圖形的變化壓軸題（平移旋轉(zhuǎn)翻折）（解析版）

專題18圖形的變化壓軸題(平移，旋轉(zhuǎn)，翻折)

1.如圖，在矩形/BCD中，48=10,BC=6,E是4D上一點(diǎn)，4E=2.尸是48上的動點(diǎn)，

GF

連接ERG是即上一點(diǎn)，且行=k(k為常數(shù)，k￥0).分別過點(diǎn)尸、G作48、斯的垂

cr

線相交于點(diǎn)尸.設(shè)/尸的長為x,PF的長為八

1

(1)若k=5，x=4,則y的值是5；

(2)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

(3)在點(diǎn)尸從點(diǎn)/到點(diǎn)8的整個(gè)運(yùn)動過程中，若線段CD上存在點(diǎn)尸，則左的值應(yīng)滿足

什么條件？直接寫出％的取值范圍.

試題分析：(1)根據(jù)//￡尸=/尸尸G,得cos/PFG=cos/4EF,則底=三方代入計(jì)算

EFPF

即可；

PFGFGF

(2)利用aPG尸得.=：口再由=卜，得GF=kFE,即可證明結(jié)論；

FEAEFE

12

(3)根據(jù)點(diǎn)。在CD上，可得左=菖耳，再由點(diǎn)G在時(shí)上，可得上W1,進(jìn)而解決問

題.

答案詳解：解：(1)?:PF_LAF,

：.ZAFP=90°,

??,四邊形48co是矩形，

AZA=90°,

AZA+ZAFP=180°,

J.AD//FP,

：.AAEF=/PFG,

,:AE=2,AF=x=4,

:.EF=722+42=2芯,

■:k=5

1-

：.FG=-EF=^5,

*/cosZPFG=cosNAEF,

.AEFG

3_叵

「2遍一而‘

：.PF=5,

所以答案是：5；

(2)9：PFLAB,

：.ZPFA=90°,

:./PFG+/AFE=9G°,

在矩形N5CZ)中，ZA=90°,在RtZ\E4/中，ZA=90°,

ZAEF+ZAFE=90°,

ZPFG=ZAEF,

■:PGLEF,

：.ZPGF=90°,

???/A=/PGF,

：.△PGFs^FAE,

.PFGF

^~FE=~AE9

:.GF/EF=PF?AE,

在RtZ\E4/中，9：AE=2,AF=x,

：.EF2=AE2+AF2=22+X2=4+x2,

GF

.?宜=%

：.GF=kFE,

，kEF2=PF?AE,

1、

?\y=~^hr+2k,

(3)?..線段CD上存在點(diǎn)尸,

??y=6,

6=-k(x2+4),

12

人貝!J及左二-N-+--4，，

??,OWxWlO,4W/+4W104,

3

<fc<3,

Zo

GF

:前=匕點(diǎn)G在即上，

FE

:.0,

3

<fc<1.

zo

2.【特例感知】

(1)如圖1,△/。2和△COD是等腰直角三角形，//。3=/。。。=90°,點(diǎn)C在。/

上，點(diǎn)。在2。的延長線上，連接4D,BC,線段40與2C的數(shù)量關(guān)系是AD=BC；

【類比遷移】

(2)如圖2,將圖1中的△CQD繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°),那么第(1)

問的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，說明理由.

【方法運(yùn)用】

(3)如圖3,若48=8,點(diǎn)C是線段48外一動點(diǎn)，AC=3*,連接2C.

①若將C8繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD,連接N。，則AD的最大值是8+3班；

②若以為斜邊作(B,C,。三點(diǎn)按順時(shí)針排列)，ZCDB=9Q°,連接

AD,當(dāng)/CBD=NDAB=30°時(shí)，直接寫出的值.

試題分析：(1)證明44。。0人8。(7(&15),即可得出結(jié)論；

(2)利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可證得/8OC=//OD,再證明△4。。0ZYBOC(SAS),即可得出結(jié)

論；

(3)①過點(diǎn)/作使連接3T,AD,DT,BD,先證得△NBCs4

TBD,得出。7=3泥，即點(diǎn)。的運(yùn)動軌跡是以7為圓心，3痣為半徑的圓，當(dāng)。在/T

的延長線上時(shí)，40的值最大，最大值為8+3份；

②如圖4,在48上方作2/27=30°,過點(diǎn)/作ZTL2T于點(diǎn)T,連接BD、DT,

過點(diǎn)7作77/J_N。于點(diǎn)”，可證得△8/Cs43力9,得出。7=孚4。=曰x3禽=1,

再求出。從AH,即可求得/D；如圖5,在N8下方作//8￡=30°,過點(diǎn)/作/￡_L3￡

9

于點(diǎn)E,連接DE,可證得△8/Csz\8a,得出DE=5,再由勾股定理即可求得/￡>.

