高中數(shù)學(人教B版)必修二同步講義第4章第08講函數(shù)的應(yīng)用(二)(學生版+解析)

第08講函數(shù)的應(yīng)用（二）課程標準學習目標理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學語言和工具.2.在實際情境中，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律．1.理解指數(shù)函數(shù)模型.2.理解對數(shù)函數(shù)模型.3.理解冪函數(shù)模型.4.理解幾類函數(shù)模型的建立及應(yīng)用．知識點01常見的幾類函數(shù)模型及其應(yīng)用1．指數(shù)函數(shù)模型能用指數(shù)型函數(shù)f(x)abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b＞0，且b≠1)表達的函數(shù)模型叫做指數(shù)函數(shù)模型，若a＞1，其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，常稱之為“爆炸式增長”．指數(shù)類型的函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用比較廣泛，主要有以下兩類．(1)平均增長率問題：若原來產(chǎn)值或產(chǎn)量的基數(shù)為N，平均增長率為P，則對于時間x的產(chǎn)值或產(chǎn)量y，可以用公式y(tǒng)N(1＋P)x(N≠0)表示．(2)儲蓄中的復利計算問題：若本金為a元，每期利率為r，本息和為y，存期為x，則ya(1＋r)x(a≠0)．2．對數(shù)函數(shù)模型能用對數(shù)型函數(shù)f(x)mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m≠0，a＞0，且a≠1)表達的函數(shù)模型叫做對數(shù)函數(shù)模型，若a＞1，則其增長的特點是開始階段增長得較快，但隨著自變量的逐漸增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長”．有關(guān)對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)關(guān)系式，要求根據(jù)實際情況求出函數(shù)關(guān)系式中的參數(shù)，對于此類問題，我們要從中提煉出數(shù)據(jù)，代入函數(shù)關(guān)系式求出參數(shù)的值，然后解答實際問題．3．冪函數(shù)模型能用冪型函數(shù)f(x)axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0)表達的函數(shù)模型叫做冪函數(shù)模型，其增長情況隨xα中α的取值而定，常見的有二次函數(shù)模型和反比例函數(shù)模型.【即學即練1】某種細菌在培養(yǎng)過程中，每15min分裂一次(由1個分裂成2個)，則這種細菌由1個繁殖成212個需經(jīng)過()A．12h B．4hC．3h D．2h知識點02用函數(shù)模型求解應(yīng)用問題的步驟(1)審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型．(2)建模——將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識建立相應(yīng)的數(shù)學模型．(3)求?！蠼鈹?shù)學模型，得出數(shù)學模型．(4)還原——將數(shù)學結(jié)論還原為實際問題．【即學即練2】某工廠第三年的產(chǎn)量比第一年的產(chǎn)量增長44%，若每年的平均增長率相同(設(shè)為x)，則下列結(jié)論中正確的是()A．x＞22% B．x＜22%C．x22% D．x的大小由第一年產(chǎn)量確定知識點03擬合函數(shù)模型的建立1.數(shù)學建模研究實際問題時，要深入調(diào)查，了解對象信息，給出簡化假設(shè)，用數(shù)學的符號和語言，把它表述為數(shù)學式子（也就是數(shù)學模型），然后計算得到模型的結(jié)果，并進行檢驗，最后解釋實際問題．這個建立數(shù)學模型的全過程就成為數(shù)學建模．2.函數(shù)擬合根據(jù)收集的數(shù)據(jù)或給出的數(shù)據(jù)畫出散點圖，然后選擇函數(shù)模型并求出函數(shù)解析式，再進行擬合、比較，從而選出最恰當?shù)暮瘮?shù)模型的過程，稱為函數(shù)擬合（或數(shù)據(jù)擬合）．3.函數(shù)擬合與預測的一般步驟(1)繪圖：通過原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點圖；(2)連線：通過觀察散點圖，畫出擬合直線或擬合曲線；(3)列式：求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式；(4)判定：根據(jù)擬合誤差要求判斷，選擇最佳的擬合函數(shù)；(5)預測：利用選取的擬合函數(shù)進行預測；(6)結(jié)論：利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件所給問題進行預測和控制，為決策和管理提供依據(jù)．【即學即練3】1.某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴重，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則每年沙漠面積增加值y關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是()A．y0.2x B．yeq\f(1,10)(x2＋2x)C．yeq\f(2x,10) D．y0.2＋log16x2．“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？”如圖給出了紅豆生長時間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點圖．那么紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系用下列哪個函數(shù)模型擬合最好(A)A．指數(shù)函數(shù)：y2t B．對數(shù)函數(shù)：ylog2tC．冪函數(shù)：yt3 D．二次函數(shù)：y2t2題型01指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（23-24高一上·江蘇南通·期中）某滅活疫苗的有效保存時間單位：小時與儲藏的溫度單位：滿足的函數(shù)關(guān)系為為常數(shù)，其中，是一個和類似的無理數(shù)，叫自然對數(shù)的底數(shù))，超過有效保存時間，疫苗將不能使用.若在時的有效保存時間是1080h，在時的有效保存時間是120h，則該疫苗在時的有效保存時間為（

）A．15h B．30h C．40h D．80h【變式1】（23-24高一下·湖南常德·期中）荀子《勸學》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”在“進步率”和“退步率”都是的前提下，我們可以把看作是經(jīng)過365天的“進步值”，看作是經(jīng)過365天的“退步值”，則大約經(jīng)過（

）天時，“進步值”大約是“退步值”的100倍（參考數(shù)據(jù)：，）A．100 B．230 C．130 D．365【變式2】國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京冬奧會的標志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時間（小時）的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量，且）.如果前4個小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（

