高考數(shù)學(xué)試題專(zhuān)項(xiàng)分類(lèi)匯編：計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)

考點(diǎn)8計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)——五年（2020-2024）高考數(shù)學(xué)真題專(zhuān)

項(xiàng)分類(lèi)匯編

學(xué)校：___________姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1.[2024秋?高二?山東淄博?月考校考]從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的

數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

6323

1.答案：D

解析：從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）共

7種，故所求概率尸=包二2=2.故選D.

213

2.[2020年全國(guó)高考真題]要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者,每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)

村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）

A.2種B.3種C.6種D.8種

2.答案：C

解析：方法共有C；?C；?A；=6種.故選C.

3.[2023年全國(guó)高考真題]某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分

層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初

中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.C?.C盛種B.C黑種C.CX.C；：。種D.C1.C舞種

3.答案：D

解析：根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x以=40人，高中部共抽取

600

60x迎=20人，根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理，則不同的抽樣結(jié)果共有C%C北種.

oUU

故選D.

4.[2022年全國(guó)高考真題]甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若

甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

4.答案：B

解析：法一：丙和丁相鄰共有A，A：種站法，甲站在兩端且丙和丁相鄰共有

C；.A；種站法，所以甲不站在兩端且丙和丁相鄰共有A；-C；?A；.A；=24種站

法.

法二：因?yàn)楸投∠噜?，所以先把丙和丁捆綁，看成一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)

元素排列，有A；種排列方式；又甲不站在兩端，所以甲只需在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)

位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙和丁兩人的順序可交換，有2種

排列方式.故共有A；x2x2=24種不同的排列方式，故選B.

5.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.

甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示

事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，貝|（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

5.答案：B

解析：本題考查獨(dú)立事件的概念.由于有放回的取球，則尸（甲）=l，P（乙）=,，尸（丙）=3，

6636

尸（丁）=1,尸（甲丙）=（）,尸（甲?。?J_,p（乙丙）=_L,2（丙?。?o,其中

63636

P（甲）P（丁）=P（甲丁），故甲與丁相互獨(dú)立.

6.[2020年全國(guó)高考真題]6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去一個(gè)場(chǎng)館，甲

場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（）

A.120種B.90種C.60種D.30種

6.答案：C

解析：第一步：安排甲場(chǎng)館的志愿者，則甲場(chǎng)館的安排方法有C；=6種，第二步：安排乙場(chǎng)館的志

愿者，則乙場(chǎng)館的安排方法有C；=10種，第三步：安排丙場(chǎng)館的志愿者，則丙場(chǎng)館的安排方法有

C；=1種.所以共有6x10x1=60種不同的安排方法.故選C.

7.[2021年全國(guó)高考真題]某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10,4）,則下列結(jié)論

中不正確的是（）

A.b越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在（9.9,10.1）內(nèi)的概率越大

B.該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10的概率是0.5

C.該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等

D.該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在（9.9,10.2）內(nèi)的概率與落在（10,10.3）內(nèi)的概率相等

7.答案：D

解析：對(duì)于A,b越小，代表正態(tài)曲線越陡，故A正確；

對(duì)于B,測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10,4）,則正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸為直線1=10,故B

正確；

對(duì)于C,結(jié)合正態(tài)曲線可知x=10.01與％=9.99關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸（直線x=10）對(duì)稱(chēng)，故C

正確；

對(duì)于D,結(jié)合正態(tài)曲線可知，區(qū)間（9.9,10.2）與（10,10.3）不關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸（直線x=10）

對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤.故選D.

8.［2024年全國(guó)高考真題］某農(nóng)業(yè)研究部門(mén)在面積相等的100塊稻田上種植一種新型

水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并部分整理如下表所示.

畝產(chǎn)

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

量

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg到300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg到1000kg之間

8.答案：C

解析：對(duì)于A,因?yàn)榍?組的頻率之和0.06+0.12+0.18=0.36<0.5,前4組的頻率之

和836+0.30=0.66>0.5,所以100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)所在的區(qū)間為［1050,1100）,

故A不正確；

對(duì)于B,100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例為

6+12+18+30xwo%=66%故B不正確；

100

對(duì)于C,因?yàn)?200-900=300,1150-950=200,所以100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于

200kg至300kg之間，故C正確；

對(duì)于D,100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值為

j^x(925x6+975xl2+1025xl8+1075x30+1125x24+1175xl0)=1067(kg),故D不

正確.故選C.