答案詳解：解：(1)/O=8C.理由如下：

如圖1,,.?△/O3和△COD是等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90°,

：.OA=OB,OD=OC,

在△NOD和△8OC中，

'0A=0B

AAOD=ABOC=90°,

,OD=OC

:AAOD沿△BOC(SAS),

：.AD=BC,

所以答案是：AD=BC,

(2)仍然成立.

證明：如圖2,VZAOB=ZCOD=90°,

：.ZAOB+ZAOC=ZAOC+ZCOD^90°+a,

即4BOC=/4。。，

在和△80C中，

,0A=0B

4A0D=4B0C,

,0D=0C

:.△AOD妾△BOC(SAS),

：.AD=BC-,

(3)①過點(diǎn)/作/7U4B,使連接27,AD,DT,BD,

?：AABT^/\CBD都是等腰直角三角形，

：.BT=y[2AB,BD=y[2BC,ZABT=ZCBD=45°,

BTBD「

A—=—=V2,ZABC=ZTBD,

.'.AABC^ATBD,

DTBT「

???就=M=四

'.DT=y[2AC=V2x3A/3=3V6,

；AT=AB=8,DT=3乖,

...點(diǎn)。的運(yùn)動軌跡是以T為圓心，3便為半徑的圓，

.,.當(dāng)。在NT的延長線上時(shí)，的值最大，最大值為8+3逐，

所以答案是：8+3V6；

②如圖4,在N8上方作//87=30°,過點(diǎn)/作/兀L87于點(diǎn)7,連接/。、BD、DT,

過點(diǎn)7作THL4D于點(diǎn)、H,

BTBDV3

,?F===COS30°=*,ZABC=ZTBD=30°+ZTBC,

ADDC2

???ABACSABID,

.DTBDV3

*9'AC='BC=~,

：.DT=爭C=亨x3禽=(

在RtZ\/27中，AT=AB'sinZABT=8sm30°=4,

VZBAT=90°-30°=60°,

：.ZTAH=ZBAT-ZDAB=60°-30°=30°,

:THLAD,

：.TH=AT-sinZTAH=4sm30°=2,AH=AT'cosZTAH=4cos300=2禽,

2

在RtZ\O77/中，DH=VDT-TH^=J(2)2_22=^-,

AD=AH+DH=~\———；

如圖5,在N8上方作//B￡=30°,過點(diǎn)/作于點(diǎn)￡,連接?！?

BEBDV3

則/=釬=cos30°

AtiDC

,?/EBD=ZABC=ZABD+300,

ABDE^ABCA,

.DEBEV3

'"~AC=~AB=~，

=亨X3禽=羨，

1

:/BAE=9Q°-30°=60°,AE=AB'sm3Q°=8x5=4,

:.NDAE=NDAB+/BAE=30°+60°=90°，

：.AD=>JDE2-AE2-J(|)2_42=_1Z.

圖5

D

圖2

3.我們可以通過面積運(yùn)算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和與

一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個(gè)關(guān)系解決相關(guān)問題.

（1）如圖一，在等腰△48C中，AB=AC,3c邊上有一點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。于E,

DF±AC^F,過點(diǎn)C作CGL/2于G.利用面積證明：DE+DF^CG.

（2）如圖二，將矩形N8CO沿著所折疊，使點(diǎn)/與點(diǎn)C重合，點(diǎn)8落在8處，點(diǎn)G

為折痕E尸上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作GM1FC于M,GN2BC于N.若BC=8,BE=3,求GM+GN

的長.

（3）如圖三，在四邊形/BCD中，E為線段2C上的一點(diǎn)，EA±AB,EDLCD,連接

ZBAE__

BD,且7777=7^,8C=庖，C￡>=3,BD=6,求ED+EN的長.

