五類導(dǎo)數(shù)五類題型-2025年高考數(shù)學(xué)沖刺大題專項(xiàng)練習(xí)（解析版）

專題06五類導(dǎo)數(shù)題型

2025年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)練習(xí)(解析版)

導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一般分為五類：

類型1：利用導(dǎo)函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題(含參討論問(wèn)題)；

類型2：利用導(dǎo)函數(shù)研究恒成立能成立問(wèn)題；

類型3：利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題；

類型4：利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題；

類型5：利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題；

下面給大家對(duì)每一個(gè)類型進(jìn)行秒殺處理.

類型1：利用導(dǎo)函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題(含參討論問(wèn)題)

含參問(wèn)題討論單調(diào)性

第一步：求y=/(x)的定義域

第二步：求/(%)(導(dǎo)函數(shù)中有分母通分)

第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為g(X)

對(duì)于y=/(x)進(jìn)行求導(dǎo)得到了'(%)，對(duì)/'(X)初步處理(如通分)，提出了'(%)的恒正

部分，將該部分省略，留下的部分則為/'(%)的有效部分(如：/⑺=乙,—廣+2),

則記g(x)=/-奴+2為/'(X)的有效部分).接下來(lái)就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該

部分決定/'(%)的正負(fù).

第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分g(?的類型：

⑴導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型(或可化為一次型)

借助導(dǎo)函數(shù)有效部分g(x)的圖象輔助解題：

①令g(x)=O,確定其零點(diǎn)并在X軸上標(biāo)出

②觀察y=g(x)的單調(diào)性，

③根據(jù)①②畫(huà)出草圖

⑵導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型(或可化為二次型)且可因式分解型

借助導(dǎo)函數(shù)有效部分g(x)的圖象輔助解題：

①對(duì)g(x)因式分解，令g(x)=O,確定其零點(diǎn)王，尤2并在X軸上標(biāo)出這兩個(gè)零點(diǎn)

②觀察y=g(x)的開(kāi)口方向，

③根據(jù)①②畫(huà)出草圖

⑶導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型(或可化為二次型)且不可因式分解型

1

①對(duì)y=g(x)，求A==-4ac

②分類討論AWO

③對(duì)于A>0,利用求根公式求g(x)=O的兩根演，x2

④判斷兩根為，馬是否在定義域內(nèi)：對(duì)稱軸+端點(diǎn)正負(fù)

⑤畫(huà)出y=g(x)草圖

二、含參問(wèn)題討論單調(diào)性的原則

1、最高項(xiàng)系數(shù)含參，從。開(kāi)始討論

2、兩根大小不確定，從兩根相等開(kāi)始討論

3、考慮根是否在定義域內(nèi)

利用導(dǎo)函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題(含參討論問(wèn)題)專題訓(xùn)練

1.已知函數(shù)〃尤)=依(為2-3)+1(“片0).

⑴討論函數(shù)“力的單調(diào)性；

⑵若丁(無(wú))有三個(gè)零點(diǎn)為務(wù)，電(不<當(dāng)<電)，且“X)在無(wú)=不處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(占,。)，毛片

求證：占=-2%.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)/'(力=3°(無(wú)2-1),令((x)=0nx=±l,

(i)當(dāng)。>0時(shí)，時(shí)，/>0；時(shí)，以力<0,

所以/(無(wú))在(-叫-1)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在(L+8)上單調(diào)遞增；

(ii)當(dāng)4<0時(shí)，xw(-00,時(shí)，/'(x)<0；時(shí)，/",X)>0,

所以/(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

(2)〃x)有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)/(T/⑴<0oo<—或

由題意/($)=叫3-3叫+1=0,①

“X)在X=x0處的切線方程為：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),

該切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(占,0),則-〃%)=/'(%)&-%),

BPa(?)XQ—-^))+OXQ-3ax0+1=0,②

2

①②聯(lián)立得：?(3x0-3)(石-)+OXQ-3ar0+1=叼3_33+1,

22

na(3/2—3)(石-x0)-?(^-x0)(x0+xoxi+^)+3?(^-xo)=O,

因?yàn)椴?。石MwO,

月f以，(3%。2—3)—2+/0%+)+3=0=>2/2_+玉2=0=>(2/+Xy)(%0_玉)=°,

2

所以2%+玉=0,即玉=一2%.

3

2./(x)=21nx-ox-----.

OX

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

3

⑵g(x)=〃x)+x2+￡，若g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)外,三，且西<々，試求g(x2)-2g(xj的最

大值.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)31n2+l

，、*HK、/1\?@八,、23—ct~x~+2tzx+3-(ux—3)(6/x+1).

