山東省某中學2023-2024學年高二年級上冊10月月考數(shù)學試題（解析版）

山東省實驗中學2023?2024學年第一學期月考

高二數(shù)學試題

2023.10

說明：說明：本試卷滿分120分，分為第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，第I

卷為第1頁至第3頁，第n卷為第4頁至第5頁.試題答案請用2B鉛筆或0.5mm簽字筆填

涂到答題卡規(guī)定位置上，書寫在試題上的答案無效.考試時間90分鐘.

第I卷(共60分)

一、單項選擇題(本題包括8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項符合題意)

1.在空間直角坐標系°盯2中，點(L-2,4)關于y軸對稱的點為()

A.(-1,-2,-4)B.(-1,-2,4)C.(1,2,T)D.(1,2,4)

【答案】A

【解析】

【分析】直接根據(jù)空間對稱關系得到答案

【詳解】關于y軸對稱，則y值不變，％和z的值變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，

故所求的點的坐標為(—L—2,T).

故選：A.

【點睛】本題考查了空間中的對稱問題，意在考查學生的空間想象能力.

2.已知三棱錐O—ABC,點N分別為ASOC的中點，且Q4=〃，OB=b，OC=c，用。，6,c

表示MN，則MN等于()

g(a-6+c)

A.—(6Z+Z?—^)B.—(/7+c—u)C.-(c-a-b)D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算計算即可.

o

/Yx

?C

B

MN=MO+ON

1uuriuuniuma

=——OA——OB+-OC

222

—匕+匕.

222

故選：c.

3.在同一坐標系中，表示直線y二=<re與y=x+"正確的是()

人手

。一

【答案】C

【分析】本題為判斷函數(shù)圖像，根據(jù)一次函數(shù)的斜率大于0,可以排除B,D,再看。的取值符號相同，即

可得到本題答案.

【詳解】由一次函數(shù)丁=*+?？芍?，函數(shù)為增函數(shù)，故排除B,D選項，A選項中，由丁=?可知

a>Q,函數(shù)丁=*+。中的。<0,故不符合，A錯誤，C選項兩個函數(shù)圖像都符合a<0的情況，故C正

確.

故選：C

4.已知圓的一般方程為f+/+4%—2y—4=0,則圓的半徑為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】化圓的一般方程為標準方程即可得解.

【詳解】由/+/+4*一2y—4=0可得圓的標準方程：（無+2『+（y—1『=9,

故圓的半徑為3.

故選：C

5.直線4:“一丁+1=0,/2：（3加一2卜+樞y—2=0,若4上4，則實數(shù)加的值為（）

A.0B.1C.0或1D.工或1

3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直線垂直的充要條件列方程求解即可.

【詳解】《_1_，20機（3"7—2）-機=0,即加一加=0，解得加=0或小=1.

故選：C.

6.正三棱錐P-A5C的側面都是直角三角形，瓦/分別是A5BC的中點，則PB與平面？即所成角的

正弦值為（）

A.且B.逅C.BD.逅

6633

【答案】C

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.

【詳解】因為正三棱錐P-ABC的側面都是直角三角形，

所以可以以尸為原點，PA,PB,PC分別為蒼y,z軸建立空間直角坐標系，

設:PA=PB=PC=2,

因為E,F分別是AB,BC的中點,

所以P(0,0,0),A(2,0,0),5(0,2,0),C(0,0,2),石(1,1,0),b(0,1,1),

PB=(O,2,O),PE=(l,l,O),PF=(O,l,l),

設平面？即的法向量為訪=

m-PE-0x+y=0

則有<.n

m-PF=0y+z=0

PBm\

所以PB與平面FEF所成角的正弦值為：\cosPB,m\=

|PB|x|m|2x71+1+13

7.如圖，在三棱錐尸-ABC中，已知PA=P3=LAC=后，AB=BC=2,平面？AB_L平面

2

ABC,則異面直線PC與AB所成角的余弦值為（）

?A/6r45nV6

A.------o.------C.------D.-------

6333

【答案】A

【解析】

【分析】取AB的中點為。，連接PQ，證明？平面ABC,AB±BC,然后建立空間直角坐標系,

利用向量求解即可.

