高等數(shù)學第六章定積分的應用習題課講解材料

一、定積分應用的類型1．幾何應用

平面圖形的面積特殊立體的體積平面曲線弧長旋轉體的體積平行截面面積為已知立體的體積2．物理應用

變力作功水壓力引力二、構造微元的基本思想及解題步驟1.構造微元的基本思想無論是幾何應用還是物理應用通常采用元素法。元素法的實質是局部上“以直代曲”、“以不變代變”、“以均勻變化代不均勻變化”的方法，其“代替”的原則必須是無窮小量之間的代替。將局部

上所對應的這些微元無限積累，通過取極限，把所求的量表示成定積分．2.在求解定積分應用問題時，主要有四個步驟：

①選取適當?shù)淖鴺讼?；三、典型例題1.幾何應用定積分的幾何應用包括求平面圖形的面積、特殊立體的體積和平面曲線的弧長。解決這些問題的關鍵是確定面積元素、體積元素和弧長元素。③在

上求出微元解析式④把所求的量表示成定積分

②確定積分變量和變化范圍；（2）求微元：任取

如果將圖形上方直線的縱坐標記為,將圖形下方拋物線的縱坐標記為,那么，就是區(qū)間所對應的矩形的面積。因此（3）求定積分：所求的幾何圖形的面積表示為計算上面的積分得：

【例2】求由擺線,

的一拱與軸所圍成圖形的面積.分析：曲線的方程為參數(shù)方程，圍成圖形如圖所示，設區(qū)間所對應的曲邊梯形面積為

則面積元素就是在上“以直代曲”

所形成的矩形面積。

如果取

為積分變量,則.解:(1)確定積分變量和積分區(qū)間：選取

為積分變量，(2)求微元：,,那么面積元素就是區(qū)間

所對應的矩形的面積，即.

(3)求定積分：所求的幾何圖形的面積可表示為：【例3】設由曲線，及圍成平面圖形

繞軸,軸旋轉而成的旋轉體的體積。分析：此題為求解旋轉體體積的問題，繞

軸旋轉時，取為積分變量;繞軸旋轉時,取為積分變量。設區(qū)間對

或對或所對應的曲邊梯形為

是以直代曲所形成的矩形為則繞

軸、軸旋轉而成的旋

轉體的體積微元就是矩形分別繞

軸、軸旋轉而成的體積.解:(一)求繞軸旋轉而成的旋轉體的體積

（1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞

軸旋轉如圖,旋轉體體積元素是對應的矩形繞軸所得的旋轉體的體積，即

（2）求微元：對取為積分變量,則（3）求定積分：繞軸旋轉而成的旋轉體的體積表示為計算積分得：（1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞軸旋轉如圖,

取為積分變量,則(二)求繞

軸旋轉而成的旋轉體的體積（2）求微元：對旋轉體的體積元素

是對應的矩形繞

軸所得的旋轉體體積,即（3）求定積分：繞軸所得的旋轉體的體積表示為

計算積分得:

【例4】計算底面是半徑為2的圓，而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積。分析：此題為平行截面面積為已知的立體的體積。若選擇積分變量為

,如果能求出平面

所截立體的截面面積那么，

所對應的體積元素為.

建立如圖所示的坐標系，解:(1)確定積分變量和積分區(qū)間：則底圓方程為

取為積分變量,所以

（2）求微元：因為過點的截面為等邊三角形（如圖），其邊長為高為所以截面積為

因此,對所對應的體積元素為

（3）求定積分：所求立體的體積為【例6】計算半立方拋物線了被拋物線

截得的一段弧的長度。分析：所給定的曲線弧如圖所示。對把區(qū)間上

所對應的曲線段長用切線段長

代替，則得到弧長的微元

的解析式.取積分變量為則取為積分變量,則解:(1)確定積分變量和積分區(qū)間：計算兩曲線的交點的橫坐標得(2)求微元：

區(qū)間所對應的曲線段長用切線段長

來代替,得弧長元素由于從而(3)求定積分：所求的曲線弧長可表示成定積分計算得【例7】求星形線的全長.分析：曲線為參數(shù)方程，由于星形線關于

軸都對稱所以只須考慮第一象限中的情況。取參數(shù)

為積分變量，

對把區(qū)間

上所對應的曲線段長用切線段長

代替,則得到曲線弧長的微元

的解析式。

解:(1)確定積分變量和積分區(qū)間:取參數(shù)為積分變量,

(2)求微元：把區(qū)間

上所對應的曲線弧長用切線段長

代替,得弧長元微元

(3)求定積分：所求的曲線弧長可表示成定積分計算得則所求曲線弧長為

注：若曲線用極坐標的形式表出，也可轉化為直角坐標來做，但積分時要注意積分上下限的確定。6.3定積分在物理學上的應用定積分的物理應用包括作功、水壓力和引力等問題。本節(jié)僅給出作功、水壓力和引力問題的例子。重點強調應用元素法如何確定功元素、水壓力元素和引力元素。特別指出的是，在應用定積分解決物理應用方面的問題時，選取合適的坐標系，有利于積分式的簡化，從而實現(xiàn)計算簡單。一、變力沿直線所作的功求物體沿直線從a移動到b時，變力F(x)所作的功W由定積分的物理意義變力所作的功功的元素：一個單求電場力所作的功.解:當單位正電荷距離原點r時,由庫侖定律電場力為則功的元素為所求功為位正電荷沿直線從距離點電荷a處移動到b處(a<b),在一個帶+q電荷所產生的電場作用下,例1.體,求移動過程中氣體壓力所由于氣體的膨脹,把容器中的一個面積為S的活塞從點a處移動到點b

處(如圖),作的功.在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣例2.解:建立坐標系如圖.

壓強p與體積V成反比,即功元素為故作用在活塞上的力為所求功為恒溫時,建立坐標系如圖.解:例3.設水的密度為一蓄滿水的圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,試問要把桶中的水全部吸出需作多少功?x(kN)這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為(kJ

)二、水壓力面積為A的平板設水密度為

在水深h處的壓強:當平板與水面平行時,當平板不與水面平行時,所受壓力因平板上各點處處于不同水深所以壓強不等,從而問題就需用積分解決.平板一側所受的壓力為??小窄條[x,x+dx]上各點的壓強近似為

的液體,

求桶的一個端面所受的壓力.解:建立坐標系如圖.端面圓的故壓力元素端面所受壓力為方程為一水平橫放的半徑為R

的圓桶,內盛半桶密度為例4.取x為積分變量,其變化區(qū)間為[0,R]三、引力質量分別為的質點,相距r,二者間的引力:大小:方