2021年高中數(shù)學(xué)新人教A版必修第二冊第八章立體幾何初步達(dá)標(biāo)檢測卷 卷一 解析版

此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考證號此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考證號考場號座位號立體幾何初步（A）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．下面關(guān)于空間幾何體的定義或結(jié)構(gòu)特征敘述錯誤的是（）A．空間中把一個平行四邊形按某一方向平移所形成的幾何體是四棱柱B．有兩個側(cè)面都是矩形的三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面C．以直角三角形一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐D．底面是正多邊形的棱錐的頂點在底面的射影一定是底面正多邊形的中心【答案】D【解析】對于A，由四棱柱的定義：空間中把一個平行四邊形按某一方向平移所形成的幾何體是四棱柱，故A正確；對于B，根據(jù)直線與平面的判定定理，得到這兩個側(cè)面的交線垂直于底面，是真命題，故B正確；對于C，由圓錐的定義：以直角三角形一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐，故C正確；對于D，底面是正多邊形的棱錐的頂點在底面的射影不一定是底面正多邊形的中心，故D錯誤，故選D．2．正四面體的棱長為，，分別為，中點，則的長為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如題所示：連接，，因為，為的中點，所以，所以，同理．又因為，為的中點，所以，所以，故選A．3．直角三角形的三邊滿足，分別以，，三邊為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積記為、、，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】直角三角形的三邊滿足，分別以，，三邊為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積記為、、，，，該直角三角形斜邊上的高滿足，可得，，，，，故選A．4．設(shè)、是兩條不同的直線，是平面，、不在內(nèi)，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．，，則 B．，，則C．，，則 D．，，則【答案】D【解析】對于A，，由線面平行的性質(zhì)定理可知，過直線的平面與平面的交線平行于，，，，，故A正確；對于B，若，，由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得，故B正確；對于C，若，，則或，又，，故C正確；對于D，若，，則或與相交或，而，則或與相交，故D錯誤，故選D．5．如圖，在三棱柱中，，，底面，則異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】在三棱柱中，，異面直線與所成的角為或其補角，連接，底面，平面，，又，，平面，又平面，，由，可得，，，又，，在中，，即異面直線與所成角的余弦值為，故選A．6．如圖，圓錐的母線長為4，點M為母線AB的中點，從點M處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到B點，這條繩子的長度最短值為，則此圓錐的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)底面圓半徑為，由母線長，可知側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，將圓錐側(cè)面展開成一個扇形，從點M拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點B，最短距離為BM；如圖，在中，，，，所以，所以，故，解得，所以圓錐的表面積為，故選B．7．已知一個圓柱的表面積等于側(cè)面積的，且其軸截面的周長為16，則該圓柱的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，∵圓柱的側(cè)面積等于表面積的，且其軸截面的周長是16，∴，解得，∴圓柱的體積為，故選B．8．如圖，在矩形中，已知，E是的中點，將沿直線翻折成，連接．若當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時，三棱錐外接球的體積為，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在矩形中，已知，E是的中點，所以為等腰直角三角形，斜邊上的高為，要想三棱錐的體積最大，需高最大，則平面面時體積最大，此時平面，三棱錐的高等于，因為三棱錐外接球的體積為，可得，解得，取的中點H，連接，，，由平面，得平面，∴，由已知是正方形，，且與平分于，∴，即為外接球球心，∴，即，故選B．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．如圖，在棱長均相等的四棱錐中，為底面正方形的中心，，分別為側(cè)棱，的中點，有下列結(jié)論正確的有（）A．平面B．平面平面C．直線與直線所成角的大小為D．【答案】ABD【解析】選項A，連接BD，顯然O為BD的中點，又N為PB的中點，所以，由線面平行的判定定理可得平面；選項B，由，分別為側(cè)棱，的中點，得，又底面為正方形，所以，由線面平行的判定定理可得，平面OMN，又選項A得平面，由面面平行的判定定理可得，平面平面；選項C，因為，所以為直線與直線所成的角，又因為所有棱長都相等，所以，故直線與直線所成角的大小為；選項D，因底面為正方形，所以，又所有棱長都相等，所以，故，又，所以，故ABD均正確．10．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，截面與直線平行，與交于點E，則下列判斷正確的是（）A．E為的中點B．平面C．與所成的角為D．三棱錐與四棱錐的體積之比等于．【答案】ABD【解析】對于A，連接交于點，連接，如圖所示，面，面，且面面，，又四邊形是正方形，為的中點，為的中點，故A正確；對于B，面，面，，又，，，面，面，故B正確；對于C，，為與所成的角，面，面，，在中，，，故C錯誤；對于D，由等體積法可得，，又，，，故D正確，故選ABD．11．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面，則下列說法正確的是（）A．