【詳解】

取AB的中點為。，連接尸。

因為=所以

因為平面？AB，平面ABC,平面K鉆c平面ABC=AB,?Du平面

所以平面ABC

因為PA=PB=LAC=0,AB=BC=2

2

所以AB,5c

如圖建立空間直角坐標系，則3（0,0,0）,A（0,2,0）,P（0,l,l）,C（2,0,0）

所以AB=（O,-2,0）,PC=（2,-L,-L）

\AB-PC\2R

所以異面直線PC與AB所成角的余弦值為7一n一7=-r=?

A5|-PC|2-V66

故選：A

8.如圖，已知正三棱柱ABC-45]G的所有棱長均為1,則線段A片上的動點尸到直線3G的距離的最

A.立B.—C,—D.-

3253

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量求點到直線距離建立函數(shù)，再求出函數(shù)最小值

作答.

【詳解】在正三棱柱ABC-4與。1中，在平面ABC內過A作AyLAB,顯然射線A3,Ay,A&兩兩垂

直,

以點A為原點，射線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖,

Zj

因正三棱柱ABC—A31G的所有棱長均為1，則3(1,0,0),4(1,0,1),G(；，￥」)，

AB}=(1,0,1),BQ=(—，因動點「在線段AB1上，則令AP=〃LB]=?,0/),0</<1,

BPBC.1,八

即有點尸。,0,。，BP=(t-l,0,t),\BP\2=(t-V)-+t2=2t2-2t+l,-----:—=—1=(1+1),

IBCJ2V2

因此點尸到直線BG的距離d=J『—(即生)2=卜/2_2f+1_3(產(chǎn)+2/+1)=_2f1

丫\BCl\V8V848

3

當且僅當％=y時取等號,

所以線段A瓦上的動點P到直線BQ的距離的最小值為好

5

故選：C

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)

9.已知直線4：x+6y+G=0,/2:/zu+y+2=0(meR),則下列命題正確的有()

A.直線4在y軸上的截距為-1B.直線4的傾斜角為120。

C,直線4的傾斜角不可能為90。D.若直線4與直線6平行，則兩平行線間的距離是

縣

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】將4寫成斜截式，可判斷選項AB,由4的形式可知斜率一定存在，如果直線4與直線42平行，先

求出加，再根據(jù)平行線間距離公式可判斷.

【詳解】將4寫成斜截式＞可得截距為-1，斜率為一日,傾斜角為150°,

42的斜率一定存在，所以傾斜角不可能為90。，

卜2+1|_6

-I，％■-m=

故答案為：ACD

io.已知正方體ABC。-44Gq的棱長為1，下列四個結論中正確的是（）

A.直線用。與直線所成的角為90

B.直線8。與平面AC，所成角的余弦值為@

3

C,用。，平面AC。1

D.點B］到平面ACD,的距離為正

2

【答案】ABC

【解析】

【分析】如圖建立空間直角坐標系，求出4c和的坐標，由4c=0可判斷A；證明

ACB1D=0,ADlBiD=0,再由線面垂直的判定定理可判斷C；計算gsBQ,耳。的值可得線面角

的正弦值，再求出夾角的余弦值可判斷B；利用向量求出點A到平面9耳。的距離可判斷D.

【詳解】如圖以。為原點，分別以",DC。。所在的直線為％y，z軸建立空間直角坐標系,

則。(0,0,0),4(1,0,0),C(0,l,0),(0,0,1),4(1,1,1)，

對于A：4c=(—1,0,-1),ADX=(-1,0,1),

因為4c=(-L)x(-L)+0x0+(-l)xl=0,所以,即用C，A",直線gC與直線A?