二、多項(xiàng)選擇題

9.[2024年全國(guó)高考真題]隨著“一帶一路”國(guó)際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并

舉推動(dòng)茶葉出口.為了解推動(dòng)出口后的畝收入(單位：萬(wàn)元)情況，從該種植區(qū)抽取樣

本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值元=2.1,樣本方差$2=0。1.已知該種植區(qū)以往

的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8,0.12),假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布

N伍52),則(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布NJ,/),則尸(2<〃+b)。0.8413)()

A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0,5C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0,8

9.答案：BC

解析：由題意可知，X~N(1.8,0』2),所以P(X>2)〈尸(X>1.8)=0.5,

P(X<1.9)?0.8413,所以P(X>2)<P(X>1.9)=1-P(X<1.9)?1-0.8413

=0.1587<0.2,所以A錯(cuò)誤，B正確.因?yàn)閥?NQ.LO.F),所以P(y<2.2)^0.8413,

p(y>2)>p(r>2,i)=o.5,所以

P(2<Y<2,1)=P(2.1<Y<2,2)=P(Y<2.2)-P(Y<2.1)?0.8413-0.5=0.3413,所以

P(Y>2)=尸(2<F<2.1)+P(Y>2.1)?0.3413+0.5=0.8413>0,8,(另解：

P(Y>2)=P(Y<2.2)?0.8413>0.8)所以C正確,D錯(cuò)誤.故選BC.

10.[2023年全國(guó)高考真題]有一組樣本數(shù)據(jù)x2,…，/，其中玉是最小值，4是

最大值，貝1)()

A.X2,x3,x4,毛的平均數(shù)等于七，工2，…，的平均數(shù)

B.X2,%3，了4，的中位數(shù)等于再，無(wú)2，…，尤6的中位數(shù)

C.X2,￡，了4，%的標(biāo)準(zhǔn)差不小于西，無(wú)2，…，4的標(biāo)準(zhǔn)差

x

D.X2,x3,x4,%的極差不大于苞，2>%的極差

10.答案：BD

解析：對(duì)于選項(xiàng)A：-Xp4不確定，，七，/，…，4的平均數(shù)不確定，如L2,

2,2,2,4的平均數(shù)不等于2,2,2,2的平均數(shù)，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)“泊—5,則”的中位數(shù)為罟…，

々………，4的中位數(shù)為罟，故B正確；

XX

對(duì)于選項(xiàng)C：X],x2,x3,X4,X5,工6的波動(dòng)性不小于％2，3?4,尤5的波動(dòng)性，

XXX

X],馬，4,5的標(biāo)準(zhǔn)差不大于X1,%2,/，了4，％5，6的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)々＜%＜/＜/，則X[＜々＜%＜%＜/＜/，二%＜%6-石，

即x2,x3,x4,x5的極差不大于xl,x2,x3,X4,毛，xb的極差，故D正確.故選

BD.

11.[2023年全國(guó)高考真題]在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0

時(shí)，收到1的概率為。（0＜。＜1）,收至Uo的概率為1—1；發(fā)送1時(shí)，收到o的概率為

伙0＜戶＜1）,收到1的概率為1-77.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳

輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次，收到的信號(hào)需要

譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)

中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1）（）

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為

（1-?）（1-^）2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為，（I-，）？

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為尸（1-尸）2+（1_，）3

D.當(dāng)0＜夕＜0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸

方案譯碼為0的概率

11.答案：ABD

解析：對(duì)于A選項(xiàng)，采用單次傳輸方案，依次發(fā)送1,0,1,依次收到1,0,1的概

率為（1-尸）（1一￡）（1一萬(wàn)）=（1—0）（1-,）2,所以A選項(xiàng)正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，采用三次傳輸方案，發(fā)送1,依次收到1,0,1的概率為

