高中數(shù)學(xué)(人教B版)選擇性必修二同步講義第4章第07講獨(dú)立性檢驗(yàn)(學(xué)生版+解析)

第07講獨(dú)立性檢驗(yàn)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義.2.通過實(shí)例，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用.1.理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本概念、原理和步驟；2.學(xué)生應(yīng)能夠運(yùn)用所學(xué)的獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)解決實(shí)際問題；3.通過學(xué)習(xí)獨(dú)立性檢驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)處理和分析的能力．知識(shí)點(diǎn)012×2列聯(lián)表1．2×2列聯(lián)表的概念：將隨機(jī)事件A，B的樣本數(shù)據(jù)整理成如下的表格Aeq\o(A,\s\up6(－))總計(jì)Baba＋beq\o(B,\s\up6(－))cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d上面這個(gè)表格中，核心的數(shù)據(jù)是中間的4個(gè)格子，所以這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表2．列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義：記na＋b＋c＋d，則由上表可知：(1)事件A發(fā)生的概率可估計(jì)為P(A)eq\f(a＋c,n)；(2)事件B發(fā)生的概率可估計(jì)為P(B)eq\f(a＋b,n)；(3)事件AB發(fā)生的概率可估計(jì)為P(AB)eq\f(a,n).其他事件的概率類似可求．【解讀】(1)2×2列聯(lián)表主要用于研究?jī)蓚€(gè)事件之間是相互獨(dú)立的還是存在某種關(guān)聯(lián)性，它適用于分析兩個(gè)事件之間的關(guān)系；(2)因?yàn)镻(A)，P(B)，P(AB)都是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到的估計(jì)值，而估計(jì)是有誤差的，因此直接用P(AB)P(A)P(B)是否不成立來判斷A與B是否獨(dú)立是不合理的．【即學(xué)即練1】1.為調(diào)查乘客暈車情況，在某一次行程中，70名男乘客中有25名暈車，30名女乘客中有5名暈車．在檢驗(yàn)這些乘客暈車是否與性別相關(guān)時(shí)，常采用的數(shù)據(jù)分析方法是()A．回歸分析 B．獨(dú)立性檢驗(yàn)C．頻率分布直方圖 D．用樣本估計(jì)總體2．下表是一個(gè)2×2列聯(lián)表：y1y2總計(jì)x1a2173x222527總計(jì)b46100則表中a、b處的值分別為()A．94，96 B．52，70C．52，54 D．54，52知識(shí)點(diǎn)02獨(dú)立性檢驗(yàn)1．χ2(讀作“卡方”)統(tǒng)計(jì)量：是統(tǒng)計(jì)中一個(gè)非常有用的統(tǒng)計(jì)量，它的表達(dá)式是χ2eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).2．獨(dú)立性檢驗(yàn)：任意給定一個(gè)α(稱為顯著性水平，通常取為0.05，0.01等)，可以找到滿足條件P(χ2≥k)α的數(shù)k(稱為顯著性水平α對(duì)應(yīng)的分位數(shù)).χ2是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布能夠求出，上面的概率是可以計(jì)算的．因此，如果根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出χ2的值后，發(fā)現(xiàn)χ2≥k不成立，就稱在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下，可以認(rèn)為A與B不獨(dú)立(也稱為A與B有關(guān))；或說有1－α的把握認(rèn)為A與B有關(guān)．若χ2<k不成立，就稱不能得到前述結(jié)論．這一過程通常稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．【解讀】A與B獨(dú)立時(shí)，也稱為A與B無關(guān)．當(dāng)χ2<k不成立時(shí)，一般不直接說A與B無關(guān)．也就是說，獨(dú)立性檢驗(yàn)通常得到的結(jié)果，或者是有1－α的把握認(rèn)為A與B有關(guān)，或者沒有1－α的把握認(rèn)為A與B有關(guān)．【即學(xué)即練2】已知P(χ2≥6.635)0.01，P(χ2≥10.828)0.001.在檢驗(yàn)喜歡某項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)的過程中，某研究員搜集數(shù)據(jù)并計(jì)算得到χ27.235，則根據(jù)小概率值α________的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡該項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．題型01利用列聯(lián)表分析兩變量的關(guān)系【典例1】在對(duì)人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人．六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表，并利用eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)判斷二者是否有關(guān)系．【變式1】假設(shè)有兩個(gè)分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為：y1y2x11018x2m26則當(dāng)m取下面何值時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱()A．8 B．9C．14 D．19【變式2】下面是2×2列聯(lián)表．ABB1B2總計(jì)A1332154A2a1346總計(jì)b34100(1)表中a，b處的值應(yīng)為多少？(2)若用頻率估計(jì)概率，則P(A1)，P(B1)，P(A1B1)分別是多少？(3)表中的數(shù)據(jù)能說明A1與B1相互獨(dú)立嗎？【變式3】在一次對(duì)人們飲食習(xí)慣的調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中80歲以上的有70人，80歲以下的有54人.80歲以上的人中，有43人飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；80歲以下的人中，有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表，并判斷二者是否有關(guān)系．題型022×2列聯(lián)表的性質(zhì)及應(yīng)用【典例2】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下面是列聯(lián)表：合計(jì)2173222547合計(jì)46120則表中，的值分別為（

）A．94，72 B．52，70 C．52，74 D．74．52【變式1】（22-23高二下·寧夏固原·期中）下面是一個(gè)列聯(lián)表，則表中處的值分別為（

）總計(jì)257321總計(jì)49A．98，28 B．28，98 C．48，45 D．45，48【變式2】（24-25高三·上海·課堂例題）某村莊對(duì)該村內(nèi)70名村民每年是否體檢的情況進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：每年體檢（人）每年未體檢（人）合計(jì)（人）老年人7年輕人6合計(jì)70已知抽取的村民中老年人、年輕人各25名，則對(duì)列聯(lián)表數(shù)據(jù)的分析錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【變式3】（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）某地政府為解除空巢老人日常護(hù)理和社會(huì)照料的困境，大力培育發(fā)展養(yǎng)老護(hù)理服務(wù)市場(chǎng)．從年開始新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)，下表為該地區(qū)近年新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的數(shù)量對(duì)照表．年份2017201820192020202120222023年份代碼1234567新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)(1)若該地區(qū)參與社區(qū)養(yǎng)老的老人的年齡近似服從正態(tài)分布，其中年齡的有人，試估計(jì)該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人有多少？（結(jié)果按四舍五入取整數(shù)）(2)已知變量與之間的樣本相關(guān)系數(shù)，請(qǐng)求出關(guān)于的線性回歸方程，并據(jù)此估計(jì)年時(shí)，該地區(qū)新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的數(shù)量．（結(jié)果按四舍五入取整數(shù)）參考公式與數(shù)據(jù)：①，.；②若隨機(jī)變量，則，，；③，.【變式3】某高校有10000名學(xué)生，其中女生3000名，男生7000名．為調(diào)查愛好體育運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，用分層抽樣的方法抽取120名學(xué)生，制成獨(dú)立性檢驗(yàn)的2×2列聯(lián)表，如表，則a－b________．(用數(shù)字作答)男女合計(jì)愛好體育運(yùn)動(dòng)a9####不愛好體育運(yùn)動(dòng)28b####合計(jì)########120題型03卡方的計(jì)算【典例3】（23-24高二下·福建漳州·期中）為加強(qiáng)素質(zhì)教育，使學(xué)生各方面全面發(fā)展，某學(xué)校對(duì)學(xué)生文化課與體育課的成績(jī)進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：附：，其中.體育課不及格體育課及格合計(jì)文化課及格57221278文化課不及格164359合計(jì)73264337在對(duì)體育課成績(jī)與文化課成績(jī)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得到的值為（

）A．38.214 B．1.255 C．0.0037 D．2.058【變式1】（24-25高三·上海·隨堂練習(xí)）研究?jī)蓚€(gè)事件A、B之間的關(guān)系時(shí)，根據(jù)數(shù)據(jù)信息列出如下的列聯(lián)表，則以下計(jì)算公式中正確的是（

