電動(dòng)力學(xué)(2)資料講解

電動(dòng)力學(xué)李佳偉jwli@學(xué)習(xí)內(nèi)容第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律第二章靜電場(chǎng)第三章靜磁場(chǎng)第四章電磁波的傳播第五章電磁波的輻射第六章狹義相對(duì)論第零章數(shù)學(xué)準(zhǔn)備丹麥物理學(xué)家

奧斯特英國(guó)物理學(xué)家法拉第英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)1、經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)象：電磁場(chǎng)的基本屬性電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律電磁場(chǎng)和物質(zhì)的相互作用2、研究?jī)?nèi)容:電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律、靜電場(chǎng)、穩(wěn)恒磁場(chǎng)、電磁波的傳播、電磁波輻射、狹義相對(duì)論以及帶電粒子和電磁場(chǎng)的相互作用。閑話(huà)電動(dòng)力學(xué)電動(dòng)力學(xué)：電－動(dòng)力學(xué)，Electro-Dynamics動(dòng)力學(xué)：運(yùn)動(dòng)規(guī)律，HowitmovesandWhy？物質(zhì)的基本屬性之一：電荷，Charge什么是基本屬性？四種相互作用引力相互作用－電磁相互作用－強(qiáng)相互作用－弱相互作用時(shí)間、空間和物質(zhì)時(shí)空獨(dú)立－時(shí)空關(guān)聯(lián)－時(shí)空物質(zhì)關(guān)聯(lián)實(shí)體物質(zhì)和場(chǎng)，兩類(lèi)物質(zhì)物質(zhì)，相互作用的實(shí)體 Fermi子（半整數(shù)自旋），系統(tǒng)不允許有相同狀態(tài)的Fermi子 “光”，傳遞相互作用Bose子（整數(shù)自旋），系統(tǒng)允許有相同狀態(tài)的Bose子2025/2/81:18電動(dòng)力學(xué)基本內(nèi)容電動(dòng)力學(xué)基本內(nèi)容Maxwell

方程組和Lorentz

力靜電/磁場(chǎng)求解方法動(dòng)電，即電磁波的發(fā)射（輻射）/傳播/接收（吸收）狹義相對(duì)論電動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)＋狹義相對(duì)論是一個(gè)完備的理論宏觀(guān)電磁現(xiàn)象的規(guī)律，涉及微觀(guān)則多半失效學(xué)習(xí)參考書(shū)?

蔡圣善，等.電動(dòng)力學(xué).北京:高等教育出版社，2002(7)

?

伊真，電動(dòng)力學(xué)，科學(xué)出版社，2004年

?

劉覺(jué)平,電動(dòng)力學(xué).北京：高等教育出版社，2004年9月?D.Jackson,ClassicalElecrodynamics(3rdEdition),影印版，2001，高等教育出版社?

張澤瑜,等.電動(dòng)力學(xué).北京:清華大學(xué)出版社，1987.?

郭芳俠,電動(dòng)力學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題詳解,西安:陜西師范大學(xué)出版社,2005年10月

?

林璇英張之翔，電動(dòng)力學(xué)題解，北京：科學(xué)出版社1999年8月本章內(nèi)容:梯度、散度、旋度重要定理：Gausstheorem

Stokestheorem第零章數(shù)學(xué)準(zhǔn)備1、兩矢量標(biāo)量積與矢量積一.矢量代數(shù)2、混合積3、三重矢積abc不滿(mǎn)足交換規(guī)律4、矢量求導(dǎo)法則1、標(biāo)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)：溫度場(chǎng)、質(zhì)量場(chǎng)…矢量場(chǎng)：速度場(chǎng)、重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)…

二、梯度、散度和旋度

2、梯度（gradient）：表征標(biāo)量場(chǎng)內(nèi)某點(diǎn)附近場(chǎng)的變化（直角坐標(biāo)系）3、散度（divergence）：定義（直角坐標(biāo)系）4、旋度（rotation）：定義（直角坐標(biāo)系）三、算符運(yùn)算公式四、重要定理S為區(qū)域V的界面L為S的邊界線(xiàn)高斯定理(Gausstheorem)斯托克斯定理(Stokestheorem)五、乘積的矢量微分運(yùn)算公式五、球坐標(biāo)系中的算符六、常用幾個(gè)公式設(shè)：c)e)d)a)b)g)h)i)f)第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律基本實(shí)驗(yàn)定律:

1.

庫(kù)侖定律

2.畢奧—薩伐爾定律

3.法拉第電磁感應(yīng)定律4.電荷守恒定律

疊加原理推廣

麥克斯韋方程組洛侖茲力

介質(zhì)電磁性質(zhì)方程

電磁場(chǎng)的基本方程電磁現(xiàn)象的描述電磁現(xiàn)象的描述

電場(chǎng)強(qiáng)度：

磁感應(yīng)強(qiáng)度：電磁場(chǎng)由時(shí)空變化的兩個(gè)矢量函數(shù)描述電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求描述電磁場(chǎng)的物理量（、）的時(shí)空變化關(guān)系數(shù)學(xué)上，就是求（、）所滿(mǎn)足的偏微分方程第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律§1.1電荷和電場(chǎng)§1.2電流和磁場(chǎng)§1.3麥克斯韋方程組§1.4介質(zhì)的電磁性質(zhì)§1.5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系§1.6電磁場(chǎng)的能量和能流§1.1電荷和電場(chǎng)一.庫(kù)侖定律(columb)得到點(diǎn)電荷Ｑ所激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度為電荷連續(xù)分布：yxzO描述一個(gè)靜止點(diǎn)電荷對(duì)另一靜止點(diǎn)電荷的作用力二．高斯定理（Gauss)和電場(chǎng)的散度方程yxzS它反映了電場(chǎng)是有源場(chǎng)，源為電荷。1、高斯定理其中是曲面Ｓ對(duì)電荷元

所在點(diǎn)所張的立體角．dVr￠若點(diǎn)在Ｓ內(nèi)，則若點(diǎn)在Ｓ外，則于是得：

(Ｖ為Ｓ包圍的體積)

yxzS證明如下：

在空間任取一閉合曲面Ｓ，則2、靜電場(chǎng)的散度結(jié)論?它又稱(chēng)為靜電場(chǎng)高斯定理的微分形式。由于S的任意性?它說(shuō)明空間某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的散度只與該點(diǎn)電荷體密度有關(guān)，與其它點(diǎn)的無(wú)關(guān)。三、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理與旋度方程1.環(huán)路定理⑴靜電場(chǎng)對(duì)任意閉合回路的環(huán)量為零；2、靜電場(chǎng)的旋度⑴環(huán)路定理的微分形式，僅適用靜電場(chǎng)。⑵說(shuō)明回路內(nèi)無(wú)渦旋存在,靜電場(chǎng)是不閉合的。⑵它說(shuō)明靜電場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，電力線(xiàn)永不閉合。

(1)電荷只直接激發(fā)其鄰近的場(chǎng),遠(yuǎn)處的場(chǎng)則是通過(guò)場(chǎng)本身的內(nèi)部作用傳遞出處的.其中靜電場(chǎng)性質(zhì)由下面兩個(gè)方程來(lái)描述:

結(jié)論(2)在的地方,此處電場(chǎng)線(xiàn)連續(xù)通過(guò),

不中斷;的地方,是電場(chǎng)線(xiàn)的起點(diǎn).積分形式注意:力線(xiàn)是渦旋狀的場(chǎng)一定會(huì)有一些空間點(diǎn)的旋度不為0,

是有旋場(chǎng),但力線(xiàn)是非旋渦狀的場(chǎng),卻不一定都是無(wú)旋場(chǎng).例1:電荷Q均勻分布于半徑為a的球體內(nèi),求各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度,并由此直接計(jì)算電場(chǎng)的散度.解：由高斯定理得：可見(jiàn)散度只存在于有電荷分布的區(qū)域內(nèi)．例２．已知真空中某電場(chǎng)

求產(chǎn)生此電場(chǎng)的電荷分布．解：對(duì)區(qū)：對(duì)區(qū)：

可見(jiàn)電荷分布在Ｒ為半徑的球面上，總量為Ｑ，面密度§1.2電流和磁場(chǎng)一.電流密度矢量和電荷守恒定律:1.電流密度

若電流由一種帶電粒子運(yùn)動(dòng)形成,設(shè)電荷密度為平均速度為若有多種粒子:寫(xiě)成矢量式:的大?。捍笮。?jiǎn)挝粫r(shí)間垂直通過(guò)單位面積的電量方向：沿導(dǎo)體內(nèi)一點(diǎn)電荷流動(dòng)的方向2、電荷守恒定律開(kāi)放系統(tǒng)：?jiǎn)挝粫r(shí)間流出區(qū)域V的電荷總量等于V內(nèi)電

量的減少率。一般情況積分形式一般情況微分形式⑴反映空間某點(diǎn)電流與電荷之間的關(guān)系，電流線(xiàn)一

般不閉合。

封閉系統(tǒng)：總電荷嚴(yán)格保持不變。電流：流出為正，流入為負(fù)⑵若空間各點(diǎn)電荷與時(shí)間無(wú)關(guān)，則為穩(wěn)恒電流。

