高二數(shù)學講義（人教A版2019）22直線的方程（十大題型）

2.2直線的方程目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 5題型一：點斜式直線方程 5題型二：斜截式直線方程 6題型三：兩點式直線方程 8題型四：截距式直線方程 10題型五：中點坐標公式 12題型六：直線的一般式方程 14題型七：直線方程的綜合應用 16題型八：判斷動直線所過定點 21題型九：直線與坐標軸形成三角形問題 22題型十：直線方程的實際應用 25

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一：直線的點斜式方程方程由直線上一定點及其斜率決定，我們把叫做直線的點斜式方程，簡稱點斜式．知識點詮釋：1、點斜式方程是由直線上一點和斜率確定的，點斜式的前提是直線的斜率存在．點斜式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線；2、當直線的傾斜角為時，直線方程為；3、當直線傾斜角為時，直線沒有斜率，它的方程不能用點斜式表示．這時直線方程為：．4、表示直線去掉一個點；表示一條直線．知識點二：直線的斜截式方程如果直線的斜率為，且與軸的交點為，根據(jù)直線的點斜式方程可得，即．我們把直線與軸的交點的縱坐標叫做直線在軸上的截距，方程由直線的斜率與它在軸上的截距確定，所以方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式．知識點詮釋：1、b為直線在y軸上截距，截距可以取一切實數(shù)，即可以為正數(shù)、零、負數(shù)；距離必須大于或等于零；2、斜截式方程可由過點的點斜式方程得到；3、當時，斜截式方程就是一次函數(shù)的表示形式．4、斜截式的前提是直線的斜率存在．斜截式不能表示平行于y軸的直線，即斜率不存在的直線．5、斜截式是點斜式的特殊情況，在方程中，是直線的斜率，是直線在軸上的截距．知識點三：直線的兩點式方程經(jīng)過兩點（其中）的直線方程為，稱這個方程為直線的兩點式方程，簡稱兩點式．知識點詮釋：1、這個方程由直線上兩點確定；2、當直線沒有斜率（）或斜率為時，不能用兩點式求出它的方程．3、直線方程的表示與選擇的順序無關(guān)．4、在應用兩點式求直線方程時，往往把分式形式通過交叉相乘轉(zhuǎn)化為整式形式，從而得到的方程中，包含了或的情況，但此轉(zhuǎn)化過程不是一個等價的轉(zhuǎn)化過程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的討論．要避免討論，可直接假設(shè)兩點式的整式形式．知識點四：直線的截距式方程若直線與軸的交點為，與y軸的交點為，其中，則過AB兩點的直線方程為，這個方程稱為直線的截距式方程．a(chǎn)叫做直線在x軸上的截距，b叫做直線在y軸上的截距．知識點詮釋：1、截距式的條件是，即截距式方程不能表示過原點的直線以及不能表示與坐標軸平行的直線．2、求直線在坐標軸上的截距的方法：令x=0得直線在y軸上的截距；令y=0得直線在x軸上的截距．知識點五：直線方程幾種表達方式的選取在一般情況下，使用斜截式比較方便，這是因為斜截式只需要兩個獨立變數(shù)，而點斜式需要三個獨立變數(shù)．在求直線方程時，要根據(jù)給出的條件采用適當?shù)男问剑话愕兀阎稽c的坐標，求過這點的直線，通常采用點斜式，再由其他條件確定斜率；已知直線的斜率，常用斜截式，再由其他條件確定在y軸上的截距；已知截距或兩點選擇截距式或兩點式．從結(jié)論上看，若求直線與坐標軸所圍成的三角形的面積或周長，則選擇截距式求解較方便，但不論選用哪一種形式，都要注意各自的限制條件，以免遺漏．知識點六：直線方程的一般式關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線．我們把方程寫為，這個方程（其中A、B不全為零）叫做直線方程的一般式．知識點詮釋：1、A、B不全為零才能表示一條直線，若A、B全為零則不能表示一條直線．當時，方程可變形為，它表示過點，斜率為的直線．當，時，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2、在平面直角坐標系中，一個關(guān)于、的二元一次方程對應著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應著無數(shù)個關(guān)于、的一次方程．知識點七：直線方程的不同形式間的關(guān)系名稱方程的形式常數(shù)的幾何意義適用范圍點斜式是直線上一定點，是斜率不垂直于軸斜截式是斜率，是直線在y軸上的截距不垂直于軸兩點式，是直線上兩定點不垂直于軸和軸截距式是直線在x軸上的非零截距，是直線在y軸上的非零截距不垂直于軸和軸，且不過原點一般式、、為系數(shù)任何位置的直線直線方程的五種形式的比較如下表：知識點詮釋：在直線方程的各種形式中，點斜式與斜截式是兩種常用的直線方程形式，要注意在這兩種形式中都要求直線存在斜率，兩點式是點斜式的特例，其限制條件更多，應用時若采用的形式，即可消除局限性．截距式是兩點式的特例，在使用截距式時，首先要判斷是否滿足“直線在兩坐標軸上的截距存在且不為零”這一條件．直線方程的一般式包含了平面上的所有直線形式．