所成的角為90，故選項A正確；

對于C：因為AC=(-1,1,0),ADX=(-1,0,1),^0=(-1,-1,-1),

所以AC-4D=1—1+0=0,AQ-4￡>=l+0—1=0，所以AD}LByD,

因為ACIADi=A,AC,AD|U平面AC。，所以用。，平面AC，，故選項C正確;

對于B：由選項C知：與。，平面AC。，所以平面AC，的一個法向量

2_V2

因為耳C=(T,0,-1),所以cos@D,BiC)=——n—,即直線3。與平面AC。1所成

-

4。4c73x72A/3

角的正弦值為交

耳

=W

所以直線BXC與平面ACD,所成角的余弦值為故選項B正確;

對于D：因為平面AC。1的一個法向量=

BQ.d22J3

所以點用到平面ACD.的距離為d='—一二一尸二三一，故選項D不正確.

慟463

故選：ABC.

11.一光線過點(2,4),經(jīng)傾斜角為135。的且過(0,1)的直線/反射后過點(5,0),則反舒后的光線還經(jīng)過下

列哪些點()

【答案】BC

【解析】

【分析】點(2,4)關于直線/的對稱點在反射光線所在的直線上，進而求反射后的光線所在的直線方程即可

求解.

【詳解】傾斜角為135。的且過(0,1)的直線/的方程為y—l=tanl35(%-0),即y=—尤+l.

設點A(2,4)關于直線I的對稱點A(m,〃),

4+幾m+2?

二---------------+1

m+n=-4-TTZ---3

則有《22即《解得4—,,即4(-3,-1).

n-4m—n=—2n=-l

,(T)=T

%一(—3)y一(―1)1/、

于是反射后的光線所在的直線方程/'為『二=八〉<,即:y="(x-5).

3—(—3)6—(—1)8

反射光線(射線)不經(jīng)過該點y=-故A錯誤;

3

對于B：X=2時y=—，故B正確；

8

對于C：1=3時)=一］,故C正確;

對于D：尤=4時、=一￡,故D錯誤;

故選：BC.

12.圖，在棱長為2的正方體ABC。—A6G。中，點及廠分別是線段AC,上的動點，

AE=AAC>=-且記所與44］所成角為a，所與平面A3CD所成角為

夕，則()

A.當2=工時，四面體尸―AEB的體積為定值

2

B.當〃=；時，存在X,使得即//平面BOD/]

7T

C.對于任意X,〃，總有。+，二—

2

D.當2=〃=g時，在側面BCCdi內總存在一點P，使得PE工PF

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用正方體的結構特征，由三棱錐的體積計算判斷A；取點E，借助面面平行推理判斷B；利用線

線角、線面角的意義判斷C；建立空間直角坐標系，借助空間向量計算判斷D作答.

【詳解】對于A,當2=’時，E為AC的中點，AEB的面積為定值，點E到平面AE5的距離為定值2,

2

因此四面體廠的體積為定值，A正確；

對于B,當〃=；時，/為AR的中點，取的中點G,令AC5。=O,取AO的中點G,連接EG,尸G,

顯然FG//?！?FG<Z平面BDRB[,DD]u平面BDD^,則FG//平面BDD^,

而EG//。。，同理EG//平面，又EGcFG=G,EG,FGu平面EFG,

因此平面EFG//平面8。，四，又EFu平面EFG,所以石尸//平面3。。與，B正確；

對于C,過/作BG//A&交A。于G,連接EG,由A4，平面ABCD,得/G,平面ABCD,

而EGu平面ABCD,有歹GLEG,顯然/FEG是跖與平面ABCD所成的角，即尸=ZFEG,

JT

由RG//AA，得NEFG是跖與A4所成的角，即cr=NERG,所以/+/=/EbG+/FEG=5,C正

確；

對于D,建立如圖所示的空間直角坐標系，當％=〃=；時，石(1,1,0),下(1,0,2),點尸在側面3。。d1內，

設P(x,2,z),x,ze[0,2],PE=(1-x,-l,-z),PF=(1-x,-2,2-z),

則PE-PR=(1—x)2+2+z(z—2)=(1—x)2+(z—1)2+121〉。，于/EFE始終為銳角，D錯誤.

第n卷(非選擇題，共60分)

三、填空題(本題包括4小題，共20分)

13.點M到x軸和到點N(—4,2)的距離都等于10,則點M的坐標為.

【答案】(2,10)或(-10,10)

【解析】

【分析】由點M到x軸距離等于10可知其縱坐標，設點M的坐標，根據(jù)兩點間的距離列式求解即可.

