滬科版九年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)：投影與視圖知識歸納與題型突破（5類題型清單）

第25章投影與視圖知識歸納與題型突破（題型清單）

01思維導(dǎo)圖

膜

投影-平行投影和中心般影

IEW

投影與視圖

物體的視圖

\A-畫三視圖的要求

\—三視圖

一~常見幾何體的三視圖

由視圖到立體圖形

02知識速記

一、投影

1.投影：用光線照射物體，在某個平面上得到的影子叫做物體的投影，照射光線叫做投影線，投影所在平

面叫做投影面.

2.平行投影和中心投影：由平行光線形成的投影是平行投影；由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）發(fā)出的光線形成的投影叫

做中心投影.

3.正投影：投影線垂直投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.

4.燈光下的影子與太陽光下的影子的區(qū)別

（一）太陽光線是平行的，太陽光下的影子與物體的高度成比例；燈光光線是發(fā)散的，燈光下的影子與物

體的高度不成比例.

（二）同一時刻，太陽光下的影子都在同一方向，而燈光下的影子都在同一方向，而燈光下的影子則不一

定.

（三）燈光是從一點(diǎn)發(fā)出的，所有物體的頂端和影子的頂端所直線必過發(fā)光點(diǎn)；而太陽光是平行光

二、三視圖

1.物體的視圖

當(dāng)我們從某一角度觀察一個物體時，所看到的圖象叫做物體的視圖.

我們用三個互相垂直的平面作為投影面，其中正對我們的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右邊的叫做

1

側(cè)面.

一個物體在三個投影面內(nèi)同時進(jìn)行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水

平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左

視圖.

要點(diǎn)詮釋：三視圖就是我們從三個方向看物體所得到的3個圖象.

2.畫三視圖的要求

(1)位置的規(guī)定：主視圖下方是俯視圖，主視圖右邊是左視圖.

(2)長度的規(guī)定：長對正，高平齊，寬相等.

要點(diǎn)詮釋：主視圖反映物體的長和高，俯視圖反映物體的長和寬，左視圖反映物體的高和寬.

由視圖現(xiàn)象實(shí)物時不像由實(shí)物到視圖那樣唯一確定，要借助于三個視圖綜合分析、想象，僅僅一個方

向的視圖只能了解物體的部分信息、.由一個視圖往往可以想象出多種形狀的物體，根據(jù)視圖只能描述物體的

形狀.

注意

2

三個視圖的作用：由視圖描述物體的形狀，三個視圖可以提供不同的信息.

（一）主視圖：由主視圖可以分清物體的長和高，主要提供正面的形狀.

（二）左視圖：由左視圖可以分清物體的高和寬.

（三）俯視圖：由俯視圖看不出高度，這一點(diǎn)認(rèn)識很重要.由俯視圖可以分清物體的長和寬.

03題型歸納

題型一中心投影

例題：（23-24九年級上?安徽宿州?階段練習(xí)）如圖，小軍、小華、小麗同時站在路燈下，其中小軍和小麗的

影子分別是AB,CD.

JA

L

AC

華FI

（1）請你在圖中畫出路燈燈泡所在的位置（用點(diǎn)P表示）；

（2）畫出小華此時在路燈下的影子（用線段跖表示）；

（3）若小軍的身高為1.8m,他的影長A3為2m,他距路燈底部3m,求路燈的高度.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級上?四川成都?期中）如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段力B所示，他在地面上的影子

如圖中線段AC所示，小亮的身高如圖中線段FG所示，路燈燈泡在線段DE上.

G

B^

-H

czF

（1）請你確定燈泡所在的位置，并畫出小亮在燈光下形成的影子.

（2）如果小明的身高AB=1.6m,他的影子長AC=1.4m,且他到路燈的距離AD=2.1m,求燈泡的高.

2.（24-25九年級上?陜西榆林?期中）學(xué)習(xí)了投影和相似的相關(guān)知識后，瑤瑤想測量操場邊路燈的高度

如圖，燈泡A處的燈光照在水平放置的單杠CD上,在地面上留下影子砂，經(jīng)測量得知，單杠長CD=1.8米，

影子跖=3.24米，單杠高CM=DN=1.6米.已知CMLBF,DNLBF,點(diǎn)、B、M、E、N、F

在同一水平直線上.

3

(1)請你在圖中畫出點(diǎn)尸的位置；(保留畫圖痕跡)

(2)請你求出路燈的高度AB.

3.(23-24九年級上.四川達(dá)州.期末)小明家窗外有一個路燈，每天晚上燈光都會透過窗戶照進(jìn)房間里，小

明利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識測量了這個路燈的高.如圖1所示，路燈頂部A處發(fā)光，光線透過窗子QC照亮地面的

長度為斯，小明測得窗戶距離地面高度00=lm,窗高CD=L5m,某一時刻，OE=lm,EF=4m,其

中8、0、E、尸四點(diǎn)在同一條直線上，C、D、。三點(diǎn)在同一條直線上，且CO±OE.

圖1圖2

(1)求出路燈的高度A3.