（圖一）（圖二）（圖三）

試題分析：（1）連接4D,根據(jù)SZMBCUSUBD+S^CD，可得結(jié)論；

（2）利用翻折的性質(zhì)得，CE=CF,由勾股定理得，AB=4,則等腰△<?￡尸中，CE邊上

的高為4,由（1）知，GM+GN=4；

（3）延長及1、CD交于G,作8”_LC。于“，利用△A4￡S2\C/）E,得N4BE=/C,

則3G=CG,設(shè)DH=x,利用勾股定理列方程可得DE■的長，從而得出AFA利用（1）

中結(jié)論可得答案.

答案詳解：（1）證明：連接4D,

A

S"BC=S“BD+S"CD，

111

xABxCG=-xABxDE+-x24cxDF,

'：AB=ACf

：.DE+DF=CG；

(2)解：??,將矩形4BCQ沿著所折疊，使點(diǎn)4與點(diǎn)。重合,

:?/AFE=/EFC,AE=CE,

,:AD〃BC,

：.ZAFE=/CEF,

:.ZCEF=ZCFE9

:?CE=CF,

°：BC=8,BE=3,

:?CE=AE=5,

在中，由勾股定理得，45=4,

???等腰斯中，CE邊上的高為4,

由(1)知，GM+GN=4；

(3)解：延長A4、CD交于G,作出LLCZ)于H

G

△BAEs^CDE,

：.ZABE=ZC,

：.BG=CG,

：.ED+EA=BH,

設(shè)DH=x,

由勾股定理得，62-/=(V51)2,(x+3)2,

解得x=l,

:.DH=\,

：.BH=、BD2-DH2=462—12=V35,

:.ED+EA=底.

4.【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖1,在△48C中，D,E,尸分別為48,AC,8C上的點(diǎn)，DE//BC,BF=CF,

AF交DE于點(diǎn)、G,求證：DG=EG.

【嘗試應(yīng)用】

DE

(2)如圖2,在(1)的條件下，連結(jié)CD,CG.若CG_LOE,CD=6,AE=3,求”的

DC

值.

【拓展提高】

(3)如圖3,在口/BCD中，ZADC=45Q,NC與8。交于點(diǎn)。，E為/。上一點(diǎn)，EG

〃BD交AD于點(diǎn)、G,EFLEG交BC于點(diǎn)、F.若/EGr=40°,FG平分/EFC,FG=

10,求AF的長.

A

A____G._______r>

F---------CBFC

圖1圖2圖3

DG

試題分柝(證明△NG￡)S\4F8,

1)ZLAFCs4AGE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到而=

GE

言，進(jìn)而證明結(jié)論；

(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出CR根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案;

(3)延長GE交45于連接〃凡過點(diǎn)M作〃于N,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)

求出NEFG,求出NM/W=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可.

答案詳解：(1)證明：???。￡〃5。，

???△AGDs^AFB,AAFCs^AGE,

.DGAGGEAG

?,市=而=而

.DGGE

?,市=記

?:BF=CF,

：.DG=EG；

(2)解：?:DG=EG,CGLDE,

:?CE=CD=6,

■:DE//BC,

：.△ADEs^ABC,

tDEAE31

??詬=就=3+6=5；

(3)解：延長G￡交48于〃，連接M凡過點(diǎn)〃作MN_L5C于N,

???四邊形45cZ)為平行四邊形，

：.OB=OD,ZABC=ZADC=45°,

'JMG//BD,

：.ME=GE,

■:EF2EG,

：.FM=FG=10,

在RtZ\G￡F中，ZEGF=40°,

AZEFG=90°-40°=50°,

<FG平分/EFC,

:?NGFC=/EFG=50°,

'：FM=FG,EFLGM,

：.ZMFE=ZEFG=50°,

：?4MFN=3金。,

1

：.MN=^MF=5,

.'.NF=VMF2—MN2=5A/3,

VZABC=45°,

：.BN=MN=5,

5+5窩.

5.【問題情境】

在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小昕同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖1所示的方式擺

放.其中//C8=/r>￡8=90°,ZS=30°,BE=AC=3.

【問題探究】

小昕同學(xué)將三角板?！?繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).

(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E落在邊42上時(shí)，延長DE交2C于點(diǎn)尸，求AF的長.

(2)若點(diǎn)C、E、。在同一條直線上，求點(diǎn)。到直線3c的距離.

(3)連接DC,取DC的中點(diǎn)G,三角板?！?由初始位置(圖1),旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、B、D

首次在同一條直線上(如圖3),求點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長.

