江西省南昌市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 含解析

高二數(shù)學(xué)試卷注意事項：答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動.用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后將本試卷和答題卡一并交回.本試卷主要考試內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某書架的第一層放有7本不同的歷史書，第二層放有6本不同的地理書.從這些書中任取1本歷史書和1本地理書，不同的取法有（）A.13種B.42種C.種D.種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解即可．【詳解】7本不同的歷史書任取1本歷史書有7種取法；6本不同的地理書任取1本地理書有6種取法，從這些書中任取1本歷史書和1本地理書，根據(jù)分步乘法原理得到不同的取法有7×6=42種.故選：B.2.已知直線與直線平行，則（）A.1B.3C.1或D.或3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一般式方程兩直線平行的條件得到方程，求出參數(shù)的值，再檢驗即可.【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得或，第1頁/共18頁經(jīng)檢驗，當(dāng)或時，均滿足兩條直線平行.故選：C3.若直線與圓只有一個公共點，則（）A.B.1C.0D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得直線與圓相切，再借助點到直線距離公式計算即得.【詳解】依題意，直線與圓相切，而圓的圓心，半徑為1，因此，解得，所以.故選：C4.某農(nóng)業(yè)科學(xué)院培育臍橙新品種，新培育的臍橙單果質(zhì)量（單位：g）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)有該新品種臍橙10000個，估計單果質(zhì)量不低于150g的臍橙個數(shù)為（）附：若，則，，.A.8413B.9772C.9974D.9987【答案】D【解析】【分析】由條件求出和值，依據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得質(zhì)量不低于150g的概率，即可得解.【詳解】由可知，，，則，故單果質(zhì)量不低于150g的臍橙個數(shù)約為10000×0.9987=9987.故選：D5.小花準(zhǔn)備將一顆黃色圣女果、一顆紅色圣女果、一顆山楂、一顆草莓、一顆葡萄串起來制作一串冰糖葫蘆，若要求兩顆圣女果不相鄰，則不同的串法有（）A.種B.種C.種D.種第2頁/共18頁【答案】C【解析】【分析】利用插空法可求得結(jié)果.【詳解】先將一顆山楂、一顆草莓、一顆葡萄進行排序，然后將兩顆圣女果插入一顆山楂、一顆草莓、一顆葡萄所形成的空位中，從個空位中抽取個空位進行排序，由插空法可知，不同的串法有種.故選：C.6.已知為坐標(biāo)原點，雙曲線的右焦點為F，點在C的漸近線上，過點F作，垂足為，，則C的方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】在C的漸近線上得，.【詳解】由知，又，所以.由，則為焦點F到漸近線即的距離，所以，在中，，由點在C的漸近線上，所以，即，所以，第3頁/共18頁所以C的方程為.故選：A7.小明參加戶外植樹活動，種植了A，B兩種樹苗各5棵，A種樹苗的成活率為0.8，B種樹苗的成活率為0.6，記A，B兩種樹苗最終成活的棵數(shù)分別為，，則（）注：設(shè)X，Y兩個隨機變量，則有.A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項分布的期望性質(zhì)直接計算即可.【詳解】服從二項分布，.同理，，.故選：C.8.在四棱錐中，底面是菱形，，，E是上一點，且，，，，則（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算可得，再結(jié)合數(shù)量積運算求解即可.【詳解】因為，則，又因為，，，則，且，，則，可得，則第4頁/共18頁，所以，即.故選：B.36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得分分，有選錯的得0分.9.由一組樣本數(shù)據(jù)，利用最小二乘法得到兩個變量的回歸直線方程為，記，，則下面說法正確的是（）A.直線至少經(jīng)過點中的一個點B.直線必經(jīng)過點C.樣本相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)同號D.