高考數(shù)學(xué)高考知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)第一章-集合

(―)集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無(wú)限集；空集、全集；符號(hào)的使

用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無(wú)序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為AqA；

②空集是任何集合的子集，記為。qA；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果AqB,同時(shí)BqA，則/=8.

如果5cC,那

［注］:①1｛整數(shù)｝(V)Z=｛全體整數(shù)｝(X)

②已知集合S中2的補(bǔ)集是一個(gè)有限集則集合A也是有限集.(XX例：

S=N;A=N+，則QA=｛0｝)

③空集的補(bǔ)集是全集.

④若集合/二集合8,則CM=0、QB=0cs(CA§)=。(注：CA8二

0)?

3.①{(x))\xy=G'XELR'j/W用坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.

②｛（X，y）|以<0，xe/??｝二、四象限的點(diǎn)集.

③｛（x，y）\xy>0，xGR，y^R\—、二象限的點(diǎn)集.

［注］:①對(duì)方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.

例：f+）'=3解的集合｛（2.1）｝.

②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是，.（例:A=｛（x，M|y=x+l｝B=例"二必+1｝則

Ar\8=0）

4.①/7個(gè)元素的子集有2〃個(gè).②/7個(gè)元素的真子集有2〃-l個(gè).③/7個(gè)元

素的非空真子集有2"-2個(gè).

5.⑴①一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題=逆命題.

②一個(gè)命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題=逆否命題.

例：①若”+bH5,則〃工2或6+3應(yīng)是真命題.

解：逆否：2且b=3,則，成立，所以此命題為真.

解：逆否：x-f-y=3^x=1或2.

d且"2A>x+yH?,故x+y力3是XHI且尸2的既不是充分,又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例：若x>5,=XA5或XY2.

4.集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).

5.主要性質(zhì)和運(yùn)算律

(1)包含關(guān)系：

AtA①uAAqU4AuU,

A=B,BaCnAaCACBcA,An5q8;AUB=A,AU5?B

(2)等價(jià)關(guān)系：A=B=An3=AoAUB=5o/AUB=U

(3)集合的運(yùn)算律：

交換律：Ar)8=8nA;AU8=8UA

結(jié)合律：(AnB)nc=An(8nc)；(AUB)uc=AU(8uc)

分酉己律:.An(BUc)=(AnB)u(AnC)；AU(Bnc)=MU⑶n(Auo

0-1律：①「人二中,①U4=AUP|4=AULM=U

等帚律：ADA=A,AUA=A

求補(bǔ)律：AACuA=(pAUCuA=UQU=(pQ(p二U

反演律：Cu(AGB)=(CuA)U(CuB)Q(AUB)二(CuA)n(QB)

6.有限集的元素個(gè)數(shù)

定義：有限集A的元素的個(gè)數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card(A)規(guī)定

card(cp)=0.

基本公式：

(3)card(uA)=card(U)-card(A)

(二)含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根軸法(零點(diǎn)分段法)

①將不等式化為比僅=1)僅-2)...僅r(11)>0(<0)形式，并將各因式X的系數(shù)

化〃+〃；(為了統(tǒng)一方便)

②求根，并在數(shù)軸上表示出來(lái)；

③由右上方穿線，經(jīng)過(guò)數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)(為什么？)；

④若不等式(X的系數(shù)化〃+〃后)是">0〃，則找〃線〃在x軸上方的

區(qū)間；若不等式是〃<0〃，則找〃線”在x軸下方的區(qū)間.

(自右向左正負(fù)相間)

則不等式為了"+4尸+//一2+.?.+%>O(<O)(tzo>O)的解可以根據(jù)各區(qū)間的

符號(hào)確定.

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.

A>0A=0A<0

二次函數(shù)

y=ax2+bx+cIu

(a>0)的圖象H—x

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

cue2+bx+c=Ob無(wú)實(shí)根

Xx(x<x)Xt=x=---

(4>0的根l92l222a

cue+bx+c>0｛小

m>o)的解集2aR

ax2+Z?x+c<0

{耳歷<x<x2}0

(a>0)的解集0

2.分式不等式的解法

(1)標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為歿＞0(或四＜0);故之0(或公W0)的

g(x)g(x)g(x)g(x)

形式，

(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)4?＞0og)g(x)＞0；織20=/程(少。

g(x)g(x)[g(R*U

3.含絕對(duì)值不等式的解法

(1)公式法:麻+4＜仁與麻+可＞以00)型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法〃分類討論.

