）,SZACD=ZABE,

AE=AD

SZABC=ZACB,SZDCB=ZEBC,故C是真命題；

若NDCB=NEBC,則在△D3C和ECB中，

ZABC=ZACB

-BC=BC,B..DBC=_ECB（ASA）,SBD^CE,故D是真命題；故選：A.

ZDCB=ZEBC

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，命題的真假判斷，正確的命題叫

真命題，錯(cuò)誤的命題叫假命題，判斷命題的真假關(guān)鍵是掌握相關(guān)性質(zhì)定理.

變式1.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)

AB,C,D,E均在小正方形方格的頂點(diǎn)上，線段4民8交于點(diǎn)尸，若NCFB=a,則等于

（）

A.180°-?B.1800-2aC.90°+。D.90°+2e

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】解：如圖，由圖可知：GD=EH=1,CG=BH=4,ZCGD=ZBHE=90°,

0CGD空BHE（SAS）,0NGCD=NHBE,^CG//BD,0ZC4B=ZABD,

SZCFB=ZCAB+ZGCD=a,^\a=ZABD+ZHBE,

0ZABE=ZABD+ZDBH+ZHBE=90°+?；故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

例10:（2023?江蘇南通?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)。，E分別在A3,AC上，ZADC=ZAEB=90°,

BE,CO相交于點(diǎn)。，OB=OC.求證：Z1=Z2.

小虎同學(xué)的證明過程如下：

證明：ZADC=ZAEB=90°,EINOO3+N3=NEOC+NC=90°.

aNDOB=NEOC,0ZB=ZC.第一步

又Q4=（M,OB=OC,回△ABO/△ACO第二步

團(tuán)N1=N2第三步

（1）小虎同學(xué)的證明過程中，第步出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）請(qǐng)寫出正確的證明過程.

【答案】⑴二⑵見解析

【分析】（1）根據(jù)證明過程即可求解.（2）利用全等三角形的判定及性質(zhì)即可求證結(jié)論.

【詳解】（1）解：則小虎同學(xué)的證明過程中，第二步出現(xiàn)錯(cuò)誤，故答案為：二.

（2）證明：ZADC=ZAEB=90°fZBDC=ZCEB=90°,

ZBDO=ZCEO

在4005和△石OC中，＜/DOB=NEOC,DOB^EOC（AAS）,:.OD=OE,

OB=OC

fOA=OA

在用ADO和咫AEO中，\RtADO=RtAEO（HL\,Z1=Z2.

\OD=OE

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?陜西?統(tǒng)考中考真題）如圖，在“ABC中，ZB=50。，NC=20。.過點(diǎn)A作AE_LBC,垂足為

E,延長(zhǎng)E4至點(diǎn)D.使A?=AC.在邊AC上截取AF=AB,連接。咒.求證：DF=CB.

【答案】見解析

【分析】利用三角形內(nèi)角和定理得-C4B的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】證明：在中，ZB=50°,ZC=20°,：.ZCAB=180°-ZB-ZC=110°.

AE±BC..-.ZAEC=90°...ZDAF^ZAEC+ZC=110°,:.NDAF=NCAB.

AD=AC

在△ZMF和△CAB中，＜ZDAF=ZCAB,|?|*DAF=G4B（SAS）.：.DF=CB.

AF=AB

【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，AB=AC,CD±AB,BEVAC,垂足分別為O,E.

⑴求證：ABE^ACD；(2)^AE=6,CD=8,求的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析(2)=4

【分析】(1)利用"AAS"可證明一ABE竺ACD；⑵先利用全等三角形的性質(zhì)得到=AE=6,再利用

勾股定理計(jì)算出AC,從而得到AB的長(zhǎng)，然后計(jì)算AB-AD即可.

【詳解】(1)證明：CD±AB,BELAC,ZAEB=ZADC=90°,

ZEB=NADC

在」ABE和ACD中，-NBAE=ACAD,.二ABE四。ACD(AAS)；

AB^AC

(2)解：ABEgACD,:.AD=AE^6,

在RtACD中,AC=yjAD2+CD2=762+82=10，

AB=AC=10,:.BD=AB-AD=10-6=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角

相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

變式3.(2023?吉根統(tǒng)考中考真題)如圖，點(diǎn)C在線段3。上，在11ABe和.DEC中，

ZA=NDAB=DE,NB=NE.求證：AC=DC.

【答案】證明見解析

【分析】直接利用ASA證明空△DEC,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明.

ZA=ZD

【詳解】解：在ABC和DEC中，＜AB=DE^ABCDEC(ASA)SAC=DC.

ZB=ZE

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

例11：(2023?重慶?統(tǒng)考中考真題)如圖，在RtaASC中，ABAC=90,AB=AC,點(diǎn)。為BC上一點(diǎn)，

連接AD.過點(diǎn)2作5ELAD于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作Cb_LAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?若BE=4,CF=1,則

EF的長(zhǎng)度為.

A

【答案】3

【分析】證明得到BE=ARCB=AE,即可得解.

【詳解】解：0ZBAC=90°,fflZE4B+ZE4C=90°,

BBE±AD,CFYAD,EZAEB=ZAFC=90°,0ZACF+ZE4C=90°,S\ZACF=ZBAE,

ZAEB=ZCFA

在AAFC^DABEA中：＜ZACF=ZBAE,回AAFC^ABE4(AAS),

AB=AC

^AF=BE=4,AE=CF=1,I2EF=AF-A￡=4—1=3,故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì).利用同角的余角相等和等腰三角形的兩腰相等證明三角形全

等是解題的關(guān)鍵.