）BB總計(jì)AA總計(jì)nA． B．C． D．【變式2】（23-24高二下·廣東肇慶·期末）已知某獨(dú)立性檢驗(yàn)中，由計(jì)算出，若將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)分別變成，計(jì)算出的，則（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高二下·甘肅白銀·期末）有甲、乙兩種過濾水中重金屬的設(shè)備，為了檢驗(yàn)使用這兩種設(shè)備與過濾后水中重金屬含量的關(guān)系，各過濾了15瓶受重金屬污染的相同水體，調(diào)查得出以下數(shù)據(jù)：重金屬含量高重金屬含量低設(shè)備甲69設(shè)備乙114根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則（

）A． B． C． D．【變式4】（23-24高二上·江西九江·期末）假設(shè)有兩個(gè)變量和，它們的取值分別為和，其列聯(lián)表為（

）根據(jù)以下選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)計(jì)算的值，其中最大的一組為（

）A．B．C．D．題型04由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)【典例4】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）為了判斷高三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取70名學(xué)生，得到如下列聯(lián)表：理科文科男1310女7200.050.0253.8415.024根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到．則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性不大于．【變式1】（24-25高三·上?！ふn堂例題）在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，為了調(diào)查變量與變量的關(guān)系，經(jīng)過計(jì)算得到，表示的意義是（填序號(hào)）．①有的把握認(rèn)為變量與變量沒有關(guān)系；②有的把握認(rèn)為變量與變量有關(guān)系；③有的把握認(rèn)為變量與變量有關(guān)系；④有的把握認(rèn)為變量與變量沒有關(guān)系．【變式2】（23-24高二下·遼寧葫蘆島·期末）一部年代創(chuàng)業(yè)劇《乘風(fēng)踏浪》，讓遼寧葫蘆島成為許多人心馳神往的旅游度假目的地.為了更好地了解游客需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高游客滿意度，隨機(jī)對(duì)1200位游客進(jìn)行了滿意度調(diào)查，結(jié)果如下表：男性女性合計(jì)滿意58005401100不滿意4080100合計(jì)8008001200根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到（精確到0.001）；依據(jù)數(shù)據(jù)可作出的判斷是.附：.0.10.050.012.7063.8416.635【變式3】（24-25高三上·上?！卧獪y(cè)試）某市政府調(diào)查市民收入增減與旅游需求的關(guān)系時(shí)，采用獨(dú)立性檢驗(yàn)法抽查了7000人，計(jì)算發(fā)現(xiàn)，根據(jù)這一數(shù)據(jù)，市政府?dāng)嘌允忻袷杖朐鰷p與旅游需求有關(guān)的可信度是%．參考數(shù)據(jù)：P0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【變式4】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4080對(duì)照組1090能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？附，0.0700.0100.001k3.8416.63510.828題型05利用獨(dú)立性檢驗(yàn)思想解決實(shí)際問題【典例5】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）2022年北京冬奧組委發(fā)布的《北京2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)經(jīng)濟(jì)遺產(chǎn)報(bào)告（2022）》顯示，北京冬奧會(huì)已簽約45家贊助企業(yè)，冬奧會(huì)贊助成為一項(xiàng)跨度時(shí)間較長(zhǎng)的營(yíng)銷方式.為了解該45家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，某平臺(tái)對(duì)45家贊助企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其中每天線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有20家，余下的企業(yè)中，每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占，統(tǒng)計(jì)后得到如下列聯(lián)表：銷售額不少于30萬元銷售額不足30萬元合計(jì)線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)1720線上銷售時(shí)間不足8小時(shí)合計(jì)45請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān)？附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中.【變式1】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）為研究某種疫苗的效果，現(xiàn)對(duì)名志愿者進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，得到如下數(shù)據(jù)：未感染病毒感染病毒合計(jì)接種疫苗401050未接種疫苗50合計(jì)40根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析疫苗是否有效？參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：．【變式2】（2024·河南信陽·二模）某社區(qū)對(duì)安全衛(wèi)生進(jìn)行問卷調(diào)查，請(qǐng)居民對(duì)社區(qū)安全衛(wèi)生服務(wù)給出評(píng)價(jià)（問卷中設(shè)置僅有滿意、不滿意）.現(xiàn)隨機(jī)抽取了90名居民，調(diào)查情況如下表：男居民女居民合計(jì)滿意2580不滿意a2a合計(jì)90(1)利用分層抽樣的方法從對(duì)安全衛(wèi)生服務(wù)評(píng)價(jià)為不滿意的居民中隨機(jī)抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人中男、女居民各有1人的概率；(2)試通過計(jì)算判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的情況下認(rèn)為男居民與女居民對(duì)社區(qū)安全衛(wèi)生服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異?附：．【變式3】（24-25高三上·湖南·期中）電動(dòng)車的安全問題越來越引起廣大消費(fèi)者的關(guān)注，目前電動(dòng)車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種.某公司為了了解消費(fèi)者對(duì)兩種電池的電動(dòng)車的偏好，在社會(huì)上隨機(jī)調(diào)查了700名市民，其中被調(diào)查的女性市民中偏好鉛酸電池電動(dòng)車的占，得到以下的2－2列聯(lián)表：偏好石墨烯電池電動(dòng)車偏好鉛酸電池電動(dòng)車合計(jì)男性市民200100女性市民合計(jì)700(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民對(duì)這兩種電池的電動(dòng)車的偏好與性別有關(guān)；(2)采用分層抽樣的方法從偏好石墨烯電池電動(dòng)車的市民中隨機(jī)抽取7人，再?gòu)倪@7名市民中抽取2人進(jìn)行座談，求在有女性市民參加座談的條件下，恰有一名女性市民參加座談的概率；(3)用頻率估計(jì)概率，在所有參加調(diào)查的市民中按男性和女性進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名市民，再?gòu)倪@5名市民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，記2名參加座談的市民中來自偏好石墨烯電池電動(dòng)車的男性市民的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0700.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828題型06獨(dú)立性檢驗(yàn)中的參數(shù)與最值問題【典例6】（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）為了更好地開展多媒體化教學(xué)，杭州市某小學(xué)對(duì)“文理學(xué)科教師與喜歡用平板教學(xué)”是否有關(guān)做了一次研究調(diào)查，其中被調(diào)查的文科、理科教師人數(shù)相同，理科教師喜歡用平板教學(xué)的人數(shù)占理科教師總?cè)藬?shù)的80%，文科教師喜歡用平板教學(xué)的人數(shù)占文科教師總?cè)藬?shù)的40%，若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡用平板教學(xué)和文理學(xué)科有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中理科教師人數(shù)最少可能是（

）附：，其中．0.050.0103.8416.635A．8 B．12 C．15 D．20【變式1】（23-24高二下·浙江·期中）為了考查一種新疫苗預(yù)防某X疾病的效果，研究人員對(duì)一地區(qū)某種動(dòng)物進(jìn)行試驗(yàn)，從該試驗(yàn)群中隨機(jī)進(jìn)行了抽查，已知抽查的接種疫苗的動(dòng)物數(shù)量是沒接種疫苗的2倍，接種且發(fā)病占接種的，沒接種且發(fā)病的占沒接種的，若本次抽查得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防某X疾病有關(guān)”的結(jié)論，則被抽查的沒接種動(dòng)物至少有（

）只0.100.050.010.0050.0012.7063.8415.6357.87910.828A．35 B．36 C．37 D．38【變式2】（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·期中）2020年2月，全國(guó)掀起了“停課不停學(xué)”的熱潮，各地教師通過網(wǎng)絡(luò)直播?微課推送等多種方式來指導(dǎo)學(xué)生線上學(xué)習(xí).為了調(diào)查學(xué)生對(duì)網(wǎng)絡(luò)課程的熱愛程度，研究人員隨機(jī)調(diào)查了相同數(shù)量的男?女學(xué)生，發(fā)現(xiàn)有80%的男生喜歡網(wǎng)絡(luò)課程，有40%的女生不喜歡網(wǎng)絡(luò)課程，在犯錯(cuò)誤的概率大于0.001且不超過0.01的前提下認(rèn)為是否喜歡網(wǎng)絡(luò)課程與性別有關(guān)，則被調(diào)查的男?女學(xué)生總數(shù)量可能為（）附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828A．130 B．190 C．240 D．270【變式3】（23-24高二下·廣東中山·期末）某市舉行了首屆閱讀大會(huì)，為調(diào)查市民對(duì)閱讀大會(huì)的滿意度，相關(guān)部門隨機(jī)抽取男女市民各50名，每位市民對(duì)大會(huì)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男市民女市民當(dāng)，時(shí)，若在的情況下，我們沒有充分的證據(jù)推斷男、女市民對(duì)大會(huì)的評(píng)價(jià)有差異，則的最小值為．附：，其中．一、單選題1．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法正確的是（