在棱上存在點M，使平面B．異面直線與所成的角為90°C．二面角的大小為45°D．平面【答案】ABC【解析】如圖，對于A，取的中點，連接，，∵側(cè)面為正三角形，，又底面是菱形，，是等邊三角形，，又，，平面，平面，故A正確；對于B，平面，，即異面直線與所成的角為90°，故B正確；對于C，∵平面平面，，平面，，，是二面角的平面角，設(shè)，則，，在中，，即，故二面角的大小為45°，故C正確；對于D，因為與不垂直，所以與平面不垂直，故D錯誤，故選ABC．12．如圖，在菱形中，，，將沿對角線翻折到位置，連結(jié)，則在翻折過程中，下列說法正確的是（）A．與平面所成的最大角為B．存在某個位置，使得C．當(dāng)二面角的大小為時，D．存在某個位置，使得到平面的距離為【答案】BC【解析】如圖所示：A項：取的中點，連接、，因為四邊形是菱形，是線段的中點，所以，，，平面，平面，所以平面，所以平面，所以在平面的射影為，即與平面所成角，，三角形是等腰三角形，當(dāng)時，與平面所成角為，故A錯誤；B項：當(dāng)時，取的中點，可得，，故平面，，故B正確；C項：因為四邊形是菱形，是線段的中點，所以，，因為是平面與平面的交線，所以即平面與平面所成角，因為二面角的大小為，所以，因為，所以，故C正確；D項：因為，所以如果到平面的距離為，則平面，，，，，則，顯然不可能，故D錯誤，故選BC．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知邊長為1的菱形中，，則用斜二測畫法畫出這個菱形的直觀圖的面積為__________．【答案】【解析】菱形中，，，則菱形的面積為，所以用斜二測畫法畫出這個菱形的直觀圖面積為．14．某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長方體．正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為____________．【答案】20【解析】由題意，正四棱錐的斜高為，該組合體的表面積為．15．已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個半圓，設(shè)圓錐的頂點為，、是底面圓周上的兩個不同的動點，給出下列四個判斷，其中正確的是_________．①圓錐的側(cè)面積為；②母線與圓錐底面所成角的大小為60°；③可能為等腰直角三角形；④面積的最大值為．【答案】②④【解析】如圖，設(shè)為底面圓的圓心，則為圓錐的高．設(shè)圓錐的母線為，由底面半徑為1，所以底面圓的周長為，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則此半圓的半徑為，此半圓的半圓弧長，所以，所以側(cè)面展開圖的面積為，所以①不正確；由圓錐的性質(zhì)可知與圓錐底面所成角為，則，所以，所以②正確；在中，，，不可能為直角三角形，所以③不正確；在中，，由，所以，所以，所以，所以④正確，故正確的判斷為②④． 16．如圖，四棱錐的底面為矩形，側(cè)棱底面ABCD，且，E，F(xiàn)分別是線段PA，PD的中點，H在線段AB上．若平面平面EFH，則__________AB，若，，則點D到平面PAC的距離為__________．【答案】，【解析】平面平面，面平面，面平面，．又是線段的中點，在線段上，是的中點，故，過作于，側(cè)棱底面，，且，面，線段的長就是點到平面的距離．在直角三角形中，，．故答案為，．四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖，在正方體中，是的中點，，，分別是，，的中點，求證：（1）直線平面；（2）平面平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】證明：（1）如圖，連接，因為，分別是，的中點，所以．又因為平面，平面，所以直線平面．（2）連接，因為，分別是，的中點，所以．又因為平面，平面，所以平面，由（1）有直線平面，又平面，平面，，所以平面平面．18．（12分）如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，，為與的交點，為棱上一點．（1）證明：平面平面；（2）若平面，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）平面，平面，，∵四邊形是正方形，，，平面，平面，∴平面平面．（2）平面，平面平面，，是中點，是中點，．19．（12分）如圖，等腰直角三角形的直角邊，沿其中位線將平面折起，使平面平面，得到四棱錐，設(shè)，，，的中點分別為．（1）求證：四點共面；（2）求證：平面平面；（3）求異面直線與所成的角．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】（1）由題意易知：，，所以，所以四點共面．（2）因為平面平面，平面平面，而，所以平面，即，又，所以平面，而平面，所以平面平面．（3）由條件知，，，延長至，使，延長至，使，則，，故為平行四邊形，所以，又，所以為異面直線與所成的角（或補角）．因為，且三線兩兩互相垂直，由勾股定理得．因為三角形為正三角形，所以．所以異面直線與所成的角為．20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱，．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求二面角的平面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】（1），，，，．同理可證，，平面．（2）由（1）知平面，平面，，∵四邊形是正方形，．又，平面．又平面，∴平面平面．（3）由（1）知平面，平面，．又，，平面，平面，，為二面角的平面角．在中，，，∴二面角的平面角的大小為．21．（12分）如圖①，是以為斜邊的等腰直角三角形，是等邊三角形，，如圖②，將沿折起使平面平面分別為的中點，點在棱上，且，點在棱上，且． （1）在棱上是否存在一點，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）存在點滿足題意，；（2）．【解析】（1）存在點滿足題意，，證明如下：如圖，取的中點，連接，因為，，所以．又平面，平面，所以平面．因為，所以，所以，又，所以，所以．又平面，平面，所以平面．因為，所以平面平面，所以．（2）如圖，連接，因為平面平面，，平面平面，所以平面．又平面，所以．同理，平面，所以，．由題得，設(shè)點到平面的距離為，由，得，所以，即點到平面的距離為．22．（12分）在正方體中，，分別為，的