高二數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）311橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（六大題型）

3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 4題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 4題型二：橢圓方程的充要條件 7題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題 9題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題 12題型五：橢圓上兩線段的和差最值問(wèn)題 15題型六：利用第一定義求解軌跡 19

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù)（），這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)喝?，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無(wú)圖形．知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無(wú)所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設(shè)點(diǎn)；（2）點(diǎn)的集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡(jiǎn)方程等步驟．（1）建系設(shè)點(diǎn)建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量（距離、直線斜率等）的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱(chēng)性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模詢(xún)啥c(diǎn)、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖）．設(shè)（），為橢圓上任意一點(diǎn)，則有．（2）點(diǎn)的集合由定義不難得出橢圓集合為：．（3）代數(shù)方程，即：.（4）化簡(jiǎn)方程由可得，則得方程關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略．因此，方程即為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．它表示的橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)是．這里．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；（2）當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）這里的“標(biāo)準(zhǔn)”指的是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；（3）橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上．當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；（4）在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，因?yàn)?，所以可以根?jù)分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上．知識(shí)點(diǎn)三：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要用到以下幾種方法：（1）待定系數(shù)法：①若能夠根據(jù)題目中條件確定焦點(diǎn)位置，可先設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由題設(shè)確定方程中的參數(shù)a，b，即：“先定型，再定量”．②由題目中條件不能確定焦點(diǎn)位置，一般需分類(lèi)討論；有時(shí)也可設(shè)其方程的一般式：（且）．（2）定義法：先分析題設(shè)條件，判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，然后根據(jù)橢圓的定義確定方程，即“先定型，再定量”．利用該方法求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要注意是否需先建立平面直角坐標(biāo)系再解題．【典型例題】題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程【典例11】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】設(shè)，則，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.【典例12】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓的定義知，所以．又因?yàn)?，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫(xiě)出橢圓方程.（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在軸還是軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.注意：①如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為.②與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為.③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）.【變式11】（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【答案】【解析】設(shè)橢圓方程為，則，解得，故橢圓方程為.故答案為：【變式12】（2024·高二·安徽黃山·期中）已知橢圓的焦距為6，且短軸的一個(gè)頂點(diǎn)為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】由焦距為6可知，即可得，又短軸的一個(gè)頂點(diǎn)為，即可得，所以可得，且焦點(diǎn)在軸上；因此可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：【變式13】（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）求出適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；(2)兩個(gè)焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)的橢圓方程(3)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)橢圓方程.；【解析】（1）由題意可得，設(shè)橢圓方程為，由點(diǎn)在橢圓上可得，又，由以上兩式消去并整理可得，解得或（舍去），所以，所以橢圓方程為，（2）設(shè)橢圓方程為，由題意可得，解得，所以橢圓方程為，（3）由題意可設(shè)橢圓方程為，代入，可得，整理可得，解得或（舍去）所以橢圓方程為，題型二：橢圓方程的充要條件【典例21】（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．且 C． D．【答案】D【解析】，即，因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在x軸上的橢圓，所以，解得.故選：.【典例22】（2024·高二·福建三明·階段練習(xí)）已知方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可得，解得.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】表示橢圓的充要條件為：；表示圓方程的充要條件為：.【變式21】（2024·高二·江西·階段練習(xí)）若方程表示橢圓，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以，解得，故選：D.【變式22】（2024·高二·云南昆明·階段練習(xí)）方程表示橢圓的充要條件是（

）A． B．C． D．或【答案】D【解析】若表示橢圓，則有，解得或.故選：D.【變式23】（2024·高二·江蘇南京·期末）已知方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，解得或故選：D【變式24】（2024·高二·河南·階段練習(xí)）若曲線表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榍€表示橢圓，即表示橢圓則應(yīng)滿(mǎn)足即．故選：D．題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題【典例31】（2024·高二·廣西桂林·期中）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為上有一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（