(4)如圖4,G為DC的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)G到直線的距離的最大值是

7V3

4一,

試題分析：(1)根據(jù)銳角三角函數(shù)求解，即可求出答案；

(2)①當(dāng)點(diǎn)E在5c上方時(shí)，如圖1過點(diǎn)。作3c于〃，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出

8c=3禽，DE=有,最后利用面積求解，即可求出答案；

②當(dāng)點(diǎn)￡在8c下方時(shí)，同①的方法，即可求出答案；

(3)先求出/3?！?150°,再判斷出點(diǎn)G是以點(diǎn)。為圓心，窩為半徑的圓上，最后用

弧長公式求解，即可求出答案；

(4)過點(diǎn)。作于K,求出OK=-7-,即可求出答案.

答案詳解：解：(1)由題意得，ZBEF=ZBED=9Q°,

在RtZ\2￡尸中，N4BC=30°,BE=3,

BE3廠

,,BF=cos^ABC=cos30°=2a；

(2)①當(dāng)點(diǎn)E在8C上方時(shí)，

如圖1,過點(diǎn)D作DH±BC于H,

在中，/C=3,

AC

/.tanZABC=

DC

.??3

~~tanZ.ABC~tan30°~r'

在RtZXBE。中，ZEBD=ZABC=30°,BE=3,

:,DE=BE*tan/DBE=V3,

在RtZXBCE中，BE=3,BC=3g

根據(jù)勾股定理得，CE=7BC2—BE2=3五,

:?CD=CE+DE=3m+V3,

11

,/S叢BCD=《CD?BE=*?DH,

CDBE「

：.DH=nr=V6+1,

②當(dāng)點(diǎn)E在5C下方時(shí)，如圖2,

過點(diǎn)。作。于"，

11

S^BDC=3BC?DM=-CD*BE,

CDBE

.'.DM=—-—=V6—L

￡)C

即點(diǎn)D到直線BC的距離為述±1；

(3)如圖3-1,連接CD,取CD的中點(diǎn)G,

圖3-1圖3-2

取8C的中點(diǎn)O,連接G。,則OG//AB,

：.ZCOG=ZB=30°,

.,.4806=150°,

?.?點(diǎn)G為。的中點(diǎn)，點(diǎn)。為8C的中點(diǎn),

1-

GO=]BD-V3,

.,.點(diǎn)G是以點(diǎn)。為圓心，窩為半徑的圓上，如圖3-2,

，三角板?！?由初始位置（圖1）,旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C、B、。首次在同一條直線上時(shí)，點(diǎn)G所

經(jīng)過的軌跡為150°所對的圓弧,

1507T-V35V3

...點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為-------------=---------IT;

1806

（4）如圖4,過點(diǎn)。作于K,

;點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)，8c=3禽,

3V3

；.OK=02/30。

4

由（3）知，點(diǎn)G是以點(diǎn)。為圓心，窩為半徑的圓上,

???點(diǎn)G到直線,8的距離的最大值是北+苧=苧

所以答案是：w

AE

D

6.在△48C中，ZBAC=9Q°,AB=AC=2短,。為BC的中點(diǎn)，E,尸分別為NC,AD±.

任意一點(diǎn)，連接將線段￡尸繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG,連接尸G,AG.

(1)如圖1,點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且G尸的延長線過點(diǎn)瓦若點(diǎn)尸為尸G的中點(diǎn)，連接

PD,求尸。的長；

(2)如圖2,所的延長線交48于點(diǎn)7，點(diǎn)N在/C上，/AGN=/AEG且GN=MF,

求證：AM+AF=y[2AE-,

(3)如圖3,尸為線段4D上一動點(diǎn)，￡為NC的中點(diǎn)，連接3E,H為直線5c上一動

點(diǎn)，連接將△8E7/沿即翻折至△4BC所在平面內(nèi)，得到△?'EH,連接夕G,

直接寫出線段夕G的長度的最小值.

圖3

試題分柝(1)連接CP判斷出AFCG為等腰直角三角形，進(jìn)而判斷出CPLFG,進(jìn)而

1

得出。尸=pC,再求出3C,即可求出答案；

(2)過點(diǎn)E作瓦LL/E交/。的延長線于〃，先判斷出△EG/絲△瓦(MS),得出

AG=FH,ZEAG=ZH=45°,進(jìn)而判斷出△/GNgZX/MF(AAS),即可得出結(jié)論；

(3)先求出再判斷出點(diǎn)?是以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓上，再判斷出點(diǎn)

G在點(diǎn)/右側(cè)過點(diǎn)/與垂直且等長的線段上，進(jìn)而得出斯最大時(shí)，"G最小，即

可求出答案.