(2)現(xiàn)在小明想讓光線透過窗子。C照亮地面的最遠(yuǎn)端位置離右墻角點(diǎn)F的距離為2m,如圖2所示，需將路

燈A3的高度升高多少米？此時光線照亮地面的最近端位置離。點(diǎn)的距離是多少？(畫出圖形并解答)

題型二平行投影

例題：(2024?廣東佛山?一模)在學(xué)習(xí)完投影的知識后，小張同學(xué)立刻進(jìn)行了實(shí)踐，他利用所學(xué)知識測量操

場旗桿的高度.

(1)如圖，請你根據(jù)小張(AB)在陽光下的投影(BE),畫出此時旗桿(CD)在陽光下的投影.

⑵已知小張的身高為1.76m,在同一時刻測得小張和旗桿的投影長分別為0.44m和5.5m,求旗桿的高度.

鞏固訓(xùn)練

1.(2024.內(nèi)蒙古赤峰.二模)【基礎(chǔ)解答】如圖，A3和DE是直立在地面上的兩根立柱.AB=6m,某一時

4

刻A3在陽光下的投影8C=2m,DE在陽光下的投影長為3m.根據(jù)題中信息，求立柱的長.

D

L

【拓展拔高】如圖，古樹A3在陽光照射下，影子的一部分照射在地面，即BC=4m,還有一部分影子在建

筑物的墻上，墻上的影高CD為1m,同一時刻，豎直于地面上的1m長的竹竿，影長為2m,求這棵古樹AB

2.（23-24九年級上.遼寧沈陽.期末）小軍和小文利用陽光下的影于來測量一建筑物頂部旗桿的高.如圖所

示，在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為2。米，0A的影長0D為24米，小軍

的影長PG為2.4米，其中。、C、D、F、G五點(diǎn)在同一直線上，A、B、。三點(diǎn)在同一直線上，且

EF工FG.

（1）①圖中陽光下的影子屬于一（填“中心投影”或“平行投影”）②線段A。、線段與線段EG之間的位置關(guān)

系為

（2）已知小軍的身高E為1.8米，求旗桿的高A3.

3.（23-24九年級下?江蘇連云港?期中）學(xué)校某班開展數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”測量活動.有兩座垂直于水平地面

且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線"N的距離皆為100cm.小王同學(xué)觀

測到高度90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示.已知

5

落在地面上的影子皆與坡腳水平線MN互相垂直，并視太陽光為平行光，測得斜坡坡度，=1：0.75,在不計(jì)

圓柱厚度與影子寬度的情況下，請解答下列問題：

（1）已知小王同學(xué)的身高為150cm,且此刻她的影子完全落在地面上，則她的影子長為多少cm?

（2）若同一時間量得高圓柱落在坡面上的影子長為100cm,則高圓柱的高度為多少cm?

題型三三視圖

付例題：（24-25九年級上?廣東深圳?期中）如圖所示的幾何體俯視圖是（）

A.~~|~|~B.C.D.-

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25七年級上?重慶?期中）五個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，它的俯視圖是（）

2.（24-25七年級上?甘肅蘭州?期中）我國古代數(shù)學(xué)家劉徽用“牟合方蓋”找到了球體體積的計(jì)算方法.“牟合

方蓋”是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體.如圖所示的幾何

體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，則它的俯視圖是（）

6

3.（24-25九年級上?遼寧本溪?期中）如圖，工件的主視圖是（）

4.（24-25九年級上?陜西咸陽?期中）如圖是一個放置在水平試驗(yàn)臺上的錐形瓶，則它的俯視圖為（

5.（24-25九年級上?四川成都?期中）一個幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（）

7

A.B.C.D.

6.（24-25九年級上?遼寧沈陽?階段練習(xí)）在我國古代建筑中經(jīng)常使用樺卯構(gòu)件，如圖是某種卯構(gòu)件的示意

圖，其中卯的左視圖是（）

1HHInon

題型四由三視圖求側(cè)面積或表面積

例題：（24-25九年級上?山東荷澤?期中）根據(jù)所給立體圖形的三視圖.

（1）寫出這個立體圖形的名稱：；

（2）求出這個立體圖形的表面積.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25七年級上?山東濟(jì)南?期中）某工廠加工一批茶葉罐.設(shè)計(jì)者給出了茶葉罐的三視圖如圖所示（單

位：mm）.

主視圖左視圖俯視圖

（1）圖中的立體圖形的名稱是：.

（2）請你按照視圖確定制作一個茶葉罐所需鐵皮的面積.

8

2.（24-25七年級上?山東濟(jì)南?階段練習(xí)）某物體的三視圖如圖:

t視圖右徹圖

（1）此物體的幾何名稱是

（2）求此物體的全面積.（結(jié)果保留兀）

3.（23-24九年級上?安徽宿州?單元測試）已知下圖為一幾何體從不同方向看到的圖形.

（1）寫出這個幾何體的名稱;

⑵若長方形的高為8cm,三角形的邊長為3cm,求這個幾何體的側(cè)面積.