【詳解】(1)由題意得/''(x)=——a+—=-------------------=-------------------,(x>0),

xaxaxax

3i

令/'(x)=0,得兩根為巳和——.

aa

33

當(dāng)〃〉0時(shí)，令/'(x)>0,W0<x<-,令:(x)<0,得1>2,

aa

于是f(x)在(()3］上單調(diào)遞增，在(；，上單調(diào)遞減；

當(dāng)4<0時(shí)，令/'(x)>0,得了>一!，令r(x)<0,M0<x<--,

aa

于是/(尤)在［。，-：)上單調(diào)遞減，在［上單調(diào)遞增.

(2)由題意得g(x)=2\nx-ax+x2(x>0),則=--a+2x=———竺士2.

XX

令/?(%)=一辦+2,則h(x)有兩個(gè)不等正根西，%2，

A—a?—16>0,%］+w=萬(wàn)>。，％逮2=1,艮口a>4,

又石<%,于是0<%且X2=一.

再

則g(%)_2g(尤J=21n/_平+光;-41n玉+2雙1-2%；

_,1Cl1八__7

=2In----------1—--41nxi+2axi—2%

X』X；

=-2In%-2*+2"+4一41n%+2(2%+2%)玉-2x；

=-6In玉-2"+J-+2(2x1+2x2)x1-2x；=-61n%1——y+2x；+2,

X］X；K

令*0(%)——6Inx——+2%2+2,(0<%<1),

x

3

犬(]乂

則夕'(%)=+W+4%=4-612+2_2212f])

xx

令夕(%)>0,則0<%<也，于是9(%)在0,*單調(diào)遞增，在《J單調(diào)遞減,

2I2J12

即g(x?)-2g(xj的最大值為31n2+1.

3.已知函數(shù)/(%)=彳2+aln(l-x),oeR.

⑴討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)看,巧，且玉<x2，求證：f(xl)-ax2>-a.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

2x2+2xa

【詳解】(1)函數(shù)“X)的定義域?yàn)?一8,1),f'(x\=2x--=--,

1-x1-x

設(shè)8(犬)=-212+2%-。，令g(x)=0,A=4-8a,

當(dāng)AWO時(shí)，即讓］r(x)W0J(x)在(一雙1)單調(diào)遞減，

當(dāng)△>()時(shí)，即，a<1,令g(x)=0,得玉=三與紅，%=1+,

若再<1,X2>1,由r(%)<0即g(%)<0,得出?！?-00,菁).

由>。即g(尤)>。，得出工￡(%，1).

當(dāng)0<Q<g時(shí)，X2<1,由/即g(x)<o,得出了￡(—8,%)5%2，1).

由>0即g(x)>0，得出無(wú)￡(不，無(wú)2)?

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)/(X)在(F』)上單調(diào)遞減，

當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)/■(%)在F一；"上單調(diào)遞減，在7；"』上單調(diào)遞增,

<7\7

當(dāng)。時(shí)，函數(shù)/'(X)在一8,1?；一也上單調(diào)遞減，

1-J1-2a1+1+11-2〃|L品、由、￥、修

上單調(diào)遞增；在上單倜遞減.

-2L-------------,1

4

(2)由(1)可知：當(dāng)0<。<工時(shí)，

2

*三三，％=1±YE至是函數(shù)/⑴兩個(gè)極值點(diǎn),

有石+工2=1,西入2-3，止匕時(shí)<X2<1,

要證明了(芯)―一>一口，只要證明：/(百)_工2>T

*)r=+〃in(l-兀J

-%2=~■—FIn(1-玉)-x?,

a

1—%2

=

+In々/=—■—FIn%一々+lnx2-x2=----+lnx2-x2,

2%jX

22X22X22

設(shè)^h(%)----------FInx—x,iV%<1,

v72x22

"一?一二-2X2+2X-1

令A(yù)f(x)=—2x2+2x—1,

當(dāng)尤時(shí)，一l<M(x)<-g,

所以當(dāng)時(shí)，仆)<0,/z(x)單調(diào)遞減,

所以有人(x)>〃(l)=T，即證/(占)—->一。

4.已知函數(shù)〃x)=e'(尤2+辦+°).

⑴求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若〃力4X2/+1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)[-e2,0]

【詳解】(1)/(無(wú))=[(J+ax+a^+(2x+a^ex=[x?+(a+2)x+2a]e*=(x+a)(尤+2)e”,

①當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=(x+2)2eA>0,此時(shí)函數(shù)”尤)在R上單調(diào)遞增，增區(qū)間是(-℃,+<?),

