《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》(課件)

平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示本課件將介紹平面向量的基本定理，以及如何用坐標(biāo)表示平面向量。概述向量是什么？向量是具有大小和方向的量。向量的運算向量可以進(jìn)行加法、減法、數(shù)乘等運算。向量的坐標(biāo)表示向量可以用坐標(biāo)來表示，方便進(jìn)行計算和分析。什么是向量向量是既有大小又有方向的量。它通常用有向線段表示，線段的長度表示向量的模，箭頭指向的方向表示向量的方向。向量可以用來表示各種物理量，例如力、速度、位移等。向量在物理學(xué)、工程學(xué)和計算機科學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。向量的基本定義向量向量是一種具有大小和方向的量，通常用帶箭頭的線段表示。向量的表示通常用字母表示，例如向量a，b，c。向量的長度也稱為向量的模，用||a||表示，表示向量的大小。向量的方向由箭頭指向的方向決定，通常用角度來表示。向量的基本性質(zhì)1可加性兩個向量可以相加，結(jié)果也是一個向量。2可減性兩個向量可以相減，結(jié)果也是一個向量。3數(shù)乘性一個向量可以乘以一個數(shù)，結(jié)果也是一個向量。4零向量有一個零向量，它與任何向量相加都等于該向量本身。平面向量的坐標(biāo)系表示1坐標(biāo)系在平面內(nèi)建立一個直角坐標(biāo)系，并規(guī)定一個向量從原點出發(fā)的方向，稱為向量的方向。2坐標(biāo)表示一個向量可以用其在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示，例如向量a的坐標(biāo)可以表示為(x,y)，其中x是向量在x軸上的投影長度，y是向量在y軸上的投影長度。3幾何意義向量的坐標(biāo)表示實際上是將向量與坐標(biāo)系的聯(lián)系起來，方便我們用代數(shù)方法進(jìn)行向量的運算和分析。兩個向量相等的條件方向相同向量方向一致，即它們指向同一方向。大小相等向量長度相等，即它們具有相同的模長。向量的加法運算平行四邊形法則將兩個向量平移到同一個起點,以這兩個向量為鄰邊作平行四邊形,對角線表示兩個向量的和.三角形法則將兩個向量首尾相接,以第一個向量的起點為起點,第二個向量的終點為終點,則所得向量即為兩個向量的和.向量的減法運算1定義向量a減去向量b，等于向量a加上向量b的相反向量。2公式a-b=a+(-b)3幾何意義向量a減去向量b，是從向量b的終點指向向量a的終點的向量。向量的數(shù)乘1方向與原向量相同或相反2長度是原向量的k倍3定義數(shù)乘運算平面向量的分量水平分量在選定坐標(biāo)系下，向量在x軸上的投影長度稱為向量的水平分量，記為x.垂直分量在選定坐標(biāo)系下，向量在y軸上的投影長度稱為向量的垂直分量，記為y.平面向量的模向量的大小叫做向量的模，用符號|a|表示，用|a|表示。向量的模是一個非負(fù)數(shù)，它表示向量的大小或長度。平面向量的夾角定義兩個非零向量之間的夾角是這兩個向量所代表的有向線段所成的角范圍夾角的范圍是[0,180]方向夾角的方向由從第一個向量到第二個向量的旋轉(zhuǎn)方向決定向量的點積1定義兩個向量的點積等于它們模的乘積再乘以它們夾角的余弦值2公式a·b=|a||b|cosθ3性質(zhì)點積滿足交換律和分配律平面向量的點積性質(zhì)1交換律a·b=b·a2分配律(a+b)·c=a·c+b·c3結(jié)合律(ka)·b=k(a·b)4零向量a·0=0向量的叉積1定義兩個向量叉積的結(jié)果是一個新的向量，其方向垂直于這兩個向量所在的平面，大小等于這兩個向量長度的乘積再乘以它們夾角的正弦值。2性質(zhì)叉積滿足反交換律，即a×b=-b×a。叉積還滿足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。3應(yīng)用叉積在物理學(xué)和工程學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，例如計算力矩、計算磁場等等。平面向量的叉積性質(zhì)反交換律a×b=-(b×a)分配律(a+b)×c=a×c+b×c結(jié)合律(ka)×b=k(a×b)向量坐標(biāo)系的變換1坐標(biāo)軸平移將原坐標(biāo)系平移到新的坐標(biāo)系，向量在新的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)發(fā)生相應(yīng)的變化。2坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)將原坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)到新的坐標(biāo)系，向量在新的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)也會發(fā)生變化。3坐標(biāo)軸縮放將原坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸進(jìn)行縮放，向量在新的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)也會發(fā)生相應(yīng)的變化。平面向量及其坐標(biāo)變換坐標(biāo)系變換坐標(biāo)系變換是指將一個坐標(biāo)系中的點或向量映射到另一個坐標(biāo)系中的過程。它可以通過平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等方式進(jìn)行。向量變換向量變換是指將一個向量在坐標(biāo)系變換后得到的新的向量。可以通過向量坐標(biāo)的變換公式進(jìn)行計算。坐標(biāo)變換與向量變換的關(guān)系向量變換與坐標(biāo)系變換密切相關(guān)，坐標(biāo)系變換會影響向量的坐標(biāo)表示，從而影響向量的運算。平面坐標(biāo)系下的向量方向向量不僅具有長度，還具有方向。位置向量可以由起點和終點確定。坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，向量可以用其起點和終點的坐標(biāo)表示。向量在坐標(biāo)系中的分量表示1定義向量在坐標(biāo)系中的分量是指向量在坐標(biāo)軸上的投影長度，帶正負(fù)號。2表示用一個有序數(shù)對表示，例如：(x,y)，分別表示向量在x軸和y軸上的投影長度。3意義通過分量表示可以方便地進(jìn)行向量的運算和分析。向量在坐標(biāo)系中的運算1加法對應(yīng)分量相加2減法對應(yīng)分量相減3數(shù)乘每個分量乘以數(shù)向量在極坐標(biāo)系中的表示1極坐標(biāo)系用極坐標(biāo)表示一個向量，需要指定向量的長度和方向。2長度向量的長度可以用模長來表示，即向量起點到終點的距離。3方向向量的方向可以用極角來表示，即向量與極軸的夾角。平面向量在極坐標(biāo)系中的運算加法兩個向量的加法可以用極坐標(biāo)表示。減法兩個向量的減法也可用極坐標(biāo)表示。數(shù)乘一個向量與一個數(shù)的乘積可以用極坐標(biāo)表示。極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換1直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)極坐標(biāo)已知點\(P(x,y)\)的直角坐標(biāo)，求其極坐標(biāo)\((r,\theta)\)。2極坐標(biāo)轉(zhuǎn)直角坐標(biāo)已知點\(P(r,\theta)\)的極坐標(biāo)，求其直角坐標(biāo)\((x,y)\)。直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系是描述平面向量常用的兩種坐標(biāo)系。它們之間可以相互轉(zhuǎn)換，方便我們根據(jù)不同的問題選擇合適的坐標(biāo)系進(jìn)行分析。向量在不同坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系下，用向量坐標(biāo)表示向量；在極坐標(biāo)系下，用向量極坐標(biāo)表示向量。轉(zhuǎn)換公式直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)系：r=√(x^2+y^2),θ=arctan(y/x)。轉(zhuǎn)換步驟1.求出向量的模r；2.求出向量的極角θ。總結(jié)與思考向量應(yīng)用廣泛向量在物理學(xué)、工程學(xué)、計算機科學(xué)等領(lǐng)域都有著重要的應(yīng)用，例如力的合成、速度分解、運動軌跡模擬等。坐標(biāo)表示方便將向量用坐標(biāo)表示，可以方便地進(jìn)行向量運算