答案詳解：(1)解：如圖1,連接CP,

由旋轉(zhuǎn)知，CF=CG,NFCG=9Q°,

△尸CG為等腰直角三角形,

:點(diǎn)尸是尸G的中點(diǎn),

C.CPLFG,

:點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，

1

：.DP-~BC,

在RtZk/BC中，AB=AC=2&,

；.8C=岳3=4,

:.DP=2；

(2)證明：如圖2,

過點(diǎn)E作EHLAE交AD的延長線于H,

：.ZAEH=90°,

由旋轉(zhuǎn)知，EG=EF,N尸￡6=90°,

???/FEG=/AEH,

：.NAEG=/HEF,

??7B=Z。，點(diǎn)。是3C的中點(diǎn)，

1

ZBAD=ZCAD=-ZBAC=45°,

；?/H=90°-ZCAD=45°=NCAD,

：.AE=HE,

：.AEGA^AEFH(SAS)f

：.AG=FH,/EAG=/H=45°,

AZEAG=ZBAD=45°,

,CABLAC,HE工AC,

：.AB//HE,

：.NAMF=/HEF,

9：AEGA^AEFH.

：.ZAEG=/HEF,

丁ZAGN=/AEG,

：.ZAGN=/HEF,

：.ZAGN=/AMF,

GN=MF,

：.AAGN^AAMF(AAS),

.'.AG=AM,

?:AG=FH,

:.AM=FH,

.AF+AM=AF+FH=AH=42AE；

(3)解：：點(diǎn)E是NC的中點(diǎn)，

1「

:.AE=~T4C--V2,

根據(jù)勾股定理得，BE=7AE2+力B2=VTU,

由折疊知，BE^B'E=V10,

.?.點(diǎn)2,是以點(diǎn)E為圓心，可為半徑的圓上，

由旋轉(zhuǎn)知，EF=EG,

.?.點(diǎn)G在點(diǎn)A右側(cè)過點(diǎn)/與垂直且等長的線段上,

:.B'G的最小值為B'E-EG,

要EG最小，則EG最大，即斯最大，

;點(diǎn)尸在40上，

...點(diǎn)廠在點(diǎn)/或點(diǎn)。時(shí)，EF最大,最大值為魚，

線段夕G的長度的最小值四一魚.

7.在正方形/BCD中，等腰直角N4FE=9Q°,連接CE,〃為CE中點(diǎn)，連接

BF

BH、BF、HF,發(fā)現(xiàn)由;和NHS廠為定值.

Dri

(1)①器=—應(yīng)―;

@ZHBF=45°；

OHBA

③小明為了證明①②，連接NC交8。于。，連接O",證明了三三和訪的關(guān)系，請你

ArDU

按他的思路證明①②.

BDEA

（2）小明又用三個(gè)相似三角形（兩個(gè)大三角形全等）擺出如圖2,而=西=總ZBDA

NEAF=e(0°<0<90°).

ZD2

求①萬有=工；（用左的代數(shù)式表示）

rLL）K

圖1圖2

試題分析：（1）由△/￡尸和△/BO都是等腰直角三角形可證△3O//S△上1尸，從而得到

對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可；

（2）將等腰直角三角形換成兩個(gè)相似三角形，任然有△DOHSAD",從而得出①，

FD2

作?。尸于由①得云=二設(shè)陽=23HD=kt,通過勾股定理表示出由公

MF、HE的長即可得出②.

