第一章統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)知識1

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)知識（一）算術(shù)平均（arithmeticmean）就是我們?nèi)粘Ｉ钪兴褂玫钠胀ǖ钠骄鶖?shù)，其定義式如下：式中，讀作X-ba，Σ讀作sigma，是希臘字母，與羅馬字母的S相當(dāng)，是求和計(jì)算的符號。例題1-1表1-1表示的是2005年7個(gè)發(fā)達(dá)國家同亞洲新興工業(yè)國（地區(qū)）（NIES）的實(shí)際GDP增長率和失業(yè)率。求各組中，（1）和（2）的算術(shù)平均數(shù)。國家（地區(qū)）（1）實(shí)際GDP增長率（%）（2）失業(yè)率（%）7個(gè)發(fā)達(dá)國家日本美國英國德國法國意大利加拿大2.63.21.91.01.20.12.94.45.12.711.79.97.76.8亞洲新興工業(yè)國家（地區(qū)）韓國中國臺灣中國香港新加坡中國大陸4.04.17.96.49.93.74.15.63.44.2表1-1實(shí)際GDP增長率和失業(yè)率（2005年）解答(1)（1）實(shí)際GDP增長率7個(gè)發(fā)達(dá)國家亞洲新興工業(yè)國家（地區(qū)）解答（2）（2）失業(yè)率7個(gè)發(fā)達(dá)國家亞洲新興工業(yè)國家（地區(qū)）加權(quán)算術(shù)平均（weightedarithmeticmean）是將各數(shù)據(jù)乘以反映其重要性的權(quán)數(shù)（w）,再求平均的方法。其定義式如下：這里，權(quán)數(shù)的決定非常重要。例題1-2表1-2顯示了2006年3月日本關(guān)東1都6縣女高中生的大學(xué)錄取率和高中畢業(yè)人數(shù)。（1）求女高中生大學(xué)錄取率的算術(shù)平均數(shù)；（2）求女高中生大學(xué)錄取率的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。都縣女高中生的大學(xué)錄取率（%）女高中生的畢業(yè)人數(shù)（百人）茨城櫪木群馬埼玉千葉東京神奈川47.150.448.050.348.062.154.614510592273248519316表1-2女高中生的大學(xué)錄取率和畢業(yè)人數(shù)（2006.3）解答(2)將女高中生畢業(yè)人數(shù)作為加權(quán)平均的權(quán)數(shù)(1)由此可見，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)（54%）比算術(shù)平均數(shù)（51.5%）高2.5%。中位數(shù)（median）和眾數(shù)（mode）中位數(shù)（median）是指當(dāng)數(shù)據(jù)按大小順序排列時(shí)，恰好屬于中間位置的數(shù)值；當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，取中間兩個(gè)數(shù)值的算術(shù)平值；簡稱Me。眾數(shù)（mode）指的是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，也叫高頻直，與中位數(shù)一樣，它不受極端值的影響。但是，如果數(shù)據(jù)中沒有集中的趨勢，則無法計(jì)算眾數(shù)，勉強(qiáng)計(jì)算也是沒有意義的；簡稱Mo。例題1-3根據(jù)下列數(shù)據(jù)，求算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)。（1）1235557（2）244467845（3）1246791113解答可見算術(shù)平均值受極端值（45）影響很大（1）（2）由這個(gè)例子也可以看出，如果數(shù)據(jù)沒有集中趨勢，則無法計(jì)算眾數(shù)。（3）變化率定義式如下：例題1-4表1-3為日本2004年和2005年對8個(gè)主要出口對象國（地區(qū)）的出口額。求日本對各國（地區(qū)）的出口增長率。國家（地區(qū)）2004年2005年美國中國大陸韓國中國臺灣中國香港泰國德國新加坡13737994794543832192051941481884515481397248206203表1-3日本對主要出口對象國（地區(qū)）的出口額（單位：100億日元）解答可以看出，除了美國較為特殊，暫不考慮外，日本對亞洲新興工業(yè)國家和地區(qū)（韓國、中國臺灣、中國香港、新加坡）以及中國大陸的出口數(shù)額較大，而且增長較為顯著。幾何平均（geometricmean）是n個(gè)數(shù)據(jù)連乘積的n次方根。其定義式如下：需要注意的是，幾何平均數(shù)是有弱點(diǎn)的。數(shù)據(jù)中只要有一個(gè)為零，根就會變?yōu)榱?