專題01 空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題(典型題型歸類訓(xùn)練)原卷版

專題01空間幾何體的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 3題型一：內(nèi)切球等體積法 3題型二：內(nèi)切球獨(dú)立截面法 3題型三：外接球公式法 4題型四：外接球補(bǔ)型法 4題型五：外接球單面定球心法 5題型六：外接球雙面定球心法 6三、專項(xiàng)訓(xùn)練 7一、必備秘籍1．球與多面體的接、切定義1；若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是多面體的外接球。定義2；若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，這個(gè)球是多面體的內(nèi)切球。類型一球的內(nèi)切問(wèn)題（等體積法）例如：在四棱錐中，內(nèi)切球?yàn)榍?，求球半?方法如下：即：，可求出.類型二球的外接問(wèn)題1、公式法正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)2、補(bǔ)形法（補(bǔ)長(zhǎng)方體或正方體）①墻角模型（三條線兩個(gè)垂直）題設(shè)：三條棱兩兩垂直（重點(diǎn)考察三視圖）②對(duì)棱相等模型（補(bǔ)形為長(zhǎng)方體）題設(shè)：三棱錐（即四面體）中，已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（，，）3、單面定球心法（定+算）步驟：①定一個(gè)面外接圓圓心：選中一個(gè)面如圖：在三棱錐中，選中底面，確定其外接圓圓心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角形用正弦定理定外心）；②過(guò)外心做（找）底面的垂線，如圖中面,則球心一定在直線（注意不一定在線段上）上；③計(jì)算求半徑:在直線上任取一點(diǎn)如圖：則，利用公式可計(jì)算出球半徑.4、雙面定球心法（兩次單面定球心）如圖：在三棱錐中：①選定底面，定外接圓圓心②選定面，定外接圓圓心③分別過(guò)做面的垂線，和做面的垂線，兩垂線交點(diǎn)即為外接球球心.二、典型題型題型一：內(nèi)切球等體積法1．（22·23·全國(guó)·專題練習(xí)）正三棱錐P﹣ABC的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為（）A．1：3 B．1： C． D．2．（22·23下·朔州·階段練習(xí)）正四面體的內(nèi)切球、棱切球(與各條棱均相切的球)及外接球的半徑之比為．3．（23·24上·萍鄉(xiāng)·期末）已知球O是棱長(zhǎng)為1的正四面體的內(nèi)切球，AB為球O的一條直徑，點(diǎn)P為正四面體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為.4．（22·23上·張家口·期中）球O為正四面體的內(nèi)切球，，是球O的直徑，點(diǎn)M在正四面體的表面運(yùn)動(dòng)，則的最大值為．5．（22·23上·河南·階段練習(xí)）已知正四面體的棱長(zhǎng)為12，球內(nèi)切于正四面體是球上關(guān)于球心對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，則的最大值為.6．（22·23上·揚(yáng)州·期中）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”．現(xiàn)有一“陽(yáng)馬”的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，垂直于底面的側(cè)棱長(zhǎng)為4，則該“陽(yáng)馬”的內(nèi)切球表面積為，內(nèi)切球的球心和外接球的球心之間的距離為．題型二：內(nèi)切球獨(dú)立截面法1．（23·24上·淮安·開學(xué)考試）球是圓錐的內(nèi)切球，若球的半徑為，則圓錐體積的最小值為（

）A． B． C． D．2．（22·23下·咸寧·期末）已知球內(nèi)切于圓臺(tái)（即球與該圓臺(tái)的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺(tái)的上、下底面半徑，則圓臺(tái)的體積與球的體積之比為（

）

A． B． C．2 D．3．（22·23·全國(guó)·專題練習(xí)）若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的半徑為，當(dāng)該圓錐體積取最小值時(shí)，該圓錐體積與其內(nèi)切球體積比為.4．（23·24上·佛山·開學(xué)考試）若圓錐的內(nèi)切球（球面與圓錐的側(cè)面以及底面都相切）的體積為，當(dāng)該圓錐體積取最小值時(shí)，該圓錐的表面積為．5．（22·23下·成都·階段練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2，高為，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為.題型三：外接球公式法1．（16·17·全國(guó)·單元測(cè)試）若長(zhǎng)方體從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為3,4,5,則該長(zhǎng)方體的外接球表面積為()A．50π B．100π C．150π D．200π2．（22·23·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)球是棱長(zhǎng)為4的正方體的外接球，過(guò)該正方體的棱的中點(diǎn)作球的截面，則最小截面的面積為（