）A．3.8小時 B．4小時 C．4.4小時 D．5小時【變式3】著名數(shù)學家、物理學家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為θ1℃，空氣溫度為θ0℃，則t分鐘后物體的溫度θ(單位：℃)滿足：θθ0＋(θ1－θ0)e－kt，若當空氣溫度為30℃時，某物體的溫度從90℃下降到80℃用時14分鐘．則再經(jīng)過28分鐘后，該物體的溫度為________℃.【變式4】假設(shè)甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學習，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上進步，而乙疏于學習，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上退步.那么，大約需要經(jīng)過（）天，甲的“日能力值”是乙的倍（參考數(shù)據(jù)：，，）A．85 B．100 C．170 D．225題型02對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用【典例2】（23-24高一下·安徽蕪湖·開學考試）青少年視力問題是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足關(guān)系式：，已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為4.3和a，記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為，，則，則a的值可以是（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．4.7 B．4.5 C．4.8 D．5.0【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）“喊泉”是一種地下水的毛細現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲音時，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲水池，進而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學作用，激起水波，形成涌泉．聲音越大，涌起的泉水越高．已知聽到的聲強與標準聲強（約為，單位：）之比的常用對數(shù)稱作聲強的聲強級，記作（貝爾），即，取貝爾的十倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝．已知某處“喊泉”的聲音響度（分貝）與噴出的泉水高度（米）滿足關(guān)系式，現(xiàn)知同學大喝一聲激起的涌泉最高高度為50米，若同學大喝一聲的聲強大約相當于10個同學同時大喝一聲的聲強，則同學大喝一聲激起的涌泉最高高度約為（

）

A．5米 B．10米 C．45米 D．70米【變式2】（23-24高一下·湖北·階段練習）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)中的數(shù)學原理之一是香農(nóng)公式：，它表示在被高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)所傳信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知當比較大時，，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，寬帶在原來的基礎(chǔ)上增加，信噪比從1000提升至8000，則大約增加了（

）（附：）A． B． C． D．【變式3】2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現(xiàn)時速自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內(nèi)噪聲更?。绻寐晱姡▎挝唬海┍硎韭曇粼趥鞑ネ緩街忻科椒矫咨系穆暷芰髅芏?，聲強級（單位：）與聲強的函數(shù)關(guān)系式為，其中為基準聲強級，為常數(shù)，當聲強時，聲強級．下表為不同列車聲源在距離處的聲強級：聲源與聲源的距離（單位：）聲強級范圍內(nèi)燃列車20電力列車20高速列車20設(shè)在離內(nèi)燃列車?電力列車?高速列車處測得的實際聲強分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【變式4】在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k1，2)．已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1C．lg10.1 D．10－10.1題型03冪函數(shù)模型的應(yīng)用【典例3】．2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金170萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：）（

）A．10% B．20% C．22% D．32%【變式1】某公司的收入由保險業(yè)務(wù)收入和理財業(yè)務(wù)收入兩部分組成.該公司年總收入為億元，其中保險業(yè)務(wù)收入為億元，理財業(yè)務(wù)收入為億元.該公司經(jīng)營狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預計每年總收入比前一年增加億元.因越來越多的人開始注重理財，公司理財業(yè)務(wù)發(fā)展迅速.要求從年起每年通過理財業(yè)務(wù)的收入是前一年的倍，若要使得該公司年的保險業(yè)務(wù)收入不高于當年總收入的，則的值至少為（

）A． B． C． D．【變式2】異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．【變式3】某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(萬元)與藥品利潤y(萬元)存在的關(guān)系為(為常數(shù))，其中x不超過5萬元.已知去年投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，若今年投入廣告費用5萬元，預計今年藥品利潤為萬元.題型04\o"利用給定函數(shù)模型解決實際問題"利用給定函數(shù)模型解決實際問題【典例4】（24-25高三上·安徽·階段練習）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：與時間（單位：h）之間的關(guān)系式為，其中為初始污染物含量，均為正的常數(shù)，已知過濾前后廢氣的體積相等，且在前4h過濾掉了的污染物．如果廢氣中污染物的含量不超過時達到排放標準，那么該工廠產(chǎn)生的廢氣要達到排放標準，至少需要過濾的時間為（

）A．4h B．6h C．8h D．12h【變式1】（24-25高三上·河南·階段練習）已知某種污染物的濃度C（單位：摩爾/升）與時間t（單位：天）的關(guān)系滿足指數(shù)模型，其中是初始濃度（即時該污染物的濃度），k是常數(shù).第2天（即）測得該污染物的濃度為5摩爾/升，第4天測得該污染物的濃度為15摩爾/升，若第n天測得該污染物的濃度變?yōu)?，則.【變式2】2018年“平安夜”前后，某水果超市從12月15日至1月5日（共計22天，12月15日為第1天，12月16日為第2天，…，1月5日為第22天），某種蘋果的銷售量y千克隨時間第x天變化的函數(shù)圖象如圖所示，則該超市在12月20日賣出了這種蘋果千克.題型05擬合函數(shù)模型的建立與應(yīng)用【典例5】數(shù)據(jù)顯示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情況如下表所示：月份23456月收入（萬元）1.42.5805.311121.3根據(jù)上述數(shù)據(jù)，在建立該公司2023年月收入（萬元）與月份的函數(shù)模型時，給出兩個函數(shù)模型與供選擇.(1)你認為哪個函數(shù)模型較好，并簡單說明理由；(2)試用你認為較好的函數(shù)模型，分析大約從第幾月份開始，該公司的月收入會超過100萬元？（參考數(shù)據(jù)：，）【變式1】（23-24高一上·福建廈門·階段練習）生物愛好者甲對某一水域的某種生物在自然生長環(huán)境下的總量進行監(jiān)測.第一次監(jiān)測時的總量為（單位：噸），此時開始計時，時間用（單位：月）表示.甲經(jīng)過一段時間的監(jiān)測得到一組如下表的數(shù)據(jù)：月噸為了研究該生物總量與時間的關(guān)系，甲通過研究發(fā)現(xiàn)可以用以下的兩種函數(shù)模型來表達與的變化關(guān)系：①；②且.(1)請根據(jù)表中提供的前列數(shù)據(jù)確定第一個函數(shù)模型的解析式；(2)根據(jù)第列數(shù)據(jù)，選出其中一個與監(jiān)測數(shù)據(jù)差距較小的函數(shù)模型；甲發(fā)現(xiàn)總量由翻一番時經(jīng)過了個月，根據(jù)你選擇的函數(shù)模型，若總量再翻一番時還需要經(jīng)過多少個月？（參考數(shù)據(jù)：，）【變式2】由于慣性作用，行駛中的汽車在剎車后要滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離．下表是對某種型號汽車剎車性能的測試數(shù)據(jù)．剎車時車速153040708080剎車距離1.236.2011.517.8025.2044.40(1)試選擇合適的函數(shù)模型擬合測試數(shù)據(jù)，并寫出函數(shù)解析式；(2)若車速為，剎車距離為多少？若測得剎車距離為，剎車時的車速是多少？（可以使用計算器輔助計算）一、單項選擇題1.某物體一天中的溫度T(℃)是時間t(h)的函數(shù)：Tt3－3t＋80.若t0表示中午12∶00，下午t取值為正，則上午8：00的溫度是(D)A．112℃ B．58℃C．18℃ D．8℃2．（23-24高一上·吉林白山·階段練習）在某個時期，某湖泊的藍藻每天以5%的增長率呈指數(shù)增長，則經(jīng)過2天后，該湖泊的藍藻變?yōu)樵瓉淼模?/p>