即二、畢奧—薩伐爾(Biot-Savart)定律線(xiàn)電流（恒定）激發(fā)的磁場(chǎng)：體電流：兩電流元之間的相互作用力是否滿(mǎn)足牛頓第三定律？結(jié)論：不滿(mǎn)足。但兩通電閉合導(dǎo)體之間滿(mǎn)足第三定律安培作用力定律：閉合導(dǎo)線(xiàn)閉合導(dǎo)體三、安培環(huán)路定理和磁場(chǎng)的旋度方程1、環(huán)路定理：2、旋度方程1）穩(wěn)恒磁場(chǎng)為有旋場(chǎng)。2）應(yīng)用該公式必須在電流連續(xù)分布區(qū)域，不連續(xù)區(qū)只有用環(huán)路定理；3）它只對(duì)穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)成立。四、磁場(chǎng)的通量和散度方程高斯定理：1）靜磁場(chǎng)為無(wú)源場(chǎng)（相對(duì)通量而言）2）它不僅適用于靜磁場(chǎng)，也適用于變化磁場(chǎng)五．靜磁場(chǎng)的基本方程（總結(jié)）☆反映靜磁場(chǎng)為無(wú)源有旋場(chǎng)，磁力線(xiàn)總閉合。它的激發(fā)源仍然是運(yùn)動(dòng)的電荷。微分形式：積分形式：☆注意：靜電場(chǎng)可單獨(dú)存在，穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)不能單獨(dú)存在（永磁體磁場(chǎng)可以單獨(dú)存在，且沒(méi)有宏觀(guān)靜電場(chǎng)）。例：由Biot-Savart定律證明磁場(chǎng)的散度、旋度：式中而對(duì)于恒定電流，有：再計(jì)算結(jié)論:①恒定磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng),磁感線(xiàn)是閉合曲線(xiàn).②在處,,旋度是局域的.★由畢—薩定律出發(fā)證明磁場(chǎng)的”高斯”定理,環(huán)路定理.例1.電流I均勻分布于半徑為a的無(wú)窮長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)內(nèi),求空間各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度,并由此計(jì)算磁場(chǎng)的旋度.解:磁場(chǎng)具有軸對(duì)稱(chēng)性,作半徑為r的同軸圓環(huán)為安培環(huán)路L.例２：下面的矢量函數(shù)中哪些可能是磁場(chǎng)？如果是，求其源電流

（柱坐標(biāo)）解：所以不是§1.3麥克斯韋方程組通過(guò)學(xué)習(xí)麥克斯韋方程的建立過(guò)程:深刻理解理論物理學(xué)的特點(diǎn)；了解麥克斯韋方程在電磁場(chǎng)理論中的重要地位；了解麥克斯韋方程組的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)；一、總電場(chǎng)的旋度和散度方程1、電磁感應(yīng)現(xiàn)象1831年法拉第（其中）感生電場(chǎng)與感生電動(dòng)勢(shì)的關(guān)系：2、感生電場(chǎng)的旋度方程1）電磁感應(yīng)的實(shí)質(zhì)：變化磁場(chǎng)激發(fā)電場(chǎng)2）感生電場(chǎng)為有旋場(chǎng)（又稱(chēng)漩渦場(chǎng)）,與靜電場(chǎng)本質(zhì)不同。感生電場(chǎng)的散度方程：由于感生電場(chǎng)不是由電荷直接激發(fā)，可以認(rèn)為：總電場(chǎng)的旋度與散度方程：3、假定電荷分布激發(fā)的場(chǎng)為，則滿(mǎn)足：4、總電場(chǎng)為：有源無(wú)旋—縱場(chǎng)無(wú)源有旋—橫場(chǎng)結(jié)論：Fraddy定律揭示了變化著的磁場(chǎng)可以激發(fā)電場(chǎng).此電場(chǎng)是渦旋形式,其旋度不為零,電場(chǎng)線(xiàn)是閉合線(xiàn).與靜電場(chǎng)不同二.位移電流位移電流的假設(shè):對(duì)靜磁場(chǎng)：兩邊取散度，得：對(duì)非穩(wěn)恒電流：因此

對(duì)非穩(wěn)恒情況不成立。麥克斯韋假設(shè)存在位移電流：，總電流：有：位移電流的表達(dá)式是什么？麥克斯韋在多方面考慮后取(1)位移電流的實(shí)質(zhì)是電場(chǎng)的變化率,即變化的電場(chǎng)可以激發(fā)磁場(chǎng);并不是真正的電流,只是從能夠產(chǎn)生磁場(chǎng)的角度命名的.這一表達(dá)式并不唯一,但它是最簡(jiǎn)單而且物理意義很明確的一種形式.說(shuō)明：因此將改寫(xiě)為：（在穩(wěn)恒和非穩(wěn)恒的情況下都成立。）三、真空中的電磁場(chǎng)基本方程——麥克斯韋方程組①揭示了電磁場(chǎng)的內(nèi)部作用和運(yùn)動(dòng).不僅電荷和電流可以激發(fā)電磁場(chǎng),而且變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)也可以互相激發(fā).②電磁場(chǎng)可以獨(dú)立于電荷之外而存在.因?yàn)樵诘膮^(qū)域,仍可存在電磁場(chǎng)。微分形式：積分形式：四.洛侖茲(Lorentz)公式:對(duì)于點(diǎn)電荷受力：此式適用于任意運(yùn)動(dòng)的帶電粒子.對(duì)于電荷系統(tǒng)：取其中一體積元，設(shè)其運(yùn)動(dòng)速度為，它受的電磁力則單位體積所受的力----------力密度電磁場(chǎng)對(duì)電荷系統(tǒng)作的功率密度為麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式所描寫(xiě)的電磁相互作用理論,是一個(gè)線(xiàn)性理論,而且是局域作用理論——即電荷電流只與其所在處的

和

直接發(fā)生作用.對(duì)

兩邊取散度,得由于

,代入得:例1.試由真空中的Maxwell方程組推演電荷守恒定律證明:電荷守恒定律的形式為例2.試推導(dǎo)真空中自由空間電磁波的波動(dòng)方程:在電磁波存在的空間,

可見(jiàn),自由空間中電磁場(chǎng)是以波動(dòng)的形式存在的,真空中波傳播的速度大小等于真空中的光速.Maxwell正是根據(jù)這一波動(dòng)方程預(yù)言了光就是電磁波.一.介質(zhì)的極化:存在兩類(lèi)電介質(zhì)(dielectric)——無(wú)極分子(non-polarmolecule)電介質(zhì)和有極分子(polarmolecule)電介質(zhì).1、極化:極性分子—取向極化

無(wú)極分子—位移極化用極化強(qiáng)度(polarizationvector)描寫(xiě)介質(zhì)的極化程度.

表示這體積內(nèi)分子電偶極矩的矢量和.§1.4介質(zhì)的電磁性質(zhì)2、極化電荷分布與極化強(qiáng)度的關(guān)系:其中

是介質(zhì)的極化強(qiáng)度.則由S穿出的總電荷為,應(yīng)等于S面內(nèi)凈余負(fù)電荷：微分形式為:1、非均勻極化介質(zhì)的內(nèi)部，

故會(huì)有宏觀(guān)極化體電荷分布.2、若介質(zhì)均勻極化,則有,定義電荷面密度。介質(zhì)2介質(zhì)1其中

為分界面法線(xiàn)方向,由介質(zhì)1指向介質(zhì)2.3.極化電流與極化強(qiáng)度的關(guān)系:如果作用電場(chǎng)隨時(shí)間變化,將引起介質(zhì)分子的束縛電荷振動(dòng)而形成極化電流.由

式和電流連續(xù)性方程得：得極化電流密度：可見(jiàn)極化電流是由于的變化引起的.若,則4、介質(zhì)中的電場(chǎng)一般情況下介質(zhì)中的電場(chǎng)散度方程應(yīng)為：

:自由電荷體密度,

:極化電荷體密度:介質(zhì)中的總宏觀(guān)電場(chǎng)強(qiáng)度.上式變?yōu)?定義輔助場(chǎng)量——電位移矢量(electricdisplacement):對(duì)各向同性的線(xiàn)性介質(zhì):---電容率(介電常數(shù))

---極化率例1.沿軸向極化的均勻介質(zhì)圓棒,若設(shè)軸線(xiàn)為x軸則極化強(qiáng)度如圖:Oabx求：①棒內(nèi)的極化電荷密度.②棒表面的極化電荷電荷密度.解：①②

x=a處：x=b處：例２．分析線(xiàn)性電介質(zhì)中極化電荷的分布所以可見(jiàn):極化電荷分布于介質(zhì)的不均勻處、介質(zhì)的界面處以及有自由電荷的地方．磁偶極矩:三．介質(zhì)的磁化1、在無(wú)外磁場(chǎng)作用時(shí),一定體積內(nèi)分子磁矩的矢量和為零.2、在外磁場(chǎng)

作用下,分子磁矩

將受到力矩,介質(zhì)出現(xiàn)宏觀(guān)磁矩.微觀(guān)分子電流1、磁化強(qiáng)度(magnetizationvector)物理意義：介質(zhì)的磁化程度②均勻磁化：＝常量．①對(duì)真空或未磁化的介質(zhì)，順磁介質(zhì)：

取向極化，抗磁介質(zhì)：

感生磁矩，與方向相反．

２.與磁化電流的分布關(guān)系：只有那些鏈環(huán)著

的分子電流,才對(duì)于通過(guò)曲面

的磁化電流

有凈貢獻(xiàn).穿過(guò)曲面Ｓ的電流由S的任意性,得：定義電流“線(xiàn)密度”物理意義：垂直通過(guò)橫截線(xiàn)的電流。則由上式得界面：３、介質(zhì)中的磁場(chǎng)磁場(chǎng)強(qiáng)度

實(shí)質(zhì)是電場(chǎng)變化率介質(zhì)中的磁場(chǎng)由共同決定

定義輔助場(chǎng)量——磁場(chǎng)強(qiáng)度:四、介質(zhì)中的麥克斯韋方程微分形式積分形式介質(zhì)中普適的電磁場(chǎng)基本方程，可用于任意介質(zhì)，

當(dāng)，回到真空情況。五、介質(zhì)中的電磁性質(zhì)方程1、電磁場(chǎng)較弱

均呈線(xiàn)性關(guān)系⑴各向同性線(xiàn)性非鐵磁介質(zhì)極化率電容率相對(duì)電容率磁化率磁導(dǎo)率相對(duì)磁導(dǎo)率電導(dǎo)率導(dǎo)體中的歐姆定律電容率張量⑵各向異性線(xiàn)性介質(zhì)（如晶體）

各向異性介質(zhì)電性質(zhì)方程矩陣形式磁導(dǎo)率張量電導(dǎo)率張量2、電磁場(chǎng)較強(qiáng)時(shí)

對(duì)于鐵磁物質(zhì),一般情況不僅非線(xiàn)性，而且非單值；在電磁場(chǎng)頻率很高時(shí)，介質(zhì)會(huì)出現(xiàn)色散現(xiàn)象。即使在電磁場(chǎng)較弱的情況

