13.1.2 定理與證明（難點練）解析版

13.1.2定理與證明（難點練）一、單選題1．（2018·全國八年級單元測試）下列不是基本事實的是()A．兩點確定一條直線B．兩點之間線段最短C．兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等D．經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行【答案】C【詳解】解：A．兩點確定一條直線，是公理，是基本事實；B．兩點之間線段最短，是公理，是基本事實；C．兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等，不是公理，不是基本事實；D．經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，是公理，是基本事實．故選C．2．（2018·全國八年級單元測試）下列能作為證明依據(jù)的是()A．已知條件 B．定義和基本事實 C．定理和推論 D．以上三項都可以【答案】D【詳解】解：已知條件、定義和基本事實、定理和推論都可以作為證明的依據(jù)．故選D．3．（2019·全國八年級期末）下列幾個命題中正確的個數(shù)為（）①“擲一枚均勻骰子，朝上點數(shù)為負”為必然事件（骰子上各面點數(shù)依次為1，2，3，4，5，6）；②5名同學(xué)的語文成績?yōu)?0，92，92，98，103，則他們的平均分為95，眾數(shù)為92；③射擊運動員甲、乙分別射擊10次，算得甲擊中環(huán)數(shù)的方差為4，乙擊中環(huán)數(shù)的方差為16，則這一過程中乙較甲更穩(wěn)定；④某部門15名員工個人年創(chuàng)利潤統(tǒng)計表如下，其中有一欄被污漬弄臟看不清數(shù)據(jù)，所以對于“該部門員工個人年創(chuàng)利潤的中位數(shù)為5萬元”的說法無法判斷對錯.個人年創(chuàng)利潤/萬元10853員工人數(shù)134A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】分別根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差等公式以及性質(zhì)分別計算分析得出即可．【詳解】①“擲一枚均勻骰子,朝上點數(shù)為負”為不可能事件(骰子上各面點數(shù)依次為1,2,3,4,5,6)，故此選項錯誤；②5名同學(xué)的語文成績?yōu)?0，92，92，98，103，則他們平均分為95，眾數(shù)為92，故此選項正確；③射擊運動員甲、乙分別射擊10次，算得甲擊中環(huán)數(shù)的方差為4，乙擊中環(huán)數(shù)的方差為16，則這一過程中甲較乙更穩(wěn)定，故此選項錯誤；④根據(jù)某部門15名員工個人年創(chuàng)利潤數(shù)據(jù)，第7個與第8個數(shù)據(jù)平均數(shù)是中位數(shù)，故“該部門員工個人年創(chuàng)利潤的中位數(shù)為5萬元”，故此選項錯誤，故正確的有1個.故選；A.【點睛】此題考查命題與定理，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定理二、填空題4．（2019·全國）將命題“等腰三角形的兩個底角相等”改寫為“如果……那么……”的形式：如果___________________________________，那么_______________________．【答案】一個三角形是等腰三角形它的兩個底角相等【詳解】題設(shè)為:一個三角形是等腰三角形,結(jié)論為:它的兩個底角相等,故寫成”如果…那么…”的形式是:如果一個三角形是等腰三角形,那么它的兩個底角相等,故答案為:一個三角形是等腰三角形,它的兩個底角相等.點睛:本題主要考查將原命題寫成條件與結(jié)論的形式,”如果”后面是命題的條件,”那么”后面是條件的結(jié)論,解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的條件和結(jié)論.5．（2017·上海）根據(jù)下圖和命題“等腰三角形底邊上的中線是頂角的角平分線”寫出：已知：_______________________________求證：_______________．【答案】已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線求證：AD平分∠BAC.【分析】結(jié)合幾何圖形寫出已知條件和結(jié)論．【詳解】已知：△ABC中，AB=AC，D為BC中點（或BD=DC）；求證：AD平分∠BAC．故答案為△ABC中，AB=AC，D為BC中點（或BD=DC）；AD平分∠BAC．【點睛】本題考查了命題與定理：命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時，“如果”后面接的部分是題設(shè)，“那么”后面解的部分是結(jié)論．6．（2019·全國八年級課時練習）（1）如圖所示，點是公路旁的居民點，從點向公路修一條連接公路的小路，，這樣修所依據(jù)的數(shù)學(xué)公理是______．（2）如圖所示，點，，，在同一條直線上，當________，________，_______時，，所依據(jù)的數(shù)學(xué)公理是_______．【答案】（1）垂線段最短；（2），，，.【分析】（1）根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短，進行判斷即可；（2）根據(jù)全等三角形的判斷定理SSS，即可得到答案.【詳解】解：（1）∵從直線外一點到這條直線上各點所連線段中，垂線段最短，∴過點A作于點B，這樣修所依據(jù)的數(shù)學(xué)公理是垂線段最短．故答案為：垂線段最短．