蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步訓(xùn)練：平行四邊形（5種模型與解題方法）原卷版

專(zhuān)題01平行四邊形（5種模型與解題方法）

目錄

題型一：中點(diǎn)四邊形題型二：正方形中的十字架模型

題型三：四邊形中的對(duì)角互補(bǔ)模型題型四：與正方形有關(guān)三垂線(xiàn)

題型五：正方形與45°角的基本圖

典型例題

題型一：中點(diǎn)四邊形

"中點(diǎn)四邊形"，也叫瓦里尼翁平行四邊形，是順次連接四邊形各邊中點(diǎn)而組成的四邊形，是四邊形的

內(nèi)接四邊形的一種特殊情況，一般有以下三種形態(tài)：

（原四邊形ABCD依次是：凸四邊形，凹四邊形，折四邊形）

（-）中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形

四邊形EFGH為平行四邊形四邊形EFGH為菱形

2.當(dāng)原四邊形對(duì)角線(xiàn)垂直時(shí)，其中點(diǎn)四邊形為矩形

四邊形EFGH為平行四邊形四邊形EFGH為矩形

3.當(dāng)原四邊形對(duì)角線(xiàn)垂直且相等時(shí)，其中點(diǎn)四邊形為正方形

四邊形EFGH為平行四邊形四邊形EFGH為正方形

（二）中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)等于原四邊形對(duì)角線(xiàn)之和

（=）中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的二分之一

一.選擇題（共5小題）

1.（2023春?棲霞區(qū)校級(jí)期中）如圖，點(diǎn)E、F、G、4分別是任意四邊形ABCD中4）、BD、BC、CA

的中點(diǎn)，要使四邊形是菱形，那么至少應(yīng)滿(mǎn)足的條件是（）

BC

A.AC±BDB.AC=BDC.AB=CDD.AD=BC

2.（2023春?高港區(qū)期中）如圖，在四邊形ABC。中，E、F、G、“分別是邊回、BC、CD、DA.的

中點(diǎn).請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使四邊形EFG//為菱形，應(yīng)添加的條件是（）

A.AB=CDB.AC±BDC.CD=BCD.AC=BD

3.（2023春?海州區(qū)期中）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、"分別是AB、BD、CD、AC的中

點(diǎn)，要使四邊形EFGH是矩形，則四邊形ABCD只需要滿(mǎn)足一個(gè)條件是（）

A.AB//CDB.四邊形是菱形C.AC^DBD.ADLBC

4.（2023春?旺胎縣期中）如圖，E,F,G,H分別是SO,BC,AC,AD的中點(diǎn)，且A3=CD,下

列結(jié)論：①四邊形EFGH是菱形；②EGLFH；ZBAD+ZADC=245°,貝UN￡Fff=27.5。；④

EG=；（BC-AO）；其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.（2023春?南京期中）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、〃分別是線(xiàn)段4）、BD、BC、AC的

中點(diǎn)，要使四邊形石網(wǎng)?”是菱形，需添加的條件是（）

B.AC±BDC.AB=CDD.ABLCD

填空題（共3小題）

6.（2023春?大豐區(qū)期中）如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)為lOaw,順次連結(jié)各邊中點(diǎn)E、F、

G、“得四邊形EFGH,則四邊形￡FGH的周長(zhǎng)為cm.

7.（2023春?梁溪區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC_LBD,若AC=12,BD=9,則四邊

形ABCD各邊中點(diǎn)連線(xiàn)構(gòu)成的四邊形EFGH的面積是=.

8.（2023春?蘇州期中）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為3的菱形，對(duì)角線(xiàn)AC+BD=8,點(diǎn)、E,F,G,H

分別為邊鉆，BC,CD,AD中點(diǎn)，順次連接E,F,G,H.則四邊形的面積為.

三.解答題（共4小題）

9.（2023春?徐州期中）如圖，E、F、G、H為菱形ABCD各邊中點(diǎn).

（1）求證：四邊形EFG//為矩形；

⑵右S四邊形EFGH=6,則S菱形小。=----

10.（2023春?靖江市期中）如圖1,A1，B,,G，2分別是四邊形A8CD各邊的中點(diǎn)，且AC_LBD,AC=6,

BD=1O.

（1）試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論;

（）如圖依次取月，，的中點(diǎn)，再依次取打，，

22,4BGCR,AA4B2,C2,D2,482c2C2D2,

的中點(diǎn)，G……以此類(lèi)推，取紇T，，的中點(diǎn)

24AB3,，D34TBn_xCn.x,CRiQtA1TA.,Bn,cn,

2,根據(jù)信息填空：

①四邊形AdCQ的面積是；

②若四邊形4紇孰2,的面積為"，則n=—；

16

③試用〃表示四邊形4紇C.Q,的面積.

