黑龍江省雞西市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

黑龍江省雞西市第一中學(xué)20242025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷時(shí)間：120分鐘分值：150分注意事項(xiàng)：1.本試卷分第I卷和第II卷兩部分.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡相應(yīng)位置上.2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(2，0)，(2，0) B.(0，2)，(0，2)C.(，0)，(，0) D.(0，)，(0，)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程形式，直接求焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由雙曲線的方程可知，焦點(diǎn)在軸，并且，，所以，即雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.故選：B2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率直接求解傾斜角即可.【詳解】設(shè)傾斜角為，則，則.故選：C.3.已知向量，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由，可得：，所以.故選：D4.橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為2，則的值等于（）A.3 B.5 C.8 D.5或3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓焦距的計(jì)算列式得出答案.【詳解】由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為2，則，即，所以，即故選：B.5.若雙曲線的弦被點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用點(diǎn)差法可得直線斜率，進(jìn)而可得直線方程.【詳解】設(shè)弦端點(diǎn)，，由，在雙曲線上，則，兩式做差可得，即，又弦被點(diǎn)平分，則，代入上式可得，則，即直線方程為，化簡可得，故選：D.6.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)相連，則線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)M是線段PQ中點(diǎn)可表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)P在圓上可建立關(guān)于M橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，即可得出M軌跡方程.【詳解】如圖所示，設(shè)，因?yàn)镸是線段PQ中點(diǎn)，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，，所以，又因?yàn)镻在圓上，所以，于是可得M的軌跡方程為：，故選：B.7.數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點(diǎn)，函數(shù)的最小值是（）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)A?2,0和的距離之和，作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，，即可求解【詳解】表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)A?2,0和的距離之和，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等，故的最小值為故選：C8.已知雙曲線C：分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn).連接交雙曲線C左支于點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率是（）A B.2 C. D.5【答案】A【解析】【分析】設(shè)，由雙曲線定義表達(dá)各邊，且，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到答案.【詳解】由題意得，設(shè)，因?yàn)槭且詾橹苯琼旤c(diǎn)的等腰直角三角形，故，由雙曲線定義知，，故，，其中，解得，則，，因?yàn)椋?，在中，由余弦定理得，解得，故雙曲線C的離心率為.故選：A二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列說法中，正確的是（）A.任何一條直線都有唯一的斜率 B.直線的傾斜角越大，它的斜率就越大C.任何一條直線都有唯一的傾斜角 D.垂直于軸的直線傾斜角為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的定義分別判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，斜率不存在，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：當(dāng)傾斜角為銳角時(shí)，斜率為正，且傾斜角越大斜率越大；當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，且傾斜角越大斜率越大，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：任何一條直線的傾斜角均存在且，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：垂直于軸的直線與軸平行，由傾斜角定義可知該直線傾斜角為，D選項(xiàng)正確；故選：CD.10.在下列命題中，錯(cuò)誤的有（）A.若共線，則所在的直線平行；B.若所在的直線是異面直線，則一定不共面；C.若三向量兩兩共面，則三向量一定也共面；D.已知三向量不共面，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)向量共線、共面的判定與性質(zhì)逐一判斷正誤.【詳解】對于A，若共線，則有可能在同一條直線上，A錯(cuò)誤；對于B，即使所在的直線是異面直線，也可以通過平移的方式使得向量共面，B錯(cuò)誤；對于C，如圖所示，在四面體PABC中，向量兩兩共面，但三個(gè)向量并不共面，C錯(cuò)誤；對于D，由空間向量的基本定理可知D正確；故選：ABC.11.動(dòng)點(diǎn)分別到兩定點(diǎn)，連線的斜率的乘積為，設(shè)的軌跡為曲線，，分別為曲線的左、右焦點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.的內(nèi)切圓的面積的最大值為C.到直線的最小距離為D.設(shè)，則的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】利用直接法可得點(diǎn)的軌跡方程，可知曲線為橢圓（除去與軸的交點(diǎn)），結(jié)合橢圓的定義及三角形的余弦定理與面積公式可判斷A選項(xiàng)，再結(jié)合內(nèi)切圓性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)，利用三角換元法可得距離的最值，判斷C選項(xiàng)，根據(jù)定義可將折線段轉(zhuǎn)化，進(jìn)而可得最值.【詳解】由已知，，化簡可得，即，，，，，如圖所示，A選項(xiàng)：設(shè)，，則，，又，則，即，即，所以，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，又，，所以，又，則，即內(nèi)切圓半徑的最大值為，所以內(nèi)切圓面積的最大值為，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)，，則點(diǎn)到直線的距離，其中，所以當(dāng)時(shí)，取最小值為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由橢圓定義可知，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在延長線時(shí)取等號，即MA+MF1的最小值為故選：ABD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓上，則的最大值為___________.