Q-/3）/3Q-/3）=/3Q-/312,所以B選項(xiàng)正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，采用三次傳輸方案，發(fā)送1,依次收到1,1,1（即譯碼為1）的概率為

（1—萬(wàn)）（1—,）（1—尸）=（1—尸）3;發(fā)送1,依次收到1,0,1（即譯碼為1）,0,1,1

（即譯碼為1）,1,1,0（即譯碼為1）的概率為3（1——/）=3（1—尸）2",于是

譯碼為1的概率為(1-，)3+3(l-，)2，，所以C選項(xiàng)不正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，采用三次傳輸方案，發(fā)送0,依次收到0,0,0(即譯碼為0)的概率為

(1-?)(1-?)(1-?)=(1-?)3；發(fā)送0,依次收到0,0,1(即譯碼為0),0,1,0(即

譯碼為0),1,0,0(即譯碼為0)的概率為3(1-a)a(l-。)=3(1-。)21,于是譯碼

為0的概率為(l—a)3+3(l-a)2a.采用單次傳輸方案，發(fā)送0,譯碼為o的概率為1—口.

依題意，有(l-a)3+3(l-a)2a〉l-a,BP-2a1+a>0,令函

數(shù)/(e)=—2/+a,?e[o,—?jiǎng)t/(o)=o(l—2。)>0在上恒成立，所以D

選項(xiàng)正確.故選ABD.

三、填空題

12.[2022年全國(guó)高考真題]已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2Q2),且

尸(2<X<2,5)=0.36,則P(X>2.5)=.

12.答案：0.14

解析：隨機(jī)變量X的均值為2,所以由對(duì)稱(chēng)性，可得P(X>2)=P(X<2)=0.5,因此

P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X<2,5)=0.5-0.36=0.14.

13.[2022年全國(guó)高考真題][1-￡](》+爐的展開(kāi)式中的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

13.答案：-28

解析：(x+4展開(kāi)式的通項(xiàng)(+|=C，-y,r=0,1,?,7,8.令/'=6,得小=鹿一咒令一,

得小=C江3y5,所以11一j(x+4的展開(kāi)式中x2j6的系數(shù)為C；-C；=-28.

14.[2023年全國(guó)高考真題]某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修課，學(xué)

生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課

方案共有種(用數(shù)字作答).

14.答案：64

解析：法一：由題意，可分三類(lèi)：第一類(lèi)，體育類(lèi)選修課和藝術(shù)類(lèi)選修課各選修1

門(mén)，有C；C；種方案；第二類(lèi)，在體育類(lèi)選修課中選修1門(mén)，在藝術(shù)類(lèi)選修課中選修2

門(mén)，有C；C：種方案；第三類(lèi)，在體育類(lèi)選修課中選修2門(mén)，在藝術(shù)類(lèi)選修課中選修1

門(mén)，有CjC；種方案.綜上，不同的選課方案共有C；C：+C；C；+C；C；=64(種).

法二：若學(xué)生從這8門(mén)課中選修2門(mén)課，則有C；-C：-C：=16（種）選課方案；若學(xué)

生從這8門(mén)課中選修3門(mén)課，則有C；-C；-C：=48（種）選課方案.綜上，不同的選課

方案共有16+48=64（種）.

15.[2024年全國(guó)高考真題]甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲

的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8.兩人進(jìn)行

四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡

片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的

卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的

概率為..

15.答案：-

2

解析：因?yàn)榧壮隹ㄆ?一定輸，出其他卡片有可能贏，所以四輪比賽后，甲的總得分

最多為3.

若甲的總得分為3,則甲出卡片3,5,7時(shí)都贏，所以只有1種組合：3-2,5-4,

7—6,1-8.