）A．獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一種檢驗(yàn)B．獨(dú)立性檢驗(yàn)可以確定兩個(gè)變量之間是否具有某種關(guān)系C．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷吸煙與患肺病的關(guān)聯(lián)中，若有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，我們則可以說在100個(gè)吸煙的人中，有99人患肺病D．在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得的值，則的值越大，判斷兩個(gè)變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大2．（23-24高二·全國(guó)·單元測(cè)試）假設(shè)有兩個(gè)分類變量與的列聯(lián)表如下表：對(duì)于以下數(shù)據(jù)，對(duì)同一樣本能說明與有關(guān)系的可能性最大的一組為（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，3．（23-24高二下·福建寧德·階段練習(xí)）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法調(diào)查高中生性別與愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)是否有關(guān)，通過隨機(jī)調(diào)查200名高中生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，利用2×2列聯(lián)表，由計(jì)算可得，參照下表：得到的正確結(jié)論是（

）參考數(shù)據(jù)：臨界值表0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”4．（23-24高二下·福建龍巖·階段練習(xí)）假設(shè)有兩個(gè)分類變量與，它們的可能取值分別為和，其列聯(lián)表為：則當(dāng)取下面何值時(shí)，與的關(guān)系最弱（）101826A．8 B．9 C．14 D．195．（21-22高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b乙班c30總計(jì)105已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是（）A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為70C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”6．（21-22高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）兩個(gè)分類變量X和Y，值域分別為和，其樣本頻數(shù)分別是，，.若X與Y有關(guān)系的可信程度不小于，則c等于（）A．3 B．7 C．5 D．67．（24-25高三·上?！ふn堂例題）為了調(diào)查各參賽人員對(duì)主辦方的滿意程度，研究人員隨機(jī)抽取了700名參賽運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示，現(xiàn)有如下說法：①在參與調(diào)查的700名運(yùn)動(dòng)員中任取1人，抽到對(duì)主辦方表示滿意的男性運(yùn)動(dòng)員的概率為；②在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下可以認(rèn)為“是否對(duì)主辦方表示滿意與運(yùn)動(dòng)員的性別有關(guān)”；③沒有的把握認(rèn)為“是否對(duì)主辦方表示滿意與運(yùn)動(dòng)員的性別有關(guān)”；則正確命題的個(gè)數(shù)為（

）男性運(yùn)動(dòng)員（人）女性運(yùn)動(dòng)員（人）對(duì)主辦方表示滿意200220對(duì)主辦方表示不滿意7030注：0.8000.0700.0100.0012.7063.8416.63510.828A．0 B．1 C．2 D．38．（23-24高二下·河南鄭州·期末）某校乒乓球社團(tuán)為了解喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了若干人進(jìn)行調(diào)查.已知抽查的男生?女生人數(shù)均為，其中男生喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占女生人數(shù)的.若本次調(diào)查得出“有的把握認(rèn)為喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”的結(jié)論，則的最小值為（

）附：參考公式及數(shù)據(jù)：.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．20 B．21 C．22 D．23二、多選題9．（23-24高二下·吉林白山·期末）暑假結(jié)束后，為了解假期中學(xué)生鍛煉身體情況，學(xué)生處對(duì)所有在校學(xué)生做問卷調(diào)查，并隨機(jī)抽取了180人的調(diào)查問卷，其中男生比女生少20人，并將調(diào)查結(jié)果繪制得到等高堆積條形圖．已知，其中，，在被調(diào)查者中，下列說法正確的是（

）A．男生中不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多B．男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人多8人C．經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率是不經(jīng)常鍛煉者中男全的頻率的1.6倍左右D．在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01的條件下，可以認(rèn)為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)10．（23-24高二下·重慶·期末）為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，得到如下藥物結(jié)果與動(dòng)物實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)：患病未患病服用藥1045沒服用藥2030由上述數(shù)據(jù)得出下列結(jié)論，其中正確的是（

）附：；0.050.0250.0100.0053.8415.0246.6357.879A．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷服用藥物是有效的，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025B．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷服用藥物是有效的，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01C．該藥物的預(yù)防有效率超過D．若將所有試驗(yàn)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷服用藥物是有效的，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.00511．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）某中學(xué)為更好地開展素質(zhì)教育，現(xiàn)對(duì)外出研學(xué)課程是否和性別有關(guān)做了一項(xiàng)調(diào)查，其中被調(diào)查的男生和女生人數(shù)相同，且男生中選修外出研學(xué)課程的人數(shù)占男生總?cè)藬?shù)的，女生中選修外出研學(xué)課程的人數(shù)占女生總?cè)藬?shù)的．如果依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為選修外出研學(xué)課程與性別有關(guān)，但依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為選修外出研學(xué)課程與性別無關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（

）附：，其中.A．170人 B．225人C．300人 D．375人三、填空題12．（24-25高三·上?！るS堂練習(xí)）隨著工業(yè)化以及城市車輛的增加，城市的空氣污染越來越嚴(yán)重，空氣質(zhì)量指數(shù)API一直居高不下，對(duì)人體的呼吸系統(tǒng)造成了的嚴(yán)重的影響．現(xiàn)調(diào)查了某市700名居民的工作場(chǎng)所和呼吸系統(tǒng)健康狀況，得到列聯(lián)表如下，則．（結(jié)果精確到0.001）室外工作室內(nèi)工作總計(jì)有呼吸系統(tǒng)疾病170無呼吸系統(tǒng)疾病100總計(jì)20013．（23-24高二下·河南信陽·期末）為了研究高三學(xué)生的性別和身高是否大于170cm的關(guān)聯(lián)性，調(diào)查了高三學(xué)生200名，得到如下列聯(lián)表：性別身高合計(jì)低于170cm不低于170cm女8020100男3070100合計(jì)11090200根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，計(jì)算得；依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“高三學(xué)生的性別和身高有關(guān)聯(lián)”.附：臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82814．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）有甲、乙兩個(gè)班級(jí)共計(jì)105人進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b乙班c30附:其中.0.100.050.0250.0100.00050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是①列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35；②列聯(lián)表中c的值為20，b的值為45；③根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”；④根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”.四、解答題15．（24-25高三·上?！ふn堂例題）為了調(diào)查商戶每天銷售額與每天線上銷售時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，隨機(jī)選取45家商戶進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其中每日線上銷售時(shí)間不少于6小時(shí)的商戶有19家，余下的商戶中，每天的銷售額不足3萬元的占，統(tǒng)計(jì)后得到如下列聯(lián)表：銷售額不少于3萬元（戶）銷售額不足3萬元（戶）合計(jì)線上銷售時(shí)間不少于6小時(shí)419線上銷售時(shí)間不足6小時(shí)合計(jì)45請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“商戶每天銷售額與商戶每天線上銷售時(shí)間有關(guān)．”參考公式：，其中.0.700.400.250.150.0100.050.0250.0100.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.63516．（23-24高二下·青海西寧·期末）某學(xué)校高三年級(jí)有學(xué)生1000人，經(jīng)調(diào)查，其中770人經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為A類同學(xué)），另外270人不經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為B類同學(xué)）.現(xiàn)用按比例分配的分層抽樣方法（按A類?B類分兩層）從該年級(jí)的學(xué)生中共抽查100人，如果以身高達(dá)到作為達(dá)標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)抽取的100人，得到以下列聯(lián)表（單位：人）：身高達(dá)標(biāo)身高不達(dá)標(biāo)總計(jì)經(jīng)常參加體育鍛煉40不經(jīng)常參加體育鍛煉15總計(jì)100(1)完成上表；(2)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為經(jīng)常參加體育鍛煉與身高達(dá)標(biāo)有關(guān)系？注：.附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82817．（24-25高三上·上?！て谥校W(xué)校為了解學(xué)生對(duì)“公序良俗”的認(rèn)知情況，設(shè)計(jì)了一份調(diào)查表，題目分為必答題和選答題．其中必答題是①、②、③共三道題，選答題為④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道題，被調(diào)查者在選答題中自主選擇其中道題目回答即可．現(xiàn)從④、⑥、⑧、⑩四個(gè)題目中至少選答一道的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，他們選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計(jì)如表：選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)1道2道3道4道人數(shù)(1)現(xiàn)規(guī)定：同時(shí)選答④、⑥、⑧、⑩的學(xué)生為“公序良俗”達(dá)人．學(xué)校還調(diào)查了這位學(xué)生的性別情況，研究男女生中“公序良俗”達(dá)人的大概比例，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別“公序良俗”達(dá)人非“公序良俗”達(dá)人總計(jì)男性女性總計(jì)請(qǐng)完成上述列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“公序良俗”達(dá)人與性別是否有關(guān)．(2)從這名學(xué)生中任選名，記表示這名學(xué)生選答④、⑥、⑧、⑩的題目數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．附表見上圖．18．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·期中）新型冠狀病毒疫情已經(jīng)嚴(yán)重影響了我們正常的學(xué)習(xí)、工作和生活.某市為了遏制病毒的傳播，利用各種宣傳工具向市民宣傳防治病毒傳播的科學(xué)知識(shí).某校為了解學(xué)生對(duì)新型冠狀病毒的防護(hù)認(rèn)識(shí)，對(duì)該校學(xué)生開展防疫知識(shí)有獎(jiǎng)競(jìng)賽活動(dòng)，并從女生和男生中各隨機(jī)抽取30人，統(tǒng)計(jì)答題成績(jī)分別制成如下頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖.規(guī)定：成績(jī)?cè)?0分及以上的同學(xué)成為“防疫標(biāo)兵”.