沒(méi)有減區(qū)間；

②當(dāng)a<2時(shí)，令制x)>0可得x>—a或x<_2,f\x)<Q^-2<x<-a,止匕時(shí)函數(shù)的

減區(qū)間為(一2,-a),增區(qū)間為(TO,-2),(—a,-HX>)；

③當(dāng)a>2時(shí)，令/>0可得x>-2或x<-a,/,(%)<0^>-a<x<-2,止匕時(shí)函數(shù)/'(x)的

減區(qū)間為(-a,-2),增區(qū)間為(T?,-a),(-2,-K?)；

5

(2)可化為a(%+l)e'<1,

①若。=0,不等式顯然成立；

②若a>0,當(dāng)工〉In，且無(wú)>1時(shí)，ex>—,x+l>2,可得a(x+l)e'>QX』X2=2>1,不

aaa

合題意；

③當(dāng)a<0時(shí)，不等式a(x+l)e&Wl,可化為：V(x+l)e”,

令g(x)=(x+l)e1g,(x)=(x+2)eT,令g［x)>0,可得了>-2,可知函數(shù)g(元)的減區(qū)間為

(-8,-2),增區(qū)間為(-2,+功，可得函數(shù)g(x)的最小值為g(-2)=-《，

故有一W—丁，解得—e2<a<0,

ae

故若/(x)Wx%，+i恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為［y?,。］.

2

5.已知函數(shù)/(%)=—九一1一。1口九，QWO.

e

⑴求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)0=1時(shí)，若關(guān)于X的方程/(力=〃2(根為實(shí)數(shù))有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根為,且％<%，

求證：<e(/7i+l).

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)r(x)=---=^^(x>o).

exex

①當(dāng)。<0時(shí)，ra)>o恒成立，所以〃元)在(。,+⑹上單調(diào)遞增；

②當(dāng)“>0時(shí)，令r(無(wú))>0,解得X若；令((x)<o,解得0<x若，

所以〃元)在(0,券］上單調(diào)遞減，在1拳+j上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)。<0時(shí)，“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a>0時(shí)，/(元)的單調(diào)遞減區(qū)間為掾］,單調(diào)遞增區(qū)間為［掾,+，］.

2

(2)方法一當(dāng)時(shí)，f(x)=-x—1—Inx,

e

由(i)可知，〃力的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為己+<i，

因?yàn)榉匠?(%)=機(jī)(機(jī)為實(shí)數(shù))有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根毛，巧，且玉<%，因此。<玉<^<九2.

6

2

由于Z是/(x)=7w的實(shí)數(shù)根，所以一無(wú)2-lTn無(wú)2=加，整理得々-eln%=e(7〃+l)-X2.

e

令〃(%)=%—elnx,且貝!]〃(％)=1—￡=,

2xx

令〃(%)>0,解得工〉e；令"(x)<0,解得；<x<e,

所以/z(x)在\,ej上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃(％)>/z(e)=e-elne=O,即x2-elnx2>0,所以e(m+l)—%22。，

而%>0,因此e(機(jī)+1)-工2+再>0,即％-再<e(m+l).

2

方法二：當(dāng)〃=1時(shí)，f(x)=-x—1—Inx,

e

21211

/(e)=2-l-lne=0,/(%)=---,所以「?=

exeee

所以曲線y=在點(diǎn)(e"(e))處的切線方程為y=2(x-e)=L-1.

ee

i91Y

又/(尤)——x+l=—x-1-lnx——x+l=——In],

eeee

Y11

令g(x)=——lnx,則g'(x)=----(x>0).

ee尤

令g，(x)=o,解得x=e,令g，(x)>0,解得x>e；令g，(x)<0,解得0<x<e,

所以g(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,+8)上單調(diào)遞增，

e1

所以g(x)\g(e)=——lne=。，因此/(%)之一工一1.

ee

因?yàn)?(%)=機(jī)(機(jī)為實(shí)數(shù))有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根毛，巧，且玉<々，

所以/(%2)=加2工％2一1，即％We(m+1).

e

因?yàn)檎?gt;0,所以一王<。，所以3-%<e(%+l).

類型2：利用導(dǎo)函數(shù)研究恒成立能成立問(wèn)題

秒殺技巧：恒成立(分離參數(shù)法)

用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問(wèn)題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái)，得到一個(gè)

一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；

步驟：

①分類參數(shù)(注意分類參數(shù)時(shí)自變量x的取值范圍是否影響不等式的方向)

②轉(zhuǎn)化：若a>/(x))對(duì)xe。恒成立，則只需a〉f(x)max；若a</(x)對(duì)xw￡>恒成立，

則只需

7

③求最值.

秒殺技巧：能成立(分離參數(shù)法)

用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問(wèn)題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來(lái)，得到一個(gè)

一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；

步驟：

①分類參數(shù)(注意分類參數(shù)時(shí)自變量X的取值范圍是否影響不等式的方向)

②轉(zhuǎn)化：士使得a>/(x)能成立;

使得a</(x)能成立oa</(x)max.

③求最值.