表現(xiàn)為頻率的函數(shù)。（3）電位移矢量與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系為非線(xiàn)性關(guān)系例3.證明穩(wěn)恒電流情形下,均勻介質(zhì)中的磁化電流

可見(jiàn)磁化電流出現(xiàn)在介質(zhì)的不均勻處以及有自由電流的地方,對(duì)均勻介質(zhì):§1.5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系麥?zhǔn)戏匠探M積分形式：一、電磁場(chǎng)量的法線(xiàn)方向分量的邊值關(guān)系1、

和

的法向分量邊值關(guān)系：(1)將應(yīng)用到界面上無(wú)限小高斯面S上。對(duì)均勻各項(xiàng)同性線(xiàn)性介質(zhì)

若：2、、的法向分量邊值關(guān)系二、切向分量邊值關(guān)系應(yīng)用到狹長(zhǎng)回路L上,窄邊趨于零.總結(jié)得到的邊值關(guān)系:邊值關(guān)系一般表達(dá)式理想介質(zhì)邊值關(guān)系表達(dá)式一側(cè)為導(dǎo)體的邊值關(guān)系表達(dá)式(1)求介質(zhì)板內(nèi)外的電場(chǎng).(2)介質(zhì)表面的束縛電荷密度.BA解:①由于介質(zhì)均勻,且不帶電,故

介質(zhì)表面均勻分布著等量異號(hào)的極化電荷.例1.在真空中有一均勻電場(chǎng),在場(chǎng)中放一無(wú)限大的介質(zhì)板,其介電常數(shù)為ε,板面法線(xiàn)與

成θ角,如圖.BA利用邊值關(guān)系的夾角②例２．無(wú)窮大電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，極板上面電荷密

度為

，求電場(chǎng)和束縛電荷分布．解：電容器內(nèi)電介質(zhì)中的電場(chǎng)是均勻的．§1.6電磁場(chǎng)的能量和能流經(jīng)典理論把電磁場(chǎng)描述成連續(xù)分布的物質(zhì),它以波的形式運(yùn)動(dòng).和

是描寫(xiě)這種物質(zhì)分布的兩個(gè)基本物理量.電磁場(chǎng)的物質(zhì)性，表現(xiàn)在它具有能量、動(dòng)量和質(zhì)量.電磁場(chǎng)與電荷的相互作用過(guò)程,遵從能量、動(dòng)量守恒.場(chǎng)對(duì)物質(zhì)作功場(chǎng)能量的減少流入?yún)^(qū)域的能量

的大小等于單位時(shí)間垂直流過(guò)單位橫截面的能量?？紤]V內(nèi)有電流,電荷分布

,單位時(shí)間通過(guò)界面S流入V內(nèi)的能量等于場(chǎng)對(duì)V內(nèi)電荷作功的功率與V內(nèi)電磁場(chǎng)的能量增加率之和。即:1,能量密度:2,能流密度:3,能量守恒定律:單位體積內(nèi)的能量，量綱：J/m3描述能量在場(chǎng)中的分布描述能量在場(chǎng)中的傳播

的方向代表能量傳輸方向。一.場(chǎng)和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律的一般形式:右方：第一項(xiàng)表示場(chǎng)對(duì)

內(nèi)電荷作的功率第二項(xiàng)表示

內(nèi)電磁場(chǎng)能量的增加率.左方：表示單位時(shí)間通過(guò)界面

進(jìn)入

內(nèi)的電磁場(chǎng)能量.二、電磁場(chǎng)能量密度和能流密度表示式功率密度

能流密度的表達(dá)式是否唯一？思考數(shù)學(xué)上，可以取：（為任意矢量）。物理上，不存在。利用注意到第一種情況真空電荷分布情形：相互作用物質(zhì)是電磁場(chǎng)和自由電荷，能量在兩者之間轉(zhuǎn)移。

關(guān)于能量密度：第二種介質(zhì)分布情形：相互作用物質(zhì)是電磁場(chǎng)、自由電荷和介質(zhì)。第一項(xiàng)：場(chǎng)對(duì)自由電荷的功率密度為

，它或轉(zhuǎn)為電荷的動(dòng)能或?yàn)榻苟鸁帷?/p>

后二項(xiàng)：場(chǎng)對(duì)介質(zhì)中束縛電荷的功，轉(zhuǎn)為極化能和磁化能儲(chǔ)存在介質(zhì)或部分轉(zhuǎn)化為分子熱運(yùn)動(dòng)消耗。

電磁場(chǎng)能量密度：介質(zhì)中場(chǎng)能量的改變量為:

對(duì)于均勻各項(xiàng)同性線(xiàn)性介質(zhì):

原因：當(dāng)外場(chǎng)變化極化能和磁化能變化，成為介質(zhì)中的總電磁能量。適用任意介質(zhì)適用線(xiàn)性介質(zhì)例:在同一空間中存在靜止電荷的靜電場(chǎng)和永久磁鐵的磁場(chǎng).此時(shí)可能存在

矢量,但沒(méi)有能流。可以證明，對(duì)于任一閉合表面有：

是否一定有能流？思考證明：又從而：得證。電場(chǎng)為靜電場(chǎng),且三.電磁能量的傳輸:☆電磁波情形:能量在場(chǎng)中傳播.☆恒定電路或低頻交流電:能量在場(chǎng)中傳播，而并不是由電路中的電子來(lái)傳輸.a.導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)電子定向運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于能量傳輸速度.b.恒定情況下,負(fù)載前后電流I處處相等.對(duì)

的電流,?。旱茫篶.在交流電路中,電流的方向發(fā)生變化但能量傳輸方向不變.結(jié)論:電磁場(chǎng)能量無(wú)論是在電磁波情形和電路情形都是在電磁場(chǎng)中傳播的。原因：例1.同軸傳輸線(xiàn)半徑為a,外導(dǎo)線(xiàn)半徑為b,兩導(dǎo)線(xiàn)間為均勻絕緣介質(zhì),導(dǎo)線(xiàn)載有電流I,兩導(dǎo)線(xiàn)間的電壓為U.(1)忽略導(dǎo)線(xiàn)的電阻,計(jì)算介質(zhì)中的能流

和傳輸功率.(2)計(jì)及內(nèi)導(dǎo)線(xiàn)的有限電導(dǎo)率,計(jì)算通過(guò)內(nèi)導(dǎo)線(xiàn)表面進(jìn)入導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)的能流,證明它等于導(dǎo)線(xiàn)的損耗功率.忽略導(dǎo)線(xiàn)電阻時(shí),σ→∞，設(shè)內(nèi)導(dǎo)線(xiàn)表面單位長(zhǎng)度的電荷為τ,應(yīng)用高斯定理bIaI解：(1)在的介質(zhì)中應(yīng)用安培環(huán)路定理：有限bIaI

即為通常在電路問(wèn)題中的傳輸功率表示式，此功率是在場(chǎng)中傳輸?shù)模橘|(zhì)中傳輸功率：由于兩導(dǎo)線(xiàn)間電壓：(2)設(shè)內(nèi)導(dǎo)線(xiàn)的電導(dǎo)率為

,在導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)部有:緊貼導(dǎo)線(xiàn)的介質(zhì)內(nèi),電場(chǎng)切向分量為bIaI由邊值關(guān)系：知：流進(jìn)長(zhǎng)度為的導(dǎo)線(xiàn)內(nèi)的功率為:式中為該段導(dǎo)線(xiàn)的電阻。正是該段導(dǎo)線(xiàn)損耗的功率，是在場(chǎng)中傳輸?shù)?。討?1)在電阻負(fù)載附近電磁場(chǎng)能量的傳輸：相當(dāng)于很小，則：

幾乎垂直進(jìn)入負(fù)載內(nèi)部。(2)在電源附近電磁場(chǎng)能量的傳輸：+_結(jié)論：在閉合直流電路中，能量從電源表面流向空間的電磁場(chǎng)，在空間電磁場(chǎng)中沿著導(dǎo)線(xiàn)方向傳遞給負(fù)載。

從電源側(cè)面流出。例2.計(jì)算正在緩慢充電的電容器的能流.解:設(shè)電容器由半徑為R的兩塊圓形平板構(gòu)成,間距為h.由于得電容器內(nèi)磁場(chǎng)：?jiǎn)挝粫r(shí)間由電容器側(cè)面流入電容器的能量為：hZ

R結(jié)論:能量不是從導(dǎo)線(xiàn)中流過(guò)來(lái)的,而是從電容器外面的空間中通過(guò)電容器側(cè)面流進(jìn)電容器的。電容器的能量：能量的增加率：可見(jiàn)：真空中的麥克斯韋方程微分形式

積分形式

總復(fù)習(xí)介質(zhì)中的麥克斯韋方程微分形式

積分形式

電荷守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式,也稱(chēng)連續(xù)性方程微分形式：

功與場(chǎng)量的關(guān)系：（場(chǎng)和電荷系統(tǒng)的能量守恒定律）第二章靜電場(chǎng)2025/2/81:18靜電場(chǎng)第二章靜電場(chǎng)研究的問(wèn)題:給定自由電荷以及周?chē)臻g介質(zhì)和導(dǎo)體情況下的電場(chǎng)

--------靜電邊值問(wèn)題研究的思路:2025/2/81:18§2-1靜電勢(shì)及其微分方程§2-2唯一性定理§2-3分離變量法§2-4鏡像法§2-5格林函數(shù)法§2-6電多極矩2025/2/81:18本章目錄1．靜電勢(shì)的引入一、靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)靜電場(chǎng)標(biāo)勢(shì)[簡(jiǎn)稱(chēng)電勢(shì)]②取負(fù)號(hào)是為了與電磁學(xué)討論一致

滿(mǎn)足迭加原理③①

的選擇不唯一，相差一個(gè)常數(shù)，只要即可確定知道§2.1靜電勢(shì)及其微分方程2、電勢(shì)差空間某點(diǎn)電勢(shì)無(wú)物理意義，兩點(diǎn)間電勢(shì)差才有意義電勢(shì)差為電場(chǎng)力將單位正電荷從P移到Q點(diǎn)所作功負(fù)值①