11.（2023春?姜堰區(qū)期中）如圖，在四邊形ABC。中，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的

中點(diǎn)，連接AC、BD.

（1）求證：四邊形EFG//是平行四邊形；

（2）當(dāng)對(duì)角線(xiàn)AC與5D滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，四邊形瓦G”是菱形，并說(shuō)明理由.

AH

BFC

12.（2023春?鹽城期中）閱讀理解，我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫中點(diǎn)四邊形，

如圖1,在四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是邊BC,CD,ZM的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得

到中點(diǎn)四邊形

（1）這個(gè)中點(diǎn)四邊形EFG”的形狀是一；

（2）如圖2,在四邊形ABCD中，點(diǎn)M在A?上且AAW和AMCB為等邊三角形，E、F、G、"分

別為AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，試判斷四邊形昉切的形狀并證明.

圖1圖2

題型二：正方形中的十字架模型

/-Q@?@-

正方形ABCD中，

正方形中，若矩形ABCD中.若

ABCD將如上將AM.BN如上

AM±BN,則AM.BN若EF=HK.則過(guò)AM_LBN.則△ABN

△ADMB△BAN.圖進(jìn)行平移.易得-K

HK=3N=AM=EN_LCD,KMA.ooADAM.故意=HK-BN.AM=

???AM=BN?即將口口,HK_I?易證HK_^AB

BCAENFABEF,則

￡.r.??EF=],從而EFAD,

=1.EF±HK.AD'

在

的

方形

兩

正

組

對(duì)

取

分

別

各

邊

兩若矩形的四條邊上存在互相垂直的十字

點(diǎn)

得

相

不

并

益

著正方形的四條邊上存在互相垂直的十兩

架，則十字架長(zhǎng)度之比等于矩形鄰邊之

垂

條

段

線(xiàn)

如

字架,則十字架長(zhǎng)度相等.」G

那

相

么

察k

選擇題（共2小題）

1.（2022春?海門(mén)市校級(jí)期中）如圖，E、尸分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點(diǎn)，S.CE=DF,AE、

面相交于點(diǎn)O,下列結(jié)論：（1）AE=BF；（2）AE±BF；（3）AO=OE；（4）50紗=S四邊形帆.中正確

的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

2.（2022春?江蘇無(wú)錫?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，將邊長(zhǎng)為3的正方形48CO紙片沿EF折疊，點(diǎn)C落在

邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)。與點(diǎn)H重合，CG與EF交于點(diǎn)P,取G”的中點(diǎn)Q,連接PQ,則AGPQ的周長(zhǎng)最小值

A.”叵B.牛5C.|+2右

二.填空題（共2小題）

3.（2023春?宿豫區(qū)期中）如圖所示，將正方形ABOC放在平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)3的坐標(biāo)

為（-2,3）,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

4.（2023春?建鄴區(qū)校級(jí)期末）如圖，四邊形A8CD,四邊形AECF分別是菱形與正方形.若ZBAE=22。,

貝!]/?=°.

三.解答題（共2小題）

5.（2022春?吳中區(qū)校級(jí)期中）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)尸，。分別為CD,AD邊上的點(diǎn)，B.DQ=CP,

連接BQ,AP.求證：BQLAP.

6.（2023春?淮安期末）問(wèn)題情境：蘇科版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第94頁(yè)第19題第（1）題是這樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E、尸分別在邊3C、CD上，且AE_LM,垂足為那么他與所相

等嗎？

(1)直接判斷：AEBF(填“=”或“二”)；

在“問(wèn)題情境”的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探索：

問(wèn)題探究：

(2)如圖2,在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別在邊3C、CD和八4上，且GE_L3產(chǎn)，垂足為那

么GE與成相等嗎？證明你的結(jié)論；

問(wèn)題拓展：

(3)如圖3,點(diǎn)E在邊CD上，且MN_LAE,垂足為H,當(dāng)“在正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)3。上時(shí)，連接4V,

將AAHN沿著4V翻折，點(diǎn)〃落在點(diǎn)ZT處.