名女生成績(jī)頻數(shù)分布表：成績(jī)頻數(shù)101064附：0.1000.0700.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有%的把握認(rèn)為“防疫標(biāo)兵”與性別有關(guān)；男生女生合計(jì)防疫標(biāo)兵非防疫標(biāo)兵合計(jì)(2)以樣本估計(jì)總體，以頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該校女生中隨機(jī)抽取人，其中“防疫標(biāo)兵”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．19．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）某醫(yī)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)經(jīng)過研究初步得出檢測(cè)某種疾病的患病與否和某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有關(guān)，利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽性（患病），小于或等于的人判定為陰性（未患?。?此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率.(1)隨機(jī)抽取男女各700人進(jìn)行檢驗(yàn)，采用臨界值進(jìn)行判定時(shí)，誤判共10人（漏診與誤診之和），其中2男8女，寫出列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為誤判與性別有關(guān)？(2)經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布表：指標(biāo)[95，100]（100，105]（105，110]（110，115]（115，120]（120，125]（125，130]患病者頻率0.010.060.170.180.20.20.18指標(biāo)[70，75]未患病者頻率0.190.20.20.180.170.050.01假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.若漏診率和誤診率同時(shí)控制在以內(nèi)（小于等于），求臨界值的范圍；(3)在（2）條件下，求出誤判率（漏診率與誤診率之和）最小時(shí)的臨界值及對(duì)應(yīng)的誤診率和漏診率.附：0.1000.0700.0100.0012.7063.8416.63510.828第07講獨(dú)立性檢驗(yàn)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義.2.通過實(shí)例，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用.1.理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本概念、原理和步驟；2.學(xué)生應(yīng)能夠運(yùn)用所學(xué)的獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)解決實(shí)際問題；3.通過學(xué)習(xí)獨(dú)立性檢驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)處理和分析的能力．知識(shí)點(diǎn)012×2列聯(lián)表1．2×2列聯(lián)表的概念：將隨機(jī)事件A，B的樣本數(shù)據(jù)整理成如下的表格Aeq\o(A,\s\up6(－))總計(jì)Baba＋beq\o(B,\s\up6(－))cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d上面這個(gè)表格中，核心的數(shù)據(jù)是中間的4個(gè)格子，所以這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表2．列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義：記na＋b＋c＋d，則由上表可知：(1)事件A發(fā)生的概率可估計(jì)為P(A)eq\f(a＋c,n)；(2)事件B發(fā)生的概率可估計(jì)為P(B)eq\f(a＋b,n)；(3)事件AB發(fā)生的概率可估計(jì)為P(AB)eq\f(a,n).其他事件的概率類似可求．【解讀】(1)2×2列聯(lián)表主要用于研究?jī)蓚€(gè)事件之間是相互獨(dú)立的還是存在某種關(guān)聯(lián)性，它適用于分析兩個(gè)事件之間的關(guān)系；(2)因?yàn)镻(A)，P(B)，P(AB)都是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到的估計(jì)值，而估計(jì)是有誤差的，因此直接用P(AB)P(A)P(B)是否不成立來判斷A與B是否獨(dú)立是不合理的．【即學(xué)即練1】1.為調(diào)查乘客暈車情況，在某一次行程中，70名男乘客中有25名暈車，30名女乘客中有5名暈車．在檢驗(yàn)這些乘客暈車是否與性別相關(guān)時(shí)，常采用的數(shù)據(jù)分析方法是()A．回歸分析 B．獨(dú)立性檢驗(yàn)C．頻率分布直方圖 D．用樣本估計(jì)總體【答案】C【解析】根據(jù)題意，結(jié)合題目中的數(shù)據(jù)，可列2×2列聯(lián)表，求觀測(cè)值χ2，對(duì)照臨界值得出概率結(jié)論；這種數(shù)據(jù)分析的方法是獨(dú)立性檢驗(yàn)．2．下表是一個(gè)2×2列聯(lián)表：y1y2總計(jì)x1a2173x222527總計(jì)b46100則表中a、b處的值分別為()A．94，96 B．52，70C．52，54 D．54，52【答案】D【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2173，,a＋2b，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a52，,b54.))知識(shí)點(diǎn)02獨(dú)立性檢驗(yàn)1．χ2(讀作“卡方”)統(tǒng)計(jì)量：是統(tǒng)計(jì)中一個(gè)非常有用的統(tǒng)計(jì)量，它的表達(dá)式是χ2eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).2．獨(dú)立性檢驗(yàn)：任意給定一個(gè)α(稱為顯著性水平，通常取為0.05，0.01等)，可以找到滿足條件P(χ2≥k)α的數(shù)k(稱為顯著性水平α對(duì)應(yīng)的分位數(shù)).χ2是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布能夠求出，上面的概率是可以計(jì)算的．因此，如果根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出χ2的值后，發(fā)現(xiàn)χ2≥k不成立，就稱在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下，可以認(rèn)為A與B不獨(dú)立(也稱為A與B有關(guān))；或說有1－α的把握認(rèn)為A與B有關(guān)．若χ2<k不成立，就稱不能得到前述結(jié)論．這一過程通常稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．【解讀】A與B獨(dú)立時(shí)，也稱為A與B無關(guān)．當(dāng)χ2<k不成立時(shí)，一般不直接說A與B無關(guān)．也就是說，獨(dú)立性檢驗(yàn)通常得到的結(jié)果，或者是有1－α的把握認(rèn)為A與B有關(guān)，或者沒有1－α的把握認(rèn)為A與B有關(guān)．【即學(xué)即練2】已知P(χ2≥6.635)0.01，P(χ2≥10.828)0.001.在檢驗(yàn)喜歡某項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)的過程中，某研究員搜集數(shù)據(jù)并計(jì)算得到χ27.235，則根據(jù)小概率值α________的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡該項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．【答案】0.01【解析】因?yàn)?.635<7.235<10.828，所以根據(jù)小概率值α0.01的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析喜歡該項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．題型01利用列聯(lián)表分析兩變量的關(guān)系【典例1】在對(duì)人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人．六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表，并利用eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)判斷二者是否有關(guān)系．【解析】2×2列聯(lián)表如下：年齡在六十歲以上年齡在六十歲以下總計(jì)飲食以蔬菜為主432164飲食以肉類為主273380總計(jì)7054124將表中數(shù)據(jù)代入公式得eq\f(a,a＋b)eq\f(43,64)0.671875.eq\f(c,c＋d)eq\f(27,80)0.45.顯然二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系．【變式1】假設(shè)有兩個(gè)分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為：y1y2x11018x2m26則當(dāng)m取下面何值時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱()A．8 B．9C．14 D．19【答案】D【解析】由10×2618m，解得m≈14.4，所以當(dāng)m14時(shí)，X與Y的關(guān)系最弱．【變式2】下面是2×2列聯(lián)表．ABB1B2總計(jì)A1332154A2a1346總計(jì)b34100(1)表中a，b處的值應(yīng)為多少？(2)若用頻率估計(jì)概率，則P(A1)，P(B1)，P(A1B1)分別是多少？(3)表中的數(shù)據(jù)能說明A1與B1相互獨(dú)立嗎？【解析】(1)a46－1333，b33＋a33＋3366.(2)P(A1)eq\f(54,100)，P(B1)eq\f(66,100)，P(A1B1)eq\f(33,100).(3)因?yàn)镻(A1)·P(B1)eq\f(54,100)×eq\f(66,100)≈eq\f(33,100)P(A1B1)，所以表中的數(shù)據(jù)能說明A1與B1相互獨(dú)立．【變式3】在一次對(duì)人們飲食習(xí)慣的調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中80歲以上的有70人，80歲以下的有54人.80歲以上的人中，有43人飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；80歲以下的人中，有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表，并判斷二者是否有關(guān)系．【解析】將數(shù)據(jù)整理成如下2×2列聯(lián)表．年齡飲食習(xí)慣以蔬菜為主以肉類為主總計(jì)80歲以上43277080歲以下213354總計(jì)6480124計(jì)算得eq\f(a,a＋b)eq\f(43,70)≈0.614，eq\f(c,c＋d)eq\f(21,54)≈0.389.顯然二者數(shù)據(jù)有較為明顯的差距，可以判斷年齡對(duì)飲食習(xí)慣有影響，據(jù)此可以在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系．題型022×2列聯(lián)表的性質(zhì)及應(yīng)用【典例2】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下面是列聯(lián)表：合計(jì)2173222547合計(jì)46120則表中，的值分別為（