電場(chǎng)力作正功，電勢(shì)下降

電場(chǎng)力作負(fù)功，電勢(shì)上升

②兩點(diǎn)電勢(shì)差與作功的路徑無(wú)關(guān)

2025/2/81:18等勢(shì)面：電勢(shì)處處相等的曲面與等勢(shì)面垂直，即點(diǎn)電荷電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)面+電偶極子的電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)面均勻場(chǎng)電場(chǎng)線(xiàn)與等勢(shì)面2025/2/81:18參考點(diǎn)通常選無(wú)窮遠(yuǎn)為電勢(shì)參考點(diǎn)（1）電荷分布在有限區(qū)域，P點(diǎn)電勢(shì)為將單位正電荷從P移到∞電場(chǎng)力所做的功。（2）電荷分布在無(wú)限區(qū)域不能選無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)作參考點(diǎn)，否則積分將無(wú)窮大。3、電荷分布在有限區(qū)幾種情況的電勢(shì)（1）點(diǎn)電荷2025/2/81:18（2）電荷組

產(chǎn)生的電勢(shì)

（3）無(wú)限大均勻線(xiàn)性介質(zhì)中點(diǎn)電荷

點(diǎn)電荷在均勻介質(zhì)中的空間電勢(shì)分布（Q為自由電荷）（4）連續(xù)分布電荷

產(chǎn)生的電勢(shì)

靜電問(wèn)題歸結(jié)為電勢(shì)的求解2．靜電勢(shì)的微分方程和邊值關(guān)系(1)電介質(zhì)內(nèi)均勻介質(zhì)Poisson方程(2)電介質(zhì)界面上自由電荷分布介質(zhì)內(nèi)電勢(shì)（電場(chǎng)）(3)導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度為零自由電荷不會(huì)分布于導(dǎo)體內(nèi)部，只分布于表面(4)導(dǎo)體與電介質(zhì)界面上導(dǎo)體內(nèi)部電勢(shì)處處相等導(dǎo)體表面外側(cè)電場(chǎng)沿法向表面為等勢(shì)面導(dǎo)體外電勢(shì)（電場(chǎng)）導(dǎo)體表面自由電荷分布三．靜電場(chǎng)的能量

一般方程：

能量密度

若已知

總能量為

不是能量密度總能量

僅討論均勻介質(zhì)2025/2/81:18導(dǎo)出過(guò)程：該公式只適合于靜電場(chǎng)情況。能量不僅分布在電荷區(qū)，而且存在于整個(gè)場(chǎng)中。2025/2/81:18例1.真空中靜電場(chǎng)的電勢(shì)為求產(chǎn)生該電場(chǎng)的電荷分布解:由靜電勢(shì)的方程因此電荷只能分布在x=0面上，設(shè)電荷面密度為σ

根據(jù)邊值關(guān)系

2025/2/81:18例2.帶電Q的導(dǎo)體球（半徑為a）產(chǎn)生的電勢(shì)及靜電場(chǎng)的總能量。解：電荷分布在有限區(qū)，參考點(diǎn)選在無(wú)窮遠(yuǎn)。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，導(dǎo)體產(chǎn)生的場(chǎng)具有球?qū)ΨQ(chēng)性，電勢(shì)也應(yīng)具有球?qū)ΨQ(chēng)性。當(dāng)考慮較遠(yuǎn)處場(chǎng)時(shí)，導(dǎo)體球可視為點(diǎn)電荷。滿(mǎn)足

aQP2025/2/81:18此題也可用高斯定理（積分形式）求解。

=

=

本節(jié)主要內(nèi)容靜電場(chǎng)唯一性定理導(dǎo)體存在的唯一性定理導(dǎo)體系的疊加原理2025/2/81:18§2.2唯一性定理唯一性定理的表述(1)在區(qū)域中每個(gè)均勻的子區(qū)域內(nèi)滿(mǎn)足泊松方程：空間區(qū)域內(nèi)靜電場(chǎng)唯一確定的條件為：(2)在區(qū)域中每?jī)勺訁^(qū)域邊界上滿(mǎn)足邊值條件：（

n由i區(qū)域指向j區(qū)域）(4)給定區(qū)域表面上或之值。(3)已知區(qū)域內(nèi)的電荷密度、；2025/2/81:18唯一性定理的證明(1)在任一子區(qū)域內(nèi)：(2)在子區(qū)域界面上：(3)區(qū)域表面上:或設(shè)有、同時(shí)滿(mǎn)足上述條件，令：,則子區(qū)域1子區(qū)域2子區(qū)域3子區(qū)域42-3

1

導(dǎo)體存在時(shí)唯一性定理（1）導(dǎo)體內(nèi)部無(wú)電荷，電荷以面電荷形式分布于表面（2）（孤立）導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零，導(dǎo)體是等勢(shì)體導(dǎo)體的靜電平衡條件：對(duì)給定電勢(shì)值，將導(dǎo)體看成是區(qū)域邊界之一即可

若區(qū)域中存在導(dǎo)體，給定導(dǎo)體上的電勢(shì)值或總電荷

值，其他區(qū)域條件如前述，則電場(chǎng)唯一確定。

導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)為零對(duì)給定電荷值，只要包圍導(dǎo)體的表面有：2025/2/81:18導(dǎo)體系疊加定理對(duì)由導(dǎo)體構(gòu)成的系統(tǒng)，

各導(dǎo)體仍為等勢(shì)體，新的分布是合理的分布，也是唯一的分布空間電勢(shì)同樣滿(mǎn)足疊加原理

若各導(dǎo)體上電荷為時(shí)，電荷密度為

各導(dǎo)體上電荷為時(shí)，電荷密度為

則當(dāng)各導(dǎo)體上電荷為時(shí)，電荷密度必為例1：靜電屏蔽之解釋

唯一性定理說(shuō)：S面內(nèi)的電場(chǎng)由內(nèi)部電荷及S上的電勢(shì)決定。（與外面的電荷及電場(chǎng)無(wú)關(guān)）

不影響S面內(nèi)部

不影響S面外部

靜電屏蔽效果此題說(shuō)明：屏蔽是說(shuō)屏蔽導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)的變化不會(huì)引起外部電場(chǎng)的變化，反之亦然。2025/2/81:18因電荷分布在有限區(qū)，外邊界條件導(dǎo)體表面電荷Q已知，電場(chǎng)唯一確定。設(shè)

滿(mǎn)足，

帶電荷Q的半徑為a的導(dǎo)體球放在均勻無(wú)限大介質(zhì)中，求空間電勢(shì)分布。在導(dǎo)體邊界上2025/2/81:18解：導(dǎo)體球具有球?qū)ΨQ(chēng)性，電荷只分布在外表面上。假定電場(chǎng)也具有球?qū)ΨQ(chēng)性，則電勢(shì)坐標(biāo)與無(wú)關(guān)。解:設(shè)兩種介質(zhì)內(nèi)電勢(shì)、電場(chǎng)、位移分別為例3.如圖兩同心導(dǎo)體球殼之間充以?xún)煞N介質(zhì),左半部分電容率為右半部分電容率為

,設(shè)內(nèi)球殼帶總電荷Q,外球殼接地,求電場(chǎng)和球殼上的電荷分布.由電勢(shì)的邊界條件，假設(shè)介質(zhì)1、2中仍保持球?qū)ΨQ(chēng)，即設(shè)此嘗試解在介質(zhì)1，2分界面上滿(mǎn)足2025/2/81:18對(duì)內(nèi)導(dǎo)體面：2025/2/81:18但可驗(yàn)證可見(jiàn)內(nèi)球面上總電荷(自由,極化電荷)是均勻分布的,故總電場(chǎng)仍為球?qū)ΨQ(chēng).2025/2/81:18§2.3拉普拉斯方程的解

——分離變量法、分離變量法的適用條件四、應(yīng)用實(shí)例（例題）三、解題步驟二、拉普拉斯方程的解在坐標(biāo)系中的形式2025/2/81:181、空間，自由電荷只分布在某些介質(zhì)（或?qū)w）表面上，將這些表面視為區(qū)域邊界，可用拉普拉斯方程。一、拉普拉斯方程的適用條件2、在所求區(qū)域的介質(zhì)中若有自由電荷分布，則要求

自由電荷分布在真空中產(chǎn)生的勢(shì)為已知。

一般所求區(qū)域?yàn)榉謪^(qū)均勻介質(zhì)，則不同介質(zhì)分界面上有束縛面電荷。區(qū)域V中電勢(shì)可表示為兩部分的和，即，為已知自由電荷產(chǎn)生的電勢(shì)，不滿(mǎn)足

，為束縛電荷產(chǎn)生的電勢(shì)，滿(mǎn)足拉普拉斯方程但注意，邊值關(guān)系還要用而不能用2025/2/81:18二、拉普拉斯方程在幾種坐標(biāo)系中解的形式1、直角坐標(biāo)

（1）令

令2025/2/81:18（2）若

（3）若

，與無(wú)關(guān)。

注意：在（1）、（2）兩種情況中若考慮了某些邊界條件，將與某些正整數(shù)有關(guān)，它們可取1，2，3，…，只有對(duì)它們?nèi)『秃蟛诺玫酵ń狻?025/2/81:18

柱坐標(biāo)

討論

，令

有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解、單值性要求，只能取整數(shù)，令若

，2025/2/81:183．球坐標(biāo)

——締合勒讓德函數(shù)（連帶勒讓德函數(shù)）

若不依賴(lài)于，即具有軸對(duì)稱(chēng)性，通解為

-----為勒讓德函數(shù)