）A．1.1倍 B．1.25倍 C．1.1025倍 D．1.0025倍3.（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）某新款電視投放市場后第一個月銷售了100臺，第二個月銷售了200臺，第三個月銷售了400臺，第四個月銷售了790臺，第五個月銷售了1800臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量與投放市場的月數(shù)（，）之間關(guān)系的是（

）A． B．C． D．4．（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）地震的震級直接與震源所釋放的能量大小有關(guān)，可以用關(guān)系式表達：，其中為震級，為地震能量．2022年11月21日云南紅河發(fā)生了3.6級地震，此前11月19日該地發(fā)生了5.0級地震，則第一次地震能量大約是第二次地震能量的（

）倍（參考數(shù)據(jù)：）A．110 B．115 C．120 D．1255.（23-24高一上·廣東廣州·期末）為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，某環(huán)保部門對轄區(qū)內(nèi)一工廠產(chǎn)生的廢氣進行了監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)該廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量與時間的關(guān)系為．如果在前5個小時消除了的污染物，那么污染物減少總共需要花的時間為（

）A．8小時 B．9小時 C．10小時 D．11小時6.（23-24高一下·廣東揭陽·期中）贛南臍橙，江西省贛州市特產(chǎn)，中國國家地理標志產(chǎn)品.贛南臍橙年產(chǎn)量達百萬噸，原產(chǎn)地江西省贛州市已經(jīng)成為臍橙種植面積世界第一，年產(chǎn)量世界第三，全國最大的臍橙主產(chǎn)區(qū)，假設(shè)某贛南臍橙種植區(qū)的臍橙產(chǎn)量平均每年比上一年增長20%，若要求該種植區(qū)的臍橙產(chǎn)量高于當前臍橙產(chǎn)量的6倍，則至少需要經(jīng)過的年數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：取，）A．10 B．9 C．8 D．77.（2024·寧夏吳忠·模擬預測）從甲地到乙地的距離約為240km，經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量（單位：L）與速度（單位：km/h）（）的下列數(shù)據(jù)：04080801200.0006.6678.12510.00020.000為描述汽車每小時耗油量與速度的關(guān)系，則下列四個函數(shù)模型中，最符合實際情況的函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．8.（23-24高一上·四川雅安·期末）碳14是一種放射性物質(zhì)，當生物死亡后，機體內(nèi)的碳14含量會按確定的比例衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為半衰期.如果是碳14的初始質(zhì)量，那么經(jīng)過年后，碳14所剩的質(zhì)量為.一名學者在今年的一次考古活動中，對出土的文物標本進行研究，發(fā)現(xiàn)碳14的含量是原來的，可以推測該文物屬于下列哪個時期（

）（參考數(shù)據(jù)：）參考時間線：

A．戰(zhàn)國 B．漢 C．唐 D．宋二、多項選擇題9．如圖1是某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的圖像．由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為盈的建議，如圖2,3所示．你能根據(jù)圖像判斷下列說法錯誤的是()A．圖2的建議為減少運營成本 B．圖2的建議可能是提高票價C．圖3的建議為減少運營成本 D．圖3的建議可能是提高票價10.（23-24高一上·廣東·期末）復利是一種計算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息.本金為（單位：元），每期利率為，本利和為（單位：元），存期數(shù)為，則下列命題是真命題的是（

）A．本利和關(guān)于存期數(shù)的函數(shù)解析式為B．本利和關(guān)于存期數(shù)的函數(shù)解析式為C．若存入本金1000元，每期利率為，則1期后的本利和為1022.5元D．若存入本金1000元，每期利率為，則4期后的本利和為1090元11.（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）某池塘里浮萍的面積（單位：）為時間（單位：月）的指數(shù)函數(shù)，即，且有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.則下列說法錯誤的是（