）A． B．20 C． D．16【答案】B【解析】因?yàn)?，，所以，故的周長(zhǎng)為．故選：B．【典例32】（2024·高二·貴州六盤(pán)水·期中）設(shè)，分別為橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)且不與坐標(biāo)軸重合的直線橢圓C于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【解析】根據(jù)題意，橢圓中，根據(jù)橢圓定義，的周長(zhǎng)為.故選：C【方法技巧與總結(jié)】焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題常用定義與解三角形的知識(shí)來(lái)解決，對(duì)于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)將距離問(wèn)題常用定義，即.【變式31】（2024·高二·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上.若，則的面積為（

）A．4 B．6 C．8 D．【答案】D【解析】由橢圓定義可得，又因?yàn)?，所以由勾股定理可得，即，解得，則的面積為.故選：D.【變式32】（2024·高二·云南保山·階段練習(xí)）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在此橢圓上，且，則的面積為（

）A．4 B． C． D．8【答案】C【解析】設(shè)Px,y，則滿(mǎn)足，取，因?yàn)?，所以，即，?lián)立，解得，則的面積，故選：C【變式33】（2024·高二·吉林延邊·期中）點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且的內(nèi)切圓半徑為1，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由，得，所以，所以，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，因?yàn)樗?，?故選：B【變式34】（2024·高二·天津·階段練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且，則的面積為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【解析】由可得：，則橢圓得長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，，可設(shè)，，由題意可知，，，，，△是直角三角形，其面積．故選：B．【變式35】（2024·高二·湖北·期末）已知橢圓（）的兩焦點(diǎn)分別為、．若橢圓上有一點(diǎn)P，使，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，不妨設(shè)，由點(diǎn)在橢圓上可得：①，由余弦定理可得：，化簡(jiǎn)得：②，由①式兩邊平方再減去②式，得：，于是的面積為.故選：D.【變式36】（2024·高二·山西大同·期末）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則的面積等于（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】橢圓的半焦距，則，設(shè)點(diǎn)，于是，消去得，所以的面積.故選：C題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題【典例41】（2024·高二·全國(guó)·隨堂練習(xí)）設(shè)為橢圓上的任意一點(diǎn)，，為其上、下焦點(diǎn)，則的最大值是（

）A．4 B．6 C．9 D．12【答案】C【解析】橢圓，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：C【典例42】（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓的左焦點(diǎn)為為上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．5 B．9 C．10 D．18【答案】B【解析】易知，設(shè)，則，可得，所以；由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，取得最大值為9.故選：B【方法技巧與總結(jié)】利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化【變式41】（2024·高二·安徽·期中）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，若點(diǎn)P在橢圓C上，則的最大值為（