4.（22-23九年級上?山東日照?期末）如圖①是一個組合幾何體，圖②是它的兩種視圖.

①②

（1）在圖②的橫線.上填寫出兩種視圖的名稱；

（2）根據(jù)兩種視圖中的數(shù)據(jù)（單位：cm）,計(jì)算這個組合幾何體的表面積.

題型五由三視圖求小立方體的個數(shù)

例題：（23-24七年級上?江蘇鹽城?期末）在平整的地面上，有若干個完全相同的棱長為1cm的小正方體堆成

的一個幾何體，如圖所示.

9

主視圖左視圖俯視圖

(1)請畫出這個幾何體的三視圖.

(2)若現(xiàn)在你手頭還有一些相同的小正方體，如果保持主視圖和左視圖不變，最多可以再添加一個小正方體.

(3)如果需要給原來這個幾何體表面噴上藍(lán)漆(接觸地面部分不噴漆)，則噴漆面積是cm2.

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24七年級上?河南周口?階段練習(xí))如圖是由一些棱長為單位1的相同的小正方體堆成的簡單幾何體.

尸

3P

/主視圖左視圖俯視圖

正面

(D請?jiān)诜礁裰挟嫵鲈搸缀误w的三視圖.

(2)堆成該幾何體需要塊小正方體.

(3)該幾何體的表面積(含下底面)為.

2.(22-23七年級上?山東濟(jì)南?期中)如圖是由棱長為1cm的6塊小正方體組成的簡單幾何體:

從正面看從左面看從上往下看

(1)請?jiān)诜礁裰挟嫵鲈搸缀误w的三個視圖；

(2)如果在這個幾何體上再添加一些小正方體，并保持主視圖和左視圖不變，最多可以再添加塊小正方

體；

(3)添加最多的小正方體后，該幾何體的表面積為.

3.(23-24七年級上.江蘇無錫?階段練習(xí))把邊長為1厘米的6個相同正方體擺成如圖的形式.

10

ZL_7Z

ZJ^-Lz

/

正面主視圖左視圖俐程圖

(1)該幾何體的體積是cm3,表面積是cm2；

(2)在格紙中畫出該幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖；

(3)如果在這個幾何體上再添加一個相同的小正方體(至少有一個面與原幾何體中小正方體的面重合)，并保

持這個幾何體的主視圖不變，那么可以有種添法.

11

第25章投影與視圖知識歸納與題型突破（題型清單）

01思維導(dǎo)圖

膜

投影-平行投影和中心般影

iEte^

投影與視圖

物體的視圖

\A-畫三視圖的要求

\—三視圖

一~常見幾何體的三視圖

由視圖到立體圖形

02知識速記

一、投影

1.投影：用光線照射物體，在某個平面上得到的影子叫做物體的投影，照射光線叫做投影線，投影所在平

面叫做投影面.

2.平行投影和中心投影：由平行光線形成的投影是平行投影；由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源）發(fā)出的光線形成的投影叫

做中心投影.

3.正投影：投影線垂直投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.

4.燈光下的影子與太陽光下的影子的區(qū)別

（一）太陽光線是平行的，太陽光下的影子與物體的高度成比例；燈光光線是發(fā)散的，燈光下的影子與物

體的高度不成比例.

（二）同一時刻，太陽光下的影子都在同一方向，而燈光下的影子都在同一方向，而燈光下的影子則不一

定.

（三）燈光是從一點(diǎn)發(fā)出的，所有物體的頂端和影子的頂端所直線必過發(fā)光點(diǎn)；而太陽光是平行光

二、三視圖

1.物體的視圖

當(dāng)我們從某一角度觀察一個物體時，所看到的圖象叫做物體的視圖.

我們用三個互相垂直的平面作為投影面，其中正對我們的叫做正面，正面下方的叫做水平面，右邊的叫做

12

側(cè)面.

一個物體在三個投影面內(nèi)同時進(jìn)行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水

平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左

視圖.

要點(diǎn)詮釋：三視圖就是我們從三個方向看物體所得到的3個圖象.

2.畫三視圖的要求

(1)位置的規(guī)定：主視圖下方是俯視圖，主視圖右邊是左視圖.

(2)長度的規(guī)定：長對正，高平齊，寬相等.

要點(diǎn)詮釋：主視圖反映物體的長和高，俯視圖反映物體的長和寬，左視圖反映物體的高和寬.

由視圖現(xiàn)象實(shí)物時不像由實(shí)物到視圖那樣唯一確定，要借助于三個視圖綜合分析、想象，僅僅一個方

向的視圖只能了解物體的部分信息、.由一個視圖往往可以想象出多種形狀的物體，根據(jù)視圖只能描述物體的

形狀.

注意

13

三個視圖的作用：由視圖描述物體的形狀，三個視圖可以提供不同的信息.

(一)主視圖：由主視圖可以分清物體的長和高，主要提供正面的形狀.

(二)左視圖：由左視圖可以分清物體的高和寬.