(3)幾何法：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)

(1)根的〃零分布"：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

(2)根的〃非零分布〃：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解

2.

(三)簡(jiǎn)易邏輯

1、命題的定義：可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題:

〃或〃、〃且〃、〃非〃這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的

命題是簡(jiǎn)單命題；由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞〃或〃、〃且"、〃非〃構(gòu)成的

命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：p或q(記作"pvq〃)；P且q(記作"p^q")；

非p(記作’，q〃)。

3、〃或〃、〃且〃、〃非〃的真值判斷

(1)〃非p〃形式復(fù)合命題的真假與F的真

假相反；

(2)〃p且q〃形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真.其他情況時(shí)為假；

(3)〃p或q〃形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真?

4、四種命題的形式:

原命題：若P則q;逆命題：若q則p;

否命題：若1P則1q；逆否命題：若1q則1p。

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；

(3)交換原命題的條件和結(jié)論,并且同時(shí)否定?所得的命題是逆否命題?

5、四種命題之間的相互父系：

一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：(原命題=逆否

命題)

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真?它的色命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知pnq則我們說(shuō)，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若p=q且q=>p,則稱p是q的充要條件?記為p=q.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)(假設(shè))，引出(與已知、公理、定理…)

矛盾，從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數(shù)學(xué)第二章-函數(shù)

(一)映射與函數(shù)

1.映射與--映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起決定

作用的要素，因?yàn)檫@二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域

和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).

3.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=/(%)(xwA)的值域是C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把

x表示出?得到x=e(y).若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值?通過(guò)x=°(y)，x在

A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，則，x=°(y)就表示y是自變量，x是自變量y

的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=e(y)(yeC)叫做函數(shù)A)的反函數(shù)?記作

“⑶),習(xí)慣上改寫成y=(x)

(二)函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值xlzx2,

⑴若當(dāng)X1<X2時(shí)，都有f(Xi)<f(X2),則說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當(dāng)Xi<X2時(shí)，都有f(Xi)>f(X2),則說(shuō)f(X)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)?則就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一

區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性.這一區(qū)間叫做函數(shù)y二f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說(shuō)

函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

7.奇函數(shù),偶函數(shù)：

(1)偶函數(shù)：/(-*?)=f(x)

設(shè)(a,b)為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則(3)也是圖象上一點(diǎn).

偶函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于“V軸對(duì)稱?例如：y=在JT)上不是偶函數(shù).

②滿足"一)=,-或3?若即。時(shí)?令.

⑵奇函數(shù):/(-X)=-/(X)

設(shè)(a,b)為奇函數(shù)上一點(diǎn)?則(…)也是圖象上一點(diǎn).

奇國(guó)數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?例如：>，=/在［一］)上不是奇函數(shù).

②滿足〃-力=-/(幻*或，(T)+/(X)=O，若.(X)=0時(shí)，%~=-1.

f(-x)

8.對(duì)稱變換：①y=f(x)「軸對(duì)稱>>，=/(7)

②》二尸(X)陽(yáng)硬.>y=_f(x)

③y=/'(X)原-點(diǎn):對(duì)稱>y=_/(_x)

9.判斷強(qiáng)數(shù)單強(qiáng)性4定%)作養(yǎng)注):對(duì)帶根號(hào)的一定要分子有理化?例

2212

f(xl)-f(x2)=yjx］+b-yjxl+b=-__；.2

如-yjXx+廬+Jx；+02

在進(jìn)行討論.

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

例如：已知函數(shù)外x)=1+上的定義域?yàn)?，函數(shù)/［〃X)］的定義域

1-%

是B，灰藤合力與集合8之間的關(guān)系是.