【詳解】因為點M到x軸距離等于10可知其縱坐標為±10,又點M到N,距離也為10,且N在第二象限，

可知M的縱坐標為10,設為(泡,10),

由兩點間距離公式：=+4+(10-2)2=10,解得：均=-10或2,

所以點M的坐標為：(2,10)或(-10,10).

【點睛】本題考查平面直角坐標系中的坐標特征與兩點間距離公式，由題意設點的坐標列式求解即可，注

意計算的準確性及多種情況求解.

14.已知向量AB=(1,5,-2),BC=(3,1,2),￡＞石=(九,一3,6).若。￡//平面/陽則x的值是

【答案】5

【解析】

【分析】由。E//平面ABC,可得存在事實使得=+利用向量相等的性質列方

程即可得結果.

【詳解】?！?/平面ABC,

存在事實m,〃,使得DE=mAB+nBC?

x=m+3n

-3=5m+n,解得％=5.

6=-2m+2n

故答案為5.

【點睛】本題考查了線面平行的坐標表示，以及向量相等的性質，考查了推理能力與計算能力，意在考查

利用所學知識解答問題的能力，屬于基礎題.

15.已知點。(—2,2),直線/:(2+2)尤—(4+l)y—42—6=0,則點尸到直線/的距離的取值范圍為

【答案】［0,40)

【解析】

【分析】化簡直線為(2x—y—6)+2(%—y—4)=0,得出直線/過定點”(2,—2),根據(jù)點歸網(wǎng)|的長

度，進而求得點P到直線/的距離的取值范圍.

［詳解］把直線/：(/l+2)x_(2+l)y—44—6=0化為(2%_y_6)+4(x_y_4)=0,

聯(lián)立方程組k2x-1y-6=0'解叱\x=72'即直線/過定點”，一2)，

-2-2夕+2

又由即M=c/c、=-l，且——X(-1)^-1,所以直線尸M與/不垂直,

2一2+1

所以點尸到直線/的距離PM<J(2+2)2+(-2-2)2=4后,

即點P到直線/的距離的取值范圍為［0,40)

故答案為：［0,4強).

【點睛】本題主要考查了直線系方程的應用，以及兩點間的距離公式的應用，著重考查推理與運算能力，

屬于中檔試題.

D.P,

16.設動點尸在棱長為1的正方體ABC。—AgGA的對角線上，記六=幾.當/APC為鈍角時,

L)XD

則X的取值范圍是.

【答案】即

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，求得PA,PC,根據(jù)PC<0求得2的取值范圍.

【詳解】由題設可知，以。為坐標原點，以D4,OC,DD1的方向為x軸、y軸、z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系。-孫z,

則有4(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),4(0,0,1),

則Z^B=(1,1,-1),得。］P==(A,Z,—A),

所以=PR+AA=(-4—X,2)+(1,0,-1)=(1-2,-2,2-1),

PC=PD1+D1C=(-2,-2,2)+(0,1,-1)=(-2,1-2,2-1),

顯然/APC不是平角，所以NAPC為鈍角等價于尸A.PC<0,

即一2(1_2)(1_2)+(2_I)2<0,即<0,

解得;<彳<1,因此4的取值范圍是

四、解答題(本大題共4小題，共40分.解答時應寫出必要的文字、證明過程或演算步驟)

17.已知直線4:2x—y+l=0和4:》一丁一2=0的交點為尸.

(1)若直線/經(jīng)過點尸且與直線4：4x-3y-5=0平行，求直線/的方程；

(2)若直線能經(jīng)過點P且與x軸，y軸分別交于A,B兩點，尸為線段AB的中點，求AOAB的面積.(其

中。為坐標原點).

【答案】⑴4x~3y-3=0

(2)30

【解析】

【分析】(1)聯(lián)立直線方程，求出交點坐標，根據(jù)直線平行，明確斜率，由點斜式方程可得答案;

(2)由點斜式方程，設出直線方程，求得兩點的坐標，根據(jù)中點坐標公式，求得斜率，根據(jù)三角形面

積公式，可得答案.