(三)俯視圖：由俯視圖看不出高度，這一點(diǎn)認(rèn)識很重要.由俯視圖可以分清物體的長和寬.

03題型歸納

題型一中心投影

例題：(23-24九年級上?安徽宿州?階段練習(xí))如圖，小軍、小華、小麗同時站在路燈下，其中小軍和小麗的

影子分別是AB,CD.

ABCD

小華小軍小麗

(1)請你在圖中畫出路燈燈泡所在的位置(用點(diǎn)P表示)；

(2)畫出小華此時在路燈下的影子(用線段跖表示)；

(3)若小軍的身高為1.8m,他的影長A3為2m,他距路燈底部3m,求路燈的高度.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)4.5m

【知識點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、中心投影

【分析】本題主要考查了中心投影，相似三角形的性質(zhì)與判定：

(1)連接點(diǎn)A和小軍的頭部并延長，連接點(diǎn)。和小麗的頭部并延長，兩條射線交于點(diǎn)尸，點(diǎn)P即為所求;

(2)連接點(diǎn)P與小華的頭部與地面交于E,則點(diǎn)E與小華腳部的連線線段跖即為所求；

(3)過點(diǎn)尸作尸HLAB交A3延長線于證明△ABGs&lHP,利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)如圖所示，點(diǎn)尸即為所求；

(2)如圖所示，線段所即為所求；

EFABCD

小華小軍小麗

(3)解：如圖所示,過點(diǎn)尸作P"，交AB延長線于H,

14

由題意得，AB=2m,BG=1.8m,BH=3m,

：.AH=5m,

'：BG//PH,

AABGs^AHP,

.AH"即鼠里=4.5m,

ABBG21.8

路燈的高度為4.5m.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級上.四川成都.期中）如圖，在路燈下，小明的身高如圖中線段4B所示，他在地面上的影子

如圖中線段AC所示，小亮的身高如圖中線段FG所示，路燈燈泡在線段DE上.

E

G

CADF

（1）請你確定燈泡所在的位置，并畫出小亮在燈光下形成的影子.

⑵如果小明的身高=1.6m,他的影子長AC=L4m,且他到路燈的距離AD=2.1m,求燈泡的高.

【答案】（1）畫圖見解析；

（2）4m.

【知識點(diǎn)】中心投影

【分析】（1）連接CB并延長交DE于點(diǎn)。，點(diǎn)。即為所求，連接OG并延長交。廠于"，線段五”即為所求;

（2）由中心投影的性質(zhì)可得裸=黑，再將數(shù)據(jù)代入即可求解；

AC

本題考查了中心投影，掌握中心投影的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵

【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)。為燈泡所在的位置，線段FH為小亮在燈光下形成的影子；

15

E

O

/、、、

/II、、、

CADFH

(2)解：由中心投影的性質(zhì)得，普=盥，

1.6DO

即Hn一=-------，

1.41.4+2.1

解得。O=4m,

答：燈泡的高為4m.

2.(24-25九年級上?陜西榆林?期中)學(xué)習(xí)了投影和相似的相關(guān)知識后，瑤瑤想測量操場邊路燈的高度

如圖，燈泡A處的燈光照在水平放置的單杠CD上,在地面上留下影子EF,經(jīng)測量得知，單杠長CD=1.8米，

影子跖=3.24米，單杠高CM=ZW=1.6米.已知CMLBF,DNLBF,點(diǎn)B、M、E、N、F

在同一水平直線上.

(1)請你在圖中畫出點(diǎn)尸的位置；(保留畫圖痕跡)

(2)請你求出路燈的高度AB.

【答案】(1)見解析

(2)3.6m

【知識點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、中心投影

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵.

(1)如圖：連接AD并延長交BE延長線于R即可確定點(diǎn)尸的位置；

Ap0ARAF

(2)先證明"CDs△的，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得=,再證明3.6_皿￡得到=

最后代入數(shù)據(jù)求得AB的長即可.

【詳解】(1)解：點(diǎn)尸的位置如圖所示.

16

(2)解：由題意得：CDEF,

.ZACD=ZAEF,ZADC=ZAFE,

.△ACD^AAEF,

ACCD1.85

,AE-EF-324-9,

AE_9

~CE~^'

ZABE=NCME=90°,ZAEB=ZCEM,

△ABEs/\CME,

.-.AB=3.6m,即路燈的高度AB為3.6m.

3.(23-24九年級上?四川達(dá)州?期末)小明家窗外有一個路燈，每天晚上燈光都會透過窗戶照進(jìn)房間里，小

明利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識測量了這個路燈的高.如圖1所示，路燈頂部A處發(fā)光，光線透過窗子。C照亮地面的

長度為E尸，小明測得窗戶距離地面高度00=lm,窗高CD=L5m,某一時刻，OE=lm,EF=4m,其

中8、。、E、月四點(diǎn)在同一條直線上，C、D、。三點(diǎn)在同一條直線上，且CO±OE.

圖1圖2

(1)求出路燈的高度A3.