解：f(x)的值域是f(y(x))的定義域B"(x)的值域WR,故BeR，而/={X|XH1},

故8=>4.

11.常用變換：

證：/。一切=續(xù)=〃幻=/［。-丁)+川=/。-丁)/(5)

f(x)

證:/(x)=/(-y)=/(-)+/(v)

yy

12.⑴熟悉常用函數(shù)圖象：

指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞。且。w1)的圖象和性質(zhì)

a>l0<a<l

圖

_________:

象

(1)定義域：R

性(2)值域：(0，+8)

質(zhì)(3)過(guò)定點(diǎn)(0，1)，即x=0時(shí)?y=l

⑷x>0時(shí)?y>l;x<0時(shí)，(4)x>0時(shí),0<y<l;x<0時(shí)，y>l.

0<y<l

(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)片/。繞v的圖象和性質(zhì):

對(duì)數(shù)運(yùn)算:

1c宮八，-=legoM+legeZ2

log"=log。M—log”z

log々M(士7VZ)!2>

loa4WM=—loaaM

n.

a1"。z=z

火應(yīng)公式；1。三々Z=1og，>Z

lcg方a

4隹log〃-lo名辦q-log。a=1

=>log/a2■log02a??….lo名?！璦,,=log/

(以上MA0,NA0,aA0,awl,bA0,bwl,c"0,cwl,a1,a2..aAO且wl)

注Q):當(dāng)&0Y0時(shí)?log(a?/>)=log(-a)+log(-Z>).

(2):當(dāng)M〉o時(shí)，取"+",當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且MYO時(shí)，M"AO，而MYO，故

取〃一〃.

例如：logaX'ZlogaXTQlogM中X>0而log*中*￡R).

⑵y=a"()與y=logax互為反函數(shù).

當(dāng)“1時(shí)，y=log“x的a值越大'越靠近x軸；當(dāng)OYGYI時(shí),則相反.

(四)方法總結(jié)

(1)定義域：(0，+8)

(2)值域：R

性(3)過(guò)點(diǎn)(1，0)，即當(dāng)x=l時(shí)，y=0

質(zhì)(4)X￡(0,1)時(shí)yV。xe(0,1)時(shí)y>0

XG(l,+oo)0Tfy〉。x￡(l,+oo)時(shí)y<°

(5)在(0，+8)上是增函數(shù)在(0，+8)上是減函數(shù)

⑴對(duì)數(shù)運(yùn)算：

(以上MA0,NA0,aA0,awl,"0,bwl,cA0,cHl,a1,a2...anAO且工1)

注(1):當(dāng)a,bYO時(shí)，log(?i>)=log(-?)+log(-Z>).

⑵：當(dāng)MAO時(shí),取〃+"，當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且MYO時(shí),A/">0,而MYO,故

取〃一〃.

例如：log。/W21ogaX?(21ogaX中X>0而log”/中XWR).

(2)y=ax(a>0,aHl)與y=k)gqx互為反函數(shù).

當(dāng)axl時(shí),y=log“x的〃值越大,越靠近工軸；當(dāng)OYOYI時(shí),則相反.

(2).函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

(3).反函數(shù)的求法：先解x,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值

域).

(4).函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求

解即可求得函數(shù)的定義域.常涉及到的依據(jù)為①分母不為0；②偶次根式中被

開方數(shù)不小于0；③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于零且不等于1;④零指數(shù)累

的底數(shù)不等于零；⑤實(shí)際問題要考慮實(shí)際意義等.

(5).函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②〃判別式法〃；③反函數(shù)

法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

⑹.單調(diào)性的判定法①設(shè)凡工是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量且X<x2;

②判定f(xj與f(xj的大??；③作差比較或作商比較.

(7).奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?再計(jì)算f(-x)與

f(x)之間的關(guān)系:①f(-x)=f(x)為偶函數(shù);f(-x)=-f(x)為奇函數(shù);②f(-x)-f(x)=O

為偶;f(x)+f(-x)=O為奇;③f(-x)/f(x)=l是偶；f(x)-rf(-x)=-l為奇函數(shù).