）

A．浮萍面積的月增長率為1 B．浮萍面積的月增加量都相等C．第4個月，浮泙面積為 D．填空題12．（24-25高一上·全國·課前預習）某種動物繁殖的數(shù)量y（只）與時間x（年）的關(guān)系為，若這種動物第一年有100只，則到第15年會有只．13．（24-25高一上·上?！て谥校┠彻緸榧顒?chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)獎金投入．若該公司2019年（年底統(tǒng)計）全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12％，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是．（年底統(tǒng)計）14．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關(guān)系為．關(guān)于下列說法正確的命題序號是．（1）這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為3；（2）浮萍每月增加的面積都相等；（3）第4個月時，浮萍面積不超過；（4）若浮萍曼延到、、所經(jīng)過的時間分別是、、，則．解答題15．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）富蘭克林（BenjaminFranklin，1706-1790）是美國著名的政治家和物理學家，去世后留下的財產(chǎn)并不可觀，大致只有英鎊．但令人驚奇的是，他竟然留下了一份分配幾百萬英鎊財產(chǎn)的遺囑！這份遺囑是這樣寫的：“……英鎊贈給波士頓的居民，如果他們接受了這英鎊，那么這筆錢應(yīng)托付給一些挑選出來的公民，他們得把這錢按每年的利率借給一些年輕的手工業(yè)者去生息，這筆錢過了年增加到英鎊．我希望那時候用英鎊來建立一座公共建筑物，剩下的英鎊拿去繼續(xù)生息年．在第二個年末了，這筆款增加到英鎊，其中英鎊還是由波士頓的居民來支配，而其余的英鎊讓馬薩諸塞州的公眾來管理，從此之后，我可不敢多作主張了．”你認為富蘭克林的設(shè)想有道理嗎？為什么？16．（23-24高一上·福建南平·期末）燕子每年都要進行秋去春來的南北大遷徙，已知某種燕子在飛行時的耗氧量與飛行速度（米/秒）之間滿足關(guān)系：．(1)當該燕子的耗氧量為1280時，它的飛行速度是多少？(2)若該燕子飛行時的耗氧量增加到原來的3倍，則它的飛行速度大約增加多少？（參考數(shù)據(jù)：）17．（24-25高一上·福建泉州·階段練習）近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大程度減少人員流動，減少疫情發(fā)生的可能性，高郵政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動，鼓勵企業(yè)在國慶期間留住員工在本市過節(jié)并加班追產(chǎn)，為此，高郵政府決定為波司登制衣有限公司在國慶期間加班追產(chǎn)提供（萬元）的專項補貼.波司登制衣有限公司在收到高郵政府（萬元）補貼后，產(chǎn)量將增加到（萬件）.同時波司登制衣有限公司生產(chǎn)（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出.注：收益=銷售金額+政府專項補貼-成本.(1)求波司登制衣有限公司國慶期間，加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）關(guān)于政府補貼（萬元）的表達式；(2)高郵政府的專項補貼為多少萬元時，波司登制衣有限公司國慶期間加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）最大？18．（24-25高一上·上海楊浦·階段練習）某新建居民小區(qū)欲建一面積為的矩形綠地，并在綠地四周鋪設(shè)人行道，設(shè)計要求綠地外南北兩側(cè)人行道寬3m，東西兩側(cè)人行道寬4m，如圖所示（圖中單位：m）.設(shè)矩形綠地的南北側(cè)邊長為x米.(1)當人行道的占地面積不大于時，求x的取值范圍；(2)問x取多少時，才能使人行道的占地面積最小.19．（22-23高一上·廣東清遠·期末）在無菌培養(yǎng)環(huán)境中，某類細菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內(nèi)細菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會減慢，在一次實驗中，檢測到這類細菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量y（單位：百萬個）與培養(yǎng)時間x（單位：小時）的3組數(shù)據(jù)如下表所示.2353.54.55.5(1)當時，根據(jù)表中數(shù)據(jù)分別用模型和建立關(guān)于的函數(shù)解析式.(2)若用某函數(shù)模型根據(jù)培養(yǎng)時間來估計某類細菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量，則當實際的細菌數(shù)量與用函數(shù)模型得出的估計值之間的差的絕對值不超過0.5時，稱該函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”，已知當培養(yǎng)時間為9小時時，檢測到這類細菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量為6.2百萬個，你認為（1）中哪個函數(shù)模型為“理想函數(shù)模型”？說明理由.（參考數(shù)據(jù)：）(3)請用（2）中的“理想函數(shù)模型”估計17小時后，該類細菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量.第08講函數(shù)的應(yīng)用（二）課程標準學習目標理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學語言和工具.2.在實際情境中，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律．1.理解指數(shù)函數(shù)模型.2.理解對數(shù)函數(shù)模型.3.理解冪函數(shù)模型.4.理解幾類函數(shù)模型的建立及應(yīng)用．知識點01常見的幾類函數(shù)模型及其應(yīng)用1．指數(shù)函數(shù)模型能用指數(shù)型函數(shù)f(x)abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b＞0，且b≠1)表達的函數(shù)模型叫做指數(shù)函數(shù)模型，若a＞1，其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，常稱之為“爆炸式增長”．指數(shù)類型的函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用比較廣泛，主要有以下兩類．(1)平均增長率問題：若原來產(chǎn)值或產(chǎn)量的基數(shù)為N，平均增長率為P，則對于時間x的產(chǎn)值或產(chǎn)量y，可以用公式y(tǒng)N(1＋P)x(N≠0)表示．(2)儲蓄中的復利計算問題：若本金為a元，每期利率為r，本息和為y，存期為x，則ya(1＋r)x(a≠0)．2．對數(shù)函數(shù)模型能用對數(shù)型函數(shù)f(x)mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，m≠0，a＞0，且a≠1)表達的函數(shù)模型叫做對數(shù)函數(shù)模型，若a＞1，則其增長的特點是開始階段增長得較快，但隨著自變量的逐漸增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，常稱之為“蝸牛式增長”．有關(guān)對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)關(guān)系式，要求根據(jù)實際情況求出函數(shù)關(guān)系式中的參數(shù)，對于此類問題，我們要從中提煉出數(shù)據(jù)，代入函數(shù)關(guān)系式求出參數(shù)的值，然后解答實際問題．3．冪函數(shù)模型能用冪型函數(shù)f(x)axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0)表達的函數(shù)模型叫做冪函數(shù)模型，其增長情況隨xα中α的取值而定，常見的有二次函數(shù)模型和反比例函數(shù)模型.【即學即練1】某種細菌在培養(yǎng)過程中，每15min分裂一次(由1個分裂成2個)，則這種細菌由1個繁殖成212個需經(jīng)過()A．12h B．4hC．3h D．2h【答案】D【解析】細菌的個數(shù)y與分裂次數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為y2x，令2x212，解得x12，又每15min分裂一次，所以共需15×12180min，即3h．知識點02用函數(shù)模型求解應(yīng)用問題的步驟(1)審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型．(2)建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識建立相應(yīng)的數(shù)學模型．(3)求?！蠼鈹?shù)學模型，得出數(shù)學模型．(4)還原——將數(shù)學結(jié)論還原為實際問題．【即學即練2】某工廠第三年的產(chǎn)量比第一年的產(chǎn)量增長44%，若每年的平均增長率相同(設(shè)為x)，則下列結(jié)論中正確的是()A．x＞22% B．x＜22%C．x22% D．x的大小由第一年產(chǎn)量確定【答案】C【解析】由題意設(shè)第一年產(chǎn)量為a，則第三年產(chǎn)量為a(1＋44%)a(1＋x)2，∴x0.2.故選B．知識點03擬合函數(shù)模型的建立1.數(shù)學建模研究實際問題時，要深入調(diào)查，了解對象信息，給出簡化假設(shè)，用數(shù)學的符號和語言，把它表述為數(shù)學式子（也就是數(shù)學模型），然后計算得到模型的結(jié)果，并進行檢驗，最后解釋實際問題．這個建立數(shù)學模型的全過程就成為數(shù)學建模．2.函數(shù)擬合根據(jù)收集的數(shù)據(jù)或給出的數(shù)據(jù)畫出散點圖，然后選擇函數(shù)模型并求出函數(shù)解析式，再進行擬合、比較，從而選出最恰當?shù)暮瘮?shù)模型的過程，稱為函數(shù)擬合（或數(shù)據(jù)擬合）．3.函數(shù)擬合與預測的一般步驟(1)繪圖：通過原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點圖；(2)連線：通過觀察散點圖，畫出擬合直線或擬合曲線；(3)列式：求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式；(4)判定：根據(jù)擬合誤差要求判斷，選擇最佳的擬合函數(shù)；(5)預測：利用選取的擬合函數(shù)進行預測；(6)結(jié)論：利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件所給問題進行預測和控制，為決策和管理提供依據(jù)．【即學即練3】1.某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴重，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則每年沙漠面積增加值y關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是()A．y0.2x B．yeq\f(1,10)(x2＋2x)C．yeq\f(2x,10) D．y0.2＋log16x【答案】D【解析】當x1時，排除選項B；當x3時，排除選項A、D，檢驗C項較為接近．2．“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？”如圖給出了紅豆生長時間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點圖．那么紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系用下列哪個函數(shù)模型擬合最好(A)A．指數(shù)函數(shù)：y2t B．對數(shù)函數(shù)：ylog2tC．冪函數(shù)：yt3 D．二次函數(shù)：y2t2【答案】A【解析】由題意知函數(shù)的圖像在第一象限是一個單調(diào)遞增的函數(shù)，并且增長速度很快，符合指數(shù)型函數(shù)模型，且圖像過(1,2)點，所以圖像由指數(shù)函數(shù)來模擬比較好，故選A．題型01指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用【典例1】（23-24高一上·江蘇南通·期中）某滅活疫苗的有效保存時間單位：小時與儲藏的溫度單位：滿足的函數(shù)關(guān)系為為常數(shù)，其中，是一個和類似的無理數(shù)，叫自然對數(shù)的底數(shù))，超過有效保存時間，疫苗將不能使用.若在時的有效保存時間是1080h，在時的有效保存時間是120h，則該疫苗在時的有效保存時間為（