利用導(dǎo)函數(shù)研究恒成立能成立問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練

6.己知函數(shù)/(x)=e*+x-l,g(x)=：/+依-：，其中。>0,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴若/(x)2g(元)在(0,E)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

InX

(2)設(shè)〃(x)=——，在(1)的條件下，討論關(guān)于X的方程力(/(x))=/z(ga))在(0,4?)上解的個(gè)

x

數(shù).

【答案】(l)0<aWe

⑵當(dāng)0<aWe時(shí)，關(guān)于x的方程hgyy=/<§(%))在(0,+8)上有唯一解

【詳解】(1)由題意，ev+x-l>^2+ax-l即―一+「,

2.幺"一

X

令(%)=ex—g%一；,x￡(0,+oo),則=ex-；>0,

所以［可在(。,+8)上單調(diào)遞增，所以《%)=/—即e-—)>0,

2222

故當(dāng)Ovxvl時(shí)，/(x)<0,9(%)單調(diào)遞減，工>1時(shí)，0(x)>O,。(%)單調(diào)遞增，

所以。(幻之O(l)=e,所以0va〈e.

(2)因?yàn)榭v無(wú))=皿，所以〃(無(wú))=匕學(xué)，易求得〃(無(wú))在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單

XX

調(diào)遞減；

①當(dāng)a=e時(shí)，g(x)=；/+ex_；,

且由(1)知，f(x)>g(x),g'(x)=x+e>0，/'(x)=e，+l>0,即/(x),g(x)均單調(diào)遞增；

止匕時(shí)/(I)=g(X)=e，有/?(/(1))=%(g(l)).

8

⑴當(dāng)工￡(0,1)時(shí)，g(x)</(x)</(I)=e,h(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，所以A(/(x))>以g(x))；

(ii)當(dāng)％￡(l,+oo)時(shí)，/O)>g(x)>g(l)=e,/i(x)在(e,+oo)上單調(diào)遞減，所以/z(/(x))v/z(g(%))；

所以〃=e時(shí)，方程有唯一解.

②當(dāng)0<〃<e時(shí)，由(1)矢口/(%)>g(%),令/(x)=e得%=1,

令g(%):已得^尤2+ajc_L-e——Ja2+2e+1—a>1,

⑴當(dāng)x￡(0,1］時(shí),g(x)</(x)<，⑴=e,則灰/(%))>/z(g(x))；

(ii)當(dāng)X￡(l,%o)時(shí)，f(x)>e>g(x),

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知/了(%))單調(diào)遞減,%g。))單調(diào)遞增，

令m(x)=/z(g(x))-/?(/(x)),則m(x)單調(diào)遞增，

又m(I)=/z(g(l))-h(f(I))=h(a)-/z(e)<0,m(x0)=/2(g(x0))-/z(/(x0))=/z(e)-/z(/(x0))>0,

所以存在唯一的無(wú)《I,%),滿足力(F(x))=%(?(%));

(iii)當(dāng)％￡[%o，+oo)時(shí)，/(x)>g(x)>g(x0)=e,貝!J"(/(%))<奴gO));

所以0<〃<e時(shí)，方程有唯一解.

綜合①②可得：

當(dāng)0<〃<e時(shí)，關(guān)于x的方程以了(x))=7z(g(x))在(0,+oo)上有唯一解.

7.設(shè)/(x)=e*，g(x)=Inx,/z(x)=sinx+cosx.

h(x\

⑴求函數(shù)y=xe(0,37i)的單調(diào)區(qū)間和極值;

/(尤)

(2)若關(guān)于無(wú)不等式+〃(x)2"+2在區(qū)間[0,+e)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的值;

(3)若存在直線'=/,其與曲線丫=總和尸平共有3個(gè)不同交點(diǎn)A(%J),Bg),

C(x3,r)(xt<x2<x3),求證：占,馬,三成等比數(shù)列.

11

【答案】⑴增區(qū)間為(兀,2兀)，減區(qū)間為(0,兀)，(271,3K),極小值—極大值尊；

(2)67<2；

(3)證明見(jiàn)解析.