，幾何平均?shù)就無法計(jì)算。而且，如果數(shù)據(jù)中有負(fù)值也無法計(jì)算。例題1-5求下列各數(shù)據(jù)的幾何平均數(shù)（1）925（2）248（3）34618（4）36122448解答例題1-6表1-4顯示了日本實(shí)際國內(nèi)生產(chǎn)總值（實(shí)際GDP）的變化。（1）計(jì)算包括“神武景氣”和“巖戶景氣”在內(nèi)的1955-1961年的實(shí)際經(jīng)濟(jì)增長率（實(shí)際GDP的增長率）；（2）計(jì)算1965-1970年，鋼鐵、汽車、機(jī)械等出口急劇增加，經(jīng)濟(jì)持續(xù)增長的所謂“伊杰諾”的實(shí)際經(jīng)濟(jì)增長率；（3）計(jì)算1987-1990年，以地價(jià)、股價(jià)飛漲為中心的景氣擴(kuò)張，即所謂的“泡沫”時(shí)期的實(shí)際經(jīng)濟(jì)增長率；（4）計(jì)算1991-2000年，“泡沫”崩潰以后，即所謂的“失去的十年”間的實(shí)際經(jīng)濟(jì)增長率。表1-4日本的實(shí)際國內(nèi)生產(chǎn)總值（實(shí)際GDP）的變化（單位：兆日元）年度實(shí)際GDP年度實(shí)際GDP年度實(shí)際GDP195519561957195819591960196119621963196419651966196719681969197047.951.054.958.965.573.582.188.397.5106.8113.4125.9139.8157.1175.9190.41971197219731974197519761977197819791980198119821983198419851986200.1218.2229.3228.2237.3246.3257.4271.3285.3292.7301.5310.8318.7331.8345.4356.319871988198919901991199219931994199519961997199819992000373.2395.5413.1436.1449.8451.4452.5454.6469.4485.7486.8483.0492.1500.3提示跨越數(shù)年的平均變化率的計(jì)算方法現(xiàn)假設(shè)Y從0期到n期，按照同樣的變化率g變化，則解答（1）根據(jù)公式，計(jì)算1955-1961年6年間的實(shí)際經(jīng)濟(jì)增長率：解答（2）根據(jù)公式，計(jì)算1965-1970年5年間的實(shí)際經(jīng)濟(jì)增長率：解答（3）根據(jù)公式，計(jì)算1987-1990年3年間的實(shí)際經(jīng)濟(jì)增長率：解答（4）根據(jù)公式，計(jì)算1991-2000年9年間的實(shí)際經(jīng)濟(jì)增長率：移動平均（movingaverage）所謂移動平均，就是對時(shí)間序列數(shù)據(jù)中前后數(shù)據(jù)求平均，將不必要的變動（循環(huán)變動、季節(jié)變動和不規(guī)則變動）平滑化（smoothing），即剔除這些變動，從而發(fā)現(xiàn)長期變化方向的一種方法。每隔3個(gè)月的季度數(shù)據(jù)（quarterlydata）、每個(gè)月的月度數(shù)據(jù)（monthlydata）中存在著季度和月份中固有變化的影響，利用移動平均可以消除這些季節(jié)變動，有助于理解長期變化趨勢。同樣，循環(huán)變動和不規(guī)則變動也可以通過移動平均來消除，計(jì)算平滑的長期變動。通常，移動平均大多用簡單的奇數(shù)項(xiàng)來計(jì)算，下面是3項(xiàng)移動平均和5項(xiàng)移動平均的定義。3項(xiàng)移動平均5項(xiàng)移動平均時(shí)間序列數(shù)據(jù)Xt-2Xt-1XtXt+1Xt+22項(xiàng)移動平均4項(xiàng)移動平均中心化4項(xiàng)移動平均注：在偶數(shù)項(xiàng)季節(jié)數(shù)據(jù)的情況下，首先計(jì)算兩個(gè)4項(xiàng)移動平均，然后再計(jì)算這2項(xiàng)移動平均。這種方法稱作移動平均的中心化，即中心化4項(xiàng)移動平均。同樣，由于月度數(shù)據(jù)也是偶數(shù)項(xiàng)，因而稱作中心化12項(xiàng)移動平均。此外，在選定移動平均的項(xiàng)數(shù)時(shí)，如果事先已經(jīng)知道類似于下圖這樣的周期（period），一般要使項(xiàng)數(shù)與周期相一致。周期周期=項(xiàng)數(shù)例題1-7表1-8顯示了2000年第1季度到2005年第4季度，日本全國百貨店的銷售額。求中心化4項(xiàng)移動平均，并且與原數(shù)列一道畫出圖形。