若與均無(wú)關(guān)，具有球?qū)ΨQ(chēng)性，通解：2025/2/81:18三．解題步驟

根據(jù)具體條件確定常數(shù)選擇坐標(biāo)系和電勢(shì)參考點(diǎn)坐標(biāo)系選擇主要根據(jù)區(qū)域中分界面形狀，參考點(diǎn)主要根據(jù)電荷分布是有限還是無(wú)限；分析對(duì)稱(chēng)性、分區(qū)寫(xiě)出拉普拉斯方程在所選坐標(biāo)系中的通解；（1）外邊界條件：電荷分布有限2025/2/81:18注意：邊界條件和邊值關(guān)系是相對(duì)的。導(dǎo)體邊界可視為外邊界，給定（接地）,或給定總電荷Q，或給定。電荷分布無(wú)限，電勢(shì)參考點(diǎn)一般選在有限區(qū)。如

（直角坐標(biāo)或柱坐標(biāo)），電勢(shì)可選在坐標(biāo)原點(diǎn)。均勻場(chǎng)中，（2）內(nèi)部邊值關(guān)系：介質(zhì)分界面上一般討論分界面無(wú)自由電荷的情況2025/2/81:18四．應(yīng)用舉例1、兩無(wú)限大平行導(dǎo)體板，相距為，兩板間電勢(shì)差為V(與

無(wú)關(guān))，一板接地，求兩板間的電勢(shì)和。xyOVZ解：（1）邊界為平面，故應(yīng)選直角坐標(biāo)系下板

，設(shè)為參考點(diǎn)（2）定性分析：因在（常數(shù)），可考慮與無(wú)關(guān)。2025/2/81:18(4)定常數(shù)：

(5)電場(chǎng)為均勻場(chǎng)常數(shù)電勢(shì)：(3)列出方程并給出解：

方程的解：2025/2/81:182.一個(gè)內(nèi)徑和外徑分別為和的導(dǎo)體球殼,帶電荷Q,同心的圍著一個(gè)半徑為的導(dǎo)體球(),使這個(gè)導(dǎo)體球接地,求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和這個(gè)導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷.2025/2/81:18代入上述邊界條件中，得解得：2025/2/81:18導(dǎo)體球上電荷為2025/2/81:18→+3.在均勻電場(chǎng)中置入一帶均勻自由電荷的絕緣介質(zhì)球，電容率為(

），求空間各點(diǎn)的電勢(shì)。zoθozoθ2025/2/81:182025/2/81:182025/2/81:18邊界條件對(duì)場(chǎng)的影響研究區(qū)域內(nèi)的電荷分布不變滿(mǎn)足原靜電場(chǎng)基本方程滿(mǎn)足原邊界條件調(diào)整像電荷位置和電量邊界外部假想電荷像電荷邊界內(nèi)電場(chǎng)電荷與像電荷共同激發(fā)的電場(chǎng)唯一性定理保證兩靜電問(wèn)題在研究區(qū)域內(nèi)同解例1、

點(diǎn)電荷與半無(wú)限大接地導(dǎo)體的電場(chǎng)邊界條件自由電荷分布導(dǎo)體外的電場(chǎng)分布§2.4鏡象法像電荷導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷面密度總感應(yīng)電荷思考題：半無(wú)限大導(dǎo)體改為電介質(zhì)，如何求解?例2、點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體球的電場(chǎng)邊界條件導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷面密度總感應(yīng)電荷思考題：若導(dǎo)體球電中性且不接地，情況又如何？例3、半無(wú)限大導(dǎo)體電極中有恒定電流流出導(dǎo)電液體絕緣體導(dǎo)體內(nèi)部電流恒定恒定電流電場(chǎng)的基本方程與靜電場(chǎng)相同靜磁場(chǎng)電極處帶電界面上恒定電流界面處電場(chǎng)沿切向等勢(shì)面垂直于界面自由電荷分布邊界條件像電荷思考題：如何求絕緣體內(nèi)部的電勢(shì)分布與界面上的總電荷面密度？無(wú)自由電荷邊界條件電勢(shì)在界面上連續(xù)像電荷

格林等效層定理（不證明）*（1）等勢(shì)面包圍的體積V內(nèi)的電荷在V外產(chǎn)生的電勢(shì)與在此等勢(shì)面上置一導(dǎo)體面，并將V內(nèi)電荷都搬到導(dǎo)體上所產(chǎn)生的電勢(shì)完全一樣。（2）相反，帶電導(dǎo)體所產(chǎn)生的電勢(shì)也可以用導(dǎo)體面內(nèi)一定等效電荷分布來(lái)代替，只要它產(chǎn)生與導(dǎo)體表面完全重合的等勢(shì)面。

等勢(shì)面VQP導(dǎo)體面QPQQ’2025/2/81:18另外幾種容易求解又常見(jiàn)的情況：2025/2/81:18§2.6電多極矩二、電多極矩一、電勢(shì)的多極展開(kāi)三、電荷體系在外電場(chǎng)中

的能量(相互作用能)主要內(nèi)容2025/2/81:18§6電多極矩討論電荷分布在小區(qū)域內(nèi),而場(chǎng)點(diǎn)又距電荷分布區(qū)較遠(yuǎn),即

l<<r一、電勢(shì)的多極展開(kāi)：2025/2/81:18二、電多極矩:

﹡電四極矩張量重新定義：*證明：它不改變，只有5個(gè)獨(dú)立分量

有9個(gè)分量電四極矩有6個(gè)不同分量2025/2/81:18電四極矩最簡(jiǎn)單體系舉例：

四個(gè)點(diǎn)電荷在一直線(xiàn)上按（+，-，-，+）排列，可看作一對(duì)正負(fù)電偶極子。體系總電荷、總電偶極矩為零依定義其它分量均為零zORr+r-Px+--+a-ab-b它與直接計(jì)算結(jié)果完全一致（）：

2025/2/81:18x++--yz四個(gè)點(diǎn)電荷在x軸四個(gè)點(diǎn)電荷在

y軸x-y平面x-z

平面y-z平面電四極矩其它例子2025/2/81:18三、電荷體系在外電場(chǎng)中的能量（相互作用能）1．設(shè)外場(chǎng)電勢(shì)為，場(chǎng)中電荷分布為，體系具有的總能量為：

可證明：zyx因此：+稱(chēng)為體系的相互作用能，或帶電體系在外場(chǎng)中的能量。2．帶電體系為小區(qū)域時(shí)相互作用能的展開(kāi)將對(duì)電荷所在小區(qū)域展開(kāi)為麥克勞林級(jí)數(shù)2025/2/81:183．相互作用能的意義：體系電荷集中在原點(diǎn)時(shí)，在外場(chǎng)中的能量；體系等效電偶極子在外場(chǎng)中的能量；體系等效電四極子在外場(chǎng)中的能量。若外場(chǎng)為均勻場(chǎng)4.帶電體系在外場(chǎng)中受到的力和力矩設(shè)W為帶電體系在外場(chǎng)中的靜電勢(shì)能，則帶電體系在外場(chǎng)中受到的力

（假定Q不變）以下僅討論

和2025/2/81:18力：相當(dāng)于帶電體系集中在一點(diǎn)上點(diǎn)電荷在外場(chǎng)中受到的作用力若為均勻場(chǎng)電偶極子只在非均勻場(chǎng)中受力。2025/2/81:18假定在外場(chǎng)作用下不變，設(shè)為與之間的夾角，則

可見(jiàn)即使均勻場(chǎng)，但力矩：2025/2/81:18本章內(nèi)容：1、矢勢(shì)的引入和它滿(mǎn)足的微分方程、靜磁場(chǎng)的能量2、引入磁標(biāo)勢(shì)的條件及磁標(biāo)勢(shì)滿(mǎn)足的方程與靜電勢(shì)方程的比較第三章靜磁場(chǎng)3-1

矢勢(shì)及其微分方程2-2

磁標(biāo)勢(shì)2-3

磁多極矩※2-4

阿哈羅諾夫-玻姆效應(yīng)※2-5

超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)第三章靜磁場(chǎng)§3.1矢勢(shì)及其微分方程一、穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)的矢勢(shì)1．穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)的基本方程穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)：傳導(dǎo)電流（即運(yùn)動(dòng)電荷）產(chǎn)生的不隨時(shí)間變化的磁場(chǎng)。基本方程邊值關(guān)系這時(shí)靜電場(chǎng)和磁場(chǎng)可以分離

實(shí)際上當(dāng)建立一個(gè)與電荷一起運(yùn)動(dòng)的參照系時(shí)，

在這個(gè)參照系中觀(guān)測(cè)，只有靜電場(chǎng)。本節(jié)僅討論情況，即非鐵磁的均勻介質(zhì)。2．矢勢(shì)的引入及意義靜電場(chǎng)

（a）與的關(guān)系穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)其中S為回路L為邊界的任一曲面（b）磁通量只與曲面L的邊界有關(guān)，與曲面的具體形狀無(wú)關(guān)

沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過(guò)由該回路為邊界的任一曲面的磁通量，而每點(diǎn)A無(wú)直接物理意義。（c）物理意義３、矢勢(shì)的不唯一性令可減少矢勢(shì)的任意性規(guī)范條件二．矢勢(shì)滿(mǎn)足的方程及方程的解1．滿(mǎn)足的方程（1）與靜電場(chǎng)形式相同（2）矢勢(shì)為無(wú)源有旋場(chǎng)無(wú)界空間：不同的坐標(biāo)系，形式不同。（1）直角坐標(biāo)系（2）柱坐標(biāo)（3）球坐標(biāo)系已知電流密度，可從方程直接積分求解，但一般電流分布與磁場(chǎng)相互制約，因此一般情況需要求解矢量泊松方程。3．的解這正是畢奧--薩伐爾定律與靜電場(chǎng)類(lèi)比（線(xiàn)電流）2．矢勢(shì)的形式解4．的邊值關(guān)系(a)12Δlh(b)特殊情況：①分界面為柱面，柱坐標(biāo)系中，若②分界面為球面，若zxyxzy5*．矢量泊松方程解的唯一性定理定理：給定V內(nèi)傳導(dǎo)電流和V邊界S上的或V內(nèi)穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)由和邊界

條件唯一確定。A的方程和邊值關(guān)系歸結(jié)為如下：三．穩(wěn)恒電流磁場(chǎng)的能量均勻介質(zhì)中總能量為1．在穩(wěn)恒場(chǎng)中有

能量分布在磁場(chǎng)內(nèi)，不僅分布在電流區(qū)。不是能量密度。

2.