答案詳解：解：①魚；②45°；

③由正方形的性質(zhì)得：—=V2,。為4c的中點(diǎn),

又???〃為CE的中點(diǎn)，

1

AOH//AE,OH=~AE,

???AAEF是等腰直角三角形，

.\AE=近AF,

AFAB

?t,麗=迎=記

?：OH//AE,

：?/COH=/CAE,

：.ZBOH=ZBAF,

：.ABOHsABAF,

BF「

^77=V2,乙HB0=Z.FBA,

Dil

:.NHBF=NHBO+/DBF=NDBA=45°；

(2)①如圖2,連接4C交8。于點(diǎn)O,連接OH,

D

BAA

圖1圖2

由(1)中③問同理可證：△DOHs^DAF,

FDAD2

??詬=防二工’

②由①知：ADOHsADAF,

：./HDO=/FDA,

：./HDF=/BDA=6,

FD2

在△田卯中,南=7

設(shè)。尸=2t,HD=kt,

作HM±DF于M,

'.HM=DHX.sin9=fosin0,DM=ktcosd,

：.MF=DF-DM=(2-fcos0)t,

在Rt△必萬中，由勾股定理得:

HF—tVfc2—4kcos6+4,

,FH7k2-4kcos9+4

?'~DH=k-

8.已知等邊三角形/8C,過/點(diǎn)作/C的垂線/,點(diǎn)P為/上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)/重合)，連

接CP,把線段CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到CQ,連QB.

(1)如圖1,直接寫出線段NP與5。的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸、8在NC同側(cè)且/P=/C時(shí)，求證：直線總垂直平分線段C0；

(3)如圖3,若等邊三角形/2C的邊長為4,點(diǎn)尸、2分別位于直線NC異側(cè)，且△/尸。

圖1圖2圖3

試題分析：(1)由“S4S”證得△NCP四△BC。(SAS)可得/P=80.

(2)由“&4S”證得△ZCP/ABC。(&4S)可得/尸=3。，所以80=/尸=/C=BC,

由“等邊對等角”可得乙4BP=N4PB=75°,則/。39=//8。+//8尸=135°,所以

NCBD=NQBD=45°,則AD是△BC。的平分線，又BC=BQ,則尸2垂直平分

CQ.

(3)需要分點(diǎn)。在直線/上方和點(diǎn)0在直線/下方兩種情況討論，設(shè)/尸的長度，根據(jù)

△一尸0的面積等于乎建立等式，可求出NP的長.

4

答案詳解：解：(1)在等邊△48C中，AC=BC,ZACB=60°,

由旋轉(zhuǎn)可得，CP=CQ,NPC0=6O°,

NACB=ZPCQ,

：.ZACB-ZPCB=ZPCQ-Z.PCB,即/ACP=ZBCQ,

:.△ACPQXBCQ(&4S),

；.4P=BQ.

(2)在等邊△45。中，AC=BC,ZACB=60°,

由旋轉(zhuǎn)可得，CP=CQ,ZPCQ=60°,

???ZACB=ZPCQ,

：.ZACB-/PCB=ZPCQ-NPCB,即/ACP=/BCQ,

:.△ACP"ABCQ(SAS)f

[AP=BQ,ZCBQ=ZCAP=90°；

:?BQ=AP=AC=BC,

*：AP=AC,ZCAP=90°,

4P=30°,NABP=/APB=75°,

AZCBP=ZABC+ZABP=135°,

:.NCBD=45°,

：.ZQBD=45°,

：.ZCBD=ZQBD9即5。平分NC5Q,

C.BDLCQ且點(diǎn)。是。。的中點(diǎn)，即直線PB垂直平分線段CQ.

(3)①當(dāng)點(diǎn)0在直線/上方時(shí)，如圖所示，延長5。交/于點(diǎn)過點(diǎn)0作或，/于點(diǎn)

由題意可得4C=5C,PC=CQ,ZPCQ=ZACB=60°,

J/ACP=/BCQ,

：.AAPC^ABCQ(MS),

；?AP=BQ,NCBQ=NCAP=90。,

?：/CAB=/ABC=60°,

:?/BAE=/ABE=30°,

'：AB=AC=4,

4V3

：.AE=BE=-2L-

3f

；./BEF=6。。,

設(shè)NP=3則=

4V3

在RtAE'Fg中，QF=與EQ=亨（43-力，

…「CL遮BH1V3.4^3、V3

??S^APQ=yAP'QF=—,即5"??；-----力=7，

解得/=遙或/=早.即/P的長為禽或苧.

②當(dāng)點(diǎn)。在直線/下方時(shí)，如圖所示，設(shè)80交/于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作0尸JJ于點(diǎn)R

由題意可得/C=8C,PC=CQ,NPCQ=NACB=60

：.NACP=ZBCQ,

：.AACP^ABCQ⑸S),

：.AP=BQ,ZCBQ=ZCAP=90°,

'：ZCAB=ZABC=60°,

:?/BAE=NABE=30°,

AZBEF=120°,ZQEF=60°,

t：AB=AC=4,

：.AE=BE=^~

3

設(shè)4P=機(jī)，貝”50=加，

”=廣警,

在Rt^EF。中，QF=母廣

?'-S^APQ=^AP-QF=即?停（加一竿9=乎,

A774B2V3+V212舊一V^I名估巖土、

解得加=---------（加=---------負(fù)值舍去）.