一般式常化為斜截式與截距式．若一般式化為點斜式，兩點式，由于取點不同，得到的方程也不同．知識點八：直線方程的綜合應用1、已知所求曲線是直線時，用待定系數(shù)法求．2、據(jù)題目所給條件，選擇適當?shù)闹本€方程的形式，求出直線方程．對于兩直線的平行與垂直，直線方程的形式不同，考慮的方向也不同．（1）從斜截式考慮已知直線，，；于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為．（2）從一般式考慮：且或，記憶式（）與重合，，，于是與直線平行的直線可以設(shè)為；垂直的直線可以設(shè)為．【典型例題】題型一：點斜式直線方程【典例11】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知，，則過的中點且傾斜角為，直線的點斜式方程是．【答案】【解析】設(shè)的中點為，則，又斜率，所以直線的點斜式方程為．故答案為：【典例12】（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得直線l，則直線l的點斜式方程為．【答案】【解析】由兩直線互相垂直，可知，直線的斜率為，所以直線的點斜式方程為.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】（1）利用點斜式求直線方程的步驟是：①判斷斜率是否存在，并求出存在時的斜率；②在直線上找一點，并求出其坐標．（2）要注意點斜式直線方程的逆向運用，即由方程可知該直線過定點且斜率為．【變式11】（2024·高二·四川樂山·期中）平面直角坐標系中，過點，且傾斜角α滿足，則直線的點斜式方程為.【答案】【解析】因為，且，解得或，因為，所以，即，所以，即直線的斜率，所以直線方程為，故答案為：【變式12】（2024·高二·新疆和田·期中）過點，且傾斜角為45°的直線的點斜式方程為【答案】【解析】因為，所以過點，且傾斜角為45°的直線的點斜式方程為:.故答案為：【變式13】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知過定點的直線m的一個方向向量是，則直線m的點斜式方程為.【答案】【解析】因為直線的一個方向向量，所以直線的斜率為，又因為直線過點，所以直線的點斜式方程為.故答案為：題型二：斜截式直線方程【典例21】（2024·高二·上?！ｎ}練習）已知兩點、，則直線的斜截式方程是．【答案】【解析】已知兩點、，故直線的斜率，則方程為：，整理得，轉(zhuǎn)化為直線的斜截式為．故答案為：．【典例22】（2024·高二·上海·課前預習）斜率為且在x軸上的截距為a的直線的斜截式方程為．【答案】【解析】斜率為且在x軸上的截距為a的直線方程可表示為，化為斜截式方程可得.故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】（1）選用斜截式表示直線方程的依據(jù)是知道（或可以求出）直線的斜率和直線在軸上的截距．（2）直線的斜截式方程的好處在于它比點斜式方程少一個參數(shù)，即斜截式方程只要兩個參數(shù)、即可確定直線的方程，而點斜式方程則需要三個參數(shù)、、才能確定，而且它的形式簡潔明了，這樣當我們僅知道直線滿足一個條件時，由參數(shù)選用斜截式方程具有化繁為簡的作用．【變式21】（2024·高二·全國·專題練習）經(jīng)過點，且傾斜角為的直線的斜截式方程為．【答案】【解析】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，所以直線的方程為，即，故答案為：.【變式22】（2024·高二·上海奉賢·階段練習）過點且與直線垂直的直線的斜截式方程是.【答案】【解析】因為直線與直線垂直，所以，解得，所以直線的方程為，化簡可得.故答案為：【變式23】（2024·高二·廣東湛江·階段練習）傾斜角為，在y軸上的截距是的直線的斜截式方程為.【答案】【解析】由題意得，直線斜率為，故直線的斜截式方程為.故答案為：題型三：兩點式直線方程【典例31】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過點的直線的兩點式方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為直線經(jīng)過點，所以由方程的兩點式可得直線方程為，即．故選：A【典例32】（2024·高二·河北邢臺·階段練習）下列直線方程是兩點式方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于選項A：是斜截式方程，故A錯誤；對于選項B：是點斜式方程，故B錯誤；對于選項C：是截距式方程，故C錯誤；對于選項D：是兩點式方程，故D正確；故選：D.【方法技巧與總結(jié)】當已知兩點坐標，求過這兩點的直線方程時，首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件，若滿足即可考慮用兩點式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應用斜率公式求出斜率，再用點斜式寫出方程．