）A．1 B．5 C．7 D．【答案】C【解析】依題意，，，則，，設(shè)，所以：，又因?yàn)椋海裕?，因?yàn)椋海援?dāng)時(shí)，有最大值：，故C項(xiàng)正確.故選：C．【變式42】（2024·湖南·二模）已知分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．64 B．16 C．8 D．4【答案】B【解析】，因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)滿(mǎn)足，當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)時(shí)，取得最大值，最大值為．所以的最大值為16．故選：B．【變式43】（2024·高二·浙江·期中）已知點(diǎn)為橢圓:的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示：在橢圓中，，則，圓的圓心，半徑，圓心為橢圓的左焦點(diǎn)，由橢圓定義可得，，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，即，由圓的幾何性質(zhì)可得，所以，所以的最小值是.故選：C.【變式44】（2024·高二·江蘇南通·階段練習(xí)）為橢圓：上一點(diǎn)，，則最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，由于，故當(dāng)時(shí)，取最小值，故選：D【變式45】（2024·陜西西安·一模）已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【解析】設(shè)圓的圓心為，則，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，所以．故選：B．.題型五：橢圓上兩線段的和差最值問(wèn)題【典例51】（2024·高二·廣東深圳·期末）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是.【答案】10【解析】設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為圓的圓心，點(diǎn)為圓外的點(diǎn)，的最大值為,,即，的最大值為，如圖，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí),“=”成立，，,,所以的最大值為.故答案為：10【典例52】（2024·高二·遼寧沈陽(yáng)·期末）已知，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，若，則的范圍為．【答案】【解析】由橢圓的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為橢圓，且，，所以，又由三角形的性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，故答案為：【方法技巧與總結(jié)】在解析幾何中，我們會(huì)遇到最值問(wèn)題，這種問(wèn)題，往往是考察我們定義．求解最值問(wèn)題的過(guò)程中，如果發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問(wèn)題能迎刃而解．【變式51】（2024·高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知P是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)P在直線l：上的射影為Q，F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【解析】由橢圓，可得左焦點(diǎn)為，則，于是，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且P在線段上時(shí)，取得最小值，又由的最小值為點(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為.故答案為：.【變式52】（2024·高二·安徽·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(1，1)，則的最大值是.【答案】5【解析】設(shè)橢圓的半焦距為cc>0，則，，所以F1-1,0，F(xiàn)2所以MA+如圖，因?yàn)镸A-MF2≤AF所以MA+所以MA+MF故答案為：5【變式53】（2024·高二·全國(guó)·期末）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【解析】由為橢圓上任意一點(diǎn)，則MF1又為圓上任意一點(diǎn)，則（當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E共線時(shí)取等號(hào)），∴，當(dāng)且僅當(dāng)M、N、E、共線時(shí)等號(hào)成立.∵，，則，∴的最小值為．故答案為：．【變式54】（2024·高二·四川綿陽(yáng)·期中）已知是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【解析】不妨設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，又，則的最小值為．故答案為：．【變式55】（2024·高二·陜西咸陽(yáng)·期中）已知點(diǎn)，，分別是橢圓：的左，右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是.【答案】【解析】由橢圓方程可知，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，則，當(dāng)且僅當(dāng)P是線段與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取得最小值.故答案為：.題型六：利用第一定義求解軌跡【典例61】（2024·高二·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）已知點(diǎn)和點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，，所以的斜率，的斜率，由題意可得，化簡(jiǎn)，得點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：【典例62】（2024·高二·山東青島·期中）一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，又由圓得，圓心，半徑，由圓得，圓心，半徑，由已知得，兩式相加消去可得，根據(jù)橢圓定義可得動(dòng)圓圓心的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)為其中，所以，所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】常見(jiàn)考題中，會(huì)讓我們利用圓錐曲線的定義求解點(diǎn)P的軌跡方程，這時(shí)候要注意把動(dòng)點(diǎn)P和滿(mǎn)足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來(lái)做判斷．焦點(diǎn)往往有以下的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為F的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題上提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到滿(mǎn)足以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿(mǎn)足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來(lái)結(jié)合曲線定義判斷．注意：在求解軌跡方程的題中，要注意x和y的取值范圍.【變式61】（2024·廣東江門(mén)·二模）已知圓內(nèi)切于圓，圓內(nèi)切于圓，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為.【答案】【解析】設(shè)圓的半徑為，則，則，所以點(diǎn)的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓．則，所以，所以動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為．故答案為：.【變式62】（2024·高二·天津紅橋·階段練習(xí)）如圖：已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，Q是圓C上的任意一點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線與CQ相交點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程為【答案】【解析】連接，由線段的垂直平分線與相交點(diǎn)M，可得，則有，所以點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，以5為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，則，即，所以點(diǎn)M的軌跡方程為：，即，故答案為：.【變式63】（2024·高二·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）已知圓E：，點(diǎn)，P是圓E上的任意一點(diǎn)，線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于點(diǎn)Q，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為．【答案】【解析】連結(jié)QF，根據(jù)題意，，則，故Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則有所以，則，所以點(diǎn)Q的軌跡方程為．故答案為：．【變式64】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，則；點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【解析】如圖所示，由的方程得圓心，半徑為，因?yàn)?，所以，又，所以，則，所以，又，所以，又斜率不為，所以點(diǎn)不在軸上，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且點(diǎn)不在軸上，則，，所以，即點(diǎn)的軌跡方程為，故答案為：，.【變式65】（2024·高二·上?！て谀┮阎獧E圓上有一點(diǎn)，是軸上的定點(diǎn)，若有一點(diǎn)滿(mǎn)足，則的軌跡方程為．【答案】【解析】設(shè)是所求軌跡上的一點(diǎn)，且，因?yàn)椋?，可得，即，可得，代入橢圓，可得，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.【變式66】（2024·高二·福建