綜上可得，NP的長為：理或2*同

9.在矩形48co中，AB=2,40=4,尸是對角線/C上不與點(diǎn)4,C重合的一點(diǎn)，過尸作

FELAD于E,將△4EF沿斯翻折得到△GEF,點(diǎn)G在射線4D上，連接CG.

(1)如圖1,若點(diǎn)/的對稱點(diǎn)G落在/。上，ZFGC=90°,延長G尸交N8于“，連

接CH.

①求證：ACDGsAGAH；

②求tan/G8C.

(2)如圖2,若點(diǎn)/的對稱點(diǎn)G落在/。延長線上，ZGCF=9Q°,判斷△6。尸與4

圖1圖2

試題分析：(1)①由矩形的性質(zhì)和同角的余角相等證明△COG與△GN”的兩組對應(yīng)角

相等，從而證明△CDGs△G/"；

1

②由翻折得//G8=ND4C=/DCG,ffi]tanZDAC^-,可求出DG的長，進(jìn)而求出

GA的長，由tan/GHC即NGHC的對邊與鄰邊的比恰好等于相似三角形△CDG與△G/8

的一組對應(yīng)邊的比，由此可求出tanNGXC的值；

1

(2)AGC/與△/￡尸都是直角三角形，由tan/D4c=5可分別求出CG、4G、AE、

EF、AF、CF的長，再由直角邊的比不相等判斷△GCF與△/即不全等.

答案詳解：(1)如圖1，

①證明：?..四邊形/BCD是矩形，

AZD=ZGAH=90°,

：.ZDCG+ZDGC=90°,

VZFGC=90°,

AZAGH+ZDGC=90°,

ZDCG=NAGH,

:.叢CDGs叢GAH.

②由翻折得ZEGF=ZEAF,

?ZAGH=ZDAC=ZDCG,

'CD=AB=2,AD=4,

DGAHCD21

而=前=而山皿『=5,

11

.Z)G=-CD=-X2=1,

.GA=4-1=3,

‘叢CDGs叢GAH,

CGCD

'GH='GA,

CGCD2

（2）不全等，理由如下:

'：AD=4,CZ)=2,

A^C=V42+22=2V5,

YNGC產(chǎn)=90°,

CG1

=tanZDAC=5,

11

CG=5,C=5x2萌=倔

：.AG=(2V5)2+(V5)2=5,

15

*.EA=~AG=^,

515

AEF=EA?tanZDAC="X—=—,

Zz4,

,5、？，,5、？5V5

：.AF=（2）2+（4）—

?y=2小乎

44

?：NGCF=NAEF=90°,而CGWEZ,CFNEF,

：.AGCF與AAEF不全等.

BC

圖2

EGD

10.某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究:

(1)如圖1,在正方形/BCD中，點(diǎn)￡,尸分別是/瓦AD上的兩點(diǎn)，連接DE,CF,

DE

DELCF,則3m的值為1；

CF-----

(2)如圖2,在矩形/BCD中，AD=1,CD=4,點(diǎn)E是/。上的一點(diǎn)，連接C￡,BD,

CE4

且CEL5。，則礪的值為_虧_;

DU/

【類比探究】

(3)如圖3,在四邊形/5CD中，N/=/B=90°,點(diǎn)￡為N5上一點(diǎn)，連接。￡,過

點(diǎn)C作的垂線交的延長線于點(diǎn)G,交/。的延長線于點(diǎn)尸，求證：DE-AB=CF-

AD；

圖3圖4

【拓展延伸】

1

(4)如圖4,在RtZ\Z5Z)中，ZBAD=90°,AD=9,tanZ^D5=~,將△45。沿

翻折，點(diǎn)4落在點(diǎn)C處得△。助，點(diǎn)E,尸分別在邊45,4。上，連接DE,CF,DEL

CF.

DE

①求7萬的值；

Cr

②連接AF,若NE=1,直接寫出2尸的長度.