）A．94，72 B．52，70 C．52，74 D．74．52【答案】D【分析】根據(jù)聯(lián)表計(jì)算求參即可.【詳解】因?yàn)椋裕?，所以?【變式1】（22-23高二下·寧夏固原·期中）下面是一個(gè)列聯(lián)表，則表中處的值分別為（

）總計(jì)257321總計(jì)49A．98，28 B．28，98 C．48，45 D．45，48【答案】D【分析】根據(jù)列聯(lián)表求解.【詳解】解：由個(gè)列聯(lián)表知：，解得，【變式2】（24-25高三·上?！ふn堂例題）某村莊對(duì)該村內(nèi)70名村民每年是否體檢的情況進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：每年體檢（人）每年未體檢（人）合計(jì)（人）老年人7年輕人6合計(jì)70已知抽取的村民中老年人、年輕人各25名，則對(duì)列聯(lián)表數(shù)據(jù)的分析錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意先得出的值，進(jìn)而再得的值，進(jìn)而可知的值.【詳解】因?yàn)槌槿〉拇迕裰?，老年人?5名，年輕人有25名，所以，所以，A、B對(duì)；所以，則對(duì)；則錯(cuò).故選：.【變式3】（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）某地政府為解除空巢老人日常護(hù)理和社會(huì)照料的困境，大力培育發(fā)展養(yǎng)老護(hù)理服務(wù)市場(chǎng)．從年開始新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)，下表為該地區(qū)近年新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的數(shù)量對(duì)照表．年份2017201820192020202120222023年份代碼1234567新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)(1)若該地區(qū)參與社區(qū)養(yǎng)老的老人的年齡近似服從正態(tài)分布，其中年齡的有人，試估計(jì)該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人有多少？（結(jié)果按四舍五入取整數(shù)）(2)已知變量與之間的樣本相關(guān)系數(shù)，請(qǐng)求出關(guān)于的線性回歸方程，并據(jù)此估計(jì)年時(shí)，該地區(qū)新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的數(shù)量．（結(jié)果按四舍五入取整數(shù)）參考公式與數(shù)據(jù)：①，.；②若隨機(jī)變量，則，，；③，.【答案】(1)約為人(2)回歸方程為；約為個(gè).【分析】（1）利用原則求出的值，即可求得該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人人數(shù)為；（2）計(jì)算出的值，可求出的值，可求得的值，利用參考數(shù)據(jù)可求得的值，由此可得出回歸直線方程，然后將代入回歸直線方程可得結(jié)果.【詳解】（1）解：由題意可知，，，則，，所以，，所以，估計(jì)該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人人數(shù)為.（2）解：由表格中的數(shù)據(jù)可得，所以，，由已知條件可得，所以，，所以，，又因?yàn)?，顯然，解得，則，所以，關(guān)于的回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，.估計(jì)年時(shí)，該地區(qū)新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的數(shù)量約為個(gè).【變式3】某高校有10000名學(xué)生，其中女生3000名，男生7000名．為調(diào)查愛好體育運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，用分層抽樣的方法抽取120名學(xué)生，制成獨(dú)立性檢驗(yàn)的2×2列聯(lián)表，如表，則a－b________．(用數(shù)字作答)男女合計(jì)愛好體育運(yùn)動(dòng)a9####不愛好體育運(yùn)動(dòng)28b####合計(jì)########120【答案】19【解析】根據(jù)分層抽樣原理，計(jì)算抽取男生120×eq\f(7000,10000)84(人)，女生120×eq\f(3000,10000)36(人)，所以a84－28580(人)，b36－927(人)，所以a－b580－2729(人).題型03卡方的計(jì)算【典例3】（23-24高二下·福建漳州·期中）為加強(qiáng)素質(zhì)教育，使學(xué)生各方面全面發(fā)展，某學(xué)校對(duì)學(xué)生文化課與體育課的成績(jī)進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：附：，其中.體育課不及格體育課及格合計(jì)文化課及格57221278文化課不及格164359合計(jì)73264337在對(duì)體育課成績(jī)與文化課成績(jī)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得到的值為（

）A．38.214 B．1.255 C．0.0037 D．2.058【答案】C【分析】由卡方公式計(jì)算即可．【詳解】，【變式1】（24-25高三·上?！るS堂練習(xí)）研究?jī)蓚€(gè)事件A、B之間的關(guān)系時(shí)，根據(jù)數(shù)據(jù)信息列出如下的列聯(lián)表，則以下計(jì)算公式中正確的是（

）BB總計(jì)AA總計(jì)nA． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算公式代入即可得到答案；【詳解】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算，.【變式2】（23-24高二下·廣東肇慶·期末）已知某獨(dú)立性檢驗(yàn)中，由計(jì)算出，若將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)分別變成，計(jì)算出的，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)卡方公式代入計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?【變式3】（23-24高二下·甘肅白銀·期末）有甲、乙兩種過濾水中重金屬的設(shè)備，為了檢驗(yàn)使用這兩種設(shè)備與過濾后水中重金屬含量的關(guān)系，各過濾了15瓶受重金屬污染的相同水體，調(diào)查得出以下數(shù)據(jù)：重金屬含量高重金屬含量低設(shè)備甲69設(shè)備乙114根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先完成列聯(lián)表，然后根據(jù)公式求解即可.【詳解】由題意得到如下2×2列聯(lián)表：重金屬含量高重金屬含量低合計(jì)設(shè)備甲6915設(shè)備乙11415合計(jì)72330所以.【變式4】（23-24高二上·江西九江·期末）假設(shè)有兩個(gè)變量和，它們的取值分別為和，其列聯(lián)表為（