對樣本相關(guān)系數(shù)，越大，兩個變量之間的線性相關(guān)性越強【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)回歸直線性質(zhì)、相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)的概念逐項分析可得答案.【詳解】回歸直線是由點擬合而成的，可能不過任何一個樣本點，但必過數(shù)據(jù)的中心點，A錯誤，B正確.樣本相關(guān)系數(shù)為正時，兩個變量為正相關(guān)，回歸系數(shù)為正；樣本相關(guān)系數(shù)為負(fù)時，兩個變量為負(fù)相關(guān)，回歸系數(shù)為負(fù).故樣本相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)同號，C正確.樣本相關(guān)系數(shù)，越大，兩個變量之間的線性相關(guān)性越強，D正確.故選：BCD.10.如圖，在八面體中，，，，均是邊長為4的正三角形，且平面，，均垂直于底面，下列結(jié)論正確的是（）第5頁/共18頁A.B.為正三角形C.點到平面的距離為2D.直線與直線所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)推理判斷A；證明、，判斷B；利用線面平行的性質(zhì)求出點到平面的距離判斷C；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面角的余弦判斷D.【詳解】取的中點，連接，在正，正中，，由平面平面，平面平面，平面，則平面，同理平面，于是，四邊形為平行四邊形，，，而，，因此，，A正確；同理，，則，即為正三角形，B正確；由，平面，平面，得平面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，連接，是的中點，則點到平面的距離是點到平面的距離的一半，而點到平面的距離為，因此點到平面的距離為，C錯誤；記的中點為，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，第6頁/共18頁則點，，，，，，，所以直線與直線所成角的余弦值為，D正確.故選：ABD已知AB分別為橢圓：D為C的上頂點，E為CE作M，分別與y軸交于點HG，則下列結(jié)論正確的是（）A.若D是的中點，則B.若M是C的左焦點，則G是的中點C.D.若M是的中點，則【答案】AC【解析】【分析】對A：求出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，求出點及的坐標(biāo)，即可求解；對B：求出直線的方程，可得點的坐標(biāo)，即可判斷；對C：設(shè)，求出直線，的方程，求出點及DC，即可求解.第7頁/共18頁【詳解】由是的中點，則，又，則直線的方程為，與聯(lián)立可得，解得或，將代入，可得，，即，則，故，A正確.若是的左焦點，則，直線的方程為.令，得，所以.令，得，即當(dāng)時，是的中點，B錯誤.設(shè)，直線，的斜率分別為，，則，，.直線，的方程分別為，，分別令，可得，，所以，.，C正確.由∽得，由∽得，可得.因為是的中點，所以.結(jié)合，可得，所以，D錯誤.第8頁/共18頁故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分把答案填在答題卡中的橫線上.12.展開式中的系數(shù)為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項式定理通項公式法計算即可。【詳解】根據(jù)二項式定理通項公式，知道展開式中的系數(shù)為.故答案為：.13.已知拋物線C：的焦點為F，P在C上，若以為直徑的圓與x軸相切于點，則________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意可得點，再利用拋物線的定義即可得結(jié)果.【詳解】由題意得，設(shè)，的中點為，則.因為以為直徑的圓與軸相切于點，則，即，解得，則，所以故答案為：214.甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，1，3，3，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，2，4，4，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的第9頁/共18頁1分的概率為_________，甲的總得分為1的概率為_________.【答案】①.②.【解析】1分”為事件，即可.②甲的總得分可能為0，1，2，分別求甲的總得分為0，2的概率，即得“甲的總得分為1的概率”.【詳解】設(shè)樣本空間為，甲在第一輪比賽中得1分為事件A，在第一輪比賽中，甲、乙兩人所選卡片上的數(shù)字可能為（1，21，43，23，4只有一種情況（3，2）滿足甲在第一輪比賽中得1分，即，所以甲在第一輪比賽中得1分的概率為.甲的總得分可能為012.由于對稱性，不妨固定乙四輪所選卡片上的數(shù)字依次為（2244所選卡片上的數(shù)字有種排序方法.