【變式31】（2024·高二·吉林長春·階段練習）過點和點的直線的兩點式方程是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為所求直線過點和點，根據(jù)直線的兩點式方程可得：所求直線方程為.故選B.【變式32】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線的兩點式方程為，則的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為直線的兩點式方程為，所以直線過點，，所以的斜率為．故選：A【變式33】（2024·高二·上海金山·階段練習）已知，，則直線的兩點式方程為．【答案】【解析】當直線過兩點，時，其兩點式方程為，則直線的兩點式方程為，故答案為：.題型四：截距式直線方程【典例41】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）過兩點A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程為．【答案】【解析】解析：由于直線過A(0，3)，B(－2，0)兩點，所以直線在x軸、y軸上的截距分別為－2，3.由截距式可知，方程為.故答案為：.【典例42】（2024·高二·湖北十堰·期末）若直線與垂直，則的方程的截距式為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】先由兩直線垂直，求出，再將的方程化為截距式即可.因為與垂直，所以，解得，則的方程為，即.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】應用截距式求直線方程時，一定要注意討論截距是否為零．【變式41】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線過點，且與，軸的正半軸分別交于，兩點．若的面積為12（為坐標原點），則直線的截距式方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線的方程為，則的面積為①．因為直線過點，所以②．聯(lián)立①②，解得，，故直線的方程為，故選：A．【變式42】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知三頂點坐標，為的中點，為的中點，則中位線所在直線的截距式方程為()A． B．C． D．【答案】A【解析】因為三頂點坐標為，又為的中點，為的中點，由中點坐標公式可得：，則直線的兩點式方程為：，故截距式方程為.故選：A．【變式43】（2024·高二·湖南岳陽·開學考試）過點的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【解析】當直線過原點時在兩坐標軸上的截距都為，滿足題意，又因為直線過點，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，當直線不過原點時，設(shè)直線方程為，因為點在直線上，所以，解得，所以直線方程為，故所求直線方程為或.故D項正確.故選：D【變式44】（2024·高二·云南昆明·階段練習）經(jīng)過點，并且在兩坐標軸上的截距相等的直線有（

）條.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】若直線經(jīng)過原點，則，在坐標軸上的截距均為0，符合題意，若截距均不為0，則設(shè)直線方程為，將代入得，此時直線方程為，符合題意；即經(jīng)過點，并且在兩坐標軸上的截距相等的直線有2條故選：C.題型五：中點坐標公式【典例51】（2024·高一·江蘇徐州·期中）直線l過點，且與x軸、y軸分別交于A，B兩點，若點P恰為AB的中點，則直線l的方程為.【答案】.【解析】設(shè),因為點P恰為AB的中點，則，，所以，即A，B兩點的坐標分別為,由截距式得直線l的方程為，即.故答案為：.【典例52】（2024·高二·浙江嘉興·期末）已知直線與直線和的交點分別為，若點是線段的中點，則直線的方程為.【答案】【解析】因為直線與直線和的交點分別為，設(shè)，因為點是線段的中點，由中點公式可得，解得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】（1）中點坐標公式是一個重要的公式，要注意靈活地運用它來解決問題．（2）在運用中點坐標公式時，要注意與“中點”等價的有關(guān)概念的運用．（3）在具體解題時，還應注意創(chuàng)設(shè)條件運用中點坐標公式，如由平面幾何知識可知，平行四邊形的對角線相交于一點且互相平分，也就是對角線上兩頂點的中點重合等．【變式51】（2024·高二·廣東廣州·期中）若直線l與兩坐標軸的交點分別為A，B，且線段AB的中點為，則直線l的方程為：．【答案】【解析】依題知，直線與x軸y軸的截距都存在且都不為0，設(shè)直線方程為，又線段AB的中點為，則，即則直線方程為，即.故答案為：【變式52】（2024·高二·江蘇宿遷·開學考試）過點的直線，被直線，所截得的線段的中點恰好在直線上，則直線的方程為．【答案】【解析】設(shè)中點為，因為，所以在直線上，由在直線上，聯(lián)立可得，解得，即中點為，所以直線的斜率，所以的方程為，即．故答案為：．