）A．15h B．30h C．40h D．80h【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的公式，即可求解．【詳解】，當時，，當時，，解得，當時，【變式1】（23-24高一下·湖南常德·期中）荀子《勸學》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”在“進步率”和“退步率”都是的前提下，我們可以把看作是經(jīng)過365天的“進步值”，看作是經(jīng)過365天的“退步值”，則大約經(jīng)過（

）天時，“進步值”大約是“退步值”的100倍（參考數(shù)據(jù)：，）A．100 B．230 C．130 D．365【答案】C【分析】設(shè)大約經(jīng)過天“進步值”大約是“退步值”的倍，依題意可得，根據(jù)指數(shù)對數(shù)的關(guān)系及換底公式計算可得.【詳解】設(shè)大約經(jīng)過天“進步值”大約是“退步值”的倍，此時“進步值”為，“退步值”為，即，所以，則，所以天．【變式2】國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京冬奧會的標志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時間（小時）的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量，且）.如果前4個小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（

）A．3.8小時 B．4小時 C．4.4小時 D．5小時【答案】C【分析】由題意可得，再令，解出可得，即可得解.【詳解】由題意可知，即有，令，則有，解得，，故還需要4小時才能消除至最初的..【變式3】著名數(shù)學家、物理學家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為θ1℃，空氣溫度為θ0℃，則t分鐘后物體的溫度θ(單位：℃)滿足：θθ0＋(θ1－θ0)e－kt，若當空氣溫度為30℃時，某物體的溫度從90℃下降到80℃用時14分鐘．則再經(jīng)過28分鐘后，該物體的溫度為________℃.【答案】37.5【解析】∵θθ0＋(θ1－θ0)e－kt，又∵當空氣溫度為30℃時，某物體的溫度從90℃下降到80℃用時14分鐘，∴8030＋(90－30)e－14k，解得e－14keq\f(1,2)，則再經(jīng)過28分鐘后，相當于當過了42分鐘后，θ30＋(90－30)e－42k30＋80×(e－14k)330＋80×eq\f(1,8)37.5(℃)．故答案為：37.5.【變式4】假設(shè)甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學習，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上進步，而乙疏于學習，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上退步.那么，大約需要經(jīng)過（）天，甲的“日能力值”是乙的倍（參考數(shù)據(jù)：，，）A．85 B．100 C．170 D．225【答案】C【分析】根據(jù)給定信息，列出方程，再利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化關(guān)系求解即可.【詳解】令甲和乙剛開始的“日能力值”為，天后，甲、乙的“日能力值”分別、，依題意可得，即，兩邊取對數(shù)得，因此，所以大約需要經(jīng)過天，甲的“日能力值”是乙的倍.題型02對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用【典例2】（23-24高一下·安徽蕪湖·開學考試）青少年視力問題是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足關(guān)系式：，已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為4.3和a，記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為，，則，則a的值可以是（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．4.7 B．4.5 C．4.8 D．5.0【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，建立方程，結(jié)合對數(shù)運算及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解即得.【詳解】依題意，，則，即由，得，因此，解得，所以a的值可以是.【變式1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）“喊泉”是一種地下水的毛細現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲音時，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲水池，進而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學作用，激起水波，形成涌泉．聲音越大，涌起的泉水越高．已知聽到的聲強與標準聲強（約為，單位：）之比的常用對數(shù)稱作聲強的聲強級，記作（貝爾），即，取貝爾的十倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝．已知某處“喊泉”的聲音響度（分貝）與噴出的泉水高度（米）滿足關(guān)系式，現(xiàn)知同學大喝一聲激起的涌泉最高高度為50米，若同學大喝一聲的聲強大約相當于10個同學同時大喝一聲的聲強，則同學大喝一聲激起的涌泉最高高度約為（

）

A．5米 B．10米 C．45米 D．70米【答案】D【分析】設(shè)同學的聲強為，噴出泉水高度為，可得，，兩式相減即可求出的值.【詳解】設(shè)同學的聲強為，噴出泉水高度為，則同學的聲強為，噴出泉水高度為，由題意知，，即①，又，即②，得，解得..【變式2】（23-24高一下·湖北·階段練習）中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)中的數(shù)學原理之一是香農(nóng)公式：，它表示在被高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)所傳信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知當比較大時，，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，寬帶在原來的基礎(chǔ)上增加，信噪比從1000提升至8000，則大約增加了（