電流分布在外磁場(chǎng)中的相互作用能相互作用能Wi

設(shè)為外磁場(chǎng)電流分布，為外磁場(chǎng)的矢勢(shì)；為處于外磁場(chǎng)中的電流分布，它激發(fā)的場(chǎng)的矢勢(shì)為?？偰芰浚合嗷プ饔媚?/p>

由可得相互作用能量例1.無(wú)窮長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)載有電流I,求磁場(chǎng)的矢勢(shì)和磁場(chǎng)應(yīng)強(qiáng)度.解法一:dzzpRP0解法2:RIPR0P0l例2.一導(dǎo)線(xiàn)垂直通入地下,導(dǎo)線(xiàn)電流為I,地下電流沿各方向均勻分布,求空間磁場(chǎng).AθI思考題:若一無(wú)限長(zhǎng)載流導(dǎo)線(xiàn)所在空間的一半存在均勻介質(zhì)μ,令一半為真空,且導(dǎo)線(xiàn)垂直于分界面,求磁場(chǎng)分布.例3.半徑為a的導(dǎo)線(xiàn)圓環(huán)載流電流為I,求矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度.xyzP·θrR在球坐標(biāo)系中，二共點(diǎn)的矢量之間的夾角為上式可用橢圓積分表出§2.磁標(biāo)勢(shì)原因：靜磁場(chǎng)一般不為零，即靜磁場(chǎng)作功與路徑有關(guān)，即使在能引入的區(qū)域標(biāo)勢(shì)一般也不是單值的。一．引入磁標(biāo)勢(shì)的兩個(gè)困難2．在電流為零區(qū)域引入磁標(biāo)勢(shì)可能非單值。1．磁場(chǎng)為有旋場(chǎng)，不能在全空間引入標(biāo)勢(shì)。二．引入磁標(biāo)勢(shì)的條件無(wú)自由電流分布的單連通區(qū)域可引入磁標(biāo)勢(shì)。討論：1）在有電流的區(qū)域必須根據(jù)情況挖去一部分區(qū)域；2）若空間僅有永久磁鐵，則可在全空間引入。公式表示顯然只能在區(qū)域引入，且在引入?yún)^(qū)域中任何回路都不能與電流相鏈環(huán)。三．磁標(biāo)勢(shì)滿(mǎn)足的方程1．引入磁標(biāo)勢(shì)區(qū)域磁場(chǎng)滿(mǎn)足的場(chǎng)方程

不僅可用于均勻各向同性非鐵磁介質(zhì)，而且也可討論鐵磁介質(zhì)或非線(xiàn)性介質(zhì)。2．引入磁標(biāo)勢(shì)3．滿(mǎn)足的泊松方程與靜電場(chǎng)類(lèi)比將分子電流看作由一對(duì)假想磁荷組成的磁偶極子，磁化后便出現(xiàn)假想磁荷分布。假想磁荷密度:4．邊值關(guān)系①若兩種介質(zhì)均為線(xiàn)性非鐵磁介質(zhì):②若介質(zhì)1為鐵磁質(zhì)，介質(zhì)2為非鐵磁，邊值關(guān)系:邊值關(guān)系:四．靜電場(chǎng)與靜磁場(chǎng)方程的比較靜磁場(chǎng)靜電場(chǎng)靜電勢(shì)與磁標(biāo)勢(shì)的差別：

因?yàn)榈侥壳盀橹箤?shí)驗(yàn)上還未真正發(fā)現(xiàn)以磁單極形式存在的自由磁荷。對(duì)靜磁場(chǎng)人們認(rèn)為分子電流具有磁偶極矩，它們由磁荷構(gòu)成，不能分開(kāi)。

靜電場(chǎng)可在全空間引入，無(wú)限制條件；靜磁場(chǎng)要求在無(wú)自由電流分布的單連通域中才能引入。②靜電場(chǎng)中存在自由電荷，而靜磁場(chǎng)無(wú)自由磁荷。③

從物理本質(zhì)上看只有磁感應(yīng)強(qiáng)度才與電場(chǎng)強(qiáng)度地位相當(dāng)。磁場(chǎng)強(qiáng)度僅是個(gè)輔助量。證明：12μμ0磁場(chǎng)邊值關(guān)系在該磁性物質(zhì)外面，H2與表面垂直，因而表面為等磁勢(shì)面。例1、證明

的磁性物質(zhì)表面為等磁勢(shì)面。則表面上任意兩點(diǎn)的磁標(biāo)勢(shì)之差，表面為磁等勢(shì)面。此結(jié)果對(duì)設(shè)計(jì)磁極很重要：一般磁鐵材料的很大。因之磁化后表面近似為等磁勢(shì)面，由表面=常數(shù)的邊界條件可以解出磁極之間的磁場(chǎng)。適當(dāng)選擇磁極表面的形狀可以獲得不同的磁場(chǎng)。解：可以把線(xiàn)圈看成許多逆時(shí)針?lè)较虻男‰娏骶€(xiàn)圈，小電流線(xiàn)圈的磁矩為產(chǎn)生的磁標(biāo)勢(shì)（電偶極矩產(chǎn)生的電勢(shì)為：

）電流線(xiàn)圈在x點(diǎn)產(chǎn)生的磁標(biāo)勢(shì)x

點(diǎn)在上方時(shí)，W>0；x點(diǎn)在下方時(shí)，W<0。如果線(xiàn)圈構(gòu)成平面，x點(diǎn)從上方趨于平面時(shí)，W趨于2p；x點(diǎn)從下方趨于平面時(shí)，W趨于-2p?？梢?jiàn)，在跨越平面時(shí)，W存在4p的躍變。對(duì)于線(xiàn)圈圍成的曲面，4p躍變?nèi)匀淮嬖凇Ｇ孢x取具有任意性，4p躍變并不是客觀(guān)事實(shí)，依賴(lài)于曲面的選取。實(shí)際上，磁標(biāo)勢(shì)也與曲面選取有關(guān)，也不是一個(gè)具有獨(dú)立物理意義的量，它只能是個(gè)輔助物理量。另一方面，由于在曲面兩邊，磁標(biāo)勢(shì)存在躍變，但是物理上要求磁標(biāo)勢(shì)在其定義區(qū)域連續(xù)（滿(mǎn)足Poisson方程），所以定義磁標(biāo)勢(shì)的區(qū)域必須扣除線(xiàn)圈圍成的一個(gè)曲面。例3、求電流線(xiàn)圈產(chǎn)生的磁標(biāo)勢(shì)。

§3磁多極矩一.矢勢(shì)的多極展開(kāi)討論問(wèn)題:電流分布在小區(qū)域內(nèi),而場(chǎng)點(diǎn)又距電流分布區(qū)較遠(yuǎn),即:l<<r

或者：將電流分為許多小的閉合的電流管，對(duì)每一電流管因而證明:由于所以-----磁單極勢(shì)一般證明參見(jiàn)蔡圣善電動(dòng)力學(xué)p130其中電流體系的磁矩方法二：將電流分為許多閉合小電流管，對(duì)一個(gè)電流管：考慮即.o其中對(duì)平面線(xiàn)圈對(duì)體電流，將得二、磁偶極矩的場(chǎng)和磁矢勢(shì)由于時(shí)，注：上式只能在r>>l時(shí)成立由于磁偶極子的磁標(biāo)勢(shì),與電偶極子電勢(shì)相似:討論：宏觀(guān)電流線(xiàn)圈的磁偶極矩?？紤]以宏觀(guān)電流線(xiàn)圈為周界的任一曲面。設(shè)想，面上布滿(mǎn)電流為I的小電流環(huán)，在內(nèi)部，電流相互抵消。這一假想系統(tǒng)與原系統(tǒng)等效。系統(tǒng)總磁矩？：宏觀(guān)電流線(xiàn)圈的磁矩依賴(lài)于曲面的選擇嗎？再選擇另一曲面S2，且根據(jù)電流環(huán)繞方向規(guī)定dS2方向。所以，宏觀(guān)電流線(xiàn)圈的磁矩不依賴(lài)曲面的選擇。

例1.半徑為a的均勻帶電圓板,電荷密度為σ,繞通過(guò)圓心垂直于板面的軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),求圓板的磁偶極矩及遠(yuǎn)處的矢勢(shì).

zrRo三.小區(qū)域電流在外磁場(chǎng)中的能量.相互作用能對(duì)線(xiàn)電流

與外電場(chǎng)中的電偶極子的能量相比差了一個(gè)負(fù)號(hào).是否意味著磁偶極子受外場(chǎng)作用時(shí)將會(huì)傾向于外磁場(chǎng)的反向呢?討論:①若外場(chǎng)均勻,,以后各項(xiàng)均為0,則相互作用能只有磁偶極項(xiàng).