【變式53】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，－1)，求直線l的方程．【答案】x＋3y＋2＝0【解析】解析依題意，設(shè)點P(a，1)，Q(7，b)，則有，解得a＝－5，b＝－3，即P(－5，1)，Q(7，－3)．由兩點式可得＝，化簡得，l的方程為x＋3y＋2＝0．故答案為：x＋3y＋2＝0．【變式54】（2024·高三·全國·專題練習）在△ABC中，已知A(5,－2)，B(7,3)，且AC的中點M在y軸上，BC的中點N在x軸上，則直線MN的方程為．【答案】5x－2y－5＝0.【解析】設(shè)C(x0,y0)，則M，N，由M在y軸上，則＝0，即x0＝－5.由N在x軸上，則＝0，即y0＝－3，∴C(－5,－3)，故M，N(1,0)，∴直線MN的方程為，即5x－2y－5＝0.故答案為：5x－2y－5＝0題型六：直線的一般式方程【典例61】（2024·高二·上?！て谀┻^點且平行于直線的直線方程為.【答案】【解析】設(shè)與直線平行的直線方程為，把點代入可得，解得，故所求的直線的方程為，故答案為：．【典例62】（2024·高二·上?！るA段練習）已知平行四邊形中，一組對邊、所在直線的方程分別為，，求實數(shù)的值.【答案】【解析】因為，，整理可得，，因為四邊形為平行四邊形，故，則，且，解得.故答案為：-2【方法技巧與總結(jié)】讓學生體會直線方程的各種形式，以及各種形式向一般式的轉(zhuǎn)化，對于直線方程的一般式，一般作如下約定：的系數(shù)為正，，的系數(shù)及常數(shù)項一般不出現(xiàn)分數(shù)，一般按含項、項、常數(shù)項順序排列．求直線方程的題目，無特別要求時，結(jié)果寫成直線方程的一般式．【變式61】（2024·高二·江蘇徐州·開學考試）直線過點且與直線垂直，則直線與坐標軸圍成的三角形面積為【答案】9【解析】直線過點且與直線垂直，直線的斜率為，得直線的斜率為2，故直線的方程為，即，當時，，當時，，所以直線與坐標軸圍成的三角形面積為.故答案為：9【變式62】（2024·高二·全國·假期作業(yè)）若，則直線的方程為；設(shè)直線與兩坐標軸的交點為且點在線段上，則的最大值為．【答案】【解析】由兩點式得，整理為．又在上，，當且僅當，即時，等號成立．所以的最大值為．【變式63】（2024·高二·全國·課前預習）根據(jù)下列條件分別寫出直線的一般式方程．(1)經(jīng)過兩點，；(2)經(jīng)過點，斜率為；(3)經(jīng)過點，平行于軸；(4)斜率為2，在軸上的截距為1．【解析】（1）由兩點式，得直線的方程為，即．（2）由點斜式，得直線的方程為，即．（3）由題意知，直線的方程為，即．（4）由點斜式，得直線的方程為，即．題型七：直線方程的綜合應用【典例71】（2024·高二·四川達州·階段練習）直線與直線相交于點，對任意實數(shù)，直線分別恒過定點，則的最大值為【答案】4【解析】直線化為，當，得，即直線恒過點，即點，直線化為，當，得，即直線恒過點，即點，且兩條直線滿足,,即，,,當且僅當時，等號成立，的最大值為4.故答案為：4.【典例72】（2024·高二·上海浦東新·階段練習）經(jīng)過的直線與兩直線和分別交于、兩點，且滿足，則直線的方程為.【答案】【解析】設(shè)，可得，由可得，聯(lián)立方程可得，即可求出直線方程.設(shè)，則（1），，，，則代入得（2），聯(lián)立（1）（2）解得，則，故直線的方程為，即.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】求直線的方程的關(guān)鍵是選擇適當?shù)闹本€方程的形式．【變式71】（2024·高二·江蘇蘇州·期中）設(shè)，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值為．【答案】【解析】直線可得，直線可整理為，令，解得，所以，因為，所以直線與直線垂直，則，所以點的軌跡為以為直徑的圓，，所以，所以，當且僅當時等號成立.故答案為：.【變式72】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知直線過定點A，直線過定點，與相交于點，則．【答案】13【解析】對于直線，即，令，則，則，可得直線過定點，對于直線，即，令，則，則，可得直線過定點，因為，則，即，所以.故答案為：13.【變式73】（2024·高二·江蘇南京·開學考試）已知平面內(nèi)兩點，．(1)求過點且與直線垂直的直線的方程．(2)若是以為頂點的等腰直角三角形，求直線的方程．【解析】（1）由題意得，則直線的斜率為，所以過點且與直線垂直的直線的方程為：，即．（2）的中點坐標為，由（1）可知線段垂線的斜率為，所以線段垂直平分線的方程為，即．因為是以為頂點的等腰直角三角形，所以點在直線上，故設(shè)點為，由可得：，解得或，所以點坐標為或，則直線的方程為或．【變式74】（2024·高二·四川眉山·階段練習）如圖，在平行四邊形中，點．(1)求所在直線方程；(2)過點C作于點D，求所在直線的方程．【解析】（1），所在直線的斜率為，又，所在直線方程是，即．（2）因為，所以,又因為，所以所在直線方程為，即.【變式75】（2024·高二·福建廈門·期中）如圖，已知平行四邊形的三個頂點的坐標為，，.