變式1.(2023?山東臨沂?統(tǒng)考中考真題)如圖，ZA=90°,AB=AC,BD±AB,BC=AB+BD.

⑴寫出AB與3D的數(shù)量關(guān)系⑵延長(zhǎng)8C到E,使CE=BC,延長(zhǎng)。C到尸，使CF=DC,連接E尸.求

證：EF_LAB.(3)在(2)的條件下，作NZCE的平分線，交AF于點(diǎn)、H,求證：AH=FH.

【答案[=(2)見解析(3)見解析

【分析】(])勾股定理求得8C=夜A8,結(jié)合已知條件即可求解；

(2)根據(jù)題意畫出圖形，證明-CBDWCEP,得出/E=/DBC=45。,則EF〃m，即可得證；

(3)延長(zhǎng)BAE廠交于點(diǎn)延長(zhǎng)CH交ME于點(diǎn)G,根據(jù)角平分線以及平行線的性質(zhì)證明EG=EC,進(jìn)

而證明aMC/sFHG(AAS),即可得證.

【詳角星】(1)解：0ZA=9O°,AB=AC0BC=72AB,

SBC^AB+BD^\y/2AB=AB+BD即(夜一1)AB=3。；

(2)證明：如圖所示，

EIZA=90°,AB=ACI3ZABC^45°,SBDJ.AB,回ND3c=45°

I3CE=BC,Z1=Z2,CF=DCSi.CBD^i.CEF

0ZE=ZDBC=45°^\EF//BDEAB±￡F

(3)證明：如圖所示，延長(zhǎng)54,所交于點(diǎn)Af,延長(zhǎng)CH交ME于點(diǎn)G,

EICH是/ACE的角平分線，SZACG=ZECG,⑦NCGE=NECG回EG=EC

0CBD^,CEF,?EF=BD,CE=CB,0EG=CB,

5^BC=AB+BD,SEG=AB+BD=AC+EF,

即尸G+EF=AC+EF,^\AC=EG,又AC〃尸G,則ZH4G=/HFG,

ZHAG=ZHFG

在<AHC,.尸HG中,\ZAHG=ZFHG,fflAHC^,FHG(AAS),^AH=HF

AC=FG

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，平行線的性質(zhì)與判定，

熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

變式2.(2023?青海海西??？家荒?請(qǐng)完成如下探究系列的有關(guān)問題：

探究1：如圖1,ABC是等腰直角三角形，NB4C=90。，點(diǎn)D為3C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD,以AD為邊在

AD的右側(cè)作正方形ADEF,連接CP,則線段CF,8。之間的位置關(guān)系為—，數(shù)量關(guān)系為一.

探究2：如圖2,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到線段BC的延長(zhǎng)線上，其余條件不變，探究1中的兩條結(jié)論是否仍然成立?

為什么？(請(qǐng)寫出證明過程)。

探究3：如圖3,如果MwAC,ABAC^90°,/BC4仍然保留為45。，點(diǎn)。在線段BC上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你判斷

線段CF,3。之間的位置關(guān)系，并說明理由.

圖1圖2圖3

【答案】探究1：CFLBD,CF=BD；探究2,仍然成立，理由見詳解；探究3：CF1BD,理由見詳解

【分析】探究1：根據(jù)題意證明△45?？铡鰽CF(SAS),推出CF=BD,推出NACF=N8=45。，推出

NBCF=90。即可；探究2：結(jié)論不變，證明方法與探究1類似；

探究3,過點(diǎn)A作AFLAC,交C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，/BC4=45。時(shí)，利用正方形性質(zhì)可推出

APD^ACF(SAS)即可得到NBCF=ZBCA+ZACF=90°,得出結(jié)論.

【詳解】探索1：4c=90。，:.ZBAD+ZCAD^90°,

四邊形ADEF為正方形，二/ZM尸=90。，ZCAD+ZCAF=90°,:.ZBAD=ZCAF,

AB=AC

???在△ABD和△ACF中，＜ZBAD=ZCAF,AABDAACF(SAS),

AD=AF

:.CF=BD,ZACF=ZB=45°,:.ZBCF=90°,：.CFLBD,

故答案為：CF1BD,CF=BD；

探索2：探索工中的兩條結(jié)論是否仍然成立，

理由如下：ZBAC=90°,,-.ZBAD=90°+ZCAD,

;四邊形ADEF為正方形，，NZMF=9()o+/C4D,「.NBADuNa/，

AB=AC

：.在△ABD和△ACF中，＜NBAD=NCAF,:.AABD^C4F(SAS),

AD=AF

:.CF=BD,ZACF=ZB=45°,:.NBCF=90°,CF1BD；

探索3：線段C/，8。之間的位置關(guān)系是CF,3D,

理由如下：如圖，過點(diǎn)A作AFLAC,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸,

圖3

ZBC4=45°,:.ZAPD=45°,AP=AC,四邊形相＞￡F為正方形，.?.AD=AF,

ZPAD=90°-ZDAC,ZCAF=90°-ZDAC,:.ZPAD=ZCAF,

：.APD