（2）根據(jù)題意，當時，有：（SSS），所依據(jù)的數(shù)學(xué)公理是SSS；故答案為：，，，.【點睛】本題主要考查了垂線段的性質(zhì)，全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握垂線段最短的性質(zhì)和SSS證明全等三角形的判定定理.三、解答題7．（2017·安徽）證明：兩條平行直線被第三條直線所截，一對同旁內(nèi)角的平分線互相垂直.已知:求證：.證明：試題分析：根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知與求證，證明過程為：由AB與CD平行，利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補得到∠BEF+∠EFD=180°，再由EG與FG為角平分線，利用角平分線定義及等量代換得到∠GEF+∠EFG=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得∠EGF=90°，結(jié)論得證．試題解析：已知：直線AB∥CD，直接EF分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，∠BEF，∠EFD的平分線交于G點.求證：EG⊥FG證明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°，∵EG平分∠BEF,FG平分∠EFD，∴∠GEF=∠BEF，∠EFG=∠EFD，∴∠GEF+∠EFG=∠BEF+∠EFD=×180°=90°，∴∠EGF=180°-(∠GEF+∠EFG)=90°，∴EG⊥FG8．（2018·山東）求證:對頂角相等(請畫出圖形，寫出已知、求證、證明.)試題分析：根據(jù)題設(shè)與結(jié)論畫出符合條件的圖形，根據(jù)圖形寫出已知、求證，然后進行證明即可.試題解析：已知：如圖，直線AB與CD交于點O．求證：∠1＝∠2．已知:如圖，證明：∵AB、CD相交于O(已知)，∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°(鄰補角的定義)，∴∠1＝∠2(同角的補角相等).9．（2018·全國八年級單元測試）“定義、定理、基本事實、命題、真命題、假命題”它們之間的關(guān)系恰好可以用下圖表示，請指出A，B，C，D，E，F(xiàn)分別與它們中的哪一個對應(yīng)．【答案】A表示命題，B表示假命題，C表示真命題，D，E，F(xiàn)分別表示定義、定理、基本事實中任意一個．試題分析：根據(jù)命題包括真命題、假命題，真命題包括定義、定理、基本事實等作答．試題解析：解：命題包括真命題、假命題．真命題包括定義、定理、基本事實等．故A表示命題，B表示假命題，C表示真命題，D，E，F(xiàn)分別表示定義、定理、基本事實中任意一個．10．（2019·山東八年級課時練習）你寫出兩個判斷，讓其他同學(xué)判斷一下是否正確.并且試著說明理由.【分析】此題答案不唯一,具有一定的靈活性.【詳解】解:答案不唯一,如:（1）有兩邊及其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等；畫出圖形后根據(jù)HL證出Rt△ABM≌Rt△DEN，推出∠B=∠E，證△ABC≌△DEF即可；如圖：∵AM⊥BC，DN⊥EF，∴∠AMB=∠DNE=90°，在Rt△ABM和Rt△DEN中AB=DE，AM=DN，∴Rt△ABM≌Rt△DEN，∴∠B=∠E，∵AB=DE，BC=EF，∴△ABC≌△DEF，∴有兩邊及其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等正確．（2）有兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等；證Rt△BMC≌Rt△ENF推出∠C=∠F；根據(jù)SAS證出即可；有兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等正確；如圖：∵BM⊥AC，EN⊥DF，∴∠BMC=∠ENF=90°，在Rt△BMC和Rt△ENF中BC=EF，BM=EN，∴Rt△BMC≌Rt△ENF∴∠F=∠C，同理∠A=∠D，∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF，∴有兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等正確．【點睛】本題主要考查對判斷的理解,并能根據(jù)已知知識進行分析．11．（2019·全國八年級單元測試）（1）證明：“三角形內(nèi)角和是180°”；（2）請寫出“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題，判斷這一逆命題是真命題還是假命題，如果是真命題給出證明，如果是假命題，說明理由．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)、平角的定義證明；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理證明【詳解】（1）證明：已知：△ABC，求證：∠BAC+∠B+∠C=180°，證明：過點A作EF∥BC，∵EF∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°．即知三角形內(nèi)角和等于180°（2）解：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是一個三角形一邊上的中線是這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形，是真命題．