數(shù)學(xué)同步練習(xí)題考試題試卷教案高一數(shù)學(xué)教案導(dǎo)數(shù)的運算法則及基本公式應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的運算法則及基本公式應(yīng)用重難點歸納1深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念，了解用定義求簡單的導(dǎo)數(shù)EMBEDEquation.3表示函數(shù)的平均改變量，它是Δx的函數(shù)，而f′(x0)表示一個數(shù)值，即f′(x)=EMBEDEquation.3，知道導(dǎo)數(shù)的等價形式EMBEDEquation.32求導(dǎo)其本質(zhì)是求極限，在求極限的過程中，力求使所求極限的結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為已知極限的形式，即導(dǎo)數(shù)的定義，這是順利求導(dǎo)的關(guān)鍵3對于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡，再求導(dǎo)的基本原則，求導(dǎo)時，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤4復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，像鏈條一樣，必須一環(huán)一環(huán)套下去，而不能丟掉其中的一環(huán)必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過怎樣的順序復(fù)合而成的，分清其間的復(fù)合關(guān)系典型題例示范講解例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)EMBEDEquation.3命題意圖本題3個小題分別考查了導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法，以及抽象函數(shù)求導(dǎo)的思想方法這是導(dǎo)數(shù)中比較典型的求導(dǎo)類型知識依托解答本題的閃光點是要分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)和特征，挖掘量的隱含條件，將問題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)錯解分析本題難點在求導(dǎo)過程中符號判斷不清，復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)分解為基本函數(shù)出差錯技巧與方法先分析函數(shù)式結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)復(fù)合函數(shù)的式子特征，按照求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)EMBEDEquation.3EMBEDEquation.DSMT4(2)解y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－byv=x,y=sinγγ=ωxy′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′=3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′)=3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx)(3)解法一設(shè)y=f(μ),μ=EMBEDEquation.3,v=x2+1,則y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·EMBEDEquation.3v－EMBEDEquation.3·2x=f′(EMBEDEquation.3)·EMBEDEquation.3·2x=EMBEDEquation.3解法二y′=［f(EMBEDEquation.3)］′=f′(EMBEDEquation.3)·(EMBEDEquation.3)′=f′(EMBEDEquation.3)·EMBEDEquation.3(x2+1)EMBEDEquation.3·(x2+1)′=f′(EMBEDEquation.3)·EMBEDEquation.3(x2+1)EMBEDEquation.3·2x=EMBEDEquation.3f′(EMBEDEquation.3)例2利用導(dǎo)數(shù)求和(1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1(x≠0,n∈N*)(2)Sn=CEMBEDEquation.3+2CEMBEDEquation.3+3CEMBEDEquation.3+…+nCEMBEDEquation.3,(n∈N*)命題意圖培養(yǎng)考生的思維的靈活性以及在建立知識體系中知識點靈活融合的能力知識依托通過對數(shù)列的通項進(jìn)行聯(lián)想，合理運用逆向思維由求導(dǎo)公式(xn)′=nxn－1,可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導(dǎo)數(shù)關(guān)鍵要抓住數(shù)列通項的形式結(jié)構(gòu)錯解分析本題難點是考生易犯思維定勢的錯誤，受此影響而不善于聯(lián)想技巧與方法第(1)題要分x=1和x≠1討論，等式兩邊都求導(dǎo)解(1)當(dāng)x=1時Sn=1+2+3+…+n=EMBEDEquation.3n(n+1);當(dāng)x≠1時，∵x+x2+x3+…+xn=EMBEDEquation.3,兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得(x+x2+x3+…+xn)′=(EMBEDEquation.3)′即Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1=EMBEDEquation.3(2)∵(1+x)n=1+CEMBEDEquation.3x+CEMBEDEquation.