）（附：）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)，由香農(nóng)公式分別計算信噪比為1000和8000時的比值即可求解.【詳解】由題意可得，當時，，當時，，所以，所以的增長率約為.【變式3】2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測試成功，高鐵實現(xiàn)時速自動駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內(nèi)噪聲更?。绻寐晱姡▎挝唬海┍硎韭曇粼趥鞑ネ緩街忻科椒矫咨系穆暷芰髅芏龋晱娂墸▎挝唬海┡c聲強的函數(shù)關(guān)系式為，其中為基準聲強級，為常數(shù)，當聲強時，聲強級．下表為不同列車聲源在距離處的聲強級：聲源與聲源的距離（單位：）聲強級范圍內(nèi)燃列車20電力列車20高速列車20設(shè)在離內(nèi)燃列車?電力列車?高速列車處測得的實際聲強分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)聲強、聲強級之間的關(guān)系確定基準聲強級，即可判斷A；計算可得大小關(guān)系，即可判斷B，D；計算可得大小關(guān)系，即可判斷.【詳解】對于：因為聲強時，聲強級，所以，解得，故錯誤；對于B：因為，所以，即，故B正確；對于C：，所以，即，故C不正確；對于D，，所以，即，故D不正確．．【變式4】在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k1，2)．已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1C．lg10.1 D．10－10.1【答案】A【解析】由題意可設(shè)太陽的星等為m2，太陽的亮度為E2，天狼星的星等為m1，天狼星的亮度為E1，則由m2－m1eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，得－26.7＋1.45eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)－25.25，∴l(xiāng)geq\f(E1,E2)－10.1，lgeq\f(E2,E1)10.1，eq\f(E2,E1)1010.1.題型03冪函數(shù)模型的應(yīng)用【典例3】．2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金170萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：）（

）A．10% B．20% C．22% D．32%【答案】C【分析】設(shè)年平均增長率為，依題意列方程求即可.【詳解】由題意，設(shè)年平均增長率為，則，所以，故年平均增長率為20%.【變式1】某公司的收入由保險業(yè)務(wù)收入和理財業(yè)務(wù)收入兩部分組成.該公司年總收入為億元，其中保險業(yè)務(wù)收入為億元，理財業(yè)務(wù)收入為億元.該公司經(jīng)營狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預計每年總收入比前一年增加億元.因越來越多的人開始注重理財，公司理財業(yè)務(wù)發(fā)展迅速.要求從年起每年通過理財業(yè)務(wù)的收入是前一年的倍，若要使得該公司年的保險業(yè)務(wù)收入不高于當年總收入的，則的值至少為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出年通過理財業(yè)務(wù)的收入為億元，根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式，解出的范圍即可得解.【詳解】因為該公司年總收入為億元，預計每年總收入比前一年增加億元，所以年的總收入為億元，因為要求從年起每年通過理財業(yè)務(wù)的收入是前一年的倍，所以年通過理財業(yè)務(wù)的收入為億元，所以，解得.故的值至少為，.【變式2】異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】初始狀態(tài)設(shè)為，變化后為，根據(jù)，的關(guān)系代入后可求解．【詳解】設(shè)初始狀態(tài)為，則，，又，，即，，，，，．．【變式3】某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x(萬元)與藥品利潤y(萬元)存在的關(guān)系為(為常數(shù))，其中x不超過5萬元.已知去年投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，若今年投入廣告費用5萬元，預計今年藥品利潤為萬元.【答案】125【分析】利用代入法，結(jié)合指數(shù)冪的運算定義進行求解即可.【詳解】因為投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，所以，即當今年投入廣告費用5萬元，預計今年藥品利潤為，故答案為：題型04\o"利用給定函數(shù)模型解決實際問題"利用給定函數(shù)模型解決實際問題【典例4】（24-25高三上·安徽·階段練習）某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：與時間（單位：h）之間的關(guān)系式為，其中為初始污染物含量，均為正的常數(shù)，已知過濾前后廢氣的體積相等，且在前4h過濾掉了的污染物．如果廢氣中污染物的含量不超過時達到排放標準，那么該工廠產(chǎn)生的廢氣要達到排放標準，至少需要過濾的時間為（