(8).圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式?列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；②

利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對(duì)稱

性描繪函數(shù)圖象.

高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)列

等差數(shù)列等比數(shù)列

冊(cè)+

定義1-4=d皿=貝#0)

?n-m

遞推%=%+〃；°n=am-n+mdaa

?！?々”-聞，n=mQ

公式

a=%

通項(xiàng)n=為夕"”(％國(guó)工0)

公式

從=-”-&+4”辦(n,keN“、》kA。)

中項(xiàng)G=±ylan_kan+k(an_kan+kA0)

2

前"項(xiàng)S*=—(ai+an)叫(4=1)

s“=<a.111ax-anq

和S”一叫+2d]_q\_q

重要

(肛〃

am+an=ap+p,q€N”,am-an=apqN\m+n=p+q)

性質(zhì)

m+n-p+q)

1.⑴等差、等比數(shù)列：

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義｛〃“｝為A-0=。“+]-?！?d(常數(shù))

｛冊(cè)｝為6?P<=>——=式常數(shù))

an

通項(xiàng)%=%+(n-l)d=4+(n-k)4=

公式

d=dn+a1-d

+%)n(n-1),

求和s”=——!-----=na+------d叫(q=1)

n21x2

=齊+(丹-9=(#1)

公式\-q\-q

中項(xiàng)A=*推廣：G2=々…推廣：a；=a_xa

2nmll+m

公式

2%=an_m+an+m

性

質(zhì)1若m+n=p+q則若m+n=p+q-則冊(cè)勺=?

=34

2若化｝成A.P（其中）若伏〃｝成等比數(shù)列（其中3EN）>

則｛%｝也為A.P。則｛次｝成等比數(shù)歹」。

3.%，52〃一力，$3”一$2“成等差數(shù)“成等比數(shù)列。

列。

4/=4.,q〃T"=&(mw〃)

n-\m-n%4”

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：

②2%=冊(cè)+]+?！╛]（〃之2）

③4“=kn+b[n,k為常數(shù)）.

（3）看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

注①：i.b=4^，是8、b、c成等比的雙非條件?即。=而=*3、b、c等

比數(shù)列.

ii.b=&（">0）一為d、b、。等比數(shù)列的充分不必要.

iii.〃=土疝-為a、6、c等比數(shù)列的必要不充分.

iv.且OCA?！鰹閍、b、c等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)a、。不一定有等比中項(xiàng)，除非有g(shù)>0，則等比中項(xiàng)一

定有兩個(gè).

③=cq"（c,q為非零常數(shù)）.

④正數(shù)列｛冊(cè)｝成等比的充要條件是數(shù)列｛砥/〃｝（XA1）成等比數(shù)列.

⑷數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和S”與通項(xiàng)冊(cè)的關(guān)系：%=忙”（I）

［注］:①a〃=a］+(〃-l)6/=獻(xiàn)+(al-d)(d可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條

件(即常數(shù)列也是等差數(shù)列)一若"不為0，則是等差數(shù)列充分條件).

②等差｛明｝前n項(xiàng)和S/AM+B/USM+lai-S｝—?可以為零也可不為零1

為等差的充要條件-若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若〃不為零?則是

等差數(shù)列的充分條件.

③非軍常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.(不是非零.即不可能

有等比數(shù)列)

2.①等差數(shù)列依次每攵項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的么倍

sk,s2k-skis3k-s2k...,

S氣a

②若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2〃(〃”+)，則S偶-S奇=〃//=/

。偶un+\

③若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2/1-l(〃wN+)，則S2,I=(2〃-1'〃?且S奇-S偶=冊(cè)-當(dāng).=」_

S弼〃-1

3.常用公式：①1+2+3…+〃=嗎?

［注］:熟悉常用通項(xiàng)：9，99，999，…=%=IOJ;5，55，

555,=—(ion-1).

4.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問題.例如,第一年產(chǎn)量為〃,年增長(zhǎng)率

為一則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為1+「.其中第〃年產(chǎn)量為項(xiàng)+「)2，且過(guò)

〃年后總產(chǎn)量為：

⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存〃元，利息

為一每月利息按復(fù)利計(jì)算?則每月的〃元過(guò)〃個(gè)月后便成為武+「）”元.因此?