）A． B． C． D．3．（14·15上·佛山·階段練習(xí)）正方體的外接球（正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上）與其內(nèi)切球（正方體的六個(gè)面都與球相切）的體積之比是．題型四：外接球補(bǔ)型法1．（23·24上·成都·開學(xué)考試）在三棱錐中，，則該三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B．C． D．2．（22·23下·揭陽(yáng)·期中）在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（

）A． B． C． D．3．（23·24上·成都·開學(xué)考試）已知四面體滿足，，，且該四面體的外接球的表面積是（

）A． B．C． D．4．（22·23下·黔西·階段練習(xí)）正三棱錐的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為.5．（22·23下·黔西·期中）如圖，已知在三棱錐中，，，且，求該三棱錐外接球的表面積是．

題型五：外接球單面定球心法1．（23·24上·漢中·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，平面為外接圓的圓心，為三棱錐外接球的球心，，則三棱錐的外接球的表面積為．

2．（23·24上·秦皇島·開學(xué)考試）三棱錐中，在底面的射影為的內(nèi)心，若，，則四面體的外接球表面積為.3．（22·23下·石家莊·階段練習(xí)）已知球是正四面體的外接球，為棱的中點(diǎn)，是棱上的一點(diǎn)，且，則球與四面體的體積比為.4．（22·23下·淄博·期末）已知四棱錐的底面是矩形，側(cè)面為等邊三角形，平面平面，其中，，則四棱錐的外接球表面積為.題型六：外接球雙面定球心法1．（22·23上·撫州·期中）已知菱形的各邊長(zhǎng)為.如圖所示，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，連接，得到三棱錐，此時(shí).若是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在三棱錐的外接球上運(yùn)動(dòng)，且始終保持則點(diǎn)的軌跡的面積為.

2．（22·23·贛州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三角形ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，其中，把沿著DE翻折至的位置，得到四棱錐，則當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，四棱錐外接球的球心到平面的距離為.

3．（22·23下·湖南·期末）為加強(qiáng)學(xué)生對(duì)平面圖形翻折到空間圖形的認(rèn)識(shí)，某數(shù)學(xué)老師充分利用習(xí)題素材開展活動(dòng)，現(xiàn)有一個(gè)求外接球表面積的問(wèn)題，活動(dòng)分為三個(gè)步驟，第一步認(rèn)識(shí)平面圖形：如圖（一）所示的四邊形中，，，，.第二步：以為折痕將折起，得到三棱錐，如圖（二）.第三步：折成的二面角的大小為，則活動(dòng)結(jié)束后計(jì)算得到三棱錐外接球的表面積為.

三、專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（22·23下·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知直六棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，且其各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）.A． B． C． D．2．（22·23下·寧德·期中）正四面體ABCD的外接球的半徑為2，過(guò)棱AB作該球的截面，則截面面積的最小值為（

）A． B． C． D．3．（23·24上·河北·開學(xué)考試）長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)是3，4，5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，這個(gè)球的體積是（

）A． B． C． D．4．（22·23下·臨夏·期末）已知四棱錐的體積為，側(cè)棱底面，且四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該四棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．5．（23·24上·廣東·階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，分別是的中點(diǎn)，將，，分別沿，，折起，使得三點(diǎn)重合于點(diǎn)，若三棱錐的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，則球的表面積為（

）

A． B． C． D．6．（23·24上·安徽·開學(xué)考試）在封閉的等邊圓錐（軸截面為等邊三角形）內(nèi)放入一個(gè)球，若球的最大半徑為1，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．7．（23·24上·莆田·階段練習(xí)）三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為中點(diǎn)且，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．（22·23·九江·一模）三棱錐中，與均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，若平面平面，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、填空題9．（23·24·柳州·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的底面直徑為，軸截面為正三角形，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.10．（22·23·唐山·二模）已知某圓臺(tái)的上、下底面的圓周在同一球的球面上，且圓臺(tái)上底面半徑為1，下底面半徑為2，軸截面的面積為3，則該圓臺(tái)的外接球的體積為．11．（22·23·大同·模擬預(yù)測(cè)）四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鰲臑．在鰲臑中，平面，，，鰲臑的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是．

12．（23·24上·遼寧·階段練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2，側(cè)面展開圖的面積為，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為.13．（23·2