）A．4h B．6h C．8h D．12h【答案】D【分析】根據(jù)給定條件求出值，再由廢氣中的污染物含量不超過的列出不等式求解即得.【詳解】依題意得，當時，，當時，，則，可得，即，所以，當時，解得，故至少需要過濾8h才能達到排放標準．.【變式1】（24-25高三上·河南·階段練習）已知某種污染物的濃度C（單位：摩爾/升）與時間t（單位：天）的關(guān)系滿足指數(shù)模型，其中是初始濃度（即時該污染物的濃度），k是常數(shù).第2天（即）測得該污染物的濃度為5摩爾/升，第4天測得該污染物的濃度為15摩爾/升，若第n天測得該污染物的濃度變?yōu)?，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，將點代入函數(shù)模型，求出的值，從而可求解.【詳解】由題意可得則，解得.因為，即，所以，所以，解得.故答案為：.【變式2】2018年“平安夜”前后，某水果超市從12月15日至1月5日（共計22天，12月15日為第1天，12月16日為第2天，…，1月5日為第22天），某種蘋果的銷售量y千克隨時間第x天變化的函數(shù)圖象如圖所示，則該超市在12月20日賣出了這種蘋果千克.【答案】21.【分析】計算得到直線方程為，當時計算得到答案.【詳解】當時，設(shè)直線方程為，將點，代入直線解得，故當時，故答案為：【點睛】本題考查了根據(jù)圖像求解析式，意在考查學生的應(yīng)用能力.題型05擬合函數(shù)模型的建立與應(yīng)用【典例5】數(shù)據(jù)顯示，某IT公司2023年2月—6月的月收入情況如下表所示：月份23456月收入（萬元）1.42.5805.311121.3根據(jù)上述數(shù)據(jù)，在建立該公司2023年月收入（萬元）與月份的函數(shù)模型時，給出兩個函數(shù)模型與供選擇.(1)你認為哪個函數(shù)模型較好，并簡單說明理由；(2)試用你認為較好的函數(shù)模型，分析大約從第幾月份開始，該公司的月收入會超過100萬元？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)用函數(shù)這一模型較好，理由見解析(2)大約從第9月份開始，該公司的月收入會超過100萬元【分析】（1）由題意，描點并和函數(shù)圖象比較，可得答案；（2）解法一：根據(jù)題意建立不等式，利用對數(shù)運算即可；解法二：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性試根.【詳解】（1）對已知數(shù)據(jù)進行描點：由圖可知點，，，，基本上是落在函數(shù)的圖像的附近，因此用函數(shù)這一模型較好（2）解法一：當時，即，∴，即，∴，故大約從第9月份開始，該公司的月收入會超過100萬元.解法二：當時，即，∵，，故大約從第9月份開始，該公司的月收入會超過100萬元【變式1】（23-24高一上·福建廈門·階段練習）生物愛好者甲對某一水域的某種生物在自然生長環(huán)境下的總量進行監(jiān)測.第一次監(jiān)測時的總量為（單位：噸），此時開始計時，時間用（單位：月）表示.甲經(jīng)過一段時間的監(jiān)測得到一組如下表的數(shù)據(jù)：月噸為了研究該生物總量與時間的關(guān)系，甲通過研究發(fā)現(xiàn)可以用以下的兩種函數(shù)模型來表達與的變化關(guān)系：①；②且.(1)請根據(jù)表中提供的前列數(shù)據(jù)確定第一個函數(shù)模型的解析式；(2)根據(jù)第列數(shù)據(jù)，選出其中一個與監(jiān)測數(shù)據(jù)差距較小的函數(shù)模型；甲發(fā)現(xiàn)總量由翻一番時經(jīng)過了個月，根據(jù)你選擇的函數(shù)模型，若總量再翻一番時還需要經(jīng)過多少個月？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】(1)(2)第二個模型與監(jiān)測數(shù)據(jù)差距較??；總量再翻一番時還需要經(jīng)過個月【分析】（1）將前列數(shù)據(jù)代入第一個函數(shù)模型即可解方程組求得結(jié)果；（2）將前列數(shù)據(jù)代入第二個函數(shù)模型可求得第二個函數(shù)模型的解析式；再將列數(shù)據(jù)分別代入兩個模型，比較預估值與檢測數(shù)據(jù)即可確定差距較小的函數(shù)模型；將代入模型即可求得總量再翻一番時所需時長，進而得到結(jié)果.【詳解】（1）將前列數(shù)據(jù)代入第一個函數(shù)模型得：，解得：，第一個函數(shù)模型的解析式為：.（2）將前列數(shù)據(jù)代入第二個函數(shù)模型得：，解得：，第二個函數(shù)模型的解析式為：；將代入第一個函數(shù)模型得：；代入第二個函數(shù)模型得：；將代入第一個函數(shù)模型得：；代入第二個函數(shù)模型得：；根據(jù)第列數(shù)據(jù)，第二個模型與監(jiān)測數(shù)據(jù)差距較?。豢偭糠环瑫r，，此時；若總量再翻一番，則，由得：，，，總量再翻一番時還需要經(jīng)過個月.【變式2】由于慣性作用，行駛中的汽車在剎車后要滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離．下表是對某種型號汽車剎車性能的測試數(shù)據(jù)．剎車時車速153040708080剎車距離1.236.2011.517.8025.2044.40(1)試選擇合適的函數(shù)模型擬合測試數(shù)據(jù)，并寫出函數(shù)解析式；(2)若車速為，剎車距離為多少？若測得剎車距離為，剎車時的車速是多少？（可以使用計算器輔助計算）【答案】(1)選擇二次函數(shù)模型，(2)，【分析】（1）選擇二次函數(shù)模型，結(jié)合圖象經(jīng)過點，再代入兩個點，求出答案；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，代入求值即可.【詳解】（1）選擇二次函數(shù)模型，顯然函數(shù)圖象經(jīng)過點，再近似地選取兩個點和，設(shè)二次函數(shù)為，故，解得，可求得；（注：本題選取的點不同，所得到的函數(shù)解析式和下面所得的結(jié)果均可能不同．）（2）當時，；當時，有，解得（負舍）．一、單項選擇題1.某物體一天中的溫度T(℃)是時間t(h)的函數(shù)：Tt3－3t＋80.若t0表示中午12∶00，下午t取值為正，則上午8：00的溫度是(D)A．112℃ B．58℃C．18℃ D．8℃【答案】A【解析】本題考查函數(shù)的應(yīng)用．由題意，上午8∶00時，t－4，所以溫度T(－4)3－3×(－4)＋808(℃)，故選D．2．（23-24高一上·吉林白山·階段練習）在某個時期，某湖泊的藍藻每天以5%的增長率呈指數(shù)增長，則經(jīng)過2天后，該湖泊的藍藻變?yōu)樵瓉淼模?/p>

）A．1.1倍 B．1.25倍 C．1.1025倍 D．1.0025倍【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)求解即可.【詳解】解：設(shè)某湖泊的藍藻量為1，由題意可知，每天的藍藻量是以1.05為底的指數(shù)函數(shù)，即，所以經(jīng)過2天后，湖泊的藍藻量，所以該湖泊的藍澡變?yōu)樵瓉淼谋?.3.（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）某新款電視投放市場后第一個月銷售了100臺，第二個月銷售了200臺，第三個月銷售了400臺，第四個月銷售了790臺，第五個月銷售了1800臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量與投放市場的月數(shù)（，）之間關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將題目中的數(shù)據(jù)代入各函數(shù)中，易知指數(shù)型函數(shù)能較好與題中的數(shù)據(jù)相對應(yīng).【詳解】將代入函數(shù)中觀察可知，函數(shù)符合條件..4．（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）地震的震級直接與震源所釋放的能量大小有關(guān)，可以用關(guān)系式表達：，其中為震級，為地震能量．2022年11月21日云南紅河發(fā)生了3.6級地震，此前11月19日該地發(fā)生了5.0級地震，則第一次地震能量大約是第二次地震能量的（

）倍（參考數(shù)據(jù)：）A．110 B．115 C．120 D．125【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合對數(shù)運算分析求解.【詳解】第一次，即①，第二次，即②，①②得，，即由題可知，，．5.（23-24高一上·廣東廣州·期末）為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，某環(huán)保部門對轄區(qū)內(nèi)一工廠產(chǎn)生的廢氣進行了監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)該廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量與時間的關(guān)系為．如果在前5個小時消除了的污染物，那么污染物減少總共需要花的時間為（