第二年年初可存款：

⑶分期付款應(yīng)用題：〃為分期付款方式貸款為8元；。為。個(gè)月將款全

部付清；「為年利率.

5.數(shù)列常見的幾種形式：

⑴為+2=叫用+的（P、g為二階常數(shù)）-用特證根方法求解.

具體步驟：①寫出特征方程/=&+夕（/對(duì)應(yīng)冊(cè).2，X對(duì)應(yīng)心M），并設(shè)二

根司,“2②若X產(chǎn)“2可設(shè)a”.NM；+C2K，若q=%2可設(shè)；③由初始值41，〃2確

定C]42?

（2）“尸'小+「（P、，為常數(shù)）一用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代；

③消去常數(shù)〃轉(zhuǎn)化為冊(cè)+2=&〃.|+州〃的形式,再用特征根方法求明；@an=c^c2P^

（公式法），C],°2由確定?

①轉(zhuǎn)化等差，等比:a?+i=P{an+x）=>an^=Pa?+Px-x^>x=—.

P—1

②選代法：4”=&i+r=P（&A2+r）+r=???=?！?（S+喜）21-喜=0+1/1-工

③用特征方程求解：相減,ndn+|-a,,=Pa,-PaH_i=>all+l=（.P+\）a^-Pa,,^.

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：C]=,c2=a]+,a”=c?+（*]=（〃[+）Pn?+?

i-PP—\P—11—P

6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前,J頁(yè)和為s“?在dYO時(shí)?有最大值.如何確定使S”取最大

值時(shí)的〃值，有兩種方法：

一是求使冊(cè)=0.%+L。，成立的〃值；二是由5〃=12_0_多〃利用二次函數(shù)

的性質(zhì)求〃的值.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求

此數(shù)列前〃項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如：

1—,3—,...（2/2—1）—，…

242”

⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)

就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)?公差是兩個(gè)數(shù)列公差小刈的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：（1）定義法:對(duì)于n

22的任意自然數(shù)，驗(yàn)證%-《“（&）為同一常數(shù)。（2）通項(xiàng)公式法。⑶中項(xiàng)公式

%

€

法:驗(yàn)證2%+]=an+?！?2（。；+1=氏/+2）〃N都成立。

3.在等差數(shù)列｛%｝中，有關(guān)Sn的最值問題：⑴當(dāng)外>0,d<0時(shí)，滿足

，2°的項(xiàng)數(shù)m使得％取最大值.⑵當(dāng)/<0,d>0時(shí)滿足收4°的項(xiàng)數(shù)m

4+iK°2°

使得外取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

（三）、數(shù)列求和的常月方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2.裂項(xiàng)相消法:適用于其中｛牝｝是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列,

c為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

3.錯(cuò)位相減法:適用于匕仇｝其中｛%｝是等差數(shù)列，｛4｝是各項(xiàng)不為0

的等比數(shù)列。

4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論

l):l+2+3+...+n=

2

2)l+3+5+...+(2n-l)=?2

「］I2

3)l3+23+???+w3=-n(n+l)

22

4)I+2+3?+…+/=ln(n+l)(2n+l)

6

5)-^=1—J--

n(n+1)n〃+ln(n+2)2nn+2

6)-=(p<q)

pqq-ppq

高中數(shù)學(xué)第四章■三角函數(shù)

1.①與a(0°<?<360°)終邊相同的角的集合(角Q與角夕的終邊重合)：

{⑶夕=&x36(r+aMcz}

②終邊在X軸上的角的集合：物|尸=Axl8O\&wz}

③終邊在y軸上的角的箕合：物|Q=左X18O，+9O。/ez}

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：{?|夕=&x9(TMez}

⑤終邊在片X軸上的角的集合：{/?|/?=^xl80°+45°,A:ez)

⑥終邊在y=T軸上的角的集合:1R="18(T-45FWZ}

⑦若角a與角夕的終邊關(guān)于X軸對(duì)稱，則角a與角夕的關(guān)系：a=360Z-2

⑧若角夕與角/?的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱則角°與角6的關(guān)系：a=360%+1800-/7