【小問1詳解】

2%-y+l=Ofx=-3

由1c求得1可得直線乙和/，的交點為P(—3,-5).

%-y-2=0['=-5

44

由于直線4的斜率為§，故過點尸且與直線4平行的直線/的方程為y+5=§(x+3),

即4x-3y-3=0.

【小問2詳解】

由題知：設直線機的斜率為左(左wO),則直線機的方程為y+5=^(x+3),

故4g5-3,0）3（0,3左—5）,且廠3:§弘一5-55

且^~-=-5,求得左=二=

233

故A(—6,0)、8(0,—10).

故AOAB的面積為03='x6x10=30.

22

18.已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(Ll)和B(2,—2),且圓心C在直線/:x—y+l=0上.

(1)求圓心為C的圓的一般方程;

(2)已知P(2,l),Q為圓C上的點，求|PQ|的最大值和最小值.

【答案】（1）x2+y2+6x+4y-12=0

(2)最大值為庖+5，最小值為取-5

【解析】

【分析】(1)直接設圓心坐標并建立|C4|=|CE|方程計算即可得圓心及半徑，從而求出一般方程;

(2)利用圓的性質及兩點坐標公式計算即可.

【小問1詳解】

:圓心C在直線/：x—y+l=。上，不妨設C(a,a+1),半徑廠，

則=(?—1)+a2=|CZ?|2=(a—2)~+(a+3)~=r2=>tz=—3,r=5,

???圓心C坐標為C(-3,-2),則圓C的方程為(x+3)2+(y+2『=25；

其一般方程為f+丁+6x+4y—12=0.

【小問2詳解】

由(1)知圓C的方程為(x+3丫+(丁+2)2=25,

.,.|PC|2=(2+3)2+(l+2)2=34>25,在圓C外，

???附|的最大值為歸。|+廠=取+5,最小值為歸。|一廠=庖—5.

19.如圖，正三棱柱A3C-A31cl中，AB=2,A&=3,E,E分別是棱A4,8月上的點,

(1)證明：平面CEFJ_平面ACG4；

(2)求耳到平面距離；

(3)求直線A。與平面CTG夾角余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵V2

-7130

13

【解析】

【分析】(1)取8C和用G的中點。和G,以。為原點，建立空間直角坐標系，分別求得平面C即和

平面的一個法向量”=(一1,—\/§\2),m=(石，一1,0),結合機_1_“，即可得證；

(2)由平面CM的法向量為〃=(-1,-g,2),且尸耳=(0,0,2),結合向量的夾角公式，即可求解；

(3)由Q4_L平面3。。1片，得到平面C^G的一個法向量。4=(0,6,0)和C]4=(l,6,-3),結合向量的

夾角公式，求得直線AG與平面CTG夾角余弦值.

小問1詳解】

證明：取5c和3G的中點。和G,連接QA和。G,

在正四棱柱A3C—4用01中，可得VA3C為正三角形，所以。4,3C,

以。為原點，O5OAOG所在的直線分別為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標系,

如圖所示，可得C(—1,0,0),A(0,s/3,0),F(l,0,l),E(0,6,2),

則CF=(2,0,1),CE=(1,A2),CA=(1,6,0),Cq=(0,0,3),

H.cF-+z—0

設平面CEF的法向量為n=(x,y,z)，則<廣，

〃。=X+A+2Z=0

取JV=—1,可得y=—J§\z=2,所以〃=(—1,—,

mCA-a+y/3b=0

設平面ACG4的一個法向量為根=(Q/,c)，貝葉

m?CC]=3c=0

取Z?=—1,可得。=A/§\C=0,所以根=1,0),

因為加?〃=—A/3+y/3=0,即加_L〃,所以平面CEFJ_平面ACCiAi.

【小問2詳解】

由平面C印的法向量為〃=(—1,—g,2),且FB]=(0,。,2),

設直線FB]與平面CEF所成的角為夕，

/、FB],n472

可得sin0—cos(FB,,n)=---n-=—產(chǎn)—=—,

'/FB^n2A/2X22

又因為|F聞=2,所