【詳解】(1)依題意，產(chǎn)黑=24，求導(dǎo)得

f(x)e

(cosx-sinx)e%-(sinx+cosx)ex2sinx

h(x\

由y>0,得sinx<0,解得(24一l)7t<x<2M(左eZ),函數(shù)>=力4■在區(qū)間

((2左-1)71,2E),k￡Z上單調(diào)遞增；

9

/、/、h（x\

由y'＜。，得sinx＞0,解得2E＜x＜（2左+1）兀（左eZ）,函數(shù)＞=不（在區(qū)間

（2①,（2左+1）71）,%eZ上單調(diào)遞減；

由y'=0,得sin尤=0,解得x=E（左￡Z）,

h（x\

而光?0,3兀）,函數(shù)y二7六在（兀,2兀）上單調(diào)遞增，在（0,兀），（2兀,3兀）上單調(diào)遞減，

h（%）

所以函數(shù)y=44在（0,3兀）上的遞增區(qū)間為（兀,2兀）;遞減區(qū)間為：（0㈤，（2兀,3兀）,

h（x\1

當(dāng)％二兀時(shí)，函數(shù),二^^取極小值，極小值為---,

/We兀

h（x\1

當(dāng)元=2兀時(shí)，函數(shù)==,/、取極大值,極大值為

/⑴e271

（2）關(guān)于x的不等式+"（x）之"+2在區(qū)間［0,+。）上恒成立,

即：e"+sinx+cos%—改一220在區(qū)間上恒成立，

令方（%）=e*+sinx+cosx-ax-2,求導(dǎo)得尸'（x）=e"+cosx-sinx-a,

令G（x）=尸'（x）=e*+cosx-sinx-a,求導(dǎo)得G'（x）=e*-sinx-cosx,

由（1）知：H=smx；cosx在［0,+⑹上的極大值為強(qiáng),eN*）,又

嚶=1＞1

〃。）?2E

口而〃（X）

在［0,+8）上的最大值為1,即巴W吧W1在［0,+8）上恒成立,

/（X）

于是G'（x）=e*-sinx-cosx20在［0,+8）上恒成立，則y=R'（x）在上單調(diào)遞增,

從而戶（x）±F'（O）=2-a,當(dāng)°W2時(shí)，F(xiàn)（x）＞0,當(dāng)且僅當(dāng)。=2,x=。時(shí)等號(hào)成立，

因此y=F（x）在［0,+向上單調(diào)遞增，從而尸（x）2B（0）=0在［0,+町上恒成立，

則當(dāng)aW2時(shí)，—X）20在［0,+8）上恒成立；

當(dāng)a>2時(shí)，令“(x)=e"—x—l,x>0,貝！J/(x)=e"-1>0,即函數(shù)%(%)在(0,+8)上遞增,

x

u(x)>w(0)=0,即當(dāng)％>0時(shí)，e>x+l9

于是產(chǎn)'(a+1)=e*i+cos(〃+1)-sin(a+l)—a>a+2+&cos(〃+2+；)—a>0

又少（O）=2—Q＜0,貝！J存在;1￡（0M+1）,使得廠'（4）=0,當(dāng)%￡（0,幾）時(shí)，F(xiàn)（x）＜0,

函數(shù)丁=尸⑺在（0"）上單調(diào)遞減,又尸（。）=0,即當(dāng)尤?0,為時(shí)，F(xiàn)（x）＜0,與已知矛盾,

所以aW2.

10

XX/、X，/、1-X

(3)對(duì)于函數(shù)>=冗?=/，令片(》)=/，則k(x)=y

從而當(dāng)x?F,l)時(shí)，T(x)>0,函數(shù)y=E(x)在(9,1)上單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(l,y)時(shí)，4'(x)<0,函數(shù)y=K(x)在(L+S)上單調(diào)遞減，

則當(dāng)X=1時(shí)，y=K(x)取最大值，最大值為耳⑴=：,

對(duì)于函數(shù)>=四=也，令G|(x)=則，貝4G'(x)=上^，

XXXX

從而當(dāng)xe(O,e)時(shí)，G：(尤)>。，函數(shù)丫=5(力在(O,e)上單調(diào)遞增；

當(dāng)尤e(e,+oo)時(shí)，G；(x)<0,函數(shù)y=G(x)在(e,+oo)上單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=e時(shí)，GO取最大值，最大值為G"e)=j

下面先證明：曲線丫=耳(力與y=Gj(x)有唯一交點(diǎn)，

由￡(x)=G[x),得j=_(x>0),即證明方程/_inx=o有唯一實(shí)數(shù)根〃，

因?yàn)楫?dāng)無(wú)?0,1]時(shí)，耳(x)>0,G(x)vo,則曲線》=耳(力與y=d(x)在區(qū)間(0』上沒(méi)有

交點(diǎn)，

無(wú)2

即方程二-hu=0在(0,11上沒(méi)有實(shí)根,

ex

令夕(引=m_lnx(x>0),求導(dǎo)得(p\x)=x(2：x)_1=丑—可工,

eexx?