(2)現(xiàn)在小明想讓光線透過窗子DC照亮地面的最遠(yuǎn)端位置離右墻角點(diǎn)R的距離為2m,如圖2所示，需將路

燈A3的高度升高多少米？此時光線照亮地面的最近端位置離。點(diǎn)的距離是多少？(畫出圖形并解答)

【答案】⑴4m

3

(2)圖形見解析，將路燈4B的高度升高1米，此時光線照亮地面的最近端位置離。點(diǎn)的距離是

【知識點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、中心投影、其他問題(解直角三角形的應(yīng)用)

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵

17

(1)利用條件證明ADOEs公ABE和△CQFS2\A8F,得=和=求出AB和BE即可得出答

ABBEABBF

案；

(2)證△CONs/VffiN和得=和型="，求出0M即可解決問題.

HBBNHBBM

【詳解】(1)解：ABLBE,COLOE,

..AB//CO,

:.ADOE^AABE,ACOF^AABF

.DOOECOOF

..AB-BE'AB~BF

111.5+11+4

即nn---=---,-----=------

ABBEABBE+4

解得：AB=BE=4(m),

答：路燈的高度A8為4m；

(2)解：如圖所示，將路燈A3的高度升高至3",

由⑴得：AB=4m,3E=4m,

.-.BF=BE+EF=4+4=8(m),

80=3尸一OE—防=8-l-4=3(m),

由題意得：NF=2m,貝=3/一NF=8—2=6(m),

:.ON=BN-BO=6-3=3(m),

AB±BE,COLOF,

.-.AB//CO,

:.△CONs^HBN,ADOM^AHBM,

,COONDOOM

'HB~~BN,HB~1BM

1.5+131OM

H即-----=-,——=-------

HB6HBOM+3

a

解得：HB=5(m),OM=1(m),

18

AH=BH-AB=5-4=l(m),

答：需將路燈AB的高度升高1米，此時光線照亮地面的最近端位置離。點(diǎn)的距離是3m.

4

題型二平行投影

例題：(2024?廣東佛山?一模)在學(xué)習(xí)完投影的知識后，小張同學(xué)立刻進(jìn)行了實(shí)踐，他利用所學(xué)知識測量操

場旗桿的高度.

(1)如圖，請你根據(jù)小張(AB)在陽光下的投影(BE),畫出此時旗桿(CD)在陽光下的投影.

⑵已知小張的身高為1.76m,在同一時刻測得小張和旗桿的投影長分別為0.44m和5.5m,求旗桿的高度.

【答案】(1)見解析

(2)旗桿的高度為22m.

【知識點(diǎn)】相似三角形實(shí)際應(yīng)用、平行投影

【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，設(shè)計(jì)平行投影，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握平行投影的特征.

(1)連接AE,過C作C尸〃AE交3D于F,線段。廠即為所求；

(2)根據(jù)平行投影特征得：會=,，即可解得答案.

【詳解】(1)解：連接AE,過C作C歹〃AE1交3。于尸，如圖：

q、

\\

\______________\

BEDF

線段。尸即為所求；

⑵解：根據(jù)題意得:盛卷，

解得CD=22,

旗桿的高度為22m.

19

鞏固訓(xùn)練

1.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.二模）【基礎(chǔ)解答】如圖，A3和DE是直立在地面上的兩根立柱.AB=6m,某一時

刻A3在陽光下的投影3C=2m,DE在陽光下的投影長為3m.根據(jù)題中信息，求立柱DE的長.

D

【拓展拔高】如圖，古樹A3在陽光照射下，影子的一部分照射在地面，即3c=4m,還有一部分影子在建

筑物的墻上，墻上的影高CO為1m,同一時刻，豎直于地面上的1m長的竹竿，影長為2m,求這棵古樹AB

【答案】立柱DE=9m,古樹AB=3m.

【知識點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、平行投影

【分析】本題主要考查了投影的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，

基礎(chǔ)解答：根據(jù)太陽光投影中，光線都是平行的，即可得D尸〃AC,據(jù)此判定問題隨之

得解；

拓展拔高：畫出圖形，根據(jù)光線都是平行的，根據(jù)“基礎(chǔ)解答”的方法，同理可得：AABGs^MNH,

△DCGsaw/VH,問題隨之得解.

【詳解】基礎(chǔ)解答

20

*：DF//AC,

：.ZACB=ZDFE,

又ZABC=NDEF=90°,

J人ABCSADEF,

.AB_DE

**EF?

VAB=6m,BC=2m1EF=3m,

.6DE

??一=---

23

解得：DE=9m-

拓展拔高

如圖，

'、、、DM

"竿

frffffrf7TtfTfTTfTJrrrrr

BCGNH

根據(jù)題意有：BC=4m,CD=lm,MN=lm,NH=2m,

根據(jù)【基礎(chǔ)解答］同理可得：AABGS^^MNH,ZXDCG^^MNH,

.AB_MNCD_MN

*BGNH'CGNH

AB_11

即有:

4+CG-2,~CG~

解得：CG=2,

即有AB=3(m),

即古樹AB=3m.