若甲的總得分為0，則甲四輪所選卡片上的數(shù)字依次為（1，1，3，3若甲的總得分為2，則甲四輪所選卡片上的數(shù)字依次為（3，3，1，1）.故甲的總得分為0，2的概率均為，甲的總得分為1的概率為.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.袋中裝有12個大小相同的球，其中紅球2個，黃球3個，白球7個，從中隨機取出3個球.（1）求取出的3個球中有2個白球的概率；（2）設(shè)X表示取到的紅球個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】1）應(yīng)用超幾何分布的概率公式求概率即可.（2）先分別應(yīng)用超幾何分布的概率公式求出對應(yīng)概率，再寫出分布列，再求數(shù)學(xué)期望即可.【小問1詳解】第10頁/共18頁所求概率為【小問2詳解】X可能的取值為0，1，2.，.故X的分布列為012故.16.患病情況患不患服用情況病病服用中藥預(yù)防方1090不服用中藥預(yù)防5050方（1）該中藥預(yù)防方對預(yù)防該種疾病是否有效?（2）從參與該實驗的人中任選一人，A表示事件“選到的人服用中藥預(yù)防方”，B表示事件“選到的人患病”.利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，求，的值.附：，其中.第11頁/共18頁0.100.050.012.7063.8416.635【答案】（1）有99%的把握認(rèn)為該中藥預(yù)防方對預(yù)防該種疾病有效（2），.【解析】1）利用的性質(zhì)進行比較.（2）利用條件概率，分析情況得到答案.小問1詳解】由已知得，所以有99%的把握認(rèn)為該中藥預(yù)防方對預(yù)防該種疾病有效.【小問2詳解】由題意可得，，，.，17.中，是邊長為2的正三角形，平面，為上的動點.（1）求三棱錐的體積；（2）當(dāng)最小時，求平面與平面所成角的余弦值.第12頁/共18頁【答案】（1）（2）【解析】1）求出底面積和高，根據(jù)棱錐體積公式計算即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點坐標(biāo)，借助二次函數(shù)性質(zhì)，求得所以當(dāng)時，有最小值.再求出面的法向量，借助向量夾角余弦值公式計算即可.【小問1詳解】容易求得.因為平面，所以是三棱錐的高.中，，所以三棱錐的體積.【小問2詳解】取的中點O，連接，以，所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以.設(shè)，則，，則，所以當(dāng)時，有最小值.第13頁/共18頁此時，，.設(shè)平面的法向量為，則所以令，則，，所以.平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成的角為，則，所以當(dāng)最小時，平面與平面所成角的余弦值為.18.甲、乙2名同學(xué)最近100次的投籃情況如下：甲乙投中5060未投中5040用頻率估計概率，解答下列問題．（1）若從甲、乙2人中隨機選擇1人投籃1次，求投中的概率．（2）設(shè)甲、乙進行投籃比賽，約定甲、乙輪流投籃，第一次由甲先投．規(guī)定：若其中一人比另一個人多投中2次，則停止比賽（例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，則停止比賽，乙不再投第5次，則也停止比賽，投中次數(shù)多的獲勝，次數(shù)相同則平局．甲、乙每次投中與否相互獨立．①求甲投了第3次后停止比賽的概率；②求乙投了第4次后停止比賽的概率．【答案】（1）第14頁/共18頁（2）①；②【解析】1）利用頻率求出兩人投中的概率，然后根據(jù)兩人的投中概率可求答案；（23次后停止比賽的所有情況，結(jié)合互斥事件的概率求解；②乙投了第4次后停止比賽，說明乙比甲多投中2次，按照輪次情況，分類求解概率即可.【小問1詳解】甲同學(xué)投籃命中率為，乙同學(xué)的投籃命中率為．從甲、乙中隨機選擇1人投籃1次，投中的概率為．【小問2詳解】①甲投了3次，則乙投了2次．由題意可得甲比乙多投中2次，有2種情況．第一種情況：甲投中了3次，乙投中了1次，即甲每次投籃都投中，乙第一次投籃投中，第二次投籃沒投中，其概率為．第二種情況：甲投中了2次，乙投中了0次，即甲第一、三次投籃投中，第二次投籃沒投中，乙每次投籃都沒投中，或甲第二、三次投籃投中，第一次投籃沒投中，乙每次投籃都沒投中，其概率為，故所求概率為．②乙投了4次，則甲投了4次．記甲、乙各投1次為一輪，則甲、乙共投了四輪．在每輪比賽中，記事件為乙投中的次數(shù)比甲多1次，即乙投中，甲沒投中，其概率，記事件為甲、乙投中的次數(shù)相等，即甲、乙都沒投中或都投中，其概率，記事件為乙投中次數(shù)比甲少1次，即乙沒投中，甲投中，其概率．投了第四次后停止比賽，即投了四輪后乙投中的次數(shù)比甲多2次，有2種情況．第15頁/共