3x2+…+CEMBEDEquation.3xn,兩邊都是關(guān)于x的可導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)得n(1+x)n－1=CEMBEDEquation.3+2CEMBEDEquation.3x+3CEMBEDEquation.3x2+…+nCEMBEDEquation.3xn－1,令x=1得，n·2n－1=CEMBEDEquation.3+2CEMBEDEquation.3+3CEMBEDEquation.3+…+nCEMBEDEquation.3,即Sn=CEMBEDEquation.3+2CEMBEDEquation.3+…+nCEMBEDEquation.3=n·2n－1例3已知曲線Cy=x3－3x2+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(x0,y0)(x0≠0)，求直線l的方程及切點坐標(biāo)解由l過原點，知k=EMBEDEquation.3(x0≠0),點(x0,y0)在曲線C上，y0=x03－3x02+2x0,∴EMBEDEquation.3=x02－3x0+2y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2又k=EMBEDEquation.3,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+22x02－3x0=0,∴x0=0或x0=EMBEDEquation.3由x≠0,知x0=EMBEDEquation.3∴y0=(EMBEDEquation.3)3－3(EMBEDEquation.3)2+2·EMBEDEquation.3=－EMBEDEquation.3∴k=EMBEDEquation.3=－EMBEDEquation.3∴l(xiāng)方程y=－EMBEDEquation.3x切點(EMBEDEquation.3，－EMBEDEquation.3)學(xué)生鞏固練習(xí)1y=esinxcos(sinx)，則y′(0)等于()A0 B1 C－1 D22經(jīng)過原點且與曲線y=EMBEDEquation.3相切的方程是()Ax+y=0或EMBEDEquation.3+y=0 Bx－y=0或EMBEDEquation.3+y=0Cx+y=0或EMBEDEquation.3－y=0 Dx－y=0或EMBEDEquation.3－y=03若f′(x0)=2,EMBEDEquation.3=_________4設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),則f′(0)=_________5已知曲線C1:y=x2與C2:y=－(x－2)2,直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程6求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=(x2－2x+3)e2x;(2)y=EMBEDEquation.37有一個長度為5m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3m/s的速度離開墻腳滑動，求當(dāng)其下端離開墻腳14m時，梯子上端下滑的速度8求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn－1,(x≠0,n∈N*)參考答案1解析y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1答案B2解析設(shè)切點為(x0,y0),則切線的斜率為k=EMBEDEquation.3,另一方面，y′=(EMBEDEquation.3)′=EMBEDEquation.3,故y′(x0)=k,即EMBEDEquation.3或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,x0(2)=－15,對應(yīng)有y0(1)=3,y0(2)=EMBEDEquation.3,因此得兩個切點A(－3，3)或B(－15,EMBEDEquation.3),從而得y′(A)=EMBEDEquation.3=－1及y′(B)=EMBEDEquation.3,由于切線過原點，故得切線lA:y=－x或lB:y=－EMBEDEquation.3答案A3解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義f′(x0)=EMBEDEquation.3(這時EMBEDEquation.3)EMBEDEquation.3答案－14解析設(shè)g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),則f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！答案n!5解設(shè)l與C1相切于點P(x1,x12),與C2相切于Q(x2,－(x2－2)2)對于C1y′=2x,則與C1相切于點P的切線方程為y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12 ①對于C2y′=－2(x－2),與C2相切于點Q的切線方程為y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4 ②∵兩切線重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0∴直線l方程為y=0或y=4x－46解(1)注意到y(tǒng)＞0,兩端取對數(shù)，得lny=ln(x2－2x+3)+lne2x=ln(x2－2x+3)+2xEMBEDEquation.3(2)兩端取對數(shù)，得ln|y|=EMBEDEquation.3(ln|x|－ln|1－x|),兩邊解x求導(dǎo)，得EMBEDEquation.37解設(shè)經(jīng)時間t秒梯子上端下滑s米,則s=5－EMBEDEquation.3,當(dāng)下端移開14m時，t0=EMBEDEquation.3,又s′=－EMBEDEquation.3(25－9t2)EMBEDEquation.3·(－9·2t)=9tEMBEDEquation.3,所以s′(t0)=9×EMBED