2.（23-24九年級上?遼寧沈陽?期末）小軍和小文利用陽光下的影于來測量一建筑物頂部旗桿的高.如圖所

示，在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物的影長OC為20米，0A的影長。。為24米，小軍

的影長FG為2.4米，其中O、C、。、F、G五點(diǎn)在同一直線上，A、B、O三點(diǎn)在同一直線上，且。4，。。，

EF±FG.

21

⑴①圖中陽光下的影子屬于_（填“中心投影”或“平行投影”）②線段A。、線段3C與線段EG之間的位置關(guān)

系為

（2）已知小軍的身高石為1.8米，求旗桿的高A8.

【答案】（1）①平行投影；②A。BCEG（或答“平行”）

（2）旗桿A3的長為3米

【知識點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、平行投影

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵掌握相似三角形的判定.

（1）根據(jù)平行投影和中心投影的定義即可做出判斷.

（2）證明EFG,利用相似比計(jì)算出A0的長，再證明，50。AOD,然后利用相似比計(jì)算05的

長，進(jìn)一步計(jì)算即可求解.

【詳解】（1）①根據(jù)題意可知是平行投影；

②ADBC\EG（或答“平行”）；

故答案為：①平行投影；②A。BC,EG（或答“平行”）.

（2）OAA.OD,EF±FG,

：.ZAOE^ZEFG=90°,

ADEG,

???ZD=NG,

A^AOD一EFG,

.OA_OP

??筋一芮’

?0—絲

**L8-Z4'

???04=18

CD=OD-OC=4,

???AD//BC,

.ABCD

^~6X~~6D'

22

AB4

?,百一五’

AB=3(米)，

所以，旗桿A3的長為3米，

3.(23-24九年級下?江蘇連云港?期中)學(xué)校某班開展數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”測量活動.有兩座垂直于水平地面

且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線的距離皆為100cm.小王同學(xué)觀

測到高度90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長為72cm；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示.已知

落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽光為平行光，測得斜坡坡度，=1：0.75,在不計(jì)

圓柱厚度與影子寬度的情況下，請解答下列問題：

(1)已知小王同學(xué)的身高為150cm,且此刻她的影子完全落在地面上，則她的影子長為多少cm?

(2)若同一時間量得高圓柱落在坡面上的影子長為100cm,則高圓柱的高度為多少cm?

【答案】(1)120cm

(2)280cm

【知識點(diǎn)】平行投影、坡度坡比問題(解直角三角形的應(yīng)用)

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行投影等知識，解題的關(guān)鍵是理解實(shí)際物體與影長之間的關(guān)

系解決問題，屬于中考?？碱}型.

(1)根據(jù)同一時刻，物長與影長成正比，構(gòu)建方程即可解決問題.

(2)過點(diǎn)尸作FGLCE于點(diǎn)G,設(shè)FG=4m,CG=3m,利用勾股定理求出CG和尸G,得到,過點(diǎn)產(chǎn)

作FF/LAB于點(diǎn)再根據(jù)同一時刻身高與影長的比例，求出A"的長度，即可得到A3.

【詳解】(1)設(shè)小王的影長為％cm,

由題意，得：空="9,解得：x=120

經(jīng)檢驗(yàn)，x=120是原分式方程的解.

答：小王的影長為120cm.

(2)如圖，過點(diǎn)P作PGLCE,垂足為點(diǎn)G,

23

???BC=CF=1QO,

...,八「.DEFG14

?i=1'0.75，??----==------=-

CECG0.753

J設(shè)/G=4m,CG=3m,在RjCFG中，（4m）2+（3m）2=1002,m=20,

???CG=60,FG=80,

：.5G=5C+CG=160,

過點(diǎn)/作于點(diǎn)"，則四邊形H8G尸為矩形，

：?HF=BG=16U,BH=FG=80,

???察鎮(zhèn)解得：AH=200,

/Zrlr

AB=AH+BH=AH+FG=2OO+8O^28O,

答：高圓柱的高度為280cm.

題型三三視圖

例題：（24-25九年級上?廣東深圳?期中）如圖所示的幾何體俯視圖是（）

嚴(yán)

A.||JB.C.D.?

【答案】B

【知識點(diǎn)】判斷簡單幾何體的三視圖

【分析】本題考查簡單幾何體的三視圖識別，理解三視圖的基本概念，靈活運(yùn)用空間想象能力是解題關(guān)鍵.

幾何體的俯視圖即為從上往下看，所看到的平面圖形，由此判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，如圖所示的幾何體俯視圖是

24

故選:B.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25七年級上?重慶?期中）五個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，它的俯視圖是（）

正面

【答案】C

【知識點(diǎn)】畫小立方塊堆砌圖形的三視圖

【分析】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，根據(jù)俯視圖是從上面看到的圖形進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：從上面看，看到的圖形分為上下兩層，共三列，從左邊起，第一列上下兩層各有一個小正方

形，第二列和第三列上面一層個右邊一個小正方形，即看到的圖形如下：

2.（24-25七年級上?甘肅蘭州?期中）我國古代數(shù)學(xué)家劉徽用“牟合方蓋”找到了球體體積的計(jì)算方法.“牟合

方蓋”是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體.如圖所示的幾何

體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，則它的俯視圖是（）

25

【答案】A

【知識點(diǎn)】判斷簡單組合體的三視圖

【分析】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，根據(jù)俯視圖即從物體的上面觀察得得到的視圖，進(jìn)而得出

答案.