）A．8小時 B．9小時 C．10小時 D．11小時【答案】D【分析】根據(jù)前5個小時消除了的污染物，由，求得k，再設(shè)污染物減少所用的時間為t，由求解.【詳解】因為在前5個小時消除了的污染物，所以，解得，所以，設(shè)污染物減少所用的時間為t，所以，所以，解得..6.（23-24高一下·廣東揭陽·期中）贛南臍橙，江西省贛州市特產(chǎn)，中國國家地理標志產(chǎn)品.贛南臍橙年產(chǎn)量達百萬噸，原產(chǎn)地江西省贛州市已經(jīng)成為臍橙種植面積世界第一，年產(chǎn)量世界第三，全國最大的臍橙主產(chǎn)區(qū)，假設(shè)某贛南臍橙種植區(qū)的臍橙產(chǎn)量平均每年比上一年增長20%，若要求該種植區(qū)的臍橙產(chǎn)量高于當前臍橙產(chǎn)量的6倍，則至少需要經(jīng)過的年數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：取，）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】A【分析】先根據(jù)條件建立對數(shù)不等式，從而得到，再利用換底公式即可求出的值，進而求出的范圍得到結(jié)果.【詳解】假設(shè)當前該種植區(qū)的臍橙產(chǎn)量為1，經(jīng)過x年該種植區(qū)的臍橙產(chǎn)量為，由題意得，得到，又因為所以，故至少需要經(jīng)過的年數(shù)為10.7.（2024·寧夏吳忠·模擬預測）從甲地到乙地的距離約為240km，經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量（單位：L）與速度（單位：km/h）（）的下列數(shù)據(jù)：04080801200.0006.6678.12510.00020.000為描述汽車每小時耗油量與速度的關(guān)系，則下列四個函數(shù)模型中，最符合實際情況的函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出散點圖，根據(jù)單調(diào)性和定義域即可得解.【詳解】作出散點圖，由圖可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域為；第二，在定義域單調(diào)遞增且單位增長率變快；第三，函數(shù)圖象過原點.A選項：函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故A錯誤；B選項：函數(shù)的單位增長率恒定不變，故B錯誤；C選項：滿足上述三點，故C正確；D選項：函數(shù)在處無意義，D錯誤.8.（23-24高一上·四川雅安·期末）碳14是一種放射性物質(zhì)，當生物死亡后，機體內(nèi)的碳14含量會按確定的比例衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為半衰期.如果是碳14的初始質(zhì)量，那么經(jīng)過年后，碳14所剩的質(zhì)量為.一名學者在今年的一次考古活動中，對出土的文物標本進行研究，發(fā)現(xiàn)碳14的含量是原來的，可以推測該文物屬于下列哪個時期（

）（參考數(shù)據(jù)：）參考時間線：

A．戰(zhàn)國 B．漢 C．唐 D．宋【答案】A【分析】列出方程，求出，，從而判斷出答案.【詳解】令，方程兩邊取對數(shù)得，即，又，故，，由于，故推測該文物屬于戰(zhàn)國時期，A正確.二、多項選擇題9．如圖1是某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的圖像．由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為盈的建議，如圖2,3所示．你能根據(jù)圖像判斷下列說法錯誤的是()A．圖2的建議為減少運營成本 B．圖2的建議可能是提高票價C．圖3的建議為減少運營成本 D．圖3的建議可能是提高票價【答案】CC【解析】根據(jù)題意和圖2知，兩直線平行即票價不變，直線向上平移說明當乘客量為0時，收入是0但是支出的變少了，即說明了此建議是降低成本而保持票價不變；由圖3看出，當乘客量為0時，支出不變，但是直線的傾斜角變大，即相同的乘客量時收入變大，即票價提高了，即說明了此建議是提高票價而保持成本不變，綜上可得AD正確，BC錯誤．10.（23-24高一上·廣東·期末）復利是一種計算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息.本金為（單位：元），每期利率為，本利和為（單位：元），存期數(shù)為，則下列命題是真命題的是（

）A．本利和關(guān)于存期數(shù)的函數(shù)解析式為B．本利和關(guān)于存期數(shù)的函數(shù)解析式為C．若存入本金1000元，每期利率為，則1期后的本利和為1022.5元D．若存入本金1000元，每期利率為，則4期后的本利和為1090元【答案】AC【分析】根據(jù)題目條件求出本利和的函數(shù)解析式，并代入計算出結(jié)果即可判斷正誤．【詳解】本利和關(guān)于存期數(shù)的函數(shù)解析式為，A正確，B錯誤．若存入本金1000元，每期利率為，則1期后的本利和為元，4期后的本利和為元，，C正確，D錯誤．C．11.（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）某池塘里浮萍的面積（單位：）為時間（單位：月）的指數(shù)函數(shù)，即，且有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.則下列說法錯誤的是（

）

A．浮萍面積的月增長率為1 B．浮萍面積的月增加量都相等C．第4個月，浮泙面積為 D．【答案】CC【分析】根據(jù)圖象所過點可求得函數(shù)解析式，可判斷AB；代入可知C錯誤；分別求出相應(yīng)函數(shù)值可得D.【詳解】過點，，則；對于A，每個月的月增長率為，A正確；對于B，浮萍面積第個月的增加量為；第個月的增加量為，增加量不相等，B錯誤；對于C，當時，，即浮萍面積為，C錯誤；對于D，，則，D正確.C.填空題12．（24-25高一上·全國·課前預習）某種動物繁殖的數(shù)量y（只）與時間x（年）的關(guān)系為，若這種動物第一年有100只，則到第15年會有只．【答案】400【分析】令，解得：，再令，代入函數(shù)即可求解.【詳解】當時，，代入可得，∴，∴當時，．故答案為：40013．（24-25高一上·上?！て谥校┠彻緸榧顒?chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)獎金投入．若該公司2019年（年底統(tǒng)計）全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12％，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是．（年底統(tǒng)計）【答案】2023【分析】結(jié)合指數(shù)的運算公式解決函數(shù)的實際應(yīng)用.【詳解】，故答案為：202314．（24-25高一上·上?！ふn堂例題）如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關(guān)系為．關(guān)于下列說法正確的命題序號是．（1）這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為3；（2）浮萍每月增加的面積都相等；（3）第4個月時，浮萍面積不超過；（4）若浮萍曼延到、、所經(jīng)過的時間分別是、、，則．【答案】（1）（4）【分析】將特殊點代入，求出解析式，逐個分析即可．【詳