）根據(jù)以下選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)計(jì)算的值，其中最大的一組為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】計(jì)算出四個(gè)選項(xiàng)中，比較大小即可得解．【詳解】對(duì)于A，，對(duì)于B，，對(duì)于C，，對(duì)于D，，顯然最大，故C正確..題型04由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)【典例4】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）為了判斷高三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取70名學(xué)生，得到如下列聯(lián)表：理科文科男1310女7200.050.0253.8415.024根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到．則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性不大于．【答案】0.05【分析】根據(jù)觀測(cè)值以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，這表明小概率事件發(fā)生．根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”不成立，并且這種判斷出錯(cuò)的可能性不大于0.05．故答案為：0.05.【變式1】（24-25高三·上?！ふn堂例題）在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，為了調(diào)查變量與變量的關(guān)系，經(jīng)過計(jì)算得到，表示的意義是（填序號(hào)）．①有的把握認(rèn)為變量與變量沒有關(guān)系；②有的把握認(rèn)為變量與變量有關(guān)系；③有的把握認(rèn)為變量與變量有關(guān)系；④有的把握認(rèn)為變量與變量沒有關(guān)系．【答案】③④【分析】由獨(dú)立性檢驗(yàn)中觀測(cè)值和臨界值的意義，即可得出正確的答案.【詳解】在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，由表示的意義是：有的把握認(rèn)為變量與變量沒有關(guān)系，所以④正確；即有的把握認(rèn)為變量與變量有關(guān)系，所以③正確.故答案為：③④【變式2】（23-24高二下·遼寧葫蘆島·期末）一部年代創(chuàng)業(yè)劇《乘風(fēng)踏浪》，讓遼寧葫蘆島成為許多人心馳神往的旅游度假目的地.為了更好地了解游客需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高游客滿意度，隨機(jī)對(duì)1200位游客進(jìn)行了滿意度調(diào)查，結(jié)果如下表：男性女性合計(jì)滿意58005401100不滿意4080100合計(jì)8008001200根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到（精確到0.001）；依據(jù)數(shù)據(jù)可作出的判斷是.附：.0.10.050.012.7063.8416.635【答案】滿意度與性別有關(guān)聯(lián)，推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05（或：有的把握認(rèn)為滿意度與性別有關(guān)）.【分析】代入的計(jì)算公式，再和臨界值比較，得到結(jié)論.【詳解】,所以滿意度與性別有關(guān)聯(lián)，推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于（或：有的把握認(rèn)為滿意度與性別有關(guān)）故答案為：；滿意度與性別有關(guān)聯(lián)，推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于（或：有的把握認(rèn)為滿意度與性別有關(guān)）【變式3】（24-25高三上·上海·單元測(cè)試）某市政府調(diào)查市民收入增減與旅游需求的關(guān)系時(shí)，采用獨(dú)立性檢驗(yàn)法抽查了7000人，計(jì)算發(fā)現(xiàn)，根據(jù)這一數(shù)據(jù)，市政府?dāng)嘌允忻袷杖朐鰷p與旅游需求有關(guān)的可信度是%．參考數(shù)據(jù)：P0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】97.5【分析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)，對(duì)照表格中的數(shù)據(jù)分析即可.【詳解】由，可知市政府?dāng)嘌允忻袷杖朐鰷p與旅游需求有關(guān)的可信度是97.5%，故答案為：97.5【變式4】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4080對(duì)照組1090能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？附，0.0700.0100.001k3.8416.63510.828【答案】答案見解析【分析】由所給數(shù)據(jù)結(jié)合公式求出的值，將其與臨界值比較大小可得答案.【詳解】由已知，，又，，所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.題型05利用獨(dú)立性檢驗(yàn)思想解決實(shí)際問題【典例5】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）2022年北京冬奧組委發(fā)布的《北京2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)經(jīng)濟(jì)遺產(chǎn)報(bào)告（2022）》顯示，北京冬奧會(huì)已簽約45家贊助企業(yè)，冬奧會(huì)贊助成為一項(xiàng)跨度時(shí)間較長(zhǎng)的營(yíng)銷方式.為了解該45家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，某平臺(tái)對(duì)45家贊助企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其中每天線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有20家，余下的企業(yè)中，每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占，統(tǒng)計(jì)后得到如下列聯(lián)表：銷售額不少于30萬元銷售額不足30萬元合計(jì)線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)1720線上銷售時(shí)間不足8小時(shí)合計(jì)45請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān)？附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中.【答案】列聯(lián)表見解析，有關(guān)【分析】由題意確定列聯(lián)表，求得，對(duì)比數(shù)據(jù)即可求解.【詳解】由題意分析可得，簽約企業(yè)共45家，線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有20家，那么線上銷售時(shí)間少于8小時(shí)的企業(yè)有25家，每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占，共有.完成列聯(lián)表如下：銷售額不少于30萬元銷售額不足30萬元合計(jì)線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)17320線上銷售時(shí)間不足8小時(shí)101525合計(jì)271845所以.對(duì)應(yīng)的參數(shù)為6.635.而，所以可判斷贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān).【變式1】（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）為研究某種疫苗的效果，現(xiàn)對(duì)名志愿者進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，得到如下數(shù)據(jù)：未感染病毒感染病毒合計(jì)接種疫苗401050未接種疫苗50合計(jì)40根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析疫苗是否有效？參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：．【答案】疫苗有效，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于【分析】由列聯(lián)表計(jì)算公式算出隨機(jī)變量的值，根據(jù)參考數(shù)據(jù)判斷疫苗是否有效.【詳解】零假設(shè)為：接種疫苗與未接種疫苗與感染病毒無關(guān)，即疫苗無效．根據(jù)列聯(lián)表可得．因?yàn)楫?dāng)假設(shè)不成立時(shí)，，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不不成立，即疫苗有效，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于．【變式2】（2024·河南信陽·二模）某社區(qū)對(duì)安全衛(wèi)生進(jìn)行問卷調(diào)查，請(qǐng)居民對(duì)社區(qū)安全衛(wèi)生服務(wù)給出評(píng)價(jià)（問卷中設(shè)置僅有滿意、不滿意）.現(xiàn)隨機(jī)抽取了90名居民，調(diào)查情況如下表：男居民女居民合計(jì)滿意2580不滿意a2a合計(jì)90(1)利用分層抽樣的方法從對(duì)安全衛(wèi)生服務(wù)評(píng)價(jià)為不滿意的居民中隨機(jī)抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人中男、女居民各有1人的概率；(2)試通過計(jì)算判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的情況下認(rèn)為男居民與女居民對(duì)社區(qū)安全衛(wèi)生服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異?附：．合計(jì)454590用分層抽樣抽取6人，則男居民應(yīng)抽取2人，女居民應(yīng)抽取4人，所以所抽取的2人中男、女居民各有1人的概率為；（2）由，所以在犯錯(cuò)的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為男居民與女居民對(duì)社區(qū)安全衛(wèi)生服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.【變式3】（24-25高三上·湖南·期中）電動(dòng)車的安全問題越來越引起廣大消費(fèi)者的關(guān)注，目前電動(dòng)車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種.某公司為了了解消費(fèi)者對(duì)兩種電池的電動(dòng)車的偏好，在社會(huì)上隨機(jī)調(diào)查了700名市民，其中被調(diào)查的女性市民中偏好鉛酸電池電動(dòng)車的占，得到以下的2－2列聯(lián)表：偏好石墨烯電池電動(dòng)車偏好鉛酸電池電動(dòng)車合計(jì)男性市民200100女性市民合計(jì)700(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民對(duì)這兩種電池的電動(dòng)車的偏好與性別有關(guān)；(2)采用分層抽樣的方法從偏好石墨烯電池電動(dòng)車的市民中隨機(jī)抽取7人，再?gòu)倪@7名市民中抽取2人進(jìn)行座談，求在有女性市民參加座談的條件下，恰有一名女性市民參加座談的概率；(3)用頻率估計(jì)概率，在所有參加調(diào)查的市民中按男性和女性進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名市民，再?gòu)倪@5名市民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，記2名參加座談的市民中來自偏好石墨烯電池電動(dòng)車的男性市民的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0700.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828合計(jì)280220700零假設(shè)：市民對(duì)這兩種電池的電動(dòng)車的偏好與市民的性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得，由于，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不不成立，即認(rèn)為市民對(duì)這兩種電池的電動(dòng)車的偏好與市民的性別有關(guān).（2）因?yàn)槠檬╇姵仉妱?dòng)車的市民中，男性市民與女性市民的比為，所以，，，故X的分布列如下：X012P.題型06獨(dú)立性檢驗(yàn)中的參數(shù)與最值問題【典例6】（24-25高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）為了更好地開展多媒體化教學(xué)，杭州市某小學(xué)對(duì)“文理學(xué)科教師與喜歡用平板教學(xué)”是否有關(guān)做了一次研究調(diào)查，其中被調(diào)查的文科、理科教師人數(shù)相同，理科教師喜歡用平板教學(xué)的人數(shù)占理科教師總?cè)藬?shù)的80%，文科教師喜歡用平板教學(xué)的人數(shù)占文科教師總?cè)藬?shù)的40%，若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡用平板教學(xué)和文理學(xué)科有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中理科教師人數(shù)最少可能是（