【詳解】解：該幾何體左邊是一個圓柱，從上面看，看到的是一個長方形，該幾何體右邊下部分是正方體,

上部分是圓柱，看到的是一個正方形內(nèi)里鑲嵌一個圓，

故選：A.

3.（24-25九年級上?遼寧本溪?期中）如圖，工件的主視圖是（）

正面

【答案】C

【知識點(diǎn)】判斷簡單幾何體的三視圖

【分析】本題考查了物體的三視圖，熟悉掌握三視圖的觀察方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)主視圖為對物體正面看，看到部分為實(shí)線，看不到部分為虛線，觀察即可.

【詳解】解：根據(jù)主視圖為對物體正面看，看到部分為實(shí)線，看不到部分為虛線,

故選：C.

4.（24-25九年級上?陜西咸陽?期中）如圖是一個放置在水平試驗(yàn)臺上的錐形瓶，則它的俯視圖為（）

26

【答案】C

【知識點(diǎn)】判斷簡單幾何體的三視圖

【分析】本題考查簡單組合體的三視圖，俯視圖是從物體的上方看得到的視圖.找到從上方看所得到的圖

形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在俯視圖中.

【詳解】解：該錐形瓶的俯視圖的底層是：

【答案】D

【知識點(diǎn)】判斷簡單組合體的三視圖

【分析】本題考查了三視圖的知識.找到從上面看所得到的圖形即可，注意看見的棱用實(shí)線表示，看不見

的棱用虛線表示.

【詳解】解：從上面看，是一個正方形，正方形內(nèi)部有兩條縱向的虛線.

D選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

6.（24-25九年級上?遼寧沈陽?階段練習(xí)）在我國古代建筑中經(jīng)常使用樺卯構(gòu)件，如圖是某種卯構(gòu)件的示意

27

圖，其中卯的左視圖是()

【答案】B

【知識點(diǎn)】判斷簡單組合體的三視圖

【分析】本題主要考查了幾何體的三視圖，根據(jù)主視圖是從正面看到的圖形進(jìn)行求解即可，具有空間概念

是解題的關(guān)鍵.

【詳解】

解：從左面看只能看到左面部分的形狀圖象，即：

故選：B.

題型四由三視圖求側(cè)面積或表面積

例題：(24-25九年級上?山東荷澤?期中)根據(jù)所給立體圖形的三視圖.

(1)寫出這個立體圖形的名稱：；

(2)求出這個立體圖形的表面積.

【答案】(1)圓錐

(2)247tcm2

【知識點(diǎn)】由三視圖還原幾何體、已知三視圖求側(cè)面積或表面積

【分析】本題主要考查了由三視圖確定幾何體和求圓錐的表面積.熟練掌握圓錐的表面積=側(cè)面積+底面積，

由三視圖確定幾何體時要遵從“主、俯視圖長對正，主、左視圖高平齊，俯、左視圖寬相等”的特點(diǎn)，確定

28

幾何體的尺寸.

(1)從主視圖以及左視圖都為一個三角形，俯視圖為一個圓形看，可以確定這個幾何體為一個圓錐；

(2)由三視圖可知圓錐的底面半徑為3,高為4,故母線長為5；利用圓錐表面積=側(cè)面積+底面積即可求出.

【詳解】(1)解：這是一個圓錐，

(2)解：母線長：+42=5,

底面圓周長：6兀，

側(cè)面積：—x67tx5=15n,

2

底面積：兀仁］=9兀，

表面積：15兀+9兀=24兀

故這個圓錐的表面積為24?tcm2

鞏固訓(xùn)練

1.(24-25七年級上?山東濟(jì)南?期中)某工廠加工一批茶葉罐.設(shè)計(jì)者給出了茶葉罐的三視圖如圖所示(單

主視圖左視圖俯視圖

(1)圖中的立體圖形的名稱是：.

(2)請你按照視圖確定制作一個茶葉罐所需鐵皮的面積.

【答案】(1)圓柱

(2)312007z-mm2

【知識點(diǎn)】由三視圖還原幾何體、已知三視圖求側(cè)面積或表面積

29

【分析】本題主要考查了由三視圖確定幾何體，計(jì)算圓柱的表面積：

(1)根據(jù)左視圖和主視圖是長方形，則該幾何體是柱體，再由俯視圖為圓可知該幾何體是圓柱;

(2)根據(jù)圓柱表面積計(jì)算公式求出圓柱的表面積即可得到答案.