⑨若角『與角〃的終邊在一條直線上，則角0與角〃的關(guān)系：a=180N+Q

⑩角a與角〃的終邊互相垂直,則角a與角夕的關(guān)系：a=360Z+￡±90。

2.角度與弧度的互換關(guān)系：360。=21180°=汗1°=0.01745

1二57.30。=57。18'

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：lrad=18o°?57.300=57018z-1°=JL

Jt180

*0.01745（rad）

3、弧長(zhǎng)公式：/=|a|.r.扇形面積公式:與形="=5&/

4、三角函數(shù)：設(shè)a是一個(gè)任意角，在「的y.a的終邊終邊上任

?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）P與原點(diǎn)的距/P（x，y）離為r，則

tana=-/

esca=—

5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：（一全二正弦，三切四余弦）

6、三角函數(shù)線

正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT.

7.三角函數(shù)的定義域：

三角函數(shù)定義域

{x|X€/?!

/（x）=sinx

{x\xeR}

/（A-）=COS%

/u）=tan%x|XGR母/Z/r+g不，&wZ1

{X|XGRSJC工&肛keZ}

/（x）=coty

f（x）=secxx|XG/?Jlv豐k冗+:n、keZ1

{x|xGR且x工knyk^z}

f（x）=cscx

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：皿lana史絲=coia

cosasina

9、誘導(dǎo)公式：

〃奇變偶不變，符號(hào)看象限〃

三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

公式組二公式組三

公式組四公式組五公式組六

（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

公式組三h公式組四

sinacosfi=—[sin（a4-^）+sin（a-/?）J

公式組五cosasinfl=[sin（a4-/7）-sin（a-/?）]

10.正弦、崇潭s企撲噪鉗菌蜘國(guó)象的性質(zhì):

sinasin8=一勾€（7伉+\）-cos（a-

2y=Asin（6比+8）

y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx

（A、。＞0）

/{x|xeRKxw￡n+；兀，￡ez}

定義RR{x|xwRELv*kn,keZ}R

域

[-1,+U

值域RR[-A4]

2萬(wàn)2乃冗n2乃

周期

CD

性

奇偶奇函數(shù)偶函奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)°HO,非奇非

性數(shù)偶

當(dāng)限0,奇函數(shù)

3-氏，|一,+々乃，]+左乃）

[~~+2k7T,的r,（k+1｝）上為減“兀

2府]2k九-------(p

-----(-0-——(A),

y+2U]；上為上為增函數(shù)函數(shù)（AeZ）

…1

2k冗+一冗一(p

上為增函增函數(shù)（keZ）_-----C-D-----(T)」

[2k7T,

數(shù)；上為增函數(shù)；

（2攵+1%]

?兀

[—F2k),上為減2k丸+----(p

----2—(A),

;上0)

y+2^1函數(shù)“3

2k北+—%—0

-----2-----(-A)

■0

單調(diào)為減函數(shù)（kwZ

上為減函數(shù)

性(kwZ)）

(k&Z)

注忌：①），=-5而工與y=sinx的單調(diào)性正好相反；y=-cosx與y=8sx的單調(diào)性

也同樣相反.一般地，若廣?。┰凇傲ι线f增（減）則），=-心）在4句上遞減（增）.

②、=卜出耳與y=|cosM的周期是;r.

③y=sin(6K+>)或y=cos(5+e)(0工0)的周期7

taU的周期為2乃（1=土=1=2兀,如圖,翻折無(wú)效）.

2同

④y=sin（oir+/）的對(duì)稱軸方程是x=2/+g（keZ），對(duì)稱中心乂k江,0）；y=cos（3+e）

1

的對(duì)稱軸方程是x=A/r（keZ）,對(duì)稱中心（k7C））；y=tan3r+⑼的對(duì)稱中

2，

心（絲0）.

2

⑤當(dāng)tana，tanA=l,a+夕=24+］（左wZ）；tana,tan/7=-1,a-p=k^+^（keZ）.