【答案】2【解析】【分析】利用兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，寫出關(guān)于的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最大值，即可得到答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則有，即.所以，當(dāng)時(shí)，取最大值.故答案為：2.13.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，在雙曲線的左支上，是該雙曲線的左焦點(diǎn).為的中點(diǎn)，則______.【答案】5【解析】【分析】利用雙曲線的定義求解即可.【詳解】設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，連接，又在雙曲線的左支上，所以，又，所以，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以.故答案為：.14.已知.若存在滿足點(diǎn)使為鈍角，則t的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】求得點(diǎn)軌跡方程，求得以為直徑的圓的方程，由題意可得t的取值范圍.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，所以，化簡得，配方得，圓心為，半徑為，以為直徑的圓的方程為，若存在滿足的點(diǎn)使為鈍角，則圓與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)或圓在圓內(nèi)部或圓在圓內(nèi)切，所以，又，所以，解得，所以t的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于求得的軌跡方程與以為直徑的圓，利用圓與圓的位置關(guān)系求解.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.在三角形中，.（1）求邊的中線所在直線的一般式方程；（2）求邊上的高所在直線的點(diǎn)斜式方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得中點(diǎn)，進(jìn)而可求解；（2）由垂直關(guān)系求得斜率，進(jìn)而可求解.【小問1詳解】由，可得其中點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)中線斜率為：，所以邊的中線方程為：，即；【小問2詳解】因?yàn)椋纱怪标P(guān)系可知：邊上的高所在直線斜率為，所以方程為：，即.16.已知雙曲線的離心率，實(shí)軸長.（1）求C的方程；（2）過C的右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，求；（3）求與C有相同的漸近線且過點(diǎn)1,2的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知列關(guān)于的方程組，求解與的值，則雙曲線的方程可求；（2）寫出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求解；（3）對于不為0的實(shí)數(shù)，共漸近線的雙曲線方程為，將點(diǎn)代入即可解答.【小問1詳解】由已知可得可得：，，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式得直線的方程為，由消去得：，所以，，所以【小問3詳解】設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將代入可得，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.17.如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，通過向量垂直的坐標(biāo)表示即可求證；（2）求得平面法向量，代入夾角公式即可；（3）由點(diǎn)到面距離的向量法即可求解.【小問1詳解】在三棱柱中，平面，，且為棱的中點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，，所以，，則，所以，即；【小問2詳解】由（1）知：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，則，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，所以；【小問3詳解】易知，所以點(diǎn)到平面的距離為：.18.平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，圓與軸正半軸交于點(diǎn).（1）求過點(diǎn)且斜率為的直線被圓截得的弦長；（2）求過點(diǎn)與圓相切的直線方程；（3）過點(diǎn)的直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，判斷直線QA，QB的斜率之和是否為定值，若是則求出該定值，若不是則說明理由.【答案】（1）（2）和（3）定值，【解析】【分析】（1）計(jì)算出圓心到直線的距離，然后根據(jù)半徑、圓心到直線的距離、半弦長之間的關(guān)系求解出弦長；（2）先直接分析直線斜率不存在的情況，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求解出切線方程，由此結(jié)果可知；（3）設(shè)Ax1,y1,B【小問1詳解】過點(diǎn)斜率為的直線方程為，圓心到該直線的距離為，所以該直線被圓截得的弦長為.【小問2詳解】圓的圓心為，半徑為2，若過點(diǎn)的直線垂直于軸，則方程為，顯然與圓相切，符合題意；若過點(diǎn)的直線不垂直于軸，設(shè)直線的斜率與，則直線方程為，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，所以切線方程為；綜上所述，切線方程為和.【小問3詳解】由題意知點(diǎn)，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，設(shè)Ax1,且，所以，所以是定值，定值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，再將其與圓的方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，最后代入斜率之和的表達(dá)式化簡即可.19.在①，②過，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，且___________.（1）求橢圓C方程；（2）過圓D：上任意一點(diǎn)G作橢圓C的兩條切線.求證：；（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn).直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與軸交于點(diǎn)，直線AQ與軸交于點(diǎn)，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn).【答案】（1）條件選擇見解析，（2）證明見解析（3）證明見解析，【解析】【分析】（1）由題意確定a，b的值即可確定橢圓方程；（2）分切線斜率存在和不存在兩種情況討論證明即可；（3）聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理表示出，進(jìn)而求證即可.【小問1詳解】選①條件，由橢圓：的右焦點(diǎn)為，可得，因?yàn)殡x心率，所以，所以，所以橢圓的方程為.選②條件，由橢圓：的右焦點(diǎn)為，可得，過，則，∴，所以橢圓的方程為.選③條件，由橢圓：的右焦點(diǎn)為，可得，，又由，則，，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】證明：設(shè)，若過點(diǎn)的切線斜率都存在，設(shè)其方程為，則聯(lián)立方程組，得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，整理得，設(shè)橢圓的兩條切線的斜率分別為，，由韋達(dá)定理，，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即