）附：，其中．0.050.0103.8416.635A．8 B．12 C．15 D．20【答案】D【分析】利用獨(dú)立性檢驗(yàn)列聯(lián)表及觀測(cè)值可解得答案．【詳解】由題意被調(diào)查的文理科教師人數(shù)相同，設(shè)理科教師的人數(shù)為，由題意可列出列聯(lián)表：理科教師文科教師合計(jì)喜歡用平板教學(xué)不喜歡用平板教學(xué)合計(jì)．由于有的把握認(rèn)為是否喜歡用平板教學(xué)和文理學(xué)科有關(guān)，所以，解得，因?yàn)?，故的可能取值為?2，13，14，15，16，17，18，19，即理科教師的人數(shù)可以是：12，13，14，15，16，17，18，19，且考慮到喜歡用平板的人數(shù)占理科教師總?cè)藬?shù)的，故人數(shù)為15人時(shí)，有實(shí)際意義．【變式1】（23-24高二下·浙江·期中）為了考查一種新疫苗預(yù)防某X疾病的效果，研究人員對(duì)一地區(qū)某種動(dòng)物進(jìn)行試驗(yàn)，從該試驗(yàn)群中隨機(jī)進(jìn)行了抽查，已知抽查的接種疫苗的動(dòng)物數(shù)量是沒接種疫苗的2倍，接種且發(fā)病占接種的，沒接種且發(fā)病的占沒接種的，若本次抽查得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為接種該疫苗與預(yù)防某X疾病有關(guān)”的結(jié)論，則被抽查的沒接種動(dòng)物至少有（

）只0.100.050.010.0050.0012.7063.8415.6357.87910.828A．35 B．36 C．37 D．38【答案】C【分析】根據(jù)題意列出二聯(lián)表，即可由卡方公式求解即可.【詳解】設(shè)沒接種只數(shù)為k，依題意，得2×2列聯(lián)表如下：發(fā)病沒發(fā)病合計(jì)接種2k沒接種k合計(jì)3k則的觀測(cè)值為：，因?yàn)楸敬握{(diào)查得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜愛足球與性別有關(guān)的結(jié)論，于是，即，即∴，∴．【變式2】（23-24高二下·吉林長(zhǎng)春·期中）2020年2月，全國(guó)掀起了“停課不停學(xué)”的熱潮，各地教師通過網(wǎng)絡(luò)直播?微課推送等多種方式來指導(dǎo)學(xué)生線上學(xué)習(xí).為了調(diào)查學(xué)生對(duì)網(wǎng)絡(luò)課程的熱愛程度，研究人員隨機(jī)調(diào)查了相同數(shù)量的男?女學(xué)生，發(fā)現(xiàn)有80%的男生喜歡網(wǎng)絡(luò)課程，有40%的女生不喜歡網(wǎng)絡(luò)課程，在犯錯(cuò)誤的概率大于0.001且不超過0.01的前提下認(rèn)為是否喜歡網(wǎng)絡(luò)課程與性別有關(guān)，則被調(diào)查的男?女學(xué)生總數(shù)量可能為（）附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.828A．130 B．190 C．240 D．270【答案】C【分析】設(shè)男、女學(xué)生的人數(shù)都為，可得列聯(lián)表，由獨(dú)立性檢驗(yàn)算出，結(jié)合觀測(cè)值和選項(xiàng)可得答案.【詳解】依題意，設(shè)男、女學(xué)生的人數(shù)都為，則男、女學(xué)生的總?cè)藬?shù)為，可得列聯(lián)表如下，喜歡網(wǎng)絡(luò)課程不喜歡網(wǎng)絡(luò)課程總計(jì)男生女生總計(jì)故，由題意可得，所以，結(jié)合選項(xiàng)可知，只有B符合題意..【變式3】（23-24高二下·廣東中山·期末）某市舉行了首屆閱讀大會(huì)，為調(diào)查市民對(duì)閱讀大會(huì)的滿意度，相關(guān)部門隨機(jī)抽取男女市民各50名，每位市民對(duì)大會(huì)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：滿意不滿意男市民女市民當(dāng)，時(shí)，若在的情況下，我們沒有充分的證據(jù)推斷男、女市民對(duì)大會(huì)的評(píng)價(jià)有差異，則的最小值為．附：，其中．【答案】21【分析】根據(jù)定義算出的表達(dá)式，由題意得，結(jié)合可得出的最小值.【詳解】由題意得，并令，即，近似解得，即，注意到，故的最小值為.故答案為：.一、單選題1．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法正確的是（

）A．獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一種檢驗(yàn)B．獨(dú)立性檢驗(yàn)可以確定兩個(gè)變量之間是否具有某種關(guān)系C．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷吸煙與患肺病的關(guān)聯(lián)中，若有的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時(shí)，我們則可以說在100個(gè)吸煙的人中，有99人患肺病D．在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得的值，則的值越大，判斷兩個(gè)變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大【答案】A【分析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義分別判斷各選項(xiàng).【詳解】獨(dú)立性檢驗(yàn)是通過卡方計(jì)算來判斷兩個(gè)變量存在關(guān)聯(lián)的可能性的一種方法，并非檢驗(yàn)二者是否是線性相關(guān)，故A錯(cuò)誤；獨(dú)立性檢驗(yàn)并不能確定兩個(gè)變量相關(guān)，故B錯(cuò)誤；是指“抽煙”和“患肺病”存在關(guān)聯(lián)的可能性大小，并非抽煙人中患肺病的發(fā)病率，故C錯(cuò)誤；根據(jù)卡方計(jì)算的定義可知，在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得的值，則的值越大，判斷兩個(gè)變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大，對(duì)于D正確.故選:D.2．（23-24高二·全國(guó)·單元測(cè)試）假設(shè)有兩個(gè)分類變量與的列聯(lián)表如下表：對(duì)于以下數(shù)據(jù)，對(duì)同一樣本能說明與有關(guān)系的可能性最大的一組為（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】A【分析】計(jì)算每個(gè)選項(xiàng)中的，比較大小后可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于兩個(gè)分類變量與而言，的值越大，說明與有關(guān)系的可能性最大，對(duì)于A選項(xiàng)，，對(duì)于B選項(xiàng)，，對(duì)于C選項(xiàng)，，對(duì)于D選項(xiàng)，，顯然D中最大，.3．（23-24高二下·福建寧德·階段練習(xí)）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法調(diào)查高中生性別與愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)是否有關(guān)，通過隨機(jī)調(diào)查200名高中生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，利用2×2列聯(lián)表，由計(jì)算可得，參照下表：得到的正確結(jié)論是（

）參考數(shù)據(jù)：臨界值表0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”【答案】C【分析】根據(jù)與臨界值比較即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以?9%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”．故選:B．4．（23-24高二下·福建龍巖·階段練習(xí)）假設(shè)有兩個(gè)分類變量與，它們的可能取值分別為和，其列聯(lián)表為：則當(dāng)取下面何值時(shí)，與的關(guān)系最弱（）101826A．8 B．9 C．14 D．19【答案】D【分析】利用分類變量的相關(guān)性進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】在兩個(gè)分類變量的列聯(lián)表中，當(dāng)?shù)闹翟叫r(shí)，認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)的可能性越?。?，得，解得，所以當(dāng)時(shí)，與的關(guān)系最弱，故A，B，D均不符合題意.．5．（21-22高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b乙班c30總計(jì)105已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是（）A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為70C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”【答案】D【分析】根據(jù)卡方的計(jì)算即可與臨界值比較求解.【詳解】由題意知，105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為，故成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是，成績(jī)非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是，所以，故二聯(lián)表為優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班104555乙班203070總計(jì)3075105選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2，因此有95%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”，選項(xiàng)C正確．6．（21-22高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）兩個(gè)分類變量X和Y，值域分別為和，其樣本頻數(shù)分別是，，.若X與Y有關(guān)系的可信程度不小于，則c等于（）A．3 B．7 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)列聯(lián)表，以及獨(dú)立檢驗(yàn)隨機(jī)變量的臨界值參考表,計(jì)算對(duì)應(yīng)的值，驗(yàn)證時(shí)，是否恰好滿足即可.【詳解】根據(jù)隨機(jī)變量的列聯(lián)表，總計(jì)102131cd35總計(jì)66以及獨(dú)立檢驗(yàn)隨機(jī)變量的臨界值參考表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828故的觀測(cè)值當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故只有A選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的X與Y有關(guān)系的可信程度不小于..7．（24-25高三·上海·課堂例題）為了調(diào)查各參賽人員對(duì)主辦方的滿意程度，研究人員隨機(jī)抽取了700名參賽運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示，現(xiàn)有如下說法：①在參與調(diào)查的700名運(yùn)動(dòng)員中任取1人，抽到對(duì)主辦方表示滿意的男性運(yùn)動(dòng)員的概率為；②在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下可以認(rèn)為“是否對(duì)主辦方表示滿意與運(yùn)動(dòng)員的性別有關(guān)”；③沒有的把握認(rèn)為“是否對(duì)主辦方表示滿意與運(yùn)動(dòng)員的性別有關(guān)”；則正確命題的個(gè)數(shù)為（