【詳解】(1)解：由題意得，主視圖和左視圖都是長方形，俯視圖是圓，則該立體圖形是圓柱，

故答案為：圓柱；

(2)解：120-2=60mm,

120x^-x200+2x^-x60x60=31200^-mm2，

制作一個茶葉罐所需鐵皮的面積為31200萬mn?.

2.(24-25七年級上?山東濟(jì)南?階段練習(xí))某物體的三視圖如圖：

(2)求此物體的全面積.(結(jié)果保留兀)

【答案】(1)圓柱

(2)100071

【知識點(diǎn)】由三視圖還原幾何體、已知三視圖求側(cè)面積或表面積

【分析】本題考查了由三視圖判斷幾何體及幾何體的全面積問題，解題的關(guān)鍵是了解圓柱的側(cè)面積的計(jì)算

方法.

(1)根據(jù)該幾何體的主視圖與左視圖是矩形，俯視圖是圓可以確定該幾何體是圓柱；

(2)根據(jù)告訴的幾何體的尺寸確定該幾何體的側(cè)面積即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)三視圖的知識，主視圖以及左視圖都為矩形，俯視圖是一個圓，故可判斷出該幾何

體為圓柱；

故答案為：圓柱；

20

(2)解：根據(jù)圓柱的全面積公式可得，20%X40+2XTTXI=10007r.

3.(23-24九年級上?安徽宿州?單元測試)已知下圖為一幾何體從不同方向看到的圖形.

30

U△

從正面看從左面看從上面并

長方形長方形正三的膨

(1)寫出這個幾何體的名稱;

(2)若長方形的高為8cm,三角形的邊長為3cm,求這個幾何體的側(cè)面積.

【答案】(1)直三棱柱

(2)72cm2

【知識點(diǎn)】由三視圖還原幾何體、已知三視圖求側(cè)面積或表面積

【分析】本題主要考查由三視圖判斷幾何體，用到的知識點(diǎn)為：棱柱的側(cè)面都是長方形，上下底面是幾邊

形就是幾棱柱.

(1)只有棱柱的主視圖和左視圖才能出現(xiàn)長方形，根據(jù)俯視圖是三角形，可得到此幾何體為直三棱柱；

(2)側(cè)面積為長方形，它的長和寬分別為3x3、8,計(jì)算出一個長方形的面積.

【詳解】(1)只有棱柱的主視圖和左視圖才能出現(xiàn)長方形，根據(jù)俯視圖是三角形，可得到此幾何體為直三

棱柱；

(2)這個幾何體的側(cè)面積為3x8x3=72(平方厘米).

4.(22-23九年級上?山東日照?期末)如圖①是一個組合幾何體，圖②是它的兩種視圖.

①②

(1)在圖②的橫線.上填寫出兩種視圖的名稱；

(2)根據(jù)兩種視圖中的數(shù)據(jù)(單位：cm),計(jì)算這個組合幾何體的表面積.

【答案】(1)主，俯

(2)132+24萬(cm2)

【知識點(diǎn)】判斷簡單組合體的三視圖、已知三視圖求側(cè)面積或表面積

【分析】本題主要考查簡單組合體的三視圖，熟練掌握三視圖是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三視圖的定義判斷即可；

31

(2)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，該幾何體的表面積由一個長方體和一個圓柱組成，根據(jù)表面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：根據(jù)三視圖的定義，第一個為主視圖，第二個為俯視圖；

(2)解：2(8x5+8x2+5x2)+4^x6

=132+24)(cm2).

題型五由三視圖求小立方體的個數(shù)

例題：(23-24七年級上?江蘇鹽城?期末)在平整的地面上，有若干個完全相同的棱長為1cm的小正方體堆成

的一個幾何體，如圖所示.

主視圖左視圖俯視圖

(1)請畫出這個幾何體的三視圖.

(2)若現(xiàn)在你手頭還有一些相同的小正方體，如果保持主視圖和左視圖不變，最多可以再添加一個小正方體.

(3)如果需要給原來這個幾何體表面噴上藍(lán)漆(接觸地面部分不噴漆)，則噴漆面積是cm2.

【答案】(1)畫圖見解析

(2)6

(3)29

【知識點(diǎn)】畫簡單組合體的三視圖、求小立方塊堆砌圖形的表面積、由三視圖，判斷小立方體的個數(shù)

【分析】本題考查了三視圖的畫法.主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到

的圖形；注意看到的用實(shí)線表示，看不到的用虛線表示.注意涂色面積指組成幾何體的外表面積.

(1)根據(jù)三視圖的畫法，畫出從正面、左面、上面看到的形狀即可；

(2)主視圖和左視圖不變，構(gòu)成圖形即可解決問題；

(3)求出這個幾何體的表面積即可解決問題.

主視圖左視圖俯視圖

32

(2)最多可以加六個小正方體，具體放的方式，通過俯視圖來展示，如下圖:

放一個

故答案為：6；

(3)根據(jù)8個小正方體擺放的位置可以發(fā)現(xiàn)，從左看與從右看看到的面一樣多為6個，從前看和從后看看

到的面也一樣多為6個，俯視圖看到的面是5個，

二需要噴漆的面