已知，如圖，△ABC中，D是AB邊的中點，且CD=AB求證：△ABC是直角三角形，證明：∵D是AB邊的中點，且CD=AB，∴AD=BD=CD，∵AD=CD，∴∠ACD=∠A，∵BD=CD，∴∠BCD=∠B，又∵∠ACD+∠BCD+∠A+∠B=180°，∴2（∠ACD+∠BCD）=180°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．【點睛】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)、平角的定義等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理證明.12．（2019·全國八年級課時練習）命題“當n是整數(shù)時，兩個連續(xù)整數(shù)的平方差等于這兩個連續(xù)整數(shù)的和”正確嗎？試著用你學(xué)過的知識說明理由.【答案】正確，理由見解析.【分析】運用完全平方公式計算，根據(jù)計算結(jié)果判斷題意中的說法是否正確．【詳解】正確，理由如下：.故命題“當n是整數(shù)時，兩個連續(xù)整數(shù)的平方差等于這兩個連續(xù)整數(shù)的和”正確.【點睛】本題考查了命題真假的判斷和完全平方公式，通過完全平方公式對所給式子進行化簡計算是判斷命題真假的前提．13．（2019·全國八年級課時練習）一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b（），若把它的十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，將得到一個新的兩位數(shù)，這兩個兩位數(shù)的和能被11整除嗎？差能被11整除嗎？我們可以驗證一下，比如23，對調(diào)后所得到的新的兩位數(shù)是32，而2，.因此我們斷定，這兩個兩位數(shù)的和能被11整除，差不能被11整除；請問上述說法正確嗎？【答案】正確【分析】兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字分別為a，b，表示出原兩位數(shù)與新兩位數(shù)，即可作出判斷．【詳解】解：正確，上述驗證過程只是一個特例，為了驗證結(jié)論的正確性，可作如下證明：∵原兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個位數(shù)字為b（），∴原兩位數(shù)為，新兩位數(shù)為.∵，是11的整數(shù)倍，∴這兩個兩位數(shù)的和能被11整除.∵，一定不是11的整數(shù)倍，∴這兩個兩位數(shù)的差不能被11整除，∴上述說法正確.【點睛】此題考查了整式的加減，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．14．（2019·全國八年級課時練習）如圖所示，相交于點，連接，①，②，③．以這三個式子中的兩個作為命題的條件，另一個作為命題的結(jié)論，構(gòu)成三個命題：①②③；①③②；②③①．（1）在構(gòu)成的三個命題中，真命題有________個；（2）請選擇其中一個真命題加以證明．【答案】（1）2；（2）選擇①②③，見解析.【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理AAS，ASA即可判斷；（2）選擇①②③，根據(jù)全等三角形的判定定理AAS，得到，然后即可得到.【詳解】解：（1）①②③，滿足全等三角形判定定理AAS，是真命題；①③②，滿足全等三角形判定定理ASA，是真命題；②③①，是SSA，不能證明三角形全等，故不能得到①成立，是假命題；故答案為：2；（2）選擇①②③．證明：在和中，∴．∴（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理，掌握、熟練運用全等三角形的證明方法證明全等是解題的關(guān)鍵.15．（2019·全國八年級課時練習）命題：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，是真命題，還是假命題？如果是真命題，請證明；如果是假命題，請舉一反例．【答案】真命題，見解析.【分析】根據(jù)角平分線定義，得到，然后利用AAS證明，然后即可得到.【詳解】解：真命題．已知，如圖，點在的平分線上，且于點，于點．求證：．證明：∵平分（已知），∴（角平分線的定義）．又∵，（已知），∴（垂直的定義）．在和中，∴．∴（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握證明三角形全等的方法.16．（2019·全國八年級課時練習）如圖，現(xiàn)有以下三個語句：①；②；③．請以其中兩個為條件，另一個為結(jié)論構(gòu)造命題．（1）你構(gòu)造的是哪幾個命題？（2）你構(gòu)造的命題是真命題還是假命題？若是假命題，請舉反例說明．【答案】（1）詳見解析；（2）都是真命題．【分析】（1）分別以①②③為結(jié)論即可寫出三個命題；（2）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)對三個命題進行判斷即可.【詳解】解：（1）如果，，那么．如果，，那么．如果，，那么．（2）根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可知，三個命題都是真命題．【點睛】本題考查了命題與定理的知識，熟知命題的結(jié)構(gòu)、熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.17．（2021·河北八年級期末）求證：頂角是銳角的等腰三角形腰上的高與底邊夾角等于其頂角的一半（1）在圖中按照下面“已知”的要求，畫出符合題意的圖形，并根據(jù)題設(shè)和結(jié)論，結(jié)合圖形，用符號語言補充寫出“己知”和