年、季百貨店?duì)I業(yè)額年、季百貨店?duì)I業(yè)額2000年第1季度第2季度第3季度第4季度2422352362892003年第1季度第2季度第3季度第4季度2212152142602001年第1季度第2季度第3季度第4季度2312282272772004年第1季度第2季度第3季度第4季度2192092072502002年第1季度第2季度第3季度第4季度2262222212672005年第1季度第2季度第3季度第4季度212206206252表1-8百貨店銷售額（日本全國）（單位：100億日元）解答年、季中心化4項(xiàng)移動平均年、季中心化4項(xiàng)移動平均年、季中心化4項(xiàng)移動平均2000年第1季度第2季度第3季度第4季度――249.1246.92002年第1季度第2季度第3季度第4季度237.3235.3233.4231.92004年第1季度第2季度第3季度第4季度224.6222.5220.4219.12001年第1季度第2季度第3季度第4季度244.9242.3240.1238.82003年第1季度第2季度第3季度第4季度230.1228.4227.3226.32005年第1季度第2季度第3季度第4季度218.6218.8――表1-9百貨店銷售額（日本全國）的中心化4項(xiàng)移動平均（單位：100億日元）極差（range）是數(shù)據(jù)最大值Xmax與最小值Xmin之差，定義如下：極差=Xmax-Xmin極差的計(jì)算雖然簡單，但缺點(diǎn)是容易受數(shù)據(jù)的極端值（異常值）的影響。四分位極差將數(shù)據(jù)從小到大按順序排列時(shí)，最初的1/4位置的值稱為第1四分位數(shù)Q1（25%點(diǎn)，fristquartile）,1/2位置的值稱為第2四分位數(shù)Q2（50%點(diǎn)，secondquartile）,最后的3/4位置的值稱為第3四分位數(shù)Q3（75%點(diǎn)，thirdquartile）。四分位極差（interquartilerange）與四分位離差（quartiledeviation）可以定義如下：四分位極差=第3四分位數(shù)Q3-第1四分位數(shù)Q1四分位離差=（第3四分位數(shù)Q3-第1四分位數(shù)Q1）/2可見，四分位極差是一種既容易理解，也容易計(jì)算的離散指標(biāo)，而且它還有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，即不太容易受極端數(shù)值的影響。25%25%25%25%Q2Q1Q3（=Me）

四分位極差=Q3-Q1補(bǔ)充這里介紹一種計(jì)算第1四分位點(diǎn)Q1與第3四分位點(diǎn)Q3的簡單方法。當(dāng)樣本量較多時(shí)，這種方法特別方便。Q1的位次=（n-1）/4Q3的位次=3（n+1）/4注意，在不同的統(tǒng)計(jì)軟件和教科書中，Q1和Q3的定義可能略有差異。方差（variance）與標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation）方差s2與標(biāo)準(zhǔn)差s的定義分別如下：方差的計(jì)算方法是，先將每個(gè)數(shù)據(jù)與算術(shù)平均數(shù)的差，即離差的平方相加求和，再除以樣本數(shù)減一。而標(biāo)準(zhǔn)差是求方差的正的平方根。由于方差是通過平方計(jì)算的，故而它與原數(shù)據(jù)的次數(shù)有所不同，而標(biāo)準(zhǔn)差由于是方差的平方根，因而與原數(shù)據(jù)的次數(shù)相同。因此，標(biāo)準(zhǔn)差與原數(shù)據(jù)的單位相同，而方差不附加單位。又稱為離差平方和。方差與標(biāo)準(zhǔn)差越大，意味著數(shù)據(jù)的分散程度越大；相反，方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，則意味著數(shù)據(jù)的分散程度越小，即向平均值（算術(shù)平均）的集中程度越高。正態(tài)分布（normaldistribution）：以算術(shù)平均值X為中心，左右取1s范圍，這一部分包含68.3%的數(shù)據(jù)；同樣，取2s范圍，包含95.4%的數(shù)據(jù)；再取3s范圍，包含99.7%的數(shù)據(jù)（這種性質(zhì)稱為“經(jīng)驗(yàn)法則”（empiricalrule））。下圖顯示了標(biāo)準(zhǔn)差的大小與所含數(shù)據(jù)比例的對應(yīng)關(guān)系。正態(tài)分布中標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的范圍中所含數(shù)據(jù)的比例XX+sX+2sX+3sX-sX-2sX-3s68.3%95.4%99.7%補(bǔ)充前面兩個(gè)式子，是給定數(shù)據(jù)樣本時(shí)的方差（樣本方差）和標(biāo)準(zhǔn)差（樣本標(biāo)準(zhǔn)差）。