①四邊形是正方形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②若AB=6,點(diǎn)尸在上，BD=3BP,直接寫(xiě)出尸匠+正AN的最小值為

2

題型三：四邊形中的對(duì)角互補(bǔ)模型

模型1:全等形一-90。對(duì)角互補(bǔ)模型

模型2:全等形-120°對(duì)角互補(bǔ)模型

模型3:全等形一一任意角對(duì)角互補(bǔ)模型

模型4:相似形一-90。對(duì)角互補(bǔ)模型（后面會(huì)學(xué)到）

一.選擇題（共1小題）

1.（2023春?金湖縣期中）如圖，AC是口ABCD的對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)E在AC上，AD=AE=BE,"=105。，則

A.25°B.30°C.45°D.50°

解答題（共3小題）

2.（2020春?通山縣期末）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做等補(bǔ)四邊形.

理解:

（1）在你所學(xué)過(guò)四邊形中，滿(mǎn)足等補(bǔ)四邊形定義的四邊形是

畫(huà)圖:

（2）如圖1,在正方形網(wǎng)格中，線(xiàn)段鉆的端點(diǎn)在格點(diǎn)上（小正方形的頂點(diǎn)），請(qǐng)你畫(huà)出1個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn),

A3為邊的等補(bǔ)四邊形ABCD-,

探究:

(3)如圖2,在等補(bǔ)四邊形A3CO中，AB^AD,連接AC,AC是否平分/BCD?請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.(2023春?分宜縣期末)我們規(guī)定：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“完美四邊形”.

D

(1)在①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定為“完美”四邊形的是—(請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào))；

(2)在“完美"四邊形ABCD中，AB^AD,ZB+ZD=18O°,連接AC.

①如圖1,求證：AC平分N3CD；

小明通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，提出以下兩種想法，證明AC平分N3CD:

想法一：通過(guò)NB+ND=18O。，可延長(zhǎng)CB到E,使BE=CD,通過(guò)證明AAEB三AACD,從而可證AC平分

ZBCD；

想法二：通過(guò)的=AD,可將AACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到AAEB,可證C,B,E

三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，從而可證AC平分NBCD.

請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小明證明AC平分NBCD；

②如圖2,當(dāng)NBAD=90。，用等式表示線(xiàn)段AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

4.(2021秋?丹陽(yáng)市期末)四邊形ABCD若滿(mǎn)足Z4+NC=18O。，則我們稱(chēng)該四邊形為“對(duì)角互補(bǔ)四邊形”.

(1)四邊形ABCD為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且NB:NC:NO=2:3:4,則的度數(shù)為；

(2)如圖1,四邊形ABCD為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD.

求證：AC平分NBCD.

小云同學(xué)是這么做的：延長(zhǎng)CD至使得。暇=3。，連AM,可證明AABCvAADM,得到AACW是等

腰直角三角形，由此證明出AC平分々CD,還可以知道CB、CD、C4三者關(guān)系為：；

(3)如圖2,四邊形ABCD為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿(mǎn)足NE4D=60。，AB=AD,試證明：

①AC平分ZBCD；

②C4=G5+CD；

(4)如圖3,四邊形ABCD為對(duì)角互補(bǔ)四邊形，且滿(mǎn)足NABC=60。，AD=CD,則54、BC、BD三者關(guān)

系為：.

題型四：與正方形有關(guān)三垂線(xiàn)

一、單選題

1.（2022秋?江蘇?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形AFDC是正方形，NCEA和NABF都是直角，且E,A,B

三點(diǎn)共線(xiàn)，4?=4,則圖中陰影部分的面積是（）

二、填空題

2.（2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，直線(xiàn)。經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A,分別過(guò)正方形的頂點(diǎn)B、D

作B用a于點(diǎn)F,于點(diǎn)E,若DE=8,BF=5,則EF的長(zhǎng)為

三、解答題

3.（2022春?廣東東莞?八年級(jí)塘廈初中?？计谥校┧倪呅蜛BC。為正方形，點(diǎn)E為線(xiàn)段AC上一點(diǎn)，連接

DE,過(guò)點(diǎn)E作E用OE,交射線(xiàn)BC于點(diǎn)F,以?！?、EF為鄰邊作矩形。EFG,連接CG.

備用圖

（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形;

(2)若AB=4,CE=2及，求CG的長(zhǎng)度；

(3)當(dāng)線(xiàn)段與正方形ABC。的某條邊的夾角是40。時(shí)，直接寫(xiě)出回EFC的度數(shù).

4.(2021春?安徽安慶?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖1,點(diǎn)E為正方形A8CD內(nèi)一點(diǎn)，SAEB=90°,將R陽(yáng)iBE繞點(diǎn)

B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°(即EEBF=90。)，得至崛CBF(點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C)延長(zhǎng)AE交CE于點(diǎn)F,連接

DE.

(1)試判斷四邊形8FFE的形狀，并說(shuō)明理由.