(1)求平行四邊形的頂點的坐標；(2)在中，求邊上的高線所在直線方程.【解析】（1）設(shè)線段中點為，則點坐標為，設(shè)點坐標為，由平行四邊形性質(zhì)得為線段中點，有，解得，所以；（2）因為直線的斜率為，所以邊上的高線所在直線的斜率為，又，故邊上的高線所在直線的方程為，即為.【變式76】（2024·高二·廣東佛山·期中）等腰三角形ABC的兩腰所在直線的方程分別為與，原點在等腰三角形的底邊BC上.(1)求；(2)求直線BC的方程.【解析】（1）設(shè)直線AB，AC的傾斜角分別為，則.依題意，，故，求得.（2）依題意，直線BC的傾斜角為，斜率為.由于，，故，解得，或（舍去）因此，直線BC的方程為解得，即，題型八：判斷動直線所過定點【典例81】（2024·高二·河南南陽·階段練習）已知直線，則直線恒過定點.【答案】【解析】直線即，令，解得，所以直線恒過定點.故答案為：【典例82】（2024·高二·上海寶山·期末）若無論實數(shù)取何值，直線都經(jīng)過一個定點，則該定點坐標為.【答案】【解析】令，解得，故經(jīng)過的定點坐標為.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】合并參數(shù)，另參數(shù)的系數(shù)為零解方程．【變式81】（2024·高二·湖南衡陽·開學考試）對任意的實數(shù)，直線所過的定點為．【答案】【解析】原方程可變形為，令，解得，于是有對，都滿足方程，所以這些直線都經(jīng)過同一定點，該定點的坐標為.故答案為：.【變式82】（2024·高二·全國·專題練習）不論m，n取什么值，直線必過一定點為.【答案】【解析】由題意，在令，解得，不論m，n取什么值，直線必過一定點.故答案為：【變式83】（2024·高二·上海浦東新·期中）已知直線，當變化時，直線總是經(jīng)過定點，則定點坐標為.【答案】【解析】因為直線可化為，令，解得，所以直線過定點，故答案為：.題型九：直線與坐標軸形成三角形問題【典例91】（2024·高一·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）已知一條動直線，(1)求證：直線l恒過定點，并求出定點的坐標；(2)若直線l與、軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標原點，是否存在直線l同時滿足下列條件：①的周長為；②的面積為.若存在，求出方程；若不存在，請說明理由.【解析】（1）證明：將直線方程變形為，由，可得，因此，直線恒過定點.（2）設(shè)點A的坐標為，若，則，則、，直線的斜率為，故直線的方程為，即，此時直線與軸的交點為，則，，，此時的周長為.所以，存在直線滿足題意.【典例92】（2024·高二·湖南·階段練習）已知直線l過點，與x軸正半軸交于點A?與y軸正半軸交于點B.（1）求面積最小時直線l的方程（其中O為坐標原點）；（2）求的最小值及取得最小值時l的直線方程.【解析】（1）設(shè)l的方程為，由直線過點知，即，由基本不等式得，即，當且僅當時等號成立，又知，所以時等號成立，此時l直線的方程為，即面積最小時直線l的方程為.（2）易知直線l的斜率存在，所以可設(shè)直線l的方程為，所以得，，所以，得，等號成立時有k，得，此時直線的方程為，即.故的最小值是24，取最小值時直線l的方程是.【方法技巧與總結(jié)】（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說．（2）在求直線方程時，要恰當?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問題的解決．例如：已知一點的坐標，求過這點的直線方程，通常選用點斜式，再由其他條件確定該直線在軸上的截距；已知截距或兩點，選擇截距式或兩點式．在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏．【變式91】（2024·高二·山西朔州·階段練習）過點作直線分別與，軸正半軸交于、兩點．（1）當面積最小時，求直線的方程；（2）當取最小值時，求直線的方程．【解析】（1）設(shè)出直線方程再把點代入，利用基本不等式可得，可得面積，可得此時直線的方程；（2）基本不等式可得時，進而求出直線的方程．