另一方面，總體數(shù)據(jù)的方差（總體方差）σ2和標(biāo)準(zhǔn)差（總體標(biāo)準(zhǔn)差）σ（小寫，讀作sigma），應(yīng)定義如下：變動系數(shù)（coefficientofvariation）又稱變異系數(shù)，它是用標(biāo)準(zhǔn)差除以算術(shù)平均數(shù)的商來表示。變動系數(shù)CV的定義如下：一般地，變動系數(shù)要求所使用的數(shù)據(jù)均為正數(shù)，而且，算出的數(shù)值要按百分比形式來表示。此外，如果算術(shù)平均數(shù)為零或接近于零，變動系數(shù)無法計(jì)算，或者說，變動系數(shù)成為一種曖昧的尺度，因此，這種情況也是需要加以注意的。偏態(tài)（skewness）是對數(shù)據(jù)的分布偏斜方向和程度的測度指標(biāo)。其計(jì)算公式如下：當(dāng)數(shù)據(jù)的分布以算術(shù)平均為中心左右對城時(shí)，偏態(tài)為0（但是，即使偏態(tài)為0,偶爾也有做有不對稱的時(shí)候）。當(dāng)分布的尾巴向右延伸時(shí)（右偏），偏態(tài)>0，向左延伸時(shí)（左偏），偏態(tài)<0.正態(tài)分布的偏態(tài)為0.①右偏（偏態(tài)>0）②對稱（偏態(tài)=0）③左偏（偏態(tài)<0）分布的偏態(tài)（非對稱性）峰度（kurtosis）是反映分布的集中趨勢高峰形狀（對數(shù)據(jù)算術(shù)平均的集中度）的指標(biāo)，定義式如下：當(dāng)峰度為0時(shí)，數(shù)據(jù)的分布與正態(tài)分布的集中程度相同，稱為中峰。當(dāng)峰度>0時(shí)，比正態(tài)分布更尖（而且分布的尾巴更厚，數(shù)據(jù)有可能落在分布之外），稱為急峰。當(dāng)峰度<0時(shí)，比正態(tài)分布的形狀緩和（分布的尾巴較薄，數(shù)據(jù)落在分布之外的可能性較小），稱為緩峰。①急峰（峰度>0）②中峰（峰度=0）③緩峰（峰度<0）比正態(tài)分布更尖與正態(tài)分布相同比正態(tài)分布更緩峰度補(bǔ)充對于標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)計(jì)教材上的偏態(tài)式與峰度式一般是這樣定義的：其中，n為樣本數(shù)，σ為總體標(biāo)準(zhǔn)差，X為數(shù)據(jù)，X-ba為數(shù)據(jù)的算術(shù)平均。但是峰度是以3為基準(zhǔn)的判斷，即峰度=3時(shí)為中峰，峰度>3時(shí)為急峰，峰度<3時(shí)為緩峰。例題1-8表1-14顯示的是東京（千代田區(qū)大手町）年下雪天數(shù)。（1）求算術(shù)平均和標(biāo)準(zhǔn)差（2）求偏態(tài)（3）求峰度年度下雪天數(shù)年度下雪天數(shù)19891990199119921993199419951996199741031089512319981999200020012002200320042005115713510714表1-14東京年下雪天數(shù)（單位：天）解答將數(shù)據(jù)帶入工作表，進(jìn)行計(jì)算（見下表）XX-Xba(X-Xba)2(X-Xba)3(X-Xba)44103108951231157-42-5201-34-53-3-11642540191625991-648-125801-2764-12527-27-12561662516018125662581811續(xù)前表XX-Xba(X-Xba)2(X-Xba)3(X-Xba)4135107145-32-162594136125-278-12166258116112961360194604058∑X∑(X-Xba)∑(X-Xba)2∑(X-Xba)3∑(X-Xba)4（2）偏態(tài)接近于0，說明東京年下雪天數(shù)近似服從左右對稱分布。（3）峰度為負(fù)，說明東京年下雪天數(shù)的分布，比正態(tài)分布更緩和，數(shù)據(jù)遺漏的可能性較小。標(biāo)準(zhǔn)化變量（standardizedvariable）又稱基準(zhǔn)化變量，它是用來測度某個(gè)數(shù)據(jù)的數(shù)值與算術(shù)平均的偏離程度是標(biāo)準(zhǔn)差的多少倍。借此可以看出該數(shù)據(jù)值在全體數(shù)據(jù)中所處的位置。其定義式如下：通過上式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化（基準(zhǔn)化），不管什么樣的數(shù)據(jù)，由于算術(shù)平均可以轉(zhuǎn)換為零，方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別可以轉(zhuǎn)換為1，因此具有不同的算術(shù)平均的數(shù)據(jù)組，可以進(jìn)行相互比較。