令力(%)=x2(2-x)-ex,x>1,求導(dǎo)得〃(x)=4x-3x2—ex,

令u(x)=4X-312-ex,x>l,求導(dǎo)得M(x)=4-6x-e",顯然M(x)在(l,+oo)上遞減，

M(%)<v'⑴<0,函數(shù)m'(x)=v(x)在(1,+oo)上遞減，mr(x)<〃⑴=1-ev0,

函數(shù)a(x)在(L+oo)上遞減，m(A：)<m(l)=l-e<0,于是當(dāng)%〉1時(shí)，0(%)<0,

11

函數(shù)y=0(x)在上單調(diào)遞減，由^(1)=->0,0(e)=

ee

從而函數(shù)y=e(x)在(i,e)上存在唯一零點(diǎn)，

則方程0⑴=0在(1,+8)上有唯一實(shí)數(shù)根〃，且〃e(1,e),

由于直線與曲線y=4(x),y=G](x)共有3個(gè)不同交點(diǎn)，則直線y=f必過(guò)點(diǎn)(〃川,

且￡(%1)=4(A2)=G(A2)=G](A3)=r,0<%1<i<x2<e<x3,o<r<-,

e

/、/\Mlnxlnx,,

由耳(不)=G](w),得言=京9=聲9，即耳(不x)=耳(111%2x),

而函數(shù)y=￡(x)在(-00,1)上遞增,^e(o,l),lar2e(0,l),則無(wú)i=g(D,

由耳(%)=G(覆),得看=詈=黑，即G(w)=Gd)，

而函數(shù)y=G"x)在(e,+oo)上遞減，Xje(e,+oo),e*e(e,+oo),則遍ge**②,

由①②得：x/3=6力11^2③，由耳(%2)=。(工2)，得看"=一^，于是有x；=e*liu：2④，

所以由③④得考=玉三,即尤22，%成等比數(shù)列.

8.已知函數(shù)〃x)=xe*—lnx-l.

⑴求函數(shù)/(x)在x=l處的切線方程；

⑵若不等式/(x”依(。eR)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴y=(2e-l)尤-e

⑵(-co』

Ax

【詳解】(1)???/(x)=xe-lnx-l,/(%)=(x+l)e-1,

.■./(l)=e-l，r(l)=2e-l,

\/(x)的圖像在x=l處的切線方程為y-(e-l)=(2e-l)(x-1),即y=(2e—l)x-e.

(2)解法一：由題意得，因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=xex-lnx-l,

故有f(x)>cvc,x>0,等價(jià)轉(zhuǎn)化為雙工一In尤一INox,

即aWe'一工一也在*>0時(shí)恒成立，所以,

%%IX%Jmin

/\*1Inx.z?11-lnxx2^+Inx

令A(yù)/72(%)=e*--------,貝mlilJ7/a)x=eX+=------=----z-,

XXX2XX

令0(x)=Ve”+lnx,則0'(%)=2%六+%2己+]_>0,所以函數(shù)0(%)在％>0時(shí)單調(diào)遞增,

12

e2+In-lnl6j<0,o(l)=e>0,

，九e(g，j，使得05)=。，

.,.當(dāng)0<x</時(shí)，0(%)vO,即”(x)<。,人(無(wú))單調(diào)遞減，當(dāng)I〉/時(shí)，0(%)>0,即

”(%)>0,力(力單調(diào)遞增，

故以％)*="(%)，

nX

由夕宙)=x；e"+ln/=0,=-^0=—In—=eIn—,x0G(0,1),

X0X0玉)玉)

在g(%)=%e*(0vxvl)中,g'(x)=e*+xe*=(x+l)e》,當(dāng)兄c(0,l)時(shí)，gr(x)>0,

函數(shù)g(x)=%e”在(0,1)上單調(diào)遞增,「./=ln1,即％°二—ln/與e"=一,

%不

玉)玉)玉)X。X。玉)

.”〈I,即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(田』.

解法二：因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=xe'—Inx—1,

故有/(%))辦,%>。，等價(jià)轉(zhuǎn)化為：xex-\nx-l>ax(x>0),

構(gòu)造G?)=e'一，一1,

.?.G(，)=e'-1,所以可知G⑺在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

「.G⑺2G(0)=0,即e'N/+l成立，=x+Inx,/.ex+lnx=xex>x+Inx+1,

7z(x)=x+lnx,/zf(x)=l+—>0,/./z(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

又%(：［=：一1<。,"1)=1>。，所以存在為?0,1),使得欠毛)=0,即毛+lnx0=o,

可知xex-Inx—1>x>

當(dāng)時(shí)，可知xe*-lnx-12xNax恒成立，即此時(shí)不等式成立；

當(dāng)。>1時(shí)，又因?yàn)橛萶+ln%=0ox°=-lnx°oe否=—,

x。

所以xoe^-Inx0-1=-lnx0=x0<cuc0,與不等式矛盾；

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-8』.

9.已知函數(shù)/(x)=—,g(x)=Alnx,h(x)=kx-l(k>0,k^l).

⑴求曲線y=〃x)-g(x)在x=i處的切線方程；

13

⑵求使得/(x)>h(x)2g(x)在xe((),+<?)上恒成立的k的最小整數(shù)值.

