練素養(yǎng) 旋轉(zhuǎn)在解幾何題中的八種常見技巧

旋轉(zhuǎn)在解幾何題中的八種常見技巧練素養(yǎng)第9章中心對稱圖形——平行四邊形123456溫馨提示：點擊進入講評71答案呈現(xiàn)8[2023·蘇州高新區(qū)模擬]如圖，△ABC中，點E在BC邊上，AE＝AB，將線段AC繞A點旋轉(zhuǎn)到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，連接EF，EF與AC交于點G.1(1)求證：EF＝BC；【證明】∵∠BAE＝∠CAF，∴∠BAC＝∠EAF.∵將線段AC繞A點旋轉(zhuǎn)到AF的位置，∴AC＝AF.又∵AB＝AE，∴△BAC≌△EAF(SAS)．∴EF＝BC.(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度數(shù)．【解】∵AB＝AE，∠ABC＝65°，∴∠BAE＝180°－65°×2＝50°.∴∠FAG＝∠BAE＝50°.∵△BAC≌△EAF，∴∠F＝∠ACB＝28°.∴∠FGC＝∠FAG＋∠F＝50°＋28°＝78°.如圖，在△ABC中，M是BC的中點，E，F(xiàn)分別在AC，AB上，且ME⊥MF，求證：EF<BF＋CE.2【證明】由題意可知BM＝MC，∴可將△BFM繞點M旋轉(zhuǎn)180°得到△CNM，連接EN，如圖所示．∴BF＝CN，F(xiàn)M＝MN，點F，M，N共線．又∵ME⊥MF，∴EN＝EF.在△ENC中，EN<NC＋CE，∴EF<BF＋CE.【點方法】借助旋轉(zhuǎn)，將分散的條件集中到同一個三角形中，利用三角形的三邊關(guān)系求解．兩張等腰直角三角形紙片AOB和COD按圖①所示位置放置，直角頂點重合在點O處，保持紙片AOB不動，將紙片COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜90°)角度，如圖②所示．3(1)利用圖②，求證：AC⊥BD；【證明】如圖，延長BD交OA于點G，交AC于點E.由題意知，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，∴∠AOC＝∠DOB，∴△AOC≌△BOD(SAS)，

∴∠CAO＝∠DBO.又∵∠AOB＝90°，∠OGB＝∠AGE，∴∠AEG＝∠AOB＝90°，∴BD⊥AC.(2)如圖③，當(dāng)BD與CD在同一直線上時，AB＝25，AC＝7，求CD的長．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，將一個含30°角的直角三角尺DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角尺的短直角邊為DE，長直角邊為DF)，將直角三角尺DEF繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)．(1)在圖①中，DE交AB于點M，DF交BC于點N.求證：DM＝DN.4∵∠EDF＝90°＝∠MDB＋∠BDN，∠BDC＝90°＝∠BDN＋∠CDN，∴∠MDB＝∠NDC.又∵BD＝CD，∠ABD＝∠C，∴△BMD≌△CND.∴DM＝DN.(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖②的位置，延長AB交DE于點M，延長BC交DF于點N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．【解】DM＝DN仍然成立．證明：如圖②，連接BD，由(1)知BD⊥AC，BD＝CD，∠ABD＝∠ACB＝45°.∵∠ABD＋∠MBD＝∠ACB＋∠NCD＝180°，∴∠MBD＝∠NCD.∵∠BDM＋∠MDC＝90°＝∠MDC＋∠CDN，∴∠BDM＝∠CDN.又∵BD＝CD，∴△BDM≌△CDN(ASA)．∴DM＝DN.[2023·北京石景山區(qū)期末]如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D是AC的中點，將CD繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中點D的對應(yīng)點為點E，連接AE，BE，則△AEB面積的最小值是________．51【點撥】如圖，A是線段BC上一點，△ABD和△ACE都是等邊三角形．(1)如圖①，連接BE，CD，求證：BE＝CD．6【證明】∵△ABD，△ACE都是等邊三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°.∴∠BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，即∠BAE＝∠DAC.∴△BAE≌△DAC(SAS)．∴BE＝CD.(2)如圖②，將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′D′.①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為______度時，邊AD′落在邊AE上．60②在①的條件下，延長DD′交CE于點P，連接BD′，CD′，當(dāng)線段AB，AC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，△BDD′與△CPD′全等？并給予證明．問題情境：在數(shù)學(xué)實踐課上，老師讓小組合作探究兩個完全相同的含30°角的三角板拼圖間存在的關(guān)系．如圖，△ABC≌△DEC，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AC＝DC＝4.7操作探究：(1)如圖①，當(dāng)D，C，B在同一條直線上時，直線AB與直線DE的位置關(guān)系是________；垂直【點撥】如圖，延長BA交DE于點H，

∵∠ACB＝90°，∠B＝∠E＝30°，∴∠EAH＝∠BAC＝60°，∴∠E＋∠EAH＝90°，∴∠EHA＝90°，∴BH⊥DE，即直線AB與直線DE的位置關(guān)系是垂直．(2)如圖②，將圖①中的三角板DEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°，邊DE與邊CB交于點G，此時EC與AB的位置關(guān)系是________，判斷此時△CDG的形狀并證明．平行【證明】△CDG是等邊三角形．證明如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ACE＝120°，又∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝120°－∠ACB＝30°.∵∠DCE＝90°，∴∠DCG＝90°－∠BCE＝60°＝∠D，∴△CDG是等邊三角形．[2023·徐州邳州市期中]如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D是斜邊AB的中點，點E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，且DE⊥DF，垂足為D．8(1)如圖①，當(dāng)DE⊥AC時，DE，DF的大小關(guān)系是________；DE＝DF(2)如圖②，將∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)，(1)中的關(guān)系還成立嗎？請說明理由；將∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)，(1)中的關(guān)系還成立，理由如下：

過D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如圖：易得DM＝DN，∵∠DMC＝∠DNC＝∠ACB＝90°，∴∠MDN＝90°＝∠EDF，∴∠MDN－∠EDN＝∠EDF－∠EDN，即∠MDE＝∠NDF.又∵DM＝DN，∠DME＝90°＝∠DNF，∴△DME≌△DNF(ASA)，∴DE＝DF.(3)如圖③，連接EF，試探究AE，BF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解】EF2＝AE2＋BF2.證明如下：過D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，如圖：由(2)知△DME≌△DNF，∴ME＝NF，DE＝DF.∵∠EDF＝