⑥），=85%與了=$山［％+工+2〃4）是同一函數(shù),而y=（次+8）是偶函數(shù),則

⑦函數(shù)），=lanx在R上為增函數(shù).（x）［只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若

在整個(gè)定義域,y=tanx為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的］.

⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是/（幻具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的

兩個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇偶都要）?二是滿足奇偶性條件，

偶函數(shù)：/（-x）=/（x）'奇函數(shù):f（-x）=-f（x））

奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：y=tanx是奇函數(shù)，y=tan（x+；幻是非

奇非偶.（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若Owx的定義域，則/⑴一定有八0）=0.（0任x的定義域,

則無(wú)此性質(zhì)）

⑨），=5明不是周期函數(shù)；尸際.為周期函數(shù)（T二兀）；

y=co期是周期函數(shù)（如圖）；y=|cOsM為周期函或P（T=7T）；

LCOS2"，的周期為江（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例

2

如：

⑩y=acosa+bsinfi=-Ja2+b2sin（a+^）+cos^=—有y］a2+b2>|y|.

4、反三角函數(shù)：

函數(shù)片sinx，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作y=arcsinx，它

的定義域是［-1,1］'值域是一日?

函數(shù)y二cosx，（xe［0，）的反應(yīng)函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y-

arccos%'它的定義域是［-1，1］，值域是［0?zr］

函數(shù)片tanx?卜《」可的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y=arctan%.它

的定義域是（-8，+8），值域是「空）?

函數(shù)y-ctgx{xe（0⑺］的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)記作片arcctgx，

它的定義域是（-8，+8），值域是（0?7T）-

高中數(shù)學(xué)第五章-平面向量

Q）向量的基本要素：大小和方向.（2）向量的表示：幾何表示法AB；字

母表示：a;

坐標(biāo)表示法a-xiyj-（%-y）.

（3）向量的長(zhǎng)度：即向量的大小，記作|a|.

（4）特殊的向量：零向量a-0=|a|=0.

單位向量比為單位向量o|a0|=1.

（5）相等的向量：大小相等，方向相同（x-yi）=（、2，卜2）=1~=/

IJi=%

(6)相反向量:a--bob--a<=>a+b-0

(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作aw

Zz平行向量也稱為共線向量.

3.向量的運(yùn)算

運(yùn)算類

幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)

型

a+h=b+a

向量的1.平行四邊形法則

0+/?=(%+%,,+%)(a+b)+c=a+(b+c)

加法2.三角形法則

AB+~BC=AC

向量的a-b=a+(-b)

三角形法則a-b=(xl-x2,yl-y2)

減法AB=-BA,OB-dA=AB

1.貓是一個(gè)向量,滿

數(shù)2(〃。)=(4/)〃

乘(2+〃)a=Xa+RCI

2.2>0時(shí),2〃與〃同向;Aa=(Ax,Ay)

向4(a+〃)=Aa+A,b

2<0時(shí)，痛與4異向；

量allb<^>a=Xb

2=0時(shí),2。=0.

向

。。是一個(gè)數(shù)a?b=b?a

量?

(Aa)?b=a?(")=Qb)

。=減。=時(shí),"?

的1.0

(a+b)^c=a?c+b^c

。力

數(shù)?=0.

a=\a即4=+y2

)a*0且人*6t,

量

a?b=la\\b\cos(a,b)\(fb\<\a\\h\

積

4.重要定理、公式

Q)平面向量基本定理

芻?會(huì)是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則，對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量，

有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)

%，使a=Aiei+A2^

(2)兩個(gè)向量平行的充要條件

all均%-x2yi=O.

(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件

a±為至+%%=0.

(4)線段的定比分點(diǎn)公式

設(shè)點(diǎn)P分有向線段胭所成的比為/I，即胞=/1麗?則

OP^—OP+—0P2(線段的定比分點(diǎn)的向量公式)

1+21+A

x,IAx^

x=----

<1+2(線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式)

、，二y+儀

-1+2?

當(dāng)/1=1時(shí)，得中點(diǎn)公式：

X.+X