【答案】(1)(左In左一左)x-y-左Ink+2左=0

(2)上的最小整數(shù)值為2

【詳解】(1)曲線y=/(x)—g(x)=---nx,

k

yr=kxlnk——,

x

當(dāng)光=1時(shí)，Y=k\nk-k,y=k

故切線方程為y-k=GUn左-左)(x-l),整理得：

(kIn左一k)x—y—k\nk+2k=0.

(2)先設(shè)尸(兀)=%(兀)一g(x)=Ax-l-左Inx,F，(x)=k-±=k(x'

XX

當(dāng)x>l時(shí)，F(xiàn)(x)>o,尸(%)在(1,+⑹上單調(diào)遞增，

當(dāng)Ovxvl時(shí)，r(x)<0,方(%)在(0,1)上單調(diào)遞減.

所以歹(1)=左一120,故女>1.

令人=2,有//(%)=/(九)—/z(x)=2"-2x+l,//"(x)=2xln2-2,易知攵(無(wú))在(0,+“)上單

2

調(diào)遞增，令2Aoin2—2=0,有無(wú)o=log2丁丁.

m2

，2、

有21og2高+l=2-ln2+ln(ln2)2_?^[(inZ)2??

ln2—ln2

D29

由六23,In%,故比訶<嗎，

202/

所以2—In------->2-ln-=ln—>0,

力以(ln2)7229，

所以"(x)>0.

故符合條件的k的最小整數(shù)值為2.

10.已知函數(shù)〃x)=e，-ox-1.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求〃x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

⑵若"X)<d在龍e[0,y)上有解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+“)上單調(diào)遞增，函數(shù)〃x)有極小值0,無(wú)極大值

(2)a>e-2

【詳解】(1)當(dāng)。=1時(shí),f(x)=ex-x-\,所以r(x)=e-1

當(dāng)％vO時(shí)/'(x)<0；當(dāng)％>0時(shí)了

14

所以/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)“X)有極小值〃0)=0,無(wú)極大值.

(2)因?yàn)樵冢?,+句上有解，

所以6*-*2_依_1〈0在［0,+8)上有解，

當(dāng)x=0時(shí)，不等式成立，此時(shí)awR,

當(dāng)x>0時(shí)+在(0,+“)上有解，

令"H+j虬什午到

由(1)知x>0時(shí)〃x)>〃0)=0,即，—(x+l)>0,

當(dāng)0<x<l時(shí)g'(x)<0；當(dāng)x>l時(shí)g'(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在。,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=l時(shí)，g(x)1111n=e-2,所以a2e-2,

綜上可知，實(shí)數(shù)<?的取值范圍是a?e-2.

類型3：利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題

秒殺技巧：1、函數(shù)的零點(diǎn)

(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)y=/(x),把使/(x)=o的實(shí)數(shù)X叫做函數(shù)y=/(x)的

零點(diǎn).

(2)三個(gè)等價(jià)關(guān)系

方程/(%)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)o函數(shù)y=/(x)

有零點(diǎn).

2、函數(shù)零點(diǎn)的判定

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有

/(?)-/(Z?)<0,那么函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(。,6)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,b),使得

/(c)=0,這個(gè)c也就是/(幻=0的根.我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理.

注意：?jiǎn)握{(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)

3、利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法

(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫(huà)出函數(shù)的圖象，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想

分析問(wèn)題(畫(huà)草圖時(shí)注意有時(shí)候需使用極限).

(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

4、利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法

15

(1)分離參數(shù)(a=g(x))后,將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=g(x)的值域(最值)問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為直線y=a

與y=g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；

(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式求解；

(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.

利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練

11.已知函數(shù)/(x)=A77nx-a,其中a為常數(shù)，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求曲線y=/(x)在x=l處的切線方程；

⑵當(dāng)。>1時(shí)，問(wèn)/'(X)有幾個(gè)零點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)>=。

⑵三個(gè)

【詳解】(1)解：當(dāng)4=1時(shí)，〃x)=三一lnx-1,貝ljf(l)=o,

ex

廣⑺=^^二，則尸(i)=。，

ex

故當(dāng)。=1時(shí)，曲線y=在x=l處的切線方程為y=o.

22

(2)解：令〃%)=0,可得?一ln%-Q=0o^7=ln%+a=ln(eJx),

即X=ln(e“x),即2=業(yè)3,即皿=業(yè)3,

令°U)=￥(f>0),則上述方程轉(zhuǎn)化為9(叫=9(e"x)(*)

f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程(*)的根的個(gè)數(shù).