）男性運(yùn)動(dòng)員（人）女性運(yùn)動(dòng)員（人）對(duì)主辦方表示滿意200220對(duì)主辦方表示不滿意7030注：0.8000.0700.0100.0012.7063.8416.63510.828A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】命題①，根據(jù)條件，利用古典概率公式，求出概率，即可判斷命題①的正誤；根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出，即可判斷出命題②和③的正誤，即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)主辦方表示滿意的男性運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)為，所以在參與調(diào)查的700名運(yùn)動(dòng)員中任取1人，抽到對(duì)主辦方表示滿意的男性運(yùn)動(dòng)員的概率為，所以命題①錯(cuò)誤，又因?yàn)椋悦}②錯(cuò)誤，命題③正確，.8．（23-24高二下·河南鄭州·期末）某校乒乓球社團(tuán)為了解喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了若干人進(jìn)行調(diào)查.已知抽查的男生?女生人數(shù)均為，其中男生喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占女生人數(shù)的.若本次調(diào)查得出“有的把握認(rèn)為喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”的結(jié)論，則的最小值為（

）附：參考公式及數(shù)據(jù)：.0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．20 B．21 C．22 D．23【答案】A【分析】依題意，作出列聯(lián)表，計(jì)算的值，依題意，須使的值不小于小概率對(duì)應(yīng)的，求解不等式即得.【詳解】依題意，作出列聯(lián)表：男生女生合計(jì)喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)合計(jì)則，因本次調(diào)查得出“有的把握認(rèn)為喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”的結(jié)論，故得，解得，因，故的最小值為23..二、多選題9．（23-24高二下·吉林白山·期末）暑假結(jié)束后，為了解假期中學(xué)生鍛煉身體情況，學(xué)生處對(duì)所有在校學(xué)生做問卷調(diào)查，并隨機(jī)抽取了180人的調(diào)查問卷，其中男生比女生少20人，并將調(diào)查結(jié)果繪制得到等高堆積條形圖．已知，其中，，在被調(diào)查者中，下列說法正確的是（

）A．男生中不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多B．男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人多8人C．經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率是不經(jīng)常鍛煉者中男全的頻率的1.6倍左右D．在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01的條件下，可以認(rèn)為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)【答案】CCD【分析】根據(jù)男生比女生少20人，建立等式求出男生、女生的人數(shù)，建立列聯(lián)表，利用列聯(lián)表中的信息解決ABC，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來解決D選項(xiàng)．【詳解】解：設(shè)男生人數(shù)為，則女生人數(shù)為，由題得，解得，即在被調(diào)查者中，男?女生人數(shù)為80，100，可得到如下列聯(lián)表，性別鍛煉情況合計(jì)經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉男483280女4080100合計(jì)8892180由表可知，A顯然錯(cuò)誤，男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多B正確；在經(jīng)常鍛煉者中是男生的頻率為，在不經(jīng)常鍛煉者中是男生的頻率為C正確；零假設(shè)：假期是否經(jīng)常鍛煉與性別無關(guān)，則，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不不成立，即認(rèn)為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤概率不大于0.01，D正確，CD．10．（23-24高二下·重慶·期末）為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，得到如下藥物結(jié)果與動(dòng)物實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)：患病未患病服用藥1045沒服用藥2030由上述數(shù)據(jù)得出下列結(jié)論，其中正確的是（

）附：；0.050.0250.0100.0053.8415.0246.6357.879A．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷服用藥物是有效的，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025B．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷服用藥物是有效的，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01C．該藥物的預(yù)防有效率超過D．若將所有試驗(yàn)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷服用藥物是有效的，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005【答案】AD【分析】根據(jù)題意計(jì)算出的值，逐項(xiàng)分析即可.【詳解】根據(jù)列聯(lián)表患病未患病合計(jì)服用藥104555沒服用藥203070合計(jì)3075105計(jì)算，對(duì)于A，因?yàn)?，所以根?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷服用藥物是有效的，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025，A正確；對(duì)于B，因?yàn)楦鶕?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷服用藥物是無效的，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，可推斷該藥物的預(yù)防有效率超過，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若將所有試驗(yàn)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的10倍，則根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷服用藥物是有效的，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005，D正確；D.11．（24-25高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）某中學(xué)為更好地開展素質(zhì)教育，現(xiàn)對(duì)外出研學(xué)課程是否和性別有關(guān)做了一項(xiàng)調(diào)查，其中被調(diào)查的男生和女生人數(shù)相同，且男生中選修外出研學(xué)課程的人數(shù)占男生總?cè)藬?shù)的，女生中選修外出研學(xué)課程的人數(shù)占女生總?cè)藬?shù)的．如果依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為選修外出研學(xué)課程與性別有關(guān)，但依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為選修外出研學(xué)課程與性別無關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（

）附：，其中.A．170人 B．225人C．300人 D．375人【答案】CC【分析】設(shè)男生人數(shù)為，根據(jù)題意用表示出女生人數(shù)、男生中“選修外出研學(xué)課程”人數(shù)、女生中“選修外出研學(xué)課程”人數(shù)，進(jìn)而表示出表格中其它人數(shù)，利用公式計(jì)算出，由得到的范圍，進(jìn)而得到男生人數(shù)的范圍，選出符合題意的選項(xiàng).【詳解】設(shè)男生人數(shù)為，根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下：男生女生合計(jì)選修外出研學(xué)課程不選修外出研學(xué)課程合計(jì)則，依據(jù)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為選修外出研學(xué)課程與性別有關(guān)，但依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為選修外出研學(xué)課程與性別無關(guān)，則，解得，則．C．三、填空題12．（24-25高三·上?！るS堂練習(xí)）隨著工業(yè)化以及城市車輛的增加，城市的空氣污染越來越嚴(yán)重，空氣質(zhì)量指數(shù)API一直居高不下，對(duì)人體的呼吸系統(tǒng)造成了的嚴(yán)重的影響．現(xiàn)調(diào)查了某市700名居民的工作場(chǎng)所和呼吸系統(tǒng)健康狀況，得到列聯(lián)表如下，則．（結(jié)果精確到0.001）室外工作室內(nèi)工作總計(jì)有呼吸系統(tǒng)疾病170無呼吸系統(tǒng)疾病100總計(jì)200【答案】3.968【分析】由題意，根據(jù)列聯(lián)表中所給數(shù)據(jù)補(bǔ)全列表，將數(shù)據(jù)代入公式得，計(jì)算即可得到答案.【詳解】補(bǔ)全列聯(lián)表室外工作室內(nèi)工作總計(jì)有呼吸系統(tǒng)疾病170200370無呼吸系統(tǒng)疾病70100170總計(jì)200300700.故答案為：3.968.13．（23-24高二下·河南信陽·期末）為了研究高三學(xué)生的性別和身高是否大于170cm的關(guān)聯(lián)性，調(diào)查了高三學(xué)生200名，得到如下列聯(lián)表：性別身高合計(jì)低于170cm不低于170cm女8020100男3070100合計(jì)11090200根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，計(jì)算得；依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“高三學(xué)生的性別和身高有關(guān)聯(lián)”.附：臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82814．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）有甲、乙兩個(gè)班級(jí)共計(jì)105人進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b乙班c30附:其中.0.100.050.0250.0100.00050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為，則下列說法正確的是①列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35；②列聯(lián)表中c的值為20，b的值為45；③根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”；④根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”.【答案】②③【分析】由成績(jī)優(yōu)秀的概率，可求的成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)，進(jìn)而求出非優(yōu)秀人數(shù)，得到的值，計(jì)算的觀測(cè)值，對(duì)照題目中的表格，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，在全部的105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為，所以成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為人，非優(yōu)秀的人數(shù)為人，所以，故①錯(cuò)誤，②正確；則，若按的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”，故③正確，④錯(cuò)誤.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：熟練掌握的計(jì)算方法是本題解決的關(guān)鍵.四、解