若甲的總得分為2,有以下三類(lèi)情況：

第一類(lèi)，當(dāng)甲出卡片3和5時(shí)贏，只有1種組合，為3-2,5-4,1-6,7-8；

第二類(lèi)，當(dāng)甲出卡片3和7時(shí)贏，有3—2,7-4,1—6,5—8或3—2,7-4,1-8,

5—6或3—2,7—6,1-4,5—8,共3種組合；

第三類(lèi)，當(dāng)甲出卡片5和7時(shí)贏，有5-2,7-4,1-6,3-8或5-2,7-4,

1-8,3-6或5-4,7-2,1-6,3-8或5-4,7-2,1-8,3-6或5-2,7-6,

1—4,3—8或5—2,7—6,1—8,3—4或5—4,7—6,1—2,3-8,共7種組合.

綜上，甲的總得分不小于2共有12種組合，而所有不同的組合共有4x3x2x1=24

（種），所以甲的總得分不小于2的概率尸=三io=工1.

242

四、雙空題

16.[2024年全國(guó)高考真題]在如圖的4x4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均

恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選

中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

16.答案：24；112

解析：第一步，從第一行任選一個(gè)數(shù)，共有4種不同的選法；第二步，從第二行選一

個(gè)與第一個(gè)數(shù)不同列的數(shù)，共有3種不同的選法；第三步，從第三行選一個(gè)與第一、

二個(gè)數(shù)均不同列的數(shù)，共有2種不同的選法；第四步，從第四行選一個(gè)與第一、二、

三個(gè)數(shù)均不同列的數(shù)，只有1種選法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為4x3x2x1=24.

先按列分析，每列必選出一個(gè)數(shù)，故所選4個(gè)數(shù)的十位上的數(shù)字分別為1,2,3,4.再

按行分析，第一、二、三、四行個(gè)位上的數(shù)字的最大值分別為1,3,3,5,故從第一

行選21,從第二行選33,從第三行選43,從第4行選15,此時(shí)個(gè)位上的數(shù)字之和最

大.故選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值為21+33+43+15=112.

五、解答題

17.[2023年全國(guó)高考真題]某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的

某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻

小于或等于。的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記

為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為虱c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分

布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率以c)；

(2)設(shè)函數(shù)/(c)=p(c)+4(c)，當(dāng)ce[95,105]時(shí),求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間

[95,105]的最小值.

17.答案：(1)c=97.5；q(c)=3.5%

-0.008c+0.82,95<c<100,

⑵/(c)=0.02

0.01c-0.98,100<c<105,

解析：(1)依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為5x0.002>0.5%,

所以95<c<100,所以(c—95)x0.002=0.5%,解得c=97.5,

q(c)=0.01x(100-97.5)+5x0,002=0.035=3.5%.

(2)當(dāng)ce［95,100］時(shí),/(c)=p(c)+q(c)=(c—95)x0.002+(100—c)x0.01+5x0,002

=-0.008c+0.82>0.02；

當(dāng)ce(100,105］時(shí)，/(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002

=0.01c-0.98>0.02,

乜f-0.008c+0.82,95<c<100,

故〃c)=

t0.01c-0.98,100<c<105,

所以/(c)在區(qū)間［95,105］的最小值為0.02.

18.［2022年全國(guó)高考真題］在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病

患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代

表)；

(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率；

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該

地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患這

種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)

間的概率，精確到0.0001).

18.答案：(1)47.9歲

(2)0.89

(3)0.0014

解析：(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為0.001x10x5+

0.002xl0xl5+0.012xl0x25+0.017xl0x35+0.023xl0x45+0.020x

10x55+0.017x10x65+0.006x10x75+0.002x10x85=47.9^.

(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率

P=0.012xl0+0.017xl0+0.023xl0+0.020xl0+0.017xl0=0.89.

(3)設(shè)事件A：此人患這種疾病，事件3：此人年齡位于區(qū)間［40,50),

則由題意知P(AB)=23%x0.1%=0.023%,P(5)=16%,

所以若此人年齡位于［40,50),

則此人患這種疾病的概率P(A|B)=￡段=%工0.0014.

P(B)16%

19.［2021年全國(guó)高考真題］某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A,B兩類(lèi)問(wèn)題.每

位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)

誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論

回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0

分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6,且能

正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

(1)若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列.

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題？并說(shuō)明理由.