試題分析：(1)如圖1,設(shè)。E與C/交于點(diǎn)G,由正方形的性質(zhì)得出//=NFDC=

90°,AD=CD,可證明絲△￡>FC(AAS),由全等三角形的性質(zhì)得出?！?CF,則

可得出結(jié)論；

(2)如圖2,設(shè)。8與CE交于點(diǎn)G,根據(jù)矩形性質(zhì)得出N/=NEOC=90°,由直角三

角形的性質(zhì)證出NECD=N4D2,由相似三角形的判定定理證出△DECs△45。即可；

(3)如圖3,過點(diǎn)C作C"J_N/交N尸的延長線于點(diǎn)“，證明△DE/SAC/H,由相似

DEAD

三角形的性質(zhì)得出7彳=不，則可得出結(jié)論；

CFCH

(4)①過點(diǎn)C作CG_L/O于點(diǎn)G,連接4c交BD于點(diǎn)、H,CG與DE相交于點(diǎn)O,證

DEADAH1

明△OE/s^cFG,得出比例線段7天=7二，證出77占=三，設(shè)/〃=。，則。”=3a,由

CFCGDH3

勾股定理得出片+(3a)2=92,解方程可求出/?、的長，由三角形NCD的面積求出

CG的長，則可求出答案;

9DEAE

②由勾股定理求出NG=m證明由相似三角形的性質(zhì)得出苗=左,

bCrrCr

3

求出產(chǎn)G=不在RtZ\48尸中，由勾股定理可求出3尸的長.

答案詳解：解：(1)如圖1,設(shè)?！昱cCF交于點(diǎn)G,

圖1

:四邊形/BCD是正方形,

AZA=ZFDC=90°,AD=CD,

"：DE±CF,

ZDGF=90°,

/.ZADE+ZCFD=90°,ZADE+ZAED=90°,

：.ZCFD=ZAED,

在△ZEZ)和△。9。中，

NA=ZFDC

匕CFD=乙ZEO,

AD=CD

：.AAED^^DFC(AAS)f

:.DE=CF,

DE

.".-Z77=1;

圖2

??,四邊形458是矩形，

；?NA=/EDC=90°,

■:CE1BD,

：.ZDGC=90°,

：.ZCDG+ZECD=90°,ZADB+ZCDG=90°,

???ZECD=NADB,

,:NCDE=/A,

：.△DECsfBD,

.CEDC4

?,麗=布=7

4

所以答案是：

(3)證明：如圖3,過點(diǎn)。作/交//的延長線于點(diǎn)”,

圖3

???CG_LEG,

：.ZG=ZH=ZA=ZB=90°,

???四邊形45C//為矩形,

:?AB=CH,ZFCH+ZCFH=ADFG+ZFDG=90°,

:.NFCH=NFDG=/ADE,NA=NH=90°,

???4DEASACFH,

.DEAD

'9'CF='CH'

.DEAD

^~CF=~AB"

；?DE?AB=CF?AD；

(4)①如圖4,過點(diǎn)。作CGJ_4。于點(diǎn)G,連接ZC交5。于點(diǎn)8,CG與。E相交于

圖4

■:CF1DE,GCLAD,

：.ZFCG+ZCFG=ZCFG+ZADE=90°,

:?/FCG=NADE,NBAD=NCGF=90°,

???ADEAsACFG,

.DEAD

*F=既'

1

在中，tanZADB=-,AD=9,

?\AB=3,

1

在RtZ\4DH中，tanZ^DH=",

.AH1

?,麗=§，

設(shè)則。H=3a,

,222

：AH+DH=ADf

???。2+(3。)2=92,

9,_

**-a~77^10(負(fù)值舍去),

927

9_

：.AC=2AH=-y/109

11

???S"=”.DH=-AD-CG,

19,_27,_1

A-x-V10x—V10=-x9CG,

CG=—,

OEZO95

?-----"—27,

?'CF_CG一三_3，

927

(2)V^C=-VTO,CG=—,ZAGC=90°,

：.AG=^AC2-CG^=J(|V10)2-(^)2=|,

由①得△。及s叢CFG,

.DEAE

"CF=FG，

DE5

XV—=—,AE=1,

CF3

:?FG=

936

'.AF—AG-FG=^——=—,

:.BF=、AB2+AF2=J32+(|)2=|V29.

11.如圖1,在△48C中，AB^AC,N是3c邊上的一點(diǎn)，。為NN的