則”⑺令0'(。=?？傻胒=e,歹!J表如下：

t(O,e)e(e,+8)

+0—

增極大減

所以，r=e為函數(shù)夕⑺的唯一極大值點(diǎn)，且0⑺=e(e)=：,

令/1(力=0(當(dāng)一°1"％),當(dāng)a>l時(shí)，e">e,eax>ex,

①當(dāng)%>1時(shí)，ex>e,eax>ex>e,且函數(shù)在(e,+8)上單調(diào)遞減,

為解方程。?)=0(門)，只需解方程e-e。％,

16

x

令e“=e。％,其中x>l,即一e=e"，

x

令w(x)=f，其中無(wú)>o，則加(x)=e*(：-1),令加⑺=0,可得x=l,列表如下:

XX

(0,1)1(1,+℃)

-0+

m(x)減極小增

所以，函數(shù)加(無(wú))在。，內(nèi))上單調(diào)遞增，則"z(x)1nhi=〃4l)=e<e",故加x)=—2eoe*2ex,

eaea2a

機(jī)(l)=e〈e",m(e")=—>—>—=e",

''e"e"e"

根據(jù)零點(diǎn)存在定理，存在唯一的小41,y),使得機(jī)(無(wú)。)=—=e",即e』=eN,,

所以，o(e*)=°(e%),故方程(*)在(1,+8)上有唯一解％；

②當(dāng)x=l時(shí)，e(e)=“e")不成立，故x=l不是方程(*)的解；

③當(dāng)0<x<l時(shí).

(i)當(dāng)"擊寸，e，<e,ek>e,所以，°(e')單調(diào)遞增，0(e"x)單調(diào)遞減,

故可￡)=夕(巧-0(白)在擊上單調(diào)遞增，

因?yàn)?1)=9償)一夕［")=1_0卜")>0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)為(%)在擊,1J上存在唯一零點(diǎn)；

(ii)當(dāng)時(shí)，e*<e,eax<e,而。⑺在(0,e)上單調(diào)遞增,

A

為解方程)=°(e"x),只需解方程e=e"x,

令g(x)=eX-e"x,其中xe/j)

因?yàn)間M)=e=e〃<0,所以，函數(shù)g(x)在10,擊)上單調(diào)遞減，

17

因?yàn)間U=e\<0,g(0)=l>0,

故存在唯一的使得gG)=O,即d=/玉，即°(爐)="(4)，

故方程0(e3)=°(e"x)在區(qū)間(0,擊]上也存在唯一解“

綜上所述，當(dāng)a>l時(shí)，方程9(e1=We"x)存在三個(gè)解，即函數(shù)/(力有三個(gè)零點(diǎn).

12.已知函數(shù)/(x)=e"7-冰之，eR.

(I)若f(x)的圖象在X=1處的切線與直線y=-gx+2垂直，求。的值及切線方程；

⑵若a>0,函數(shù)g(x)=/(元)+orln(依)在其定義域上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴a=-l,y=3x-l

⑵[1,+助

【詳解】(1)解：⑴f'(x)=ex-1-2ax,/,(l)=l-2a,

尤)的圖象在x=l處的切線與直線y=-；x+2垂直，

"")=1-2a=3,解得a=T,

A/(x)=eI-1+x2,/(I)=2,

故所求切線方程為y-2=3(x-l),即y=3x-l.

(2)(2)由a>0,ax>0,可知其定義域?yàn)?0,+少)，令g(x)=0,貝!1一g?+依山(依)=0.

x-1x-1

1n

又依>0,所以----x+ln(ax)=ln(gi)-x+In(ax)=e'"gz=0.

令f=x-ln(ar),即可轉(zhuǎn)化為e'--f=0有解.

設(shè)/z?)=eT—t,則由//(r)=ei—1<0可得r<l,〃。)>0可得f>l

則h(t)在te(^,l)上單調(diào)遞減，在re。,”)上單調(diào)遞增.

又"(1)=0,所以％)=尸一有唯一的零點(diǎn)t=L

若g(x)在區(qū)間(0,+8)上存在零點(diǎn)，

貝i]l=x-ln(ar)在(0,+s)上有解，整理得l+lna=x-lnx.

設(shè)/(%)=九—lux,

由r(x)=l>0得X>1,由/'(x)<0得0<%<1

所以/(%)在九￡(。,1)上單調(diào)遞減，在X￡(1,-+W)上單調(diào)遞增，

18

又當(dāng)x->0+時(shí)，/(x)-y,則/(x))/(l)=l,

所以1+lnaNl,得aZl,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是[1,+8).

Inx

13.己知函數(shù)/(元)=--(a>0).

ax+\

⑴當(dāng)。=，時(shí)，求"尤)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)y=/(尤)+，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求。的取值范圍.

ax

【答案】(IV(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e2),單調(diào)遞減區(qū)間為12,+8)

⑵—+8)

【詳解】⑴由題意,知“X)的定義域?yàn)?0,+8),