補(bǔ)充日本大學(xué)的入學(xué)模擬考試在公布相對的成績時(shí)，通常利用偏差值，這種偏差值實(shí)際上就是標(biāo)準(zhǔn)化變量的一種應(yīng)用，其公式如下：可見，這里的偏差值就是設(shè)算術(shù)平均為50，標(biāo)準(zhǔn)差為10，來顯示分?jǐn)?shù)的分布狀況的。同樣，智商指數(shù)（IQ）也是標(biāo)準(zhǔn)化變量的應(yīng)用，它顯示的是算術(shù)平均為100，標(biāo)準(zhǔn)差為15時(shí)分?jǐn)?shù)的分布狀況。智商指數(shù)的定義式如下：下圖在正態(tài)分布的假設(shè)下，顯示了偏差值、智商指數(shù)和算術(shù)平均、標(biāo)準(zhǔn)差之間的相互關(guān)系。偏差值20304050607080智商指數(shù)557085100115130145標(biāo)準(zhǔn)差的范圍-3s-2s-s0s2s3s偏差值與智商指數(shù)例題1-9經(jīng)濟(jì)系的A君，在期末必修考試中，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)得82分，微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)得69分。宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的平均成績是72分，標(biāo)準(zhǔn)差是8，微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的平均成績是61分，標(biāo)準(zhǔn)差是5。（1）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化變量，并回答A君的宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)與微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)哪一個(gè)更靠前？（2）求A君宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的偏差值。解答（1）根據(jù)公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化變量z，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)為：微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)為：由于微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)化變量比宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)院大，因此，A君的微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)成績處于上等。解答（2）根據(jù)公式計(jì)算偏差值，宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)為：偏差值=50+z×10=50+1.25×10=62.5微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)為：偏差值=50+z×10=50+1.60×10=66.0從偏差值的比較中可以看出，A君的微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的成績相對來說要好一些。相關(guān)系數(shù)（correlationcoefficient）是用來測量身高和體重、收入與消費(fèi)、營業(yè)額與利潤、氣溫和啤酒的消費(fèi)量等兩個(gè)變量X、Y之間相互關(guān)系的大小和方向（正或負(fù)）的。通過計(jì)算相關(guān)系數(shù)，可以知道X和Y之間具有多大程度的線性關(guān)系。其定義式如下：相關(guān)系數(shù)R的取值范圍為：-1≤R≤1，R的取值具有以下幾種不同的含義：1）R=1：完全正相關(guān)（perfectcorrelation）2）R>0：正相關(guān)（positivecorrelation）3）R=0:不相關(guān)（nocorrelation）4）R<0:負(fù)相關(guān)（negativecorrelation）5）R=-1：完全負(fù)相關(guān)（perfectcorrelation）Y0X（1）R=1Y0X（2）0<R<1Y0X（4）-1<R<0Y0X（5）R=-1Y0X（3）R=0相關(guān)系數(shù)與散點(diǎn)圖相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量之間越有顯著的相關(guān)關(guān)系;自由度，即樣本數(shù)-2（n-