不是的!原因是場(chǎng)對(duì)線(xiàn)圈作的功等于磁能的增量而不是減少量.分析如下:磁能的改變?nèi)舨蛔?要使不變,由于變化,電源必須提供能量以抵抗感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)作功并不違背能量守恒,因?yàn)樵跓o(wú)電源情況下,轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)線(xiàn)圈時(shí)并不能保持外場(chǎng)能量及不變,事實(shí)上,要使不變,電源必須提供能量.定義力學(xué)中的勢(shì)函數(shù),使作的功等于勢(shì)函數(shù)的減小,應(yīng)有:ΦB有通電螺線(xiàn)管，且外部磁場(chǎng)Ｂ＝０，干涉條紋移動(dòng)§3.4阿哈羅諾夫-玻姆效應(yīng)

Aharonov-Bohm(A-B)1.A-B效應(yīng)的存在說(shuō)明磁場(chǎng)的物理效應(yīng)不能完全用B描述2.矢勢(shì)A具有可觀(guān)測(cè)效應(yīng),可影響電子波束的相位3.在量子力學(xué)中能夠完全恰當(dāng)描述磁場(chǎng)的物理量是相因子

一些元素、化合物、合金等，當(dāng)溫度下降到某臨界值Tc以下時(shí)，電阻率下降為零的現(xiàn)象稱(chēng)為超導(dǎo)電性。Tc以下的狀態(tài)稱(chēng)為超導(dǎo)態(tài)，臨界磁場(chǎng)為：一．超導(dǎo)電性

在1986年以前，人們所發(fā)現(xiàn)的超導(dǎo)材料的臨界溫度都非常低（大約在3～5k左右。1986年以來(lái)，人們陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了一系列有較高臨界溫度的超導(dǎo)材料，這些高溫超導(dǎo)材料具有非常廣闊的應(yīng)用前景。3.5超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)二．邁斯納效應(yīng)

超導(dǎo)體內(nèi)部（不包括導(dǎo)體的表面層）的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零，且與超導(dǎo)體所經(jīng)歷的歷史無(wú)關(guān)。若物體原來(lái)處于超導(dǎo)態(tài)，當(dāng)加上外磁場(chǎng)時(shí)，只要磁場(chǎng)強(qiáng)度不超過(guò)Hc，則B不能進(jìn)入超導(dǎo)體。

這一效應(yīng)表示超導(dǎo)體不能簡(jiǎn)單的看作通常導(dǎo)體當(dāng)電導(dǎo)率時(shí)的極限。通常導(dǎo)體內(nèi)常矢量對(duì)于交變電流

，因此導(dǎo)體內(nèi)仍然有電阻損耗。但是對(duì)于一般低頻交變電流，損耗很小。為超導(dǎo)電流密度，ns為超導(dǎo)電子密度。對(duì)于穩(wěn)恒電流：導(dǎo)體內(nèi)電流完全為超導(dǎo)電流。內(nèi)部三．超導(dǎo)體的電磁性質(zhì)方程1．倫敦第一方程2.倫敦第二方程

，它表明了超導(dǎo)體磁場(chǎng)與電流互相制約的關(guān)系。

倫敦兩個(gè)方程與麥斯韋方程是相容的，并且從兩個(gè)方程可以導(dǎo)出邁斯納效應(yīng)。

經(jīng)上述分析，可以清楚的看到超導(dǎo)體中的電流和磁場(chǎng)只能存在于超導(dǎo)體的表面層內(nèi)，而不能深入到導(dǎo)體的內(nèi)部。電磁波傳播問(wèn)題應(yīng)用：無(wú)線(xiàn)電通訊、光信息處理、微波技術(shù)、雷達(dá)和激光等領(lǐng)域。電磁波:隨時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)電荷和電流輻射電磁場(chǎng)，電磁場(chǎng)在空間互相激發(fā)，在空間以波動(dòng)的形式存在.傳播問(wèn)題是指：在分界面上，電磁波會(huì)產(chǎn)生反射、折射、衍射和衰減等，因此傳播問(wèn)題本質(zhì)上是邊值問(wèn)題。第四章電磁波的傳播第四章電磁波的傳播4.1

平面電磁波4.2電磁波在介質(zhì)分界面

上的反射和折射4.3有導(dǎo)體存在時(shí)電磁波的傳播4.4諧振腔4.5波導(dǎo)管4.1平面電磁波一、真空中電磁波的波動(dòng)方程

在沒(méi)有電荷、電流分布的真空中電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(5)令：同理可得我們可以得到真空中的波動(dòng)方程真空中電磁場(chǎng)的傳播速度為(6)由(5)、(6)得在無(wú)電流、電荷的空間，電磁場(chǎng)可以獨(dú)立地以波動(dòng)形式存在，依賴(lài)于電磁場(chǎng)內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)變化。1.介質(zhì)的色散：表現(xiàn)：不同頻率的電磁波在介質(zhì)中傳播的速度不同，從而折射率也不同。若有、兩種成分的電磁波進(jìn)入線(xiàn)性介質(zhì)，則：可見(jiàn)，對(duì)非單色電磁場(chǎng)，顯然不成立，二、介質(zhì)中的時(shí)諧電磁波的波動(dòng)方程介質(zhì)中的波動(dòng)方程為v為電磁波在介質(zhì)中傳播的速度由于

和

隨頻率變化，因此v也會(huì)隨頻率變化2、在導(dǎo)電媒質(zhì)中電導(dǎo)率歐姆定律3、時(shí)諧波（又稱(chēng)定態(tài)波）及其方程這種波的空間分布與時(shí)間t無(wú)關(guān)，時(shí)間部分可以表示為

，因此有以下關(guān)系成立：以及磁場(chǎng)滿(mǎn)足的方程時(shí)諧波是指以單一頻率

做正弦（或余弦）振蕩的電磁波（又稱(chēng)為單色波或者定態(tài)電磁波）。

對(duì)單一頻率成立。介質(zhì)中波動(dòng)方程為：

（或者）同理對(duì)定態(tài)波稱(chēng)為時(shí)諧波的亥姆霍茲方程（其中稱(chēng)為波矢量）同理可以導(dǎo)出磁感應(yīng)強(qiáng)度滿(mǎn)足的方程

小結(jié)：電磁波在介質(zhì)中的傳播滿(mǎn)足亥姆霍茲方程，其解即顯示了電磁波在介質(zhì)中如何傳播。平面波：波陣面與波矢垂直的平面，平面上的點(diǎn)相位相等。亥姆霍茲方程：它的一個(gè)解是是常矢量（1）（2）zSPyx場(chǎng)強(qiáng)的全表示式為S是等相面表示沿波矢方向傳播的平面波左圖中三、平面波電磁波方向代表波傳播的方向，數(shù)值k稱(chēng)為圓波數(shù)。以上為了計(jì)算方便，把場(chǎng)強(qiáng)表示成復(fù)數(shù)形式，實(shí)際存在的場(chǎng)強(qiáng)應(yīng)理解為上式的實(shí)數(shù)部分，即對(duì)相位有相速度在介質(zhì)中，不同頻率的電磁波具有不同的相速度，這就是介質(zhì)的色散現(xiàn)象。由于沿電磁波傳播方向相距為的兩點(diǎn)有相位差

，因此這兩點(diǎn)的距離為波長(zhǎng)

，即因此，磁場(chǎng)也垂直于波矢量，即磁場(chǎng)也是橫波，是成右手螺旋，三個(gè)互相正交矢量，且和相位相同，振幅比為上式表明，平面電磁波是橫波，可在垂直于的任意方向上振蕩。每一個(gè)波矢量存在兩個(gè)獨(dú)立的偏振波。（1）（2）（3）在真空中，平面電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)比值為綜上述，平面電磁波有如下特征：電磁波為橫波同相，比值為注意：如果不是平面電磁波就沒(méi)有上述的特征。即平面電磁波中電場(chǎng)能量密度和磁場(chǎng)能量密度相等，因此電磁場(chǎng)能量密度為：四、平面電磁波的能量和能流電磁場(chǎng)的能量密度為在定態(tài)條件下則在平面波條件下能流密度的物理意義是帶著能量沿著電磁波傳播方向以速度v運(yùn)動(dòng)。能流密度為周期為T(mén)，能量密度平均值為可得其中利用了平均能流密度（1）反射定律：如圖，入射角等于反射角，即4.2電磁波在介質(zhì)分界面上的反射和折射電磁波入射于介質(zhì)界面時(shí)，會(huì)發(fā)生反射和折射現(xiàn)象。表明了光也是一種電磁波。（2）折射定律：如圖，入射角和折射角滿(mǎn)足是從介質(zhì)2相對(duì)于介質(zhì)1的折射率21一、反射定律和折射定律任何電磁波都可用傅立葉分析方法分解為平面波，因此下面僅考慮平面波的情況。入射波反射波折射波21z1、反射定律對(duì)定態(tài)波函數(shù)，界面上的邊值條件為因?yàn)閯t此式必須對(duì)整個(gè)界面成立，則是獨(dú)立變量由于由于取入射波矢在平面上，則有即入射波矢、折射波矢和反射波矢都在同一平面上2、角度關(guān)系入射角等于反射角為反射定律取為界面，則有折射定律二、振幅關(guān)系，菲涅耳公式電場(chǎng)、磁場(chǎng)的邊值關(guān)系為應(yīng)用電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系，可以很快地求出兩種情況下的振幅關(guān)系因?yàn)槭堑暮瘮?shù)，因此不同，也不同會(huì)產(chǎn)生色散現(xiàn)象?；?、入射波電場(chǎng)垂直入射面n

zx

2

2

1

1

利用得：代入（2）式，得：(1)(2)應(yīng)用折射率公式可得2、入射波電場(chǎng)平行入射面zxn

2

2

1

1

(3)(4)即此時(shí)反射波平行分量為零，滿(mǎn)足這樣條件入射角稱(chēng)為布儒斯特角，設(shè)布儒斯特角為，則有由（3）式可得比如光從空氣進(jìn)入玻璃3．相位關(guān)系分析（1），從光疏煤質(zhì)到光密煤質(zhì)但是與總是同相位。

（2），從光密媒質(zhì)到光疏媒質(zhì)但與相位總是相同結(jié)論：（1）入射波與折射波相位相同，沒(méi)有相位突變；（2）入射波與反射波在一定條件下有相位突變。

對(duì)于垂直入射情況：由于按假定方向，與同方向，即同相位；若與假定反向，與反方向，即相位差，這種現(xiàn)象稱(chēng)為半波損失。5．正入射（）的菲涅爾公式其中為相對(duì)折射率三、全反射當(dāng)電磁波從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)的分界面時(shí)，由折射定律可得當(dāng)這時(shí)折射波沿界面掠過(guò)。若入射角面增大時(shí)，即當(dāng)這時(shí)發(fā)生全反射，此時(shí)為純虛數(shù)，因此，折射波波矢量的z分量也為純虛數(shù)（1）折射波電場(chǎng)表示式變?yōu)檫@種波僅存在于的半空間中，且由于其場(chǎng)強(qiáng)沿Z軸方向指數(shù)衰減，因此這種電磁波僅存在于界面附近一薄層內(nèi)，厚度為（2）全反射的能流平均入射能流平均反射能流由以上兩式可以看出，這兩個(gè)能流密度大小比值為由菲涅耳公式可得垂直分量與平行分量反射與入射振幅比為：將代入以上兩式中得則有由于則可得因此即入射能流全部被反射，這就是全反射。在全反射中，第二介質(zhì)是起作用的。在半周內(nèi)，電磁能量透過(guò)第二介質(zhì)，在界面附近薄層內(nèi)儲(chǔ)存起來(lái)，在另一半周內(nèi)，該能量釋放出來(lái)變?yōu)榉瓷洳芰俊！?.3有導(dǎo)體存在時(shí)電磁波的傳播（1）真空或介質(zhì)中電磁波傳播可視為無(wú)能量損耗，電磁波無(wú)衰減；（2）電磁波遇到導(dǎo)體，電磁波的能量不斷損耗，因此在導(dǎo)體內(nèi)部電磁波是一種衰減波；（3）導(dǎo)體中電磁波傳播不同于真空或介質(zhì)中電磁波的傳播形式。一．導(dǎo)體內(nèi)的自由電荷分布