19.答案：(1)X的分布列見(jiàn)解析

(2)小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題

解析：(1)由題知，X的所有可能取值為0,20,100,

則P(X=0)=0.2,P(X=20)=0.8x0.4=0.32,P(X=100)=0.8x0.6=0.48,

所以X的分布列為

X020100

P0.20.320.48

（2）小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題，理由如下：

由（1）知，E（X）=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題，記y為小明的累計(jì)得分，則y的所有可能取值為o,80,

100,

貝l]P（y=0）=0.4,P（y=80）=0.6x0.2=0.12,P（y=100）=0.6x0.8=0.48,

所以E（y）=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6>54.4,

所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題.

20.一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為

良好和不夠良好兩類(lèi)）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱(chēng)為病例

組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱(chēng)為對(duì)照組），得到如下數(shù)

據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，3表示

事件''選到的人患有該疾病”，吧&與絲的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該

P（B|A）P（B|A）

疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R

P(A|B)P(A\B)

（i）證明：R=

P(A\B)P(A\B)

（ii）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P（A|5）,P（A|歷的估計(jì)值，并利用（i）的結(jié)果給出

R的估計(jì)值.

n(ad-be)?

附：K-=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2>k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

(1)答案：有

解析：

“x|x5尸.

因?yàn)槠?.635,

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

(2)答案：(i)證明見(jiàn)解析

(ii)6

解析：=

P(B\A)P(B\A)

_P(HA)P(A)

一P(B\A)P(A)P(B\A)P(A)

_尸(AB)P(A8)

一P(M)。(疝)

_P(A|B)P(月歷

-P(A|B)P(A|B)'

(ii)由調(diào)查數(shù)據(jù)得，病例組中衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好的頻率為9=0.4,

100

對(duì)照組中衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好的頻率為也=0.1,

100

所以P(A|B)的估計(jì)值為0.4,P(A|B)的估計(jì)值為0.1.

P(A|B)的估計(jì)值為0.6,P(A|B)的估計(jì)值為0.9,

利用(i)的結(jié)果可得R的估計(jì)值為嚀義匕=6.

0.60.1

20.[2023年全國(guó)高考真題]甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命

中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的

命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8,由抽簽決定第一次投籃的人選，第一

次投籃的人是甲、乙的概率各為05

(1)求第2次投籃的人是乙的概率.

(2)求第，次投籃的人是甲的概率.

（3）已知:若隨機(jī)變量X,服從兩點(diǎn)分布，且P（Xj=l）=l-P（Xj=O）=[,

i=l,2,,n,則=記前〃次（即從第1次到第〃次投籃）中甲投籃的

\i=l7i=l

次數(shù)為匕求砂）.

20.答案：（1）0.6

2Z-1

/(2c)、—1+—1x

36

52

(3)n-+—x[l-(-)n]

3185

解析：（1）記“第2次投籃的人是乙”為事件A,“第1次投籃的人是甲”為事件

B,則4=加+期，

所以P(A)=P(BA+BA)=P(BA)+P(BA)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)

=0.5x（1-0.6）+0.5x0.8=0.6.

（2）設(shè)第，次投籃的人是甲的概率為p,,

由題意可知，Pi=；，Pi+i=Pix0-6+（1-/?,）x（1-0.8）,

21

即Pi+i=0.4^,.+0.2=-pi+-,

i2（n

所以p+i

所以數(shù)列[p-4是以工為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

3236[3J65

g、i11

所以。廠￡=/義￡，

福a11（2\-1

所以P產(chǎn)￡+-

（3）設(shè)第，次投籃時(shí)甲投籃的次數(shù)為X,，則X,的可能取值為0或1,

當(dāng)X‘=0時(shí)，表示第，次投籃的人是乙，當(dāng)X,=l時(shí)，表示第，次投籃的人是甲,

所以「（X,.=1）=0,P（Xi=0）=l-Pi，所以￡”,）=外

y=%+*2+X3++x”，

則E(F)=E(X]+X2+X3+'+X")=P1+夕2+23++Pn，

由(2)知，Pi+，

所以B+P2+P3++^=i+6X[1+?+(?r+