試題解析：（1）設(shè)直線方程為，代入得，得，從而，此時，．∴直線的方程為．（2），此時，．∴直線的方程為．【變式92】（2024·高二·上海·開學考試）過點的直線分別交與于、兩點.（1）設(shè)點的坐標為，用實數(shù)表示點的坐標，并求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)的面積為，求直線的方程；（3）當最小時，求直線的方程.【解析】（1）設(shè)，由于在射線上，則①.，由于三點共線，，則②，解由①②組成的方程組得，所以點坐標為.由于兩點不重合，故，且在第一象限，在第四象限.故，解得.（2）由于，所以，結(jié)合（1）得，所以，化簡得，所以，由直線方程兩點式得直線的方程為，化簡得.（3）由（1）得，，而，所以，當且僅當，即時等號成立.此時，由直線方程兩點式得直線的方程為，化簡得.題型十：直線方程的實際應用【典例101】（2024·高二·四川眉山·階段練習）有一根蠟燭點燃6min后，蠟燭長為17.4cm；點燃21min后，蠟燭長為8.4cm.已知蠟燭長度(cm)與燃燒時間t(min)可以用直線方程表示，則這根蠟燭從點燃到燃盡共耗時（

）A．25min B．35min C．40min D．45min【答案】B【解析】根據(jù)已知條件可知直線方程的斜率及所過的點，進而得到直線方程，再求蠟燭從點燃到燃盡所耗時間即可.由題意知：蠟燭長度(cm)與燃燒時間t(min)可以用直線方程，過兩點，故其斜率，∴直線方程為，∴當蠟燭燃盡時，有，即，故選：B【典例102】（2024·陜西榆林·三模）瑞士數(shù)學家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.若已知的頂點，，其歐拉線方程為，則頂點的坐標可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，的垂直平分線方程為，又外心在歐拉線上，聯(lián)立，解得三角形的外心為，又，外接圓的方程為．設(shè)，則三角形的重心在歐拉線上，即．整理得．聯(lián)立，解得或．所以頂點的坐標可以是．故選：．【方法技巧與總結(jié)】用坐標法解決生活問題．【變式101】（2024·高二·安徽·開學考試）我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù)，也就是用內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，即圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，其周長就越逼近圓周長．這種用極限思想解決數(shù)學問題的方法是數(shù)學史上的一項重大成就，現(xiàn)作出圓的一個內(nèi)接正八邊形，使該正八邊形的其中4個頂點在坐標軸上，則下列4條直線中不是該正八邊形的一條邊所在直線的為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖所示，由題可知，，，，，，，，所以直線BC的方程為，整理為一般式，即，故A錯誤；對于B選項，直線過點，，即為直線GH方程，故B錯誤；對于C選項，直線過點，但不經(jīng)過，，故C正確；對于D選項，直線經(jīng)過，，即為直線GF的方程，故D錯誤.故選：C．【變式102】（2024·高二·上海浦東新·期中）在向量的右邊乘以一個矩陣，按向量的乘法規(guī)則相乘以后得到一個新的向量，我們把這個運算過程稱為對向量實施了一個右矩陣變換.直線：上任意一點確定向量（O為坐標原點），通過矩陣對向量實施右矩陣變換后得到向量，點的坐標滿足，若直線：和：相交于點，則過點，的直線的方程是.【答案】【解析】由已知設(shè)，則，其通過矩陣對向量實施右矩陣變換后得到向量，則嗎，消去得，又點的坐標滿足，所以，所以直線：和：相交于點，即點滿足，滿足，過點，的直線的方程是.故答案為：.【變式103】（2024·河北滄州·三模）光從介質(zhì)1射入介質(zhì)2發(fā)生折射時，入射角與折射角的正弦之比叫作介質(zhì)2相對介質(zhì)1的折射率.如圖，一個折射率為的圓柱形材料，其橫截面圓心在坐標原點，一束光以的入射角從空氣中射入點A-2,0，該