變化電磁場(chǎng)中，導(dǎo)體不再處于靜電平衡狀態(tài)，1．靜電場(chǎng)中導(dǎo)體上的電荷分布

靜電平衡時(shí)，電荷僅分布在表面上，導(dǎo)體內(nèi)部無(wú)電荷，且電場(chǎng)強(qiáng)度垂直導(dǎo)體表面。2．變化場(chǎng)情況下的電荷分布本節(jié)僅討論均勻?qū)w。影響反過(guò)來(lái)影響導(dǎo)體中的電磁波為特征時(shí)間或馳豫時(shí)間，表示減小到所需時(shí)間。3．良導(dǎo)體條件良導(dǎo)體內(nèi)，電荷僅分布在導(dǎo)體表面薄層內(nèi)。二．導(dǎo)體內(nèi)的電磁波1．基本方程（導(dǎo)體內(nèi)部）

時(shí)諧（定態(tài)）與介質(zhì)中相比僅多了一項(xiàng)。2．導(dǎo)體中的平面波解（1）引入復(fù)介電常數(shù)實(shí)部為位移電流的貢獻(xiàn)；虛部為傳導(dǎo)電流的貢獻(xiàn)，引起能耗（耗散功率）。（2）直接寫(xiě)出亥姆霍茲方程

（3）平面波解仍可寫(xiě)作3．、的意義及表示式（1）平面電磁波解改寫(xiě)為：----描述波振幅在導(dǎo)體內(nèi)的衰減程度衰減因子傳播因子----描述波空間傳播的位相關(guān)系（2）、與間的關(guān)系式

由？與垂直的平面是等相面。與垂直的平面是等振幅面。設(shè)介質(zhì)中波矢為，導(dǎo)體中為，則，并設(shè)

在平面，即；即得，。

（即分界面指向?qū)w內(nèi)部，波沿方向衰減）由

（3）平面波從介質(zhì)入射到導(dǎo)體表面由

解出：令與軸夾角為，由得，從而定出良導(dǎo)體情況：三．穿透深度和趨膚效應(yīng)波幅降至原值的傳播距離1．穿透深度在導(dǎo)體中的平面波為（在情況下）良導(dǎo)體3．導(dǎo)體內(nèi)磁場(chǎng)與電場(chǎng)的關(guān)系（垂直入射）對(duì)良導(dǎo)體2．趨膚效應(yīng)：

對(duì)于良導(dǎo)體，當(dāng)電磁波頻率為交變頻率時(shí)，電磁場(chǎng)及交頻電流集中在導(dǎo)體表面薄層。例如，銅當(dāng)

且

，因此，電場(chǎng)與磁場(chǎng)有的相位差。振幅比：則有；在真空或介質(zhì)中，兩者比較可見(jiàn)導(dǎo)體中磁場(chǎng)比真空或介質(zhì)中磁場(chǎng)重要的多，金屬中電磁能主要是磁場(chǎng)能量。四．導(dǎo)體表面上的反射真空正入射反射系數(shù)為反射能流與入射能流之比（能流大?。┪濉?dǎo)體內(nèi)功率損耗問(wèn)題導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng)為：其中略去了因子，可見(jiàn)導(dǎo)體內(nèi)的電流密度為導(dǎo)體內(nèi)單位體積內(nèi)的平均功耗為：導(dǎo)體表面單位面積的功耗為：定義表面電流密度：通過(guò)單位橫截線(xiàn)的電流。δ0xyzds=dxdy因?yàn)楣实糜纱丝梢?jiàn)：在高頻情況下：所以與平均功率比較即§4.4諧振腔TEM波：電場(chǎng)和磁場(chǎng)在垂直傳播方向上振動(dòng)的電磁波。平面電磁波在無(wú)界空間中傳播時(shí)就是典型的TEM波。一．有界空間中的電磁波1．無(wú)界空間中橫電磁波（TEM波）2．有界空間中的電磁波――邊值問(wèn)題

金屬一般為良導(dǎo)體，電磁波幾乎全部被反射。因此，若空間中的良導(dǎo)體構(gòu)成電磁波存在的邊界。二．理想導(dǎo)體邊界條件討論的理想導(dǎo)體(一般金屬接近理想導(dǎo)體)。假定它的穿透深度（）。1．一般邊值關(guān)系（由于邊界為理想導(dǎo)體，故認(rèn)為導(dǎo)體內(nèi)，因此只有面電流分布）設(shè)為導(dǎo)體的電磁場(chǎng)量，為真空或絕緣介質(zhì)中的電磁場(chǎng)量，2．理想導(dǎo)體內(nèi)部，用代替則在界面上：在介質(zhì)中

，應(yīng)用到界面上有（在界面上）。定態(tài)波3．理想導(dǎo)體為邊界的邊值問(wèn)題理想導(dǎo)體邊值問(wèn)題三．諧振腔

低頻電磁波可采用回路振蕩器產(chǎn)生，頻率越高，輻射損耗越大，焦耳熱損耗越大（因?yàn)椋叫?，電容電感不能集中分布電?chǎng)和磁場(chǎng)，只能向外輻射；又因趨膚效應(yīng)，使電磁能量大量損耗）。

用來(lái)產(chǎn)生高頻振蕩電磁波的一種裝置由幾個(gè)金屬板或反射鏡（光學(xué)）構(gòu)成，稱(chēng)為諧振腔。（1）由6個(gè)金屬壁構(gòu)成的空腔6個(gè)面在直角坐標(biāo)中表示為（2）設(shè)為腔內(nèi)的任意一個(gè)直角分量每個(gè)分量都滿(mǎn)足1．矩形諧振腔的駐波解

（3）分離變量法求解2．邊界條件確定常數(shù)

（1）考慮

對(duì)

，假定同理（2）考慮再由3．諧振波型（1）電場(chǎng)強(qiáng)度兩個(gè)獨(dú)立常數(shù)由激勵(lì)諧振的信號(hào)強(qiáng)度來(lái)確定（2）諧振頻率（本征頻率）：（3）討論

給定一組，解代表一種諧振波型（在腔內(nèi)可能存在多種諧振波型的迭加）；只有當(dāng)激勵(lì)信號(hào)頻率時(shí)，諧振腔才處于諧振態(tài)。

中不能有兩個(gè)為零,若則

對(duì)每一組值，有兩個(gè)獨(dú)立的偏振波模。

設(shè)，則最低諧振頻率為最低頻率的諧振波型（1，1，0）型但在一般情況下為橫電磁振蕩281在諧振腔中的電磁場(chǎng)，在x、y、z方向上都是駐波場(chǎng)對(duì)所有模式，電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間相差一個(gè)因子i，即/2的相位差在諧振腔中，當(dāng)電場(chǎng)能量最大時(shí)，磁場(chǎng)能量為零而磁場(chǎng)能量最大時(shí)，電場(chǎng)能量為零即在腔中電場(chǎng)能量與電磁場(chǎng)的時(shí)間平均值總是相等的而在時(shí)間上，電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量相互轉(zhuǎn)換，形成振蕩3、諧振腔中關(guān)心的問(wèn)題品質(zhì)因數(shù)Q：表征諧振系統(tǒng)的頻率選擇特性，并決定頻率響應(yīng)282諧振腔的能量按洛倫茲型的頻率分布，即諧振曲線(xiàn)分布的半寬度為時(shí)間常數(shù)譜線(xiàn)值下降到峰值一半時(shí)，儲(chǔ)能減少到起始值的一半Q值越高，帶寬越窄，頻率選擇性越好，峰越尖銳§4.5波導(dǎo)管1．低頻電路情況對(duì)于低頻電力系統(tǒng)一般用雙線(xiàn)傳輸或采用同軸線(xiàn)傳輸。同軸線(xiàn)傳輸是為了避免電磁波向外輻射的損耗及周?chē)h(huán)境的干擾，但是頻率變高時(shí)，內(nèi)線(xiàn)半徑小，電阻大，焦耳熱損耗嚴(yán)重，趨膚效應(yīng)也嚴(yán)重。一．高頻電磁波能量的傳輸在有線(xiàn)通訊中，高頻電磁波若用雙線(xiàn)或同軸線(xiàn)傳輸，能量因熱損耗損失嚴(yán)重。在高頻情況常常用一根空心金屬管（波導(dǎo)管）傳輸電磁波，多用于微波范圍。2．高頻情況二．矩形波導(dǎo)中的電磁波1．矩形波導(dǎo)管讓電磁波沿軸傳播2．解的形式四個(gè)壁構(gòu)成的金屬管，四個(gè)面為其中滿(mǎn)足亥姆霍茲方程令代表電場(chǎng)強(qiáng)度任意一個(gè)直角坐標(biāo)分量，它也必然滿(mǎn)足上述方程。令：則有特解為：3．邊界條件定常數(shù)與諧振腔討論相似其余兩個(gè)常數(shù)由激發(fā)源功率確定。（1）當(dāng)為橫波（橫電波，即TE波）由上式得出，所以、不能同時(shí)為橫波；4．的解由確定不能同時(shí)為零（2）當(dāng)為橫波，，，橫磁波（TM波）（3）不同的，有不同的TE和TM（）三．截止頻率波矢，由激發(fā)