(2)如圖2,若DA=DE,請(qǐng)猜想線(xiàn)段CF于FF的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

(3)如圖1,若AB=后，CF=3,請(qǐng)直接寫(xiě)出。E的長(zhǎng).

5.(2021春?山西?八年級(jí)統(tǒng)考期末)綜合與實(shí)踐：如圖1,在正方形A3CD中，連接對(duì)角線(xiàn)AC,點(diǎn)。是

AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線(xiàn)段Q4上任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,。重合)，連接DE,BE.過(guò)點(diǎn)E作防J.DE交直線(xiàn)

8C于點(diǎn)F.

（1）試猜想線(xiàn)段DE與所的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）試猜想線(xiàn)段CE,8,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

（3）如圖2,當(dāng)E在線(xiàn)段CO上時(shí)（不與點(diǎn)C,。重合），跖交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,保持其余條件不變，直

接寫(xiě)出線(xiàn)段CE,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系.

6.（2022春?新疆省直轄縣級(jí)單位?八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖1,點(diǎn)E是正方形ABCD的邊3C上的任意一點(diǎn)

⑴求證：AE=EF.

⑵將圖1放在平面直角坐標(biāo)系中，如圖2,連￡＞尸、BF,BF與AE交于點(diǎn)H,若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

4,則四邊形ABED的面積是否隨E點(diǎn)位置的變化而變化？若不變，請(qǐng)求出四邊形ABED的面積.

⑶在的（2）條件下，若SMCR=4,求四邊形的面積.

題型五：正方形與45°角的基本圖

正方形半角模型

=c=a+b（和關(guān)系）

等腰直角三角形半角模型

=22=*2+V平方關(guān)系

1.（2021春?江蘇南京?八年級(jí)校考期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N為邊BC和CD上的動(dòng)點(diǎn)（不

含端點(diǎn)），NMAN=45。，下列三個(gè)結(jié)論：①當(dāng)MN=&MC時(shí)，則NB4M=22.5。；②2

ZAMN-ZMNC=90°；③回MNC的周長(zhǎng)不變；④回AMN-回AMB=60。.其中正確結(jié)論的序號(hào)是

二、解答題

2.（2023春?江蘇?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，正方形A3CD中，點(diǎn)、E,F分別為BC,CD上一點(diǎn)，點(diǎn)、M為

EF上一點(diǎn)，D,M關(guān)于直線(xiàn)AF對(duì)稱(chēng).

（1）求證：B,M關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)；

（2）若/EFC的平分線(xiàn)交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于G,求證：AG=42AF.

3.（2023春?江蘇?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）如圖①，在正方形ABCD中，E、F分別是3C、。。上的點(diǎn),

且ZE4F=45。，連接斯，探究BE、DF、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）如圖②，在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E、尸分別是8C、DC上的點(diǎn)，且

ZEAF=-ZBAD此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

圖②

4.（2023春?江蘇?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，正方形A3CD中，點(diǎn)、E,F分別為BC,C。上一點(diǎn)，點(diǎn)、M為

EF上一點(diǎn)，D,M關(guān)于直線(xiàn)AF對(duì)稱(chēng).連結(jié)。M并延長(zhǎng)交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于N,求證：ZAND=45°.

5.（2023春?江蘇?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1,在正方形ABCD中，E是A3上一點(diǎn)，F(xiàn)是延長(zhǎng)線(xiàn)上一

點(diǎn)，旦DF=BE.

圖1圖2圖3

（1）求證：CE=CF-

（2）在圖1中，若G在上，且/GCE=45。，則GE=3E+G。成立嗎？為什么？

（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：

①如圖2,在直角梯形ABC。中，AD//BC（BC>AD）,?B90?,AB=BC=\2,E是AB上一點(diǎn)，且

ZDCE=45°,BE=4,求DE的長(zhǎng).

②如圖3,在44BC中，ABAC=45°,ADd.BC,BD=2,CD=3,則AABC的面積為（直接寫(xiě)出

結(jié)果，不需要寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）

6.（2023春?江蘇?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖正方形ABCD的邊。4、OC在坐標(biāo)軸上，已知點(diǎn)3（3,3）.將正方

形ABCO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于90。），得到正方形ADEF,ED交線(xiàn)段OC于點(diǎn)G,即的

延長(zhǎng)線(xiàn)交線(xiàn)段BC于點(diǎn)尸，連接AP、AG.

（1）求/R4G的度數(shù).

（2）當(dāng)NQ4G=/CPG時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

（3）在（2）的條件下，直線(xiàn)PE上是否存在點(diǎn)“，使以加、A、G為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存

在